Một số ứng dụng của phép biến hình trong không gian vào giải toán

Theo quan điểm của Toán học hiện đại,hình học là một môn khoa học nghiên cứu các tính chất của các hình bất biếnđối với nhóm phép biến hình nào đó của không gian hình học.. Do vậy, để gi

Một số ứng dụng của phép biến hình trong không gian vào giải

toán

MỤC LỤ

TRANG PHỤ BÌA………….………i

LỜI CẢM ƠN……… ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU……….iii

MỤC LỤC……… iv

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN 1.1 Định nghĩa phép biến hình trong không gian 4

1.1.1 Định nghĩa 4

1.1.2 Phép biến đổi 1 – 1 4

1.1.3 Phép biến đổi đồng nhất 4

1.1.4 Phép biến đổi ngược 4

1.1.5 Tích của hai (hoặc nhiều) phép biến đổi 5

1.1.6 Hai phép biến đổi trùng nhau 5

1.1.7 Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động của một phép biến đổi 5

1.1.8 Ảnh của một hình qua một phép biến đổi 6

1.1.9 Hai hình trùng nhau 6

1.2 Phép đối xứng qua tâm 6

1.2.1 Định nghĩa 6

1.2.2 Tính chất 7

1.2.3 Hệ quả 8

1.2.4 Phép đối xứng tâm trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc Oxyz 10

1.3 Phép đối xứng qua một đường thẳng 10

1.3.1 Định nghĩa 10

1.3.2 Tính chất 11

1.3.3 Phép đối xứng qua một đường thẳng trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz 13

1.4 Phép đối xứng qua một mặt phẳng 14

1.4.1 Định nghĩa 14

1.4.2 Tính chất 14

1.4.3 Phép đối xứng qua một mặt phẳng trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc Oxyz 17

1.5 Phép tịnh tiến trong không gian 17

1.5.1 Định nghĩa 17

1.5.2 Tính chất 18

1.5.3 Phép đối xứng trượt trong không gian 20

1.6 Phép quay quanh một đường thẳng 20

1.6.1 Định nghĩa 20

1.6.2 Tính chất 21

1.6.3 Phép quay quanh một đường thẳng với góc quay  1800  3600 24

1.7 Phép chiếu xuyên tâm 24

1.7.1 Định nghĩa 24

1.7.2 Tính chất 25

1.8 Phép vị tự 28

1.8.1 Định nghĩa 28

1.8.2 Tính chất 29

1.9 Phép nghịch đảo 31

1.9.1 Định nghĩa 31

độ Đề - các vuông góc Oxyz 59KẾT LUẬN 63TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian

và các phép biến đổi Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về

“Hình và Số” Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các

cấu trúc trừu tượng được định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng lý luậnhọc (lôgic) và ký hiệu toán học Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều

khoa học, toán học được mệnh danh là “Ngôn ngữ của vũ trụ”.

Môn Toán trong nhà trường phổ thông giữ vai trò và vị trí hết sức quantrọng Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho họcsinh hệ thống kiến thức, kỹ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyệncho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới như cẩn thận,chính xác, có tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo và bồi dưỡng óc thẩmmĩ

Hình học là môn khoa học suy diễn, đòi hỏi người học phải có sự tưduy và khả năng tưởng tượng tốt Theo quan điểm của Toán học hiện đại,hình học là một môn khoa học nghiên cứu các tính chất của các hình bất biếnđối với nhóm phép biến hình nào đó của không gian hình học

Cách đây khoảng mười sáu năm về trước, các phép biến hình chưa cótrong nhà trường phổ thông Đến năm 2000, các phép biến hình mới được đưavào nhà trường phổ thông Điều đó chứng tỏ rằng đã chuyển hình học từ khoahọc thực nghiệm sang khoa học suy diễn Việc chuyển như vậy là bước đầucho việc “Đại số hóa hình học”, tức là nghiên cứu hình học bằng công cụ đại

số Do vậy đòi hỏi người học phải có sự tư duy tốt

Điều đó cho thấy sự “Ưu việt” của phép biến hình trong môn Toán nhà

trường phổ thông Hơn nữa, có những bài toán hình học được giải thông quaphép biến hình đôi khi nhanh và gọn hơn khi giải bằng cách thông thường,giúp học sinh tránh được một số sai lầm, ngộ nhận khi giải bằng phương phápthông thường, đồng thời nâng cao năng lực tổng quát hóa, tương tự hóa chohọc sinh, đem lại nhiều hứng thú học tập, tìm tòi, nghiên cứu cho học sinh

Do vậy, để giải được bài tập về phép biến hình trong không gian, yêucầu học sinh phải nắm được những kiến thức cơ bản về những khái niệm, tínhchất, có kĩ năng giải toán linh hoạt trong việc giải các bài toán về các phépbiến hình trong không gian.

Nghiên cứu về các phép biến hình trong không gian và ứng dụng vàogiải toán với mong muốn góp phần giúp học sinh phổ thông một công cụ mới

để giải toán Đồng thời, tạo ra tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc, họcsinh, sinh viên quan tâm đến phép biến hình trong không gian và ứng dụngvào giải toán

Vì những lí do trên, em mạnh dạn chọn đề tài “Một số ứng dụng của phép biến hình trong không gian vào giải toán” làm Khóa luận tốt nghiệp

của mình

2 Mục tiêu khóa luận

- Hệ thống, phân loại một số ứng dụng của phép biến hình trong khônggian vào giải toán

- Xây dựng phương pháp chung và ví dụ minh họa cho từng ứng dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về định nghĩa, tính chất cơ bản của các phép biến hình trongkhông gian

- Hệ thống, phân loại ứng dụng của các phép biến hình trong khônggian vào giải toán chứng minh, tìm quỹ tích, dựng hình và bài toán trong hệ

toạ độ Đề - các vuông góc Oxyz.

