Một số ứng dụng của phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm lớp 12

Mục đích nghiên cứu của sáng kiến là nếu ứng dụng phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm sẽ giúp học sinh hiểu bản chất hình học của bài toán và giải toán nhanh hơn. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết dưới đây để nắm nội dung của sáng kiến kinh nghiệm!

PHẦN CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Lý chọn đề tài Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục Đào tạo thực đổi kỳ thi Trung học Phổ thơng Quốc gia (THPTQG) Trong mơn tốn đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn cho giáo viên học sinh việc ôn luyện Hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn địi hỏi số cách tiếp cận vấn đề so với hình thức thi tự luận Hơn nội dung kỳ thi THPTQG năm học 2016-2017 mơn tốn, theo chủ trương Bộ Giáo dục Đào tạo, chủ yếu kiến thức lớp 12 dựa kiến thức lớp trước Phép biến hình mặt phẳng đề cập lớp trước lớp 12 tập trung chương I hình học lớp 11 nên trình giải tập trắc nghiệm em thường quên chưa nắm cách vận dụng phép biến hình vào giải tập Vì lý trên, với giúp đỡ đạo Ban Giám hiệu nhà trường tổ chuyên môn, thực viết sáng kiến kinh nghiệm với tên:” Một số ứng dụng phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm lớp 12” Cơ sở lý luận thực tiễn Lịch sử toán học cho thấy đại số phát triển tảng hình học trước Rất nhiều cơng trình nhà tốn học lớn Descartes, Fermat …đã nghiên cứu vấn đề Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến hai nội dung: Hàm số số phức Trong nội dung hàm số, với hàm số y  f ( x ) xác định D ta đơn ánh: D  2 x  ( x; f ( x )) Suy ra: D  Dxf ( D ) x  ( x; f ( x )) song ánh Do thay thao tác phép tính đại số ta chuyển thao tác hình học đồ thị hàm số Trong nội dung số phức ta đặt qui tắc số phức có dạng đại số z  a  bi với điểm M ( a ; b) mặt phẳng Oxy Dễ thấy qui tắc song ánh Do chuyển phép tốn đại số số phức phép biến đổi hình học Mục đích đối tượng nghiên cứu Nếu ứng dụng phép biến hình vào giải tốn trắc nghiệm giúp học sinh hiểu chất hình học tốn giải toán nhanh Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm Ứng dụng đề tài Dùng cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia PHẦN MỘT SỐ ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TỐN TRẮC NGHIỆM LỚP 12 Ứng dụng phép biến hình vào nội dung hàm số 1.1 Dựng đồ thị hàm số thơng qua phép biến hình từ đồ thị hàm số cho 1.1.1 Đồ thị hàm số y  f ( x )  m Giả sử M ( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y  f ( x ) đặt tương ứng với điểm M '( x; f ( x )  m ) thuộc đồ thị hàm số y  f ( x )  m Dễ thấy qui tắc đơn ánh Do đó, đồ thị hàm số y  f ( x )  m suy từ đồ thị hàm số y  f ( x ) phép tịnh tiến  theo véc tơ v  (0; m) Hình 1.1.1 Từ ta thấy m  từ đồ thị hàm số y  f ( x ) ta “dịch lên” theo trục tung m đơn vị ta thu đồ thị hàm số y  f ( x )  m Nếu m  từ đồ thị hàm số y  f ( x ) ta “dịch xuống” theo trục tung  m đơn vị ta thu đồ thị hàm số y  f ( x )  m Hiển nhiên, m  phép tịnh tiến trở thành phép đồng Chú ý: Nếu m  khơng có điểm bất động 1.1.2 Đồ thị hàm số y  f ( x  m ) Giả sử M ( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y  f ( x ) đặt tương ứng với điểm M '( x  m; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y  f ( x  m ) Dễ thấy qui tắc đơn ánh Do đó, đồ thị hàm số y  f ( x  m ) suy từ đồ thị hàm số y  f ( x ) phép tịnh tiến  theo véc tơ v  ( m;0) Hình 1.1.2 Từ ta thấy m  từ đồ thị hàm số y  f ( x ) ta “dịch sang trái” theo trục hoành m đơn vị ta thu đồ thị hàm số y  f ( x  m ) Nếu m  từ đồ thị hàm số y  f ( x ) ta “dịch sang phải” theo trục hoành  m đơn vị ta thu đồ thị hàm số y  f ( x  m ) Hiển nhiên, m  phép tịnh tiến trở thành phép đồng 1.1.3 Đồ thị hàm số y  f ( kx ), k  Giả sử M ( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y  f ( x ) đặt tương ứng với x điểm M '( ; f ( x )) thuộc đồ thị hàm k số y  f ( kx ) Dễ thấy qui tắc đơn ánh Do đó, đồ thị hàm số y  f ( kx ) suy từ đồ thị hàm số y  f ( x ) phép co dãn theo Hình 1.1.3 trục hồnh Nếu k    1  phép co với hệ số co k k Nếu  k   1  đo phép dãn với hệ số dãn k k Nếu k  ta dựng đồ thị hàm số y  f (  kx ) sau lấy đối xứng qua trục tung Điểm bất động điểm nằm trục tung 1.1.4 Đồ thị hàm số y  kf ( x ), k  Giả sử M ( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y  f ( x ) đặt tương ứng với điểm M '( x; kf ( x )) thuộc đồ thị hàm số y  kf ( x ) Dễ thấy qui tắc đơn ánh Do đó, đồ thị hàm số y  kf ( x ) suy từ đồ thị hàm số y  f ( x ) phép co dãn theo trục tung Hình 1.1.4 Nếu k  phép dãn với hệ số dãn k Nếu  k  đo phép co với hệ số co k Nếu k  ta dựng đồ thị hàm số y   kf ( x ) sau lấy đối xứng qua trục hồnh Điểm bất động điểm nằm trục hoành 1.1.5 Đồ thị hàm số y  f ( x ) Giả sử M ( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y  f ( x ) đặt tương ứng với điểm M '( x; f ( x ) ) thuộc đồ thị hàm số y  f ( x ) Dễ thấy qui tắc đơn ánh Hình 1.1.5 Giả sử M ( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y  f ( x ) đặt tương ứng với điểm M '( x; f ( x ) ) thuộc đồ thị hàm số y  f ( x ) Dễ thấy qui tắc đơn ánh  f ( x ),  Vì f ( x )   0,   f ( x),  f ( x)  f ( x )  nên đồ thị hàm số y  f ( x ) suy f ( x)  từ đồ thị hàm số y  f ( x ) cách giữ nguyên phần bên trục hoành ( kể điểm nằm trục hoành), lấy đối xứng phần bên trục hoành qua trục hồnh, sau bỏ phần bên trục hồnh Những điểm nằm trục hoành điểm bất động 1.1.6 Đồ thị hàm số y  f ( x ) Giả sử M ( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y  f ( x ) đặt tương ứng với điểm M '( x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm số y  f ( x ) Dễ thấy qui tắc đơn ánh Hình 1.1.6  f ( x ),  Vì f ( x )   f (0),  f (  x ),  x0 x  nên đồ thị hàm số y  f ( x ) suy x0 từ đồ thị hàm số y  f ( x ) cách bỏ phần bên trái trục tung, lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung Những điểm nằm trục tung điểm bất động 1.1.7 Đồ thị y  f ( x )  f ( x)   Ta có y  f ( x )    y  f ( x ) đo  y   f ( x)  đồ thị y  f ( x ) suy từ đồ thị hàm số y  f ( x ) cách bỏ phần bên trục hoành, lấy đối xứng phần bên trục hồnh Hình 1.1.7 qua trục hồnh 1.2 Ứng dụng vào giải số toán Bài (Chuyên Vĩnh Phúc) Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên (Hình 1.2.1) Xác định tất giá trị tham số m để phương trình f ( x )  m có hai nghiệm thực phân biệt A m  4; m  B  m  C  m  Hình 1.2.1 D 4  m  Hình 1.2.2 Hướng dẫn: Theo 1.1.5 ta dễ dàng dựng đồ thị hàm số y  f ( x ) (Hình 