Các phép biến hình trong mặt phảng và một ứng dụng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - LÊ THỊ HỒNG HẠNH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành: Sƣ phạm Tốn học Quảng Bình, tháng năm 2019 LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian từ bắt đầu học tập giảng đường đại học đến nay, em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ quý thầy cô, gia đình bạn bè Với lịng biết ơn sâu sắc nhất, em xin gửi đến quý thầy cô Khoa Khoa học tự nhiên - Trường Đại học Quảng Bình với tri thức tâm huyết để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho chúng em suốt thời gian học tập trường Để hoàn thành tốt đề tài nghiên cứu khoa học này, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Th.S Trần Hồng Nga tận tình hướng dẫn suốt q trình nghiên cứu đề tài Cuối em kính chúc quý thầy, cô dồi sức khỏe thành cơng nghiệp cao q Em xin chân thành cảm ơn! Quảng Bình, tháng năm 2019 Sinh viên thực Lê Thị Hồng Hạnh MỤC LỤC LỜI MỞ Đ U CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Vectơ 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Các tính chất 1.1.3 Tọa độ vectơ tọa độ điểm 1.2 Đường thẳng mặt phẳng 1.3 Góc định hướng 1.3.1 Góc định hướng hai tia 1.3.2 Góc định hướng hai đường thẳng CHƢƠNG CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 2.1 Định nghĩa phép biến hình 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Các ví dụ 2.1.3 Điểm bất động phép biến hình 10 2.1.4 Sự xác định phép biến hình 10 2.1.5 Phép biến hình đảo ngược 11 2.2 Các phép biến hình mặt phẳng 11 2.2.1 Phép đồng 11 2.2.2 Phép tịnh tiến 11 2.2.3 Phép dời hình 13 2.2.4 Phép đối xứng trục 15 2.2.5 Phép đối xứng tâm 17 2.2.6 Phép quay 19 2.2.7 Phép vị tự 22 2.2.8 Phép đồng dạng 24 CHƢƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH 27 3.1 Ứng dụng phép biến hình vào giải dạng tốn chứng minh xác định yếu tố hình học 27 3.1.1 Phương pháp 27 3.1.2 Ví dụ 27 2.1.3 Một số tập áp dụng 33 3.2 Ứng dụng phép biến hình để xác định ảnh điểm hình 35 3.2.1 Phương pháp 35 3.2.2 Ví dụ 35 2.2.3 Một số tập áp dụng 40 3.3 Ứng dụng phép biến hình để giải tốn dựng hình 42 3.3.1 Phương pháp 42 3.3.2 Ví dụ 42 3.3.3 Một số tập áp dụng 47 3.4 Ứng dụng phép biến hình để giải tốn quỹ tích 49 3.4.1 Phương pháp 49 3.4.2 Ví dụ 51 3.4.3 Một số tập 55 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 LỜI MỞ Đ U Các phép biến hình mặt phẳng kiến thức trọng tâm chương trình hình học Trung học phổ thơng Phép biến hình gắn liền với giai đoạn khác phát triển tốn học nói chung hình học nói riêng Nhà tốn học Euclid, tác phẩm “Cơ bản” đặt móng cho đời phương pháp tiền đề Trong tác phẩm mình, ơng nêu tư tưởng sử dụng phép biến hình thơng qua việc định nghĩa hai hình Nhưng lúc phép biến hình khơng phải đối tượng nghiên cứu, ch ngầm ẩn xuất tình so sánh hai hình c ng ch hiểu theo nghĩa phép chuyển dời hình từ vị trí sang vị trí khác Đến cuối TK I , nhà toán học người Đức Felix Klein 1849 – 1925 nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm phép biến hình; có hì nh học Euclid sơ cấp giảng dạy Trung học phổ thông Kiến thức phép biến hình mặt phẳng giúp giải nhiều toán thực tế sống