Luận văn Thạc sĩ Toán học: Khái niệm dầy đặc trong đại số theo nghĩa Tôpô và một số ứng dụng bao gồm những nội dung về một số khái niệm và các định lý về vành không giao hoán; Tôpô hữu hạn và Tôpô Zariski; định lý Kaplansky Amitsur; đa thức tâm trên đại số ma trận và áp dụng.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ Thanh KHÁI NIỆM DẦY ĐẶC TRONG ĐẠI SỐ THEO NGHĨA TÔPÔ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2006 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời nói đầu CHƯƠNG I:MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ VỀ VÀNH KHƠNG GIAO HỐN I.1.Modul bất khả qui trung thành I.2 Radical vành I.3.Radical đại số 10 I.4.Vành nửa đơn 10 I.5.Vành Artin 11 I.6 Định lý dày đặc 12 I.7.Vành nguyên tố 17 I.8.Vành đơn 18 CHƯƠNG II:TÔPÔ HỮU HẠN VÀ TÔPÔ ZARISKI 19 II.1.Một số khái niệm không gian tôpô 19 II.2.Tôpô hữu hạn 25 II.3.Tôpô Zariski 29 CHƯƠNG III:ĐỊNH LÝ KAPLANSKY-AMITSUR 33 III.1.PI-đại số vành giao hốn có đơn vị 33 III.2 Đại số K { X } 34 III.3 Định lý Kaplansky Amitrur 36 CHƯƠNG IV: ĐA THỨC TÂM TRÊN ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ ÁP DỤNG 43 IV.1 Định lý Formanek đa thức tâm Mn(K) 43 IV.2 Đại số nguyên tố thoả mãn đồng thức thực 52 Tài liệu tham khảo 61 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn quý thầy cô tổ Đại số , quý thầy Khoa Tốn - Tin Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh q thầy tổ Đại số Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.Hồ Chí Minh trang bị cho tơi đầy đủ kiến thức làm tảng cho trình viết luận văn này, tồn thể q thầy phòng Khoa học Cơng nghệ Sau Đại học trường ĐHSP TP.Hồ Chí Minh, bạn đồng nghiệp trường THPT Chuyên Tiền Giang tạo điều kiện thuận lợi để học tập nghiên cứu hồn thành chương trình khố học Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt thầy PGS.TS Bùi Tường Trí tận tình hướng dẫn giúp đỡ bảo trình xây dựng hồn thành luận văn Q trình xây dựng hồn thành luận văn, tơi nhận động viên giúp đở tinh thần bạn học viên khoá 14 chuyên ngành Đại số Tơi xin ghi nhận nơi lòng biết ơn sâu sắc Tác giả luận văn LỜI NĨI ĐẦU -Trong đại số khơng giao hốn có khái niệm dày đặc “định lý dày đặc” vành nguyên thuỷ Jacobson Chevalley chứng minh làm sở để chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur đại số nguyên thuỷ PI đại số,định lý dày đặc đặt móng việc xây dựng cấu trúc đại số đơn, đồng thời mở hướng nghiên cứu toán học Tuy nhiên sách PI-đại số tác giả Nathan Jacobson việc chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur có sử dụng kết quả: f đa thức K{X}, ánh xạ (l1,l2,…,ln) → f (l1,l2,…,ln) với li ∈ L = End FV liên tục tôpô hữu hạn f đồng thức tập