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáotrình có liên quan đến ứng dụng của phép biến hình trong không gian vào giảitoán

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tàiliệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trựctiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hìnhthức của khóa luận.

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: các phép biến hình trong không gian

- Phạm vi: Khóa luận tập trung chủ yếu vào việc trình bày ứng dụngcủa các phép biến hình trong không gian vào giải toán, cụ thể là ứng dụng củacác phép biến hình trong không gian vào giải toán chứng minh, bài toán tìm

quỹ tích, bài toán dựng hình và một số bài toán trong hệ toạ độ Đề - các Oxyz.

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khoá luận đã hệ thống lại một cách cơ bản những kiến thức về phépbiến hình trong không gian đồng thời phân loại một số ứng dụng của phépbiến hình trong không gian vào giải toán Thông qua đó xây dựng phươngpháp chung và ví dụ minh hoạ cho từng ứng dụng Khoá luận là tài liệu thamkhảo hữu ích cho học sinh trung học phổ thông và sinh viên ngành sư phạmToán

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, danh mục các ký hiệu, kết luận, tài liệu thamkhảo, khóa luận được chia thành các chương:

Chương 1: Phép biến hình trong không gian

Nội dung chương này trình bày những định nghĩa, tính chất cơ bản củaphép biến hình trong không gian

Chương 2: Một số ứng dụng của phép biến hình trong không gian vào giải toán

Nội dung chương này hệ thống, phân loại ứng dụng của phép biến hìnhtrong không gian vào giải toán

CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

1.1 Định nghĩa phép biến hình trong không gian

1.1.1 Định nghĩa

Trong không gian cho một quy tắc f. Với mỗi điểm M bất kì, theo

quy tắc f ta xác định được duy nhất điểmM'. Khi đó ta nói M là ảnh của'

M qua phép biến đổi (quy tắc) f và được ký hiệu f M:  M' (đọc là f

biến M thành M ) Điểm M được gọi là tạo ảnh của ' M'; f là một phépbiến đổi hình học hay nói ngắn gọn hơn là một phép biến hình

Từ định nghĩa ta suy ra rằng nếu M M tương ứng là ảnh của 1', 2' M M1, 2trong phép biến đổi f và M khác 1' '

2,

M thì M và 1 M là hai điểm phân biệt.2Nếu f được xác định cho mọi điểm trong không gian, thì ta nói f làphép biến hình trong không gian

Ta nói f là phép biến đổi đồng nhất, nếu f biến mọi điểm M trong

không gian thành chính nó, và ký hiệu phép đồng nhất là Id.

Như vậy: Id M  M,M

1.1.4 Phép biến đổi ngược

Giả sử f M:  M' với mọi điểm M trong không gian Nếu tồn tạimột phép biến đổi g biến M thành M , thì ta nói ' g là phép biến đổi ngượccủa f hay f là phép biến đổi có ngược, và ký hiệu :g f1.

Như vậy: Nếu M'f M  thì M f1M ' ,

 và f1f f f 1 Id.

1.1.5 Tích của hai (hoặc nhiều) phép biến đổi

Cho hai phép biến đổi f và g. Với mỗi điểm M bất kỳ f M:  M '

và g M: ' M". Phép biến đổi biến M thành M được gọi là tích của hai"

phép biến đổi f và g và ta ký hiệu tích của hai phép biến đổi đó là: "

g f M  M hoặc g f :M  M"

Tóm lại, tích của hai phép biến đổi là một phép biến đổi nhận được từviệc thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xác định các phép biến đổi đã cho

Cho n phép biến đổi f f1, , ,2 f n  n  2  Tích của n phép biến đổi đã

cho là một phép biến đổi F có được bằng cách thực hiện liên tiếp theo một

thứ tự nhất định n phép biến đổi đó và ta viết F f n  f n1  f2  f1, trong

đó ta thực hiện f trước, tiếp đến là 1 f f2, , , 3 f n

1.1.6 Hai phép biến đổi trùng nhau

Cho hai phép biến đổi f và g. Ta nói f và g trùng nhau (hoặc bằngnhau) và được kí hiệu f g, nếu ảnh của mọi điểm M trong không gian của

hai phép biến đổi đó trùng nhau Nghĩa là, với mọi điểm M f M, :  M' và

Cho một tập hợp điểm X. Ta nói f và g trùng nhau cục bộ trên ,X

nếu f và g trùng nhau trên tập hợp X.

1.1.7 Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động của một phép biến đổi

Ta nói điểm O là điểm bất động của một phép biến đổi f, nếu f biến

Ta nói mặt phẳng  P là mặt phẳng bất động của một phép biến đổi f,nếu mọi điểm thuộc  P là điểm bất động của f.

Ta nói đường thẳng d (mặt phẳng  P ) là đường thẳng (mặt phẳng)

bất biến của một phép biến đổi f, nếu f biến đường thẳng d (hoặc mặtphẳng  P ) thành chính nó.

Rõ ràng, nếu đường thẳng d (hoặc mặt phẳng  P ) là bất động đối với

phép biến đổi f, thì d (hoặc mặt phẳng  P ) là bất biến đối với f

1.1.8 Ảnh của một hình qua một phép biến đổi

Cũng như hình học phẳng, trong hình học không gian ta xem mỗi hìnhkhông gian là một tập hợp điểm Cho một hình không gian  F Tập hợp ảnh.của mọi điểm thuộc  F qua một phép biến đổi f lập thành một hình  F'được gọi là ảnh của  F qua phép biến đổi đó.