hàng ngày, cho số ngành khoa học khác hội họa nghệ thuật dùng hình để lấp đầy mặt phẳng phát triển mạnh m vào k III nước I-ta-li-a ; kiến trúc tháp đôi Petronas, đền Taj Mahal ngành kĩ thuật Ở bậc Trung học phổ thông, học sinh học phép biến hình mặt phẳng gồm: phép dời hình phép đồng dạng Việc đưa nội dung phép biến hình vào giảng dạy giúp cho học sinh làm quen với phương pháp tư suy luận Đó phương thức địi hỏi học sinh phải biết nhận thức đối tượng toán học chuyển động, thay đổi phụ thuộc lẫn Đồng thời phép biến hình cung cấp cho cơng cụ để giải tốn hình học cách hiệu quả, đặc biệt dạng tốn chứng minh, tìm ảnh hình, dựng hình tìm quỹ tích Mặt khác, học sinh Trung học phổ thơng thường gặp khó kh n việc tiếp cận phép biến hình, đặc biệt việc ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải tốn Vì thế, để đạt hiệu việc giảng dạy giúp học sinh tiếp cận với việc ứng dụng phép biến hình việc nghiên cứu phép biến hình ứng dụng phép biến hình vào giải tốn quan trọng Với lí tơi chọn đề tài Các ph p i n hình m t ph ng m t s ứng ng làm khóa luận tốt nghiệp Ngoài lời cảm ơn, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương I : Kiến thức sở Trong chương trình bày kiến thức vectơ, đường thẳng mặt phẳng, góc định hướng Chương II : Các phép biến hình mặt phẳng Trong chương trình bày kiến thức liên quan đến phép biến hình mặt phẳng: phép đồng nhất, phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự phép đồng dạng Chương III: Một số ứng dụng phép biến hình Trong chương trình bày ứng dụng định nghĩa, tính chất phép biến hình vào giải tốn dạng hình học CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương trình bày kiến thức vectơ, đường thẳng mặt phẳng, góc định hướng 1.1 Vectơ 1.1.1 Các định nghĩa a/ Vectơ Vectơ đoạn thẳng có hướng, M nghĩa hai điểm mút đoạn N thẳng, ch rõ điểm điểm đầu, a) điểm điểm cuối Kí hiệu: Nếu vectơ có điểm đầu M điểm cuối N ta kí hiệu vectơ a x ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ngồi ra, ta c ng kí hiệu vectơ xác định chữ in thường, b) với m i tên Chẳng hạn vectơ Hình 1.1 ⃗ (H.1.1) b/ Vectơ - khơng Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng gọi vectơ – không Kí hiệu: ⃗ c/ Hai vectơ phương Hai vectơ gọi phương chúng có giá song song trùng B A E C D F Hình 1.2 Các vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ phương (H.1.2) d/ Hai vectơ a Hai vectơ gọi chúng hướng độ dài Nếu hai vectơ (H.1.3) b ⃗ ta viết ⃗ Hình 1.3 e/ Vectơ đối vectơ Nếu tổng hai vectơ không, ta nói ⃗ vectơ – a vectơ đối ⃗ , ⃗ -a vectơ đối Kí hiệu: Vectơ đối vectơ đuợc kí hiệu Hình 1.4 (H.1.4) 1.1.2 Các tính chất a/ Điều kiện để hai vectơ phương Vectơ b⃗ phương với vectơ a⃗ (a⃗ 0⃗ ) ch có số k cho b⃗ a⃗ b/ Điều kiện để ba điểm thẳng hàng Điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k cho ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (H.1.5) A C B Hình 1.5 c/ Tổng ba vectơ Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (H.1.6) B M Hình 1.6 Nếu G trọng tâm tam giác ABC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (H.1.7) A G B C Hình 1.7 Với ba điểm M, N, P ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (H.1.8) M P N