dày đặc L f đồng thức L mà khơng trình bày chứng minh rõ ràng.Cũng chứng minh định lý Formanek đa thức tâm đại số ma trận tác giả sách PIđại số áp dụng tính chất tơpơ Zariski mà khơng có chứng minh Mục đích luận văn giải hai vấn đề: Thứ xây dựng không gian tôpô tập YX tất ánh xạ từ X vào Y gọi tôpô hữu hạn Gọi V không gian vectơ thể Δ EndΔV tập tất phép biến đổi tuyến tính V Δ ,ta chứng minh V V End ΔV tập đóng khơng gian tơpơ V Tôpô hữu hạn V cảm sinh tôpô EndΔV A tác động dày đặc EndΔV theo nghĩa đại số A dày đặc (trù mật) EndΔV theo nghĩa tôpô tức : A= End ΔV Sau chứng minh ánh xạ (l1,l2,…,ln) → f(l1,l2,…,ln) với li ∈ L = EndΔV liên tục tôpô hữu hạn nhờ ánh xạ (l,m) → l+m , (l,m) → lm , l → α l (với α ∈ K ) liên tục khơng gian tơpơ hữu hạn.Dựa vào tính chất hàm liên tục ta suy A dày đặc EndΔV , f đồng thức A f đồng thức EndΔV Áp dụng kết để chứng minh hoàn chỉnh định lý Kaplansky-Amitsur Thứ hai xây dựng tôpô Zariski không gian vectơ hữu hạn chiều V trường vô hạn K làm sở để chứng minh định lý Formanek đa thức tâm đại số ma trận mà sách PI-đại số tác giả Nathan Jacobson nêu không chứng minh rõ.Xem K không gian vectơ chiều K với tôpô Zariski,khi hàm đa thức ϕ: V →K n ∑α e i =1 i i f (α1 ,α , ,α n ) liên tục tôpô Zariski tập mở khác rỗng V dày đặc tơpơ Zariski.Từ suy hàm đa thức triệt tiêu tập mở khác rỗng V triệt tiêu V.Áp dụng điều để hoàn chỉnh việc xây dựng đa thức tâm Mn(K) phương pháp Formanek.Tiếp theo luận văn sử dụng đa thức tâm để chứng minh định lý Posner-Rowen đại số nguyên tố thoả mãn đồng thức thực Nội dung luận văn chia thành bốn chương sau: Chương I:Một số khái niệm định lý vành khơng giao hốn Chương chủ yếu trình bày số khái niệm,định lý,bổ đề có vành khơng giao hốn nhằm làm sở lý luận cho chương III chương IV như: Rađical Jacobson vành,đại số,các khái niệm vành nửa đơn,vành đơn,vành nguyên thuỷ,vành nguyên tố mối quan hệ chúng, đặc biệt khái niệm dày đặc định lý dày đặc mà sử dụng xuyên suốt luận văn Chương II:Tôpô hữu hạn tôpô Zariski Chương xây dựng tôpô tập tất ánh xạ từ X vào Y gọi tôpô hữu hạn làm sở lý luận cho việc chứng minh hoàn chỉnh định lý Kaplansky-Amitsur chương III đồng thời xây dựng tôpô Zariski không gian vectơ hữu hạn chiều V trường vô hạn K làm sở để xây dựng đa thức tâm đại số ma trận trình bày chương IV Chương III:Định lý Kaplansky-Amitsur Hệ thống kiến thức PI-đại số vành giao hốn có đơn vị áp dụng kết đạt chương II tơpơ hữu hạn để hồn thiện chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur đại số nguyên thuỷ Chương IV:Đa thức tâm đại số ma trận áp dụng Chương nội dung chủ yếu xây dựng đa thức tâm Formanek đại số ma trận Mn(K) việc chứng