Ta ký hiệu f : F  F' hoặc F' M f M'/ :  M M'  F 

1.1.9 Hai hình trùng nhau

Ta nói hai hình trong không gian  F và 1  F trùng nhau, nếu mọi2điểm của hình này thuộc hình kia và ngược lại Hai hình trùng nhau được kýhiệu là   F1  F2

Nếu mọi điểm của  F thuộc 1 F2, thì ta nói  F là hình con của1

 F và ký hiệu là 2  F1  F2

1.2 Phép đối xứng qua tâm

M'

Khi đó ta nói M là ảnh của M trong phép đối xứng qua tâm ' O (hoặc đốixứng tâm O) và được ký hiệu Z M O:  M '. Điểm O được gọi là tâm đốixứng

Cho một hình  F Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc  F trong phép

biến đổi Z lập thành một hình O  F được gọi là ảnh của '  F hoặc hình đối

xứng với  F qua O Nếu  F và  F trùng nhau, thì ta nói '  F là hình có

tâm đối xứng Ta ký hiệu Z O: F  F' 

1.2.2 Tính chất

Tính chất 1: Z có một điểm bất động duy nhất là điểm O O

Tính chất 2: Z là phép biến đổi 1 – 1 và có phép biến đổi ngược cũng O

Hình 1.1

d I A

B

M



P

Chứng minh: Gọi  P là mặt phẳng chứa bốn điểm A B C D, , ,

Ta xét trường hợp tồn tại ba trong bốn điểm không thẳng hàng, chẳng hạn, ,

A D x A B  y A C

  

Hệ thức đó chứng tỏ 'D thuộc mặt phẳng đi qua ba điểm A B C', ', '

1.2.3 Hệ quả: Phép biến đổi Z O biến:

i) Mặt phẳng  P thành mặt phẳng  P và '  P //'  P hoặc  P trùng'với  P Nếu O thuộc  P , thì Z là phép đối xứng qua tâm O O xác địnhtrong  P

ii) Nửa mặt phẳng  P thành nửa mặt phẳng  P và '  P //'  P hoặc

 P và '  P lập thành một mặt phẳng.

Chứng minh: Để chứng minh Hệ quả ii) ta dựa vào bổ đề sau đây:

Bổ đề: Trong mặt phẳng  P cho đường thẳng d chia  P thành hai nửa mặt

phẳng  P và 1  P Trên 2 d ta lấy một điểm I và dựng các vectơ khác 0: IAnằm trên d , IB

nằm trong  P và 1 IB d 

Với điểm M bất kì thuộc  P tồn

tại cặp số thực x y, sao cho IM  xIA yIB

(*) Điều kiện cần và đủ để M

bất kì thuộc nửa mặt phẳng  P là 1 y 0 trong đẳng thức (*)

Thật vậy, nếu M thuộc  P , thì M1

không thuộc d Gọi M M là hình chiếu của1, 2

M trên d và IB tương ứng Khi đó

vuông góc với bờ của nửa mặt phẳng

 P Với điểm M bất kì thuộc  P phép biến đổi Z biến O I A B M, , , tươngứng thành I A B M', ', ', '. Gọi  P là nửa mặt phẳng được xác định bởi đường'thẳng ' 'I A và điểm ' B Ta chứng minh rằng ' M thuộc  P '

Vì M thuộc  P , theo bổ đề trên tồn tại cặp số x y, sao cho

Ngược lại, nếu M thuộc '  P , thì tồn tại điểm M thuộc '  P nhận ' M

là ảnh qua phép đối xứng Z O

iii) Góc nhị diện P Q thành nhị diện ,  P Q và số đo các góc phẳng', '

của hai nhị diện bằng nhau

iv) Mặt cầu S R thành mặt cầu ,  S R ; hình nón ', '  N thành hình

nón N có bán kính đáy và độ dài đường sinh bằng các yếu tố tương ứng'

Hình 1.2

của  N ; hình trụ  T thành hình trụ  T có bán kính đáy và độ dài đường'sinh bằng các yếu tố tương ứng của  T

v) Tích của ba phép đối xứng qua ba tâm phân biệt là một phép đốixứng qua tâm

Chứng minh: Ta ký hiệu Z Z Z là các phép đối xứng qua ba điểm A, B, Cphân biệt A B C, , Ta đặt Z Z C Z BZ A và chứng tỏ rằng Z có điểm bất

động Gọi O là điểm bất động của Z , theo định nghĩa ta có

O  O do đó ''O M ''O M Z M' '; C: '' M '''

 và ''O  O, do đó''' '' ''

OM  O M

Từ các kết quả trên ta suy ra OM ''' OM

Đây là điều cầnchứng minh

1.2.4 Phép đối xứng tâm trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc Oxyz

Cho điểm I a b c Với điểm  , ,  M x y z ta ký hiệu  , ,  M x y z là' ', ', ' 

ảnh của M trong phép đối xứng qua I. Theo định nghĩa, ta có:

Cho trước một đường thẳng d. Với mỗi

điểm M không thuộc d ta xác định điểm M '

sao cho d là đường trung trực của đoạn MM '.

Nếu M thuộc , d thì ' M trùng với M.Khi đó

ta nói M là điểm đối xứng với M qua ' d hoặc

Cho một hình  H Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc hình  H qua phép biến đổi Đ (d) lập thành một hình H được gọi là hình đối xứng với'

 H qua d hoặc ảnh của  H trong phép biến đổi đó Nếu  H và H'

trùng nhau, thì ta nói  H là hình có trục đối xứng.

1.3.2 Tính chất

Tính chất 1: Phép biến đổi Đ (d) có một đường thẳng bất động duy nhất

là d và Đ (d) có phép biến đổi ngược Phép biến đổi ngược của Đ (d) là chính nó

Tính chất 2: Nếu A B', ' là ảnh của hai điểm A B, tương ứng qua phép

biến đổi Đ (d), thì A B' 'AB.

Chứng minh: Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AA và ' BB , ta'

có KH AA' và KH BB'. Ta xét

Hình 1.3

Từ các kết quả trên ta suy ra AB2 A B' '2 hay A B' 'AB.