1.2.2) Số nghiệm phương trình f ( x)  m số giao điểm đồ thị hàm số y  f ( x ) đường thẳng y  m Dựa vào đồ thị ta có: m  4; m  Do chọn A Bài (Chuyên ĐH Vinh) Cho hàm số bậc ba y  f ( x ) có đồ thị hình vẽ ( Hình 1.2.3) Tất giá trị tham số m để hàm số y  f ( x )  m có ba điểm cực trị A m  1; m  B m  3; m  C m  1; m  D  m  Hình 1.2.3 10 Hướng dẫn: Theo 1.1.1 1.1.5 đồ thị hàm số y  f ( x )  m suy từ đồ thị  hàm số y  f ( x ) cách thực phép tịnh tiến theo v (0; m) sau dựng đồ thị hàm trị tuyệt đối Dễ thấy m  1; m  cực trị hàm số y  f ( x )  m nằm hoàn toàn bên bên trục hồnh Do dựng đồ thị hàm trị tuyệt đối y  f ( x )  m thỏa mãn u cầu tốn Hình 1.2.5 Hình1.2.4 Nếu hai cực trị hàm số y  f ( x )  m nằm hai phía trục hồnh đựng đồ thị hàm số y  f ( x )  m có cực trị (Hình 1.2.6) Hình 1.2.6 Vậy chọn A 11 Bài Cho đồ thị hàm số y  f ( x ) hình vẽ ( Hình 1.2.7) Đồ thị hàm số y  f ( x ) có đường tiệm cận gồm tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B C Hình 1.2.7 D Hình 1.2.8 Hướng dẫn: Theo 1.1.6 đồ thị hàm số y  f ( x ) dựng hình 1.2.8 Do đồ thị hàm số y  f ( x ) có đường tiệm cận gồm tiệm cận đứng tiệm cận ngang Chọn C Bài Cho hàm số bậc ba y  f ( x ) có đồ thị hình ( Hình 1.2.9) Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  x f ( ) 2 đoạn 0;2 Khi M  m A B 12 Ta có: x  x   m   m  x  x  1(1) Theo 1.1.7 số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị y  x  x  đường thẳng y  m Dựa vào đồ thị y  x  x  y  m suy để phương trình cho có nghiệm phân biệt  94 94 m 9 Hình 1.2.12 Chọn A 1.3 Bài tập đề nghị Bài Giá trị lớn nhỏ hàm số y  x  3x  3;1 M , m Tính M  m A 56 B 54 C D 52 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( x  4)3  x   m  A m  B m  C m  D m  Bài Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị hình bên ( Hình 1.3.1) Số cực trị hàm số y  f ( x ) A B C D Hình 1.3.1 Bài 14 Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị hình bên ( Hình 1.3.2) Số đường tiệm cận hàm số y  f ( x ) A B C D Hình 1.3.2 Bài Giá trị m để phương trình A m  x 1  m có nghiệm phân biệt x 1 B m  C m  15 m 1 Ứng dụng phép biến hình vào nội dung số phức 2.1 Các phép biến hình ứng với phép toán tập số phức 2.1.1 Phép cộng hai số phức Dựa định nghĩa phép cộng hai số phức ta có nhận xét sau: Giả sử số phức z biểu diễn điểm M , số phức z ' biểu diễn điểm M ' Khi điểm A biểu diễn số phức w  z  z ' có cách  tịnh tiến điểm M theo OM ' 2.1.2 Phép trừ hai số phức Dựa định nghĩa phép trừ hai số phức ta có nhận xét sau: Giả sử số phức z biểu diễn điểm M , số phức z ' biểu diễn điểm M ' Khi điểm A biểu diễn số phức w  z  z ' có cách  tịnh tiến điểm M theo M ' O 2.1.3 Phép nhân hai số phức Giả sử hai số phức z, z ' có biểu diễn dạng mũ z  rei , z '  r ' ei ' Khi đó: w  zz '  rr ' ei (  ') Do M , N điểm biểu diễn cho z , w điểm N suy từ điểm M cách thực liên tiếp phép quay tâm O góc quay  ' phép vị tự tâm O tỉ số r ' 2.1.4 Phép chia hai số phức Giả sử hai số phức z, z ' có biểu diễn dạng mũ z  rei , z '  r ' ei ' Khi đó: w  z r i (  ') Do M , N điểm  e z' r' 16 biểu diễn cho z , w điểm N suy từ điểm M cách thực liên tiếp phép quay tâm O góc quay  phép vị tự tâm O tỉ số r' 2.1.5 Phép lấy số phức liên hợp Dựa định nghĩa số phức liên hợp ta có nhận