Hình 1.8 d/ Quy tắc hiệu ba vectơ Nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vectơ cho với điểm O bất kì, ta ln có: ⃗⃗⃗⃗⃗ (H.1.9) N O M Hình 1.9 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ f/ Quy tắc hình bình hành (H.1.10) B C Nếu ABCD hình bình hành ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C A D Hình 1.10 1.1.3 Tọa đ vectơ tọa đ điểm 1/ Cho hai vectơ a = (x; y) b⃗ = (x'; y') ta có: a/ a⃗ b/ a⃗ b⃗ = (x + x'; y + y '); b⃗ = (x x'; y y'); c/ a⃗ = (kx; ky) với k ; d/ a⃗ ⃗b = x.x' + y.y'; e/ a⃗ b⃗ { 2/ Cho hai điểm M(xM; yM) N(xN; yN) ta có: a/ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( b/ ); |⃗⃗⃗⃗⃗ | ; c/ Tọa độ trung điểm I MN là: I( ) d/ Tọa độ trọng tâm G tam giác MNP là: ( ) 1.2 Đƣờng th ng m t ph ng a/ Phương trình tham số đường thẳng ( phương ⃗ = (a; b) là: qua M(xo; yo) có vectơ ch P I O'' M N O O' d Hình 3.20 - Từ điều kiện tốn ta suy tập hợp điểm N đường O ảnh O phép đối xứng Đ d Mặt khác, ⃗⃗⃗ PI = ⃗⃗⃗⃗⃗ PN chứng tỏ I ảnh N phép vị tự tâm P, hệ số vị tự Tập hợp I đường tròn O ảnh O) phép vị tự V.P, 1/ 2 Tóm lại tập hợp I đường tròn nhận từ O phép đồng dạng F = Đd.V.P, 1/ (H.3.20) 3.4.3 M t s t p Bài 1: Gọi B điểm di động đường tròn tâm O, bán kính R điểm cố định đường trịn Tìm quỹ tích giao điểm B với phân giác ̂ OB HD: Ứng dụng phép vị tự Bài 2: Cho đường tròn O; R hai điểm , B cố định Với điểm M, ta xác định M' cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Tìm quỹ tích điểm M' M chạy (O; R) ĐS: Ứng dụng phép đối xứng tâm Bài 3: Cho đường trịn O điểm M khơng nằm đường trịn Với điểm thuộc O ta dựng điêm B cho tam giác MAB vuông cân M Tìm tập hợp điểm B, A thay đổi O ĐS: Là ảnh O phép quay Q (M , 90) Q(M , - 90) 55 Bài 4: Cho tam giác BC , B, C trung điểm BC, C , B Tìm tập hợp điểm M tam giác cho ảnh M phép đối xứng ĐA, ĐB, ĐC nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác BC HD: Phép đối xứng: ĐA: M M  (O),  BC M" MB  MC MB //= MC ĐC: M M  (O),  A MB  M C' BA MB//= MA M B Tứ giác CMM hình chữ nhật A'  BM  AC hay M thuộc đường cao tam giác BC hạ từ B Tương tự M c ng C M' thuộc đường cao tam giác hạ từ C Tập M điểm trực tâm tam giác BC, ∆ BC có góc nhọn Trường hợp ∆ BC hình tam giác khơng nhọn, tập M rỗng Bài 5: Cho tam giác BC cân Đường thẳng d quay quanh , gọi D điểm đối xứng C qua d, BD cắt d M Tìm tập hợp điểm D M HD: Ứng dụng phép đối xứng ̂ bên góc có tia Oz cố định , M điểm Bài 6: Cho góc nhọn xOy di động tia Oz Gọi M1 , M2 điểm đối xúng M qua Ox, Oy Tìm tập hợp trung điểm I đoạn M1M2 HD: Ứng dụng phép đối xứng Bài 7: Cho tam giác BC cân nội tiếp đường tròn O; R R không đổi , hai đ nh B C thuộc đường thẳng cố định d Cho B cố dịnh C di động Tình tập hợp điểm HD: Ứng dụng phép tịnh tiến Bài 8: Cho điểm cố định nằm đường tròn O điểm C thay đổi đường trịn Dựng hình vng BCD Tìm quỹ tích điểm B D HD: Ứng dụng phép quay 56 Bài 9: Cho nửa đường trịn O , đường kính BC Điểm Dựng phái ngồi tam giác chạy đường trịn BC hình vng BEF Tìm quỹ tích điểm E HD: Ứng dụng phép quay Bài 10: Cho hai đường tròn C C' tiếp xúc Qua điểm cố định B C v cát tuyến di động MN C , gọi M', N' giao điểm M, N với C' Chứng minh M'N' qua điểm cố định