Hệ quả: Phép biến đổi Đ (d) biến:

iii) Mặt cầu O R thành mặt cầu ,  O R', 

Tính chất 3: Phép biến đổi Đ (d) biến bốn điểm cùng nằm trong một mặtphẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng

Chứng minh: Giả sử A B C, , là ba điểm không thẳng hàng trong bốnđiểm A B C D, , , Gọi A B C', ', ' lần lượt là ảnh của ba điểm đó trong phép biến

đổi Đ (d) Hiển nhiên A B C', ', ' không thẳng hàng Vì vậy tồn tại duy nhất mặtphẳng  P đi qua ba điểm đó Gọi '  P là mặt phẳng đi qua A B C, , ; 'D là ảnh của D qua phép biến đổi Đ (d) Ta chứng minh 'D thuộc  P'

Trường hợp 1: Nếu D thuộc vào một trong các đường thẳng chứa ba cạnh tam giác, chẳng hạn D thuộc BC khi đó ', D cũng thuộc B C' '. Vì B C' 'thuộc  P nên '' , D thuộc  P'

Trường hợp 2: Nếu D không thuộc các đường thẳng chứa ba cạnh tam

giác ABC. Ta nối D với các điểm A B C, , và giả sử đường thẳng AD cắt

BC tại N. Gọi N' là ảnh của ,N khi đó N' thuộc  P Do ' A N' ' thuộc

 P nên '' , D cũng thuộc  P'

Hệ quả:

i) Phép đối xứng Đ (d) biến một mặt phẳng  P thành một mặt phẳng

 P và '  P trùng với  P , khi ' d thuộc  P ;  P // P khi ' , d// P ; nửa

mặt phẳng thành nửa mặt phẳng; miền đa giác lồi thành miền đa giác lồi; hìnhtròn I r thành hình tròn ,  I r', 

Chứng minh: Nếu d thuộc  P và M là điểm bất kỳ thuộc  P , ' M là

ảnh của M khi đó , MM cắt ' d. Do đó MM thuộc '  P và ' M thuộc  P

Nếu d// P và giả sử  P cắt  P theo một giao tuyến ',' d thế thì d'//d.

Với mỗi điểm X thuộc ', d phép đối xứng qua d biến nó thành điểm X 'không thuộcd'. Vì X thuộc  P , nên ' X thuộc  P và X thuộc '  P nên' ,'

X thuộc  P Vậy ' X là điểm chung của  P và  P Điều đó chứng tỏ'

 P và  P trùng nhau hay ' d thuộc  P Mâu thuẫn đó chứng tỏ  P //

 P'

Ta xét nửa mặt phẳng  P với bờ là đường thẳng d và điểm O thuộc

.

d Ta kẻ tia Ox thuộc  P Ký hiệu d' và O x' ' là ảnh của d và Ox qua

phép biến đổi Đ (d) Khi đó O x' ' và d' xác định một nửa mặt phẳng  P với'

bờ là d'. Giả sử M là điểm bất kỳ thuộc  P và ' M là ảnh của M. Nếu M

nằm trên Ox, thì M nằm trên ' O x' ' và do đó M thuộc '  P Nếu M không'

thuộc Ox , thì ta xét đoạn AB chứa M có các đầu mút thuộc tia Ox và d.Gọi A B', ' là ảnh của A B, tương ứng, khi đó A B', ' thuộc  P và ' d'. Vì M

thuộc AB nên ', M (ảnh của M ) thuộc A B' ' Điều đó chứng tỏ M thuộc'

 P'

Mỗi miền đa giác lồi là phần chung của các nửa mặt phẳng mà bờ làcác đường thẳng chứa các cạnh của đa giác, vì vậy ảnh của các phần chungcủa nó là một đa giác lồi

Mỗi hình tròn là thiết diện của một hình cầu và một mặt phẳng Vì vậyảnh của thiết diện này là một hình tròn, xác định bởi thiết diện là tương giaocủa mặt cầu ảnh và mặt phẳng ảnh (của mặt cầu và mặt phẳng tạo ảnh)

ii) Phép đối xứng Đ (d) biến góc nhị diện thành một góc nhị diện và số

đo các góc phẳng của hai nhị diện đó bằng nhau

iii) Phép đối xứng Đ (d) biến hình nón  N thành hình nón N và hai

hình nón đó có độ dài đường sinh bằng nhau, bán kính đáy bằng nhau; hình

trụ  T thành hình trụ  T có độ dài đường sinh bằng nhau, bán kính đáy

ảnh của M qua phép đối xứng đó Ta tìm tọa độ của M theo tọa độ của ' M

Gọi H là hình chiếu của M trên Ox khi đó , H x 0,0,0  Vì H là trung điểm

của MM nên',

0 0 0

'''

0 0 0

'' '

Với mỗi điểm M không thuộc  P ta

xác định điểm M sao cho '  P là mặt

phẳng trung trực của đoạn MM'. Nếu M

thuộc  P , thì ' M chính là M. Khi đó ta

nói M là điểm đối xứng của M qua '  P

hay M là ảnh của M qua phép đối xứng'

lập thành một hình  F được gọi là hình đối xứng của '  F qua

 P hay  F là ảnh của '  F Nếu  F và  F trùng nhau, thì ta nói hình'

 F là hình có mặt phẳng đối xứng.