xét sau: Nếu M biểu diễn cho số phức z M ' biểu diễn cho số phức z M M ' đối xứng với qua trục Ox 2.1.6 Phép lấy mô đun Giả sử điểm M biểu diễn số phức z OM  z Giả sử điểm M biểu diễn số phức z1 , điểm N biểu diễn số phức z2 Khi MN  z2  z1 2.2 Một số biểu diễn hình học số phức thường gặp 2.2.1 Đường thẳng Phương trình A Re z  B Im z  C  0, A2  B  biểu diễn cho đường thẳng Đường thẳng cịn biểu diễn phương trình 2 z  a1  b1i  z  a2  b2i  k 2.2.2 Đường trịn, hình trịn Phương trình z  (a  bi )  R biểu diễn đường tròn tâm I ( a; b) bán kính R Phương trình z  (a  bi )  R biểu diễn hình trịn tâm I ( a ; b) bán kính R 2.2.3 Đường Elip Phương trình z  (a1  b1i )  z  (a2  b2i )  2a , a  , 2a  ( a2  a1 )  (b  b1 ) biểu diễn cho Elip có tiêu điểm F1 (a1 ; b1 ), F2 (a2 ; b2 ) độ dài trục lớn 2a Nếu F1  F2 Elip suy biến thành đường trịn 17 Nếu 2a  ( a2  a1 )2  (b2  b1 )2 Elip suy biến thành đoạn thẳng F1F2 2.2.4 Đường Hyperbol Phương trình z  ( a1  b1i )  z  ( a2  b2i )  a , a  , 2a  (a2  a1 )2  (b2  b1 )2 biểu diễn cho đường hyperbol có tiêu điểm F1 (a1 ; b1 ) , F (a2 ; b2 ) độ dài trục thực 2a Nếu 2a  ( a2  a1 )2  (b2  b1 )2 hyperbol suy biến thành đường thẳng F1 F2 bỏ đoạn thẳng F1 F2 2.2.5 Đường Parabol Cho Parabol có đường chuẩn  : A Re z  B Im z  C  0, A2  B  tiêu điểm F ( a; b) Khi phương trình Parabol có dạng: z  ( a  bi )  Aa  Bb  C A2  B 2.3 Ứng dụng vào giải toán Bài (Đề minh họa lần năm 2017-BGD) Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M điểm biểu diễn số phức z hình vẽ bên Điểm điểm sau điểm biểu diễn số phức 2z A Điểm N B Điểm Q C Điểm E D Điểm P Hình 2.3.1 Hướng dẫn: 18 Theo 2.1.3, để biểu diễn số phức 2z ta thực liên tiếp phép quay tâm O góc quay Arg  0 ( Đây phép đồng nhất) phép vị tự tâm O tỉ số  Do chọn C Bài Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Biết điểm biểu diễn số phức w  (1  i ) z   2i đường trịn Tìm tâm bán kính đường trịn Hướng dẫn: Vì z   2i  nên điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (1; 2) bán kính R  Chú ý rằng: Phép quay biến đường trịn thành đường trịn có bán kính, biến tâm thành tâm Phép vị tự tỉ số k biến đường trịn thành đường trịn có bán kính k R , biến tâm thành tâm Do theo 2.1.3, điểm biểu diễn số phức (1  i ) z đường trịn (C ') Vì (1  i )(1  2i )   i nên tâm (C ') I '(3; 1) Bán kính (C ') R '   i  Theo 2.1.1, điểm biểu diễn số phức w  (1  i ) z   2i đường tròn (C '') Vì (1  i )(1  2i )   2i   i   2i   3i nên tâm (C '') I ''(8; 3) Phép tịnh tiến không làm thay đổi bán kính nên bán kính (C '') R ''  R '  Vậy tâm (8; 3) , bán kính 19 Hình 2.3.2 Bài Cho số phức z biểu diễn hình vng hình bên (Hình 2.3.2) Trong hình vng sau khơng kể hình vng biểu diễn z hình biểu diễn cho số phức w  iz   i Hình 2.3.3 A B 20 C D Hướng dẫn: Để tìm hình biểu diễn cho số phức w ta thực phép biến hình sau: Ě Phép đối xứng trục Ox Ě Phép quay tâm O góc quay 90  Ě Phép tịnh tiến theo v  (1;1) Do chọn A Bài Cho số phức z thỏa mãn z   2i  z   i  20 , w1 , w2 hai số phức thỏa mãn phương trình w  (3  4i ) z   2i Tìm giá trị lớn w1  w2 Hướng dẫn: Theo 2.2.3 z   2i  z   i  20 đường elip có độ dài trục lớn 20 Theo 2.1.1 2.1.3 w  (3  4i ) z   2i elip có độ dài trục lớn (3  4i )20  100 Do max w1  w2  100 21 Bài (Đề minh họa lần năm 2017-BGD) Xét số phức z thỏa mãn z   i  z   7i  Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn z   i Tính P  m  M  73  73 D P  B P  A P  13  73 C P   73 Hướng dẫn: Theo 2.2.3, dễ thấy z   i  z   7i  phương trình đoạn thẳng F1F2 với F1 (2;1) F2 (4;7) Hình 2.3.4 Giả sử A(1; 1) Do T  z   i độ dài đoạn AM Ta có phương trình đường thẳng F1 F2 x  y   AH  d ( A, F1F2 )   ( 1)  12  ( 1)  AF1  13 ; AF2  73 Vậy max T  73 , T  2.4 Bài tập đề nghị 22 Bài Cho số phức z1 thỏa mãn z1  số phức z2 thỏa mãn z2   Giá trị lớn giá trị nhỏ z1  z2 M , m Khi Mm A 16 B C D Bài Cho số phức z có miền biểu diễn miền kể biên hình vng hình vẽ ( Hình 2.4.1) Diện tích miền biểu diễn số phức w  (4  i )( z   3i )   3i A 17 B 17 C C 17 Hình 2.4.1 2 Bài Cho số phức z1 thỏa mãn z1   z1  i  số phức z2 thỏa mãn z2   i  Giá trị nhỏ z1  z2 A 5 B C 5 D 5 Bài Cho số phức z   i Khi z100 A 250 ( 1  i ) C 50 B ( 1  i ) D 2100 ( 1  i ) Bài Trong mặt phẳng phức cho elip có phương trình z   z   Biết số phức w  (1  2i ) z   i biểu diễn elip Tính diện tích elip A 5 B 10 C 10 23 D  PHẦN THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Tiến hành kiểm tra trắc nghiệm với tập đề tài cho lớp 12A1 Sau tiến hành dạy chuyên đề “Một số ứng dụng phép biến hình vào giải tốn trắc nghiệm lớp 12” tiến hành kiểm tra thứ hai với tập kiến nghị đề tài Kết thu sau: Trung bình Khá Giỏi Lần 5/26 15/26 6/26 Lần 1/26 16/26 9/26 Thời gian Nhanh Các em làm nhanh với kết xác sau tiếp cận thêm phương pháp làm 24 PHẦN KẾT LUẬN Kết luận chung Đề tài bước đầu có kết khả quan giúp em học sinh hiểu rõ chất hình học đại số số vấn đề hàm số số phức Giúp em tư tốt giải toán giải tốt tốn ứng dụng hình học vào giải tốn Hướng phát triển Vì thời gian kinh nghiệm hạn chế nên đề tài chưa đầy đủ Vì thời gian tới tơi tiếp tục nghiên cứu mối liên hệ hình học đại số chủ đề khác, đào sâu mở rộng hai chủ đề hàm số số phức Đề xuất, kiến nghị Hiểu chất hình học đại số giúp em tránh máy móc tư tơi đề xuất chương trình giảng dạy đổi sách giáo khoa tới cần làm rõ vấn đề mối liên hệ hình học đại số hơn, đặc biệt làm rõ ý nghĩa ứng dụng phép biến hình mặt phẳng Người thực đề tài Hoàng Xuân Định 25 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… 26 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP SỞ …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải toán nào, G-Polya, NXB Giáo Dục, 1997 Hình học lớp 11, Trần Văn Hạo (Chủ biên), NXB Giáo Dục, 2007 Sách giáo khoa toán lớp 12 ( Bộ bản) Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nguyễn Bá Kim, NXB Đại Học Sư Phạm, 2011 28 ... thuyết thực nghiệm Ứng dụng đề tài Dùng cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia PHẦN MỘT SỐ ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TỐN TRẮC NGHIỆM LỚP 12 Ứng dụng phép biến hình vào nội dung hàm số 1.1... Do chuyển phép tốn đại số số phức phép biến đổi hình học Mục đích đối tượng nghiên cứu Nếu ứng dụng phép biến hình vào giải tốn trắc nghiệm giúp học sinh hiểu chất hình học toán giải toán nhanh... m có nghiệm phân biệt x 1 B m  C m  15 m 1 Ứng dụng phép biến hình vào nội dung số phức 2.1 Các phép biến hình ứng với phép tốn tập số phức 2.1.1 Phép cộng hai số phức Dựa định nghĩa phép