HD: Ứng dụng phép vị tự Bài 11: Cho nửa đường trịn đường kính B Gọi C điểm chạy nửa đường trịn Trên C lấy điểm D cho D = CB Qua nửa đường tròn lấy E= k tiếp tuyến với B E C thuộc nửa mặt phẳng bờ B Tìm quỹ tích điểm D HD: Ứng dụng phép quay Bài 12: Trên đường tròn O cho điểm , B cố định, gọi M điểm di động cung lớn ̂B Trên nửa đường thẳng BM gốc B lấy điểm N cho BN = AM a/ Gọi I trung điểm cung lớn ̂B Chứng minh IM = IN b/ Chứng minh điểm N ảnh M phép quay xác định Tìm tập hợp điểm N M chạy cung lớn AB HD: Ứng dụng phép quay Bài 13: Cho đường tròn O; R , điểm cố định không trùng với tâm O, BC dây cung O , BC di động số đo cung BC luôn 120 Gọi I trung điểm BC V tam giác IJ Tìm tập hợp điểm J HD: Ứng dụng phép quay Bài 14: Cho đường trịn cố định tâm O bán kính R đường thẳng cố định d Hình bình hành O BC có đ nh chuyển động đường trịn đường chéo ln ln song song với d có độ dài a cho trước Hãy tìm tập hợp đ nh B C hình bình hành O BC HD: Ứng dụng phép tịnh tiến 57 ̂ cố định Trên tia Oy ta lấy điểm Bài 15: Cho góc xOy cố định tia Ox có điểm B chuyển động Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác OAB HD: Ứng dụng phép vị tự 58 KẾT LUẬN Đề tài trình bày đạt số kết sau: Khái quát lại khái niệm tính chất phép biến hình hình học phẳng Trình bày giải số tập cách vận dụng phép biến hình vào trình giải dạng tốn hình học Mặc dù có nhiều cố gắng, nỗ lực việc tìm tịi nghiên cứu kiến thức hạn chế thời gian không cho phép nên đề tài tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Em mong nhận ý kiến đóng góp q báu từ phía thầy giáo bạn học viên để đề tài hoàn thiện 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO , - V n Như Cương, Đồn Quỳnh (2007), Hình học nâng cao 11, NXB Giáo dục , - Hà V n Chương 2006 , Tuyển chọn 400 tốn hình học 10, N B Đại học Quốc gia Hà Nội , - Nguyễn Mộng Hy (1997), Các phép bi n hình m t phẳng, NXB Giáo dục , - Phan Hoàng Ngân (2007), Bài tập trắc nghiệm hình học 11, NXB Đại học Sư phạm , - Nguyễn V n Nho 2007 , hương pháp giải d ng tốn hình học 11, N B Đại học Sư phạm , - Phạm Quốc Phong (2014), B i dưỡng hình học 11, N B Đại học Quốc gia Hà Nội , - Đỗ Thanh Sơn 2006 , hương pháp giải tốn hình học phẳng 10, N B Đại học Quốc gia Hà Nội , - Đào Tam 2007 , Giáo trình hình học sơ cấp, N B Đại học Sư phạm , - Nguyễn Thị Thu Hà (2010), Ứng dụng phép tịnh tiến phép quay mặt phẳng vào giải tốn hình học cấp trung học sở, https://toicodongiuamotbiennguoi.files.wordpress.com/2015/07/ung-dung-phepbien-hinh-giai-toan-thcs-nuyen-thi-thu-ha.pdf, truy cập Thứ bảy 09/03/2019 60 ... phẳng: phép đồng nhất, phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự phép đồng dạng Chương III: Một số ứng dụng phép biến hình Trong chương trình bày ứng dụng định... định điểm hình qua phép biến hình ta có thể: - Sử dụng định nghĩa phép biến hình - Sử dụng biểu thức tọa độ phép biến hình - Sử dụng tính chất phép biến hình 3.2.2 Ví d Ví dụ 3.2.1 Trong mặt phẳng... gọi ảnh hình H qua phép biến hình H hình H gọi tạo ảnh hình f(H qua phép biến hình f 2.1.2 Các ví d V d 2.1.1 Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định Phép biến hình biến điểm M thành M' đối xứng cới