Hình 1.4

1.4.2 Tính chất

Tính chất 1 : Phép biến đổi S P

có một măt phẳng bất động duy nhất làmặt phẳng  P

Chứng minh : Giả sử  P là mặt phẳng bất động khác '  P của S P

là phép biến đổi 1 – 1 và có phép biến

đổi ngược Phép biến đổi ngược chính là S P

Chứng minh : Giả sử M và 1 M có cùng một ảnh là 2 M'. Khi đó,

1 '

M M và M M cùng vuông góc với 2 '  P Điều đó chứng tỏ ' M nằm trên

đường thẳng M M vuông góc với 1 2  P tại H. Mặt khác, H là trung điểm

của cả hai đoạn thẳng M M và 1 ' M M Vì vậy 2 ' M trùng với 1 M2

Tính chất 3 : Nếu A B', ' là ảnh của hai điểm A B, tương ứng qua phép

biến đổi S P

, thì A B' 'AB.

Chứng minh : Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho  P chứa các trục Ox và

Oy Trong hệ toạ độ có các điểm A0,0,z và 1 B x 2,0,z2. Gọi A' 0,0,  z1

và B x' 2,0, z2 là các ảnh tương ứng của A và B. Từ đó ta suy ra được' '

Hệ quả: Phép biến đổi S P biến:

i) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự của

ba điểm đó

ii) Đường thẳng d không thuộc  P thành đường thẳng d' hoặc songsong với nhau hoặc cắt nhau trên  P Tia Ox thành tia O x' '. Góc xOythành góc x O y' ' ' và hai goác bằng nhau

iii) Mặt cầu I R thành mặt cầu ,  I R', 

Tính chất 4: Phép biến đổi S P

biến bốn điểm cùng nằm trong một mặtphẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng

Chứng minh: Giả sử A B C D, , , là bốn điểm cùng nằm trong một mặt

phẳng A B C D', ', ', ' lần lượt là ảnh của chúng qua phép biến đổi S P

Tachứng minh rằng A B C', ', ' cùng nằm trong một mặt phẳng Ta xét các trườnghợp sau:

Trường hợp 1: Ba điểm A B C, , thẳng hàng Khi đó A B C', ', ' cũng

thẳng hàng Vì vậy nếu D không thuộc đường thẳng AB , thì ' D cũng không

thuộc đường thẳng A B' '. điều đó chứng tỏ bốn điểm A B C D', ', ', ' thuộc một

mặt phẳng Nếu D thuộc AB , thì ' D thuộc A B' '. Ta chọn điểm E không thuộc AB để xác định mặt phẳng chứa A B C D, , , , khi đó 'E là ảnh của E

cùng với ' 'A B cũng xác định mặt phẳng chứa A B C D', ', ', '

Trường hợp 2: Ba điểm A B C, , không thẳng hàng Khi đó A B C', ', 'không thẳng hàng và chúng xác định mặt phẳng A B C Ta chứng minh' ' ' 

'

D thuộc  A B C Thật vậy, nếu D thuộc vào một trong các đường thẳng' ' ' 

chứa ba cạnh tam giác ABC thì ', D thuộc A B C Nếu D không thuộc' ' ' các đường thẳng đó thì trong ba đường thẳng nối D với A B C, , có ít nhất mộtđường thẳng cắt một trong các đường thẳng chứa ba cạnh tam giác Chẳng

hạn AD cắt BC tại E. Gọi 'E là ảnh của , E khí đó ' E thuộc B C' ' Đườngthẳng ' 'A D có hai điểm chung ' A và ' E với  A B C' ' ' , nên 'D thuộc

A B C' ' ' 

Hệ quả: Phép biến đổi S P

biến:

i) Mặt phẳng  Q thành mặt phẳng  Q và hai mặt phẳng đó hoặc'song song hoặc cắt nhau theo một giao tuyến trên  P Nửa mặt phẳng thành.nửa mặt phẳng Miền đa giác phẳng thành miền đa giác phẳng Nhị diện thànhmột nhị diện và số đo các góc phẳng của chúng bằng nhau

ii) Hình tròn W,R thành hình tròn  W',R

iii) Hình nón tròn xoay  N thành hình nón tròn xoay N và hai hình'

đó có bán kính đáy bằng nhau và độ dài đường sinh bằng nhau Hình trụ trònxoay  T thành hình trụ tròn xoay  T và hai hình đó có bán kính đáy bằng'nhau và độ dài đường sinh bằng nhau

1.4.3 Phép đối xứng qua một mặt phẳng trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc Oxyz

Giả sử S( )P là một phép đối xứng qua mặt phẳng  P Ta chọn hệ tọa

độ Đề - các vuông góc sao cho  P chứa hai trục Ox và Oy. Với điểm

 0, ,0 0

M x y z bất kì, ta ký hiệu M x y z là ảnh của M qua phép biến đổi' ', ', ' 

( )P

S , khi đó x'x y0, 'y z0, ' z0

Cho vectơ u a b c , ,  Gọi 'u

là ảnh của u trong phép đối xứng qua mặtphẳng Oxy Để xác định toạ độ của ' u

ta lấy điểm M a b c khi đó , , ,

Cho vectơ u  0. Với mỗi điểm

M bất kì trong không gian ta xác định

điểm M sao cho ' MM  'u,

khi đó tanói M là ảnh của M trong phép tịnh'

tiến theo ,u



u được gọi là vectơ tịnh

tiến Ta ký hiệu phép tịnh tiến theo u là

là phép tịnh tiến trong không gian

Cho một hình  H trong không gian Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc

là một phép đồng nhất

Hình 1.5

Tính chất 3: Nếu A B', ' là ảnh của hai điểm A B, trong phép biến đổi

'

d ; tia Ox thành tia O x' ' và hai tia cùng chiều; đoạn AB thành đoạn ' ' A B

và ' 'A B AB; một đa giác phẳng thành một đa giác phẳng có các góc và cáccạnh tương ứng bằng nhau

iii) Mặt cầu O R thành mặt cầu ,  O R', 

Tính chất 4: Phép biến đổi   T u

biến bốn điểm đồng phẳng thành bốnđiểm đồng phẳng

Chứng minh: Ta xét A B C D, , , là bốn điểm nằm trong  P và giả sử ba

điểm A B C, , không thẳng hàng Ký hiệu A B C D', ', ', ' lần lượt là ảnh của các

điểm đó qua phép biến đổi  T u

Gọi  P là mặt phẳng đi qua ba điểm'', ', '

A B C ( vì ba điểm A B C', ', ' không thẳng hàng) Ta chứng minh rằng điểm

i) Mặt phẳng  P thành mặt phẳng  P và '  P //'  P hoặc  P trùng'với  P ; nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng và hai nửa mặt phẳng đó hoặc

song song hoặc nằm trong cùng một mặt phẳng; góc nhị diện thành góc nhịdiện và số đo hai góc phẳng nhị diện bằng nhau

ii) Miền đa giác thành miền đa giác

đó T là một phép tịnh tiến và vectơ tịnh tiến là w   u v

Tính chất 6: Cho hai phép biến đổi Z và A Z với A khác B B. Ta đặt

Chứng minh: Ta chứng minh Z là phép đối xứng qua tâm Gọi 1 O là1điểm bất động của Z khi đó 1, Z O O: 1  O' và ta có OO ' OO1;

Đẳng thức trên chứng tỏ O là điểm bất động của 1 Z Với điểm M1.khác O ta có :1 Z O M  M' và O1 O', theo tính chất của phép đối xứngqua tâm O M ' 'O M1

Mệnh đề thứ hai chứng minh tương tự

1.5.3 Phép đối xứng trượt trong không gian

Cho mặt phẳng  P và vectơ u khác 0 cùng phương với  P Ta nói

Với mỗi điểm M

không thuộc d ta xác định điểm M sao'

cho các điều kiện sau đây đồng thời xảy

 trong  P biến M thành M'.

Nếu M thuộc , d thì ' M trùng với , M khi đó ta nói ' M là ảnh của M

trong phép quay quanh trục d với góc quay  Đường thẳng d được gọi là

trục quay,  là góc quay Ta ký hiệu phép quay đó là Rd,:M  M'

Rõ ràng định nghĩa trên không xác định tính duy nhất của điểm M vì',hướng của  P chưa xác định Nếu ta lấy điểm A d A O    và nhìn mặtphẳng  P từ , A thì ta có thể định hướng mặt phẳng  P và khi đó điểm ' M

được xác định một cách duy nhất Trong trường hợp đó phép quay được ký

hiệu Rd A, ,

và đọc là phép quay quanh d với góc quay  theo một hướng

xác định Điểm A là yếu tố định hướng mặt phẳng  P

Trong không gian cho hình  F Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc  F

trong phép quay Rd A, ,

lập thành một hình  F được gọi là ảnh của '  F

trong phép quay đó và được ký hiệu Rd A, , : F  F' 

1.6.2 Tính chất

Tính chất 1: Trục quay d là đường thẳng bất động của phép quay Nếu0

180 ,

  thì phép quay là phép đối xứng qua d.

Tính chất 2: Nếu M N', ' lần lượt là hai ảnh của hai điểm M N, trong

phép biến đổi Rd A, ,

, thì M N' 'MN.

Chứng minh: Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Các điểm M M N N, ', , ' cùng thuộc một mặt phẳng.Trường hợp này MM 'NN' được suy ra từ kết quả của phép quay quanhmột điểm trong mặt phẳng

Điểm N thuộc tia AM hoặc tia đối của AM khi đó ta có,

' ' ' '

hoặc M N' 'M A AN'  'MA AN MN.

Trường hợp 2: MN//d. Xét tia AM (hoặc tia đối của tia AM ) cắt mặt

phẳng  Q chứa N tại K Hiển nhiên K thuộc tia O N' (O' là giao điểm của

d và  Q ) Gọi ' K là giao của tia AM với '  Q , khi đó ' K thuộc tia O N' '.các tam giác MNK và M N K' ' ' bằng nhau, vì MK M K NK' ', N K' '.

Do đó M N' 'MN.

Trường hợp 3: MN chéo với d và không vuông góc với d. Gọi

   P , Q lần lượt là các mặt phẳng đi qua M N, vuông góc với ,d khi đó

 P // Q Ta xét  P và  Q cùng hướng đối với phép quay Rd A, ,

Gọi N1

là giao của tia AN với  P và N là giao của tia 1 AN' với  P Vì  P và

 Q cùng hướng đối với phép quay, nên phép quay trong  P biến M thành

Hệ quả: Phép quay Rd A, ,

biến:

i) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

ii) Đường thẳng thành đường thẳng

iii) Tia thành tia

iv) Tam giác thành tam giác và hai tam giác đó bằng nhau

v) Góc thành góc và hai góc đó bằng nhau

vi) Biến mặt cầu I R thành mặt cầu ,  I R', .

Tính chất 3: Nếu B C D E, , , là bốn điểm cùng nằm trong một mặt

phẳng, thì ảnh của chúng trong phép quay Rd A, ,

cũng nằm trong cùng mộtmặt phẳng

Chứng minh: Giả sử B C D, , không thẳng hàng và B C D', ', ' lần lượt là

ảnh của các điểm đó trong phép quay Rd A, ,

Ký hiệu  P và  P lần lượt là'các mặt phẳng được xác định bởi B C D, , và B C D', ', ' Nếu E thuộc một

trong các đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác ABC và 'E là ảnh của E ,

thì 'E cũng thuộc một trong các đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác

' ' '.

A B C Vì vậy 'E thuộc  P Nếu E không thuộc một trong các đường'

thẳng chứa ba cạnh của tam giác ABC , thì một trong các đường thẳng nối E

với các đỉnh của tam giác phải cắt đường thẳng chứa cạnh đối diện, chẳng hạn

BE cắt CD tại F. Gọi 'F là ảnh của , F khi đó ' F thuộc  P và vì vậy '' E

thuộc  P '

Hệ quả: Phép quay Rd A, ,

biến:

i) Một mặt phẳng thành một mặt phẳng

ii) Nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng

iii) Góc nhị diện thành góc nhị diện và góc phẳng của hai góc nhị diện

Tính chất 4: Tích của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng cắt nhau là

một phép quay quanh một trục Trục của phép quay là giao tuyến của hai mặtphẳng, góc quay bằng hai lần góc tạo bởi hai mặt phẳng

Chứng minh: Cho hai mặt phẳng  P và  Q cắt nhau theo một giao

tuyến d. Góc tạo bởi  P và  Q bằng   90 0

Ta cần chứng minh rằng

phép biến đổi R Đ (Q)Đ (P) là phép quay quanh d với góc quay 2 

Giả sử M là điểm bất kì không thuộc  P và  Q

Phép biến đổi Đ (P):M  M' và Đ (Q):M  M", khi đó M M M, ', " cùng nằmtrong một mặt phẳng  R vuông góc với d tại điểm O. Gọi x và y lần lượt

là giao tuyến của  R với  P và  Q , rõ ràng trong  R phép biến đổi

Đ (y)Đ (x): M  M'. Ta đã biết OM OM" và OM OM, " 2  Điều đóchứng tỏ M là ảnh của M trong phép quay quanh " d với góc quay 2 

1.6.3 Phép quay quanh một đường thẳng với góc quay  1800  3600

Phép biến đổi R Rd A, , 1800 Rd A, ,1800



được gọi là phép quay quanh

một đường thẳng d với góc quay  Ta ký hiệu phép biến đổi đó là Rd A, ,

Theo định nghĩa với điểm M bất kì không thuộc , d ta dựng mặt phẳng

 P đi qua M và vuông góc với d tại O. Phép quay tâm ,O góc quay

  thì M và M trùng nhau Đường tròn tâm ,' O bán kính OM trong

 P được gọi là đường tròn sinh bởi điểm M quay quanh một vòng quanh d

1.7 Phép chiếu xuyên tâm

1.7.1 Định nghĩa

Cho mặt phẳng   và một điểm

 

O  Với mỗi điểm M trong không

gian ta cho ứng với điểm M'  sao cho

'

M là giao điểm của đường thẳng OM với

  Khi đó ta nói 'M là ảnh của M qua

phép chiếu xuyên tâm và được ký hiệu

Cho một hình  H Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc  H qua phép

biến đổi SO,

lập thành một hình H được gọi là ảnh của '  H qua phép

biến đổi đó Hiển nhiên H là một hình phẳng.'

Chú ý rằng nếu điểm M trong không gian sao cho đường thẳng OM //  ,thì không tồn tại giao điểm M của ' OM với   Trường hợp này phép.chiếu xuyên tâm SO,

không xác định Tập hợp điểm M mà SO,

khôngxác định là một mặt phẳng   đi qua ' O và   //'   Vậy mỗi phép chiếu.xuyên tâm SO,

tồn tại duy nhất một mặt phẳng   mà phép chiếu đó'không xác định trên   Các điểm thuộc '   được gọi là các điểm bị loại'qua phép biến đổi SO,

Hình 1.7

Chứng minh: Giả sử A B C, , là ba điểm thẳng hàng và đường thẳng AB

không đi qua O. Các điểm A B C', ', ' là ảnh của ba điểm A B C, , qua phép biếnđổi SO,

Ta ký hiệu  P là mặt phẳng đi qua ba điểm O A B, , Khi đó Cthuộc  P Vì A B C', ', ' thuộc các đường thẳng OA OB OC, , nên A B C', ', 'thuộc  P Mặt khác A B C', ', ' thuộc   Vì vậy A B C', ', ' thuộc giao tuyếncủa   và  P Nếu AB đi qua ,. O thì theo định nghĩa A B C', ', ' chính là

giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng   Nghĩa là A B C', ', ' trùngnhau

Hệ quả: Phép biến đổi SO,

biến:

i) Một đường thẳng d (có thể trừ ra một điểm) không đi qua O thànhmột đường thẳng d' (có thể trừ ra một điểm)

ii) Hai đường thẳng d//d' và không đi qua O (trên mỗi đường thẳng

có thể trừ ra một điểm) thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau (cóthể trừ ra một điểm trên mỗi đường thẳng)

iii) Hai đoạn thẳng AB và CD cùng nằm trên một đường thẳng dsong song với   và không đi qua O thành hai đoạn thẳng ' 'A B và C D' '

có tính chất

' '.' '

Tính chất 3: Nếu  P là một mặt phẳng không đi qua O và  P //  ,thì ảnh của  P qua phép biến đổi SO,

là   Nếu  P không đi qua O và

 P cắt   , thì ảnh của  P (trừ ra một đường thẳng d) qua phép biến đổi

có điểm nào trong  P ứng với ' M qua phép chiếu SO,

Gọi   là mặt'phẳng đi qua O và   //'   , khi đó   cắt '  P theo đường thẳng d.Phép chiếu SO,

không xác định trên d. Các đường thẳng d' trong   và

d trong  P được gọi là các đường thẳng bị loại.

Hệ quả: Cho mặt phẳng  P không đi qua O cắt mặt phẳng   và haiđường thẳng a b, nằm trong  P cắt nhau tại điểm K. Ta ký hiệu d là đườngthẳng bị loại trong  P qua phép biến đổi SO,

và d khác a b, Nếu K d , thì ảnh của a và b trong   (trừ ra mỗi điểm thuộc mỗiảnh) là hai đường thẳng cắt nhau

Nếu K d , thì ảnh của a và b trong   là hai đường thẳng songsong (trừ ra mỗi điểm thuộc mỗi ảnh).

Nếu ảnh của a b, trong   là hai đường thẳng song song và a cắt d

tại ,K thì b cũng đi qua K.

Tính chất 4: Tồn tại một phép chiếu xuyên tâm SO,

biến một đườngtròn   nằm trong mặt phẳng  P thành một elip   nằm trong mặt phẳng'

 

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh Bổ đề sau: Cho một mặt nón

tròn xoay  N đỉnh ,, D trục d Nếu mặt phẳng  P không vuông góc với d

và cắt tất cả các đường sinh của  N thì tập hợp các điểm cắt đó là một,đường elip

Ta dựng các mặt cầu  O và 1 O nằm về hai phía đối với 2  P tiếp

xúc với các đường sinh của  N và tiếp xúc với  P tương ứng tại F và 1 F2.Hiển nhiên tâm các mặt cầu đó nằm trên trục d và các tiếp điểm của  O ,1

O với các đường sinh của 2  N là các đường tròn    L1 , L thuộc các mặt2phẳng vuông góc với d và có tâm trên d. Hiển nhiên    L1 , L nằm về hai2phía đối với  P và là các đường tròn đáy của một hình nón cụt tròn xoay Ta

ký hiệu  L là giao tuyến của  N với  P Với mỗi điểm M  L ta xácđịnh đường sinh K K của nón cụt (1 2 K1 L1 , K2 L2 ) chứa M. Vì MK1

và MF là các tiếp tuyến của 1  O , nên 1 MK1 MF1 Tương tự ta có

MK MF do đó

M

O

Điều đó chứng tỏ tổng các khoảng cách từ M đến F và 1 F cố định là2một số không đổi (bằng độ dài đường sinh của nón cụt)

Ngược lại, nếu M P thỏa mãn điều kiện MF1MF2 K K1 2, trong

đó K K là đường sinh của một nón cụt mà đáy là các hình tròn 1 2    L1 , L 2

Ta chứng minh rằng M  N Thật vậy, nếu M  N , thì M K K 1 2 và ta

có MK1MK2 K K1 2 Mâu thuẫn đó chứng tỏ M  N Tóm lại  L là một

elip

Bây giờ ta chứng minh Tính chất 4: Giả sử   là một đường tròntrong  P , d là trục của   và D là đỉnh của một mặt nón với trục d vàđường chuẩn   Ta chọn mặt phẳng   cắt  P và phép chiếu xuyên tâm

O, 

xác định trên  P sao cho   không có điểm chung với đường thẳng

bị loại trong  P Theo Bổ đề trên ảnh   của '   trên   là một elip

1.8 Phép vị tự

1.8.1 Định nghĩa

Cho trước điểm O và số thực k 0. Với

mỗi điểm M bất kì ta xác định điểm M thỏa mãn'

điều kiện OM 'kOM

Khi đó ta nói M là ảnh'

của M qua phép vị tự tâm , O hệ số vị tự k và

được ký hiệu VO k, :M  M'

Nếu phép biến đổi

đó được xác định cho mọi điểm trong không gian,

thì ta có một phép vị tự trong không gian

Định nghĩa trên cho ta thấy các điểm O M M, , ' thẳng hàng

Nếu k  thì 0, O nằm ngoài đoạn MM trường hợp này gọi là phép vị tự',ngoài

Hình 1.8

Nếu k  thì 0, O nằm trên đoạn MM trường hợp này gọi là phép vị tự',trong.

Cho một hình không gian  F Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc  F

qua phép biến đổi VO k, 

lập thành một hình  F được gọi là ảnh của hình'

 F qua phép biến đổi đó hoặc hình vị tự với  F

Hai hình không gian  F và 1  F được gọi là vị tự, nếu tồn tại một2phép vị tự biến hình này thành hình kia và được ký hiệu:   F1  F2

là phép đối xứng qua tâm

Tính chất 3: Nếu A B', ' lần lượt là ảnh của hai điểm A B, qua phép vị

iv) Mặt cầu  S thành mặt cầu  S'

Tính chất 4: Phép vị tự VO k, 

biến bốn điểm đồng phẳng thành bốnđiểm đồng phẳng

Chứng minh: Giả sử A B C D, , , là bốn điểm đồng phẳng A B C D', ', ', '

lần lượt là ảnh của chúng qua phép vị tự VO k, 

Ta chứng minh A B C D', ', ', 'đồng phẳng

Thật vậy, vì A B C D, , , là bốn điểm đồng phẳng nên tồn tại cặp số thực x y,thỏa mãn điều kiện AB x AC y AD  

k  u Ta lập các phép biến đổi V1VO k,  T u

và V2 T u VO k, ,

khi

đó V và 1 V là các phép vị tự.2

Chứng minh: Ta xét V Gọi 1 O là điểm bất động của 1 V , ta có1

Điều đó chứng tỏ M là ảnh của M qua phép vị tự tâm ' O hệ số vị tự 1, k.

Phép biến đổi V được chứng minh tương tự.2

1.9 Phép nghịch đảo

1.9.1 Định nghĩa

Cho trước một điểm O và một số thực k 0. Với mỗi điểm M bất kì

trong không gian khác ,O ta xác định điểm ' M sao cho ' M nằm trên đường

thẳng OM và thỏa mãn điều kiện OM OM  'k

Khi đó ta nói M là ảnh của'

M qua phép nghịch đảo tâm O với hệ số k (hoặc phương tích k) và được

ký hiệu NO k, :M  M '

Nếu điểm M trùng với , O thì điểm ' M là điểm vô

cực và được ký hiệu 

Điều kiện OM OM  'k

tương đương với điều kiện OM OM. 'k,

trong đó OM là độ dài đại số của OM trên trục OM

Điểm vô cực trong không gian được đưa vào là để phép nghịch đảođược xác định hoàn toàn trong không gian Vậy mỗi mặt phẳng (hoặc đườngthẳng) trong không gian đều đi qua điểm đó