minh định lý Formanek nhờ vào tôpô Zariski trình bày chương II áp dụng đa thức tâm để chứng minh định lý Posner-Rowen đại số nửa nguyên tố thoả đồng thức thực Chắc luận văn khơng tránh khỏi sai sót.Tác giả luận văn mong nhận đóng góp ý kiến quý báo quý thầy cô bạn đồng nghiệp CHƯƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÍ VỀ VÀNH KHƠNG GIAO HỐN Trong chương chủ yếu trình bày số kiến thức có vành khơng giao hoán nhằm làm sở lý luận cho chương sau,do có số định lý nêu mà khơng phải chứng minh Trong chương này,kí hiệu R vành khơng giao hốn, M R modul phải, EndRM vành R đồng cấu M I.1 Modul bất khả qui trung thành I.1.1 Định nghĩa : M gọi R-modul trung thành từ M.r = (0) suy r = I.1.2 Bổ đề : Kí hiệu A(M) ={r∈R/M.r = (0) };ta có A(M) ideal hai phía R M R A(M ) -modul trung thành Cho M R-modul,a∈R, ánh xạ Ta:M→ M cho mTa = ma, m∈ M đồng cấu nhóm cộng.Kí hiệu E(M) tập tất đồng cấu nhóm cộng.E(M) vành với phép tốn cộng,nhân đồng cấu nhóm Xét ánh xạ ϕ: R → E(M) a Ta Vì Ta+b = Ta+ Tb Tab = TaTb nên ϕ đồng cấu vành Mặt khác : Ker ϕ = A(M) nên R A(M ) ≅ Im ϕ I.1.3 Bổ đề : R A(M ) đẳng cấu với vành vành E(M) Đặc biệt: Nếu M R-modul trung thành A(M) = (0) ,khi ϕ đơn cấu nhúng R vào E(M) vành đồng a ≡ Ta ,a∈R I.1.4 Định nghĩa : Vành giao hoán tử R M C(M) = { f∈E(M) / Taf = fTa ,∀a∈R} Rõ ràng C(M) vành vành E(M).Với f∈C(M),∀m∈M,∀a∈R ta có: (ma)f = (mTa)f =m(Taf) =m(fTa) =(mf)Ta =(mf)a ⇒ f R đồng cấu modul Vậy C(M) = EndRM I.1.5 Định nghĩa : M gọi R-modul bất khả qui MR≠ (0) M có hai modul tầm thường (0) M I.1.6 Bổ đề Schur: Nếu M R-modul bất khả qui C(M) thể I.1.7 Bổ đề : Nếu M R-modul bất khả qui M đẳng cấu với modul R/ρ với ρ ideal phải tối đại R Hơn tồn a∈R cho x-ax ∈ρ với x∈R (ρ gọi ideal phải qui).Ngược lại với ρ ideal phải tối đại qui R/ρ R-modul bất khả qui Chứng minh: Vì M R-modul bất khả qui nên MR ≠ (0) S = { u∈M/ uR = (0) }là modul M S ≠ M nên S = (0).Do với m ≠ mR ≠ mà mR modul M nên mR = M Xét ánh xạ ϕ :R→ M r m.r ϕ toàn cấu R-modul kerϕ ={r∈R/mr = 0}= ρ ideal phải R Ta có R/ρ ≅ M M bất khả qui nên R/ρ modul bất khả qui ρ ideal phải tối đại.Mặt khác từ mR = M ,∃ a∈R cho ma = m.Với x∈R ta có max = mx ⇒ m(x-ax) = ⇒ x-ax∈ρ,∀x∈R.Vậy ρ ideal phải tối đại qui R Ngược lại ρ ideal phải tối đại qui R/ρ modul bất khả qui Nhận xét: Nếu R có đơn vị ideal phải tối đại R ideal phải tối đại qui I.2 Radical vành I.2.1 Định nghĩa: Radical Jacobson vành R,kí hiệu J(R) tập hợp phần tử R linh hoá tất modul bất khả qui R Nếu R khơng có modul bất khả qui ta qui ước J(R) = R gọi vành radical.Theo định nghĩa ta có J(R) = ∩ A(M) ( giao lấy M bất khả qui) ideal hai phía R I.2.2 Định nghĩa : ρ ideal phải R ,kí hiệu (ρ :R) = { x∈R/Rx ⊂ ρ } I.2.3 Bổ đề : a/Nếu ρ ideal phải qui (ρ:R) ideal hai phía lớn R nằm ρ b/ Nếu ρ ideal phải tối đại qui A(M) = (ρ:R) với M = R/ρ I.2.4 Định lý: J(R) = ∩ (ρ:R) ρ chạy qua tất ideal phải tối đại qui R (ρ:R) ideal hai phía lớn R chứa ρ Áp dụng Bổ đề Zorn ta có bổ đề sau: I.2.5.Bổ đề: Nếu ρ ideal phải qui R (ρ ≠ R) ρ nằm ideal phải tối đại qui I.2.6 Định lý: J(R) = ∩ ρ ρ chạy qua tất ideal phải tối đại qui R Chứng minh: Theo định lí I.2.4 ta có J(R) = ∩ (ρ:R) (ρ:R) ⊂ ρ nên J(R) ⊂ ∩ ρ Đặt T = ∩ ρ lấy x∈T Ta chứng minh x tựa qui tức ∃ w∈R cho : x + w + xw = Xét tập A ={xy+y/y∈R} ideal phải R Nếu A ≠ R theo bổ đề I.2.5 tồn ideal phải tối đại qui ρ0 chứa A (do A qui với a = -x) Vì x∈ T = ∩ ρ nên x∈ ρ0 ⇒ xy∈ ρ0 ,∀y∈R ⇒ y = (xy+y) - xy∈ ρ0, ∀y∈R ⇒ ρ0 = R (vơ lí) Vậy {xy + y/y∈R}= R.Với -x∈R ,∃ w∈R cho : xw + w = -x ⇒ x + w + xw = 0.Nếu T⊄ J(R) tồn modul bất khả qui M cho T⊄ A(M) ⇒ M.T ≠ (0) ⇒ ∃m∈M:mT ≠(0).Mà mT modul M M bất khả qui nên mT = M ,khi ∃t∈T cho mt = -m.Vì t∈T nên ∃s∈R:t + s + ts = ⇒mt + ms + mts = ⇒ mt = ⇒ m = 0(vơ lí) Vậy T⊂ J(R) ⇒T = J(R) ⇒ J(R) = ∩ ρ I.2.7 Định nghĩa: a∈R gọi tựa qui phải ∃ a/∈R :a + a/ + aa/ = a/ gọi tựa nghịch đảo phải a.Tương tự ta có định nghĩa tựa qui trái tựa nghịch đảo trái.Một ideal phải gọi tựa qui phải nêú phần tử tựa qui phải.Như J(R) ideal phải tựa qui phải Tương tự chứng minh định lí 1.2.6 phần T = ∩ ρ ⊂ J(R) ta có kết sau: I.2.8 Định lý:J(R) ideal phải tựa qui phải chứa ideal phải tựa qui phải,tức J(R) ideal phải tựa qui phải tối đại R.Ta kí hiệu Jr(R) = ∩ρ , ρ chạy khắp ideal phải tối đại qui phải R Jl(R) = ∩ρ , ρ chạy khắp ideal trái tối đại qui trái R Sau ta chứng minh:Jr( R) = Jl( R) 47 (11) qlf(a,b1,…,bn) = L(a).qf(a,b1,…,bn) ,với ∀a, bi ∈ M n ( K ) L định nghĩa (1) ứng với l (η , ,η ) n Chứng minh : Trước hết ta giả sử K trường đóng đại số ta chứng minh [qf(x,y1,…,yn),z] đồng thức Mn(K) (11) Điều tương đương với việc chứng minh ánh xạ: (a,b1,…,bn,c)→[qf(a,b1,…,bn),c] (12) (a,b1,…,bn)→qlf(a,b1,…,bn)-L(a)qf(a,b1,…,bn) (13) ánh xạ Vì qf(x,y,…,yn) [qf(x,y1,…,yn),z] tuyến tính theo yi z nên ta cần chứng minh với cách chọn bi,c thuộc sở Mn(K) K đủ Cố định bi c ánh xạ (12),(13) ánh xạ đa thức a (từ Mn(K) vào Mn(K)) từ xác định đa thức Pij,Qij theo n2 biến xij cho ánh xạ (12), (13) : (a = ∑ a e , b , , b , c) → ∑ P (a , a , )e ij ij n ij 11 12 ij i, j (a, b , , b ) → ∑ Q (a , a , )e ij n ij 11 12 i, j Do ta cần chứng minh hàm đa thức (a, b , , b , c ) → P (a ); n ij (a,b1,…,bn)→Qij(a) ( cố định b1,b2,…,bn,c sở) với a thuộc tập mở Zariski Mn(K) ,tức G(a) ≠ Vì g (η , ,η ) = f (η , ,η ,η ) chia hết cho η − η (i≠j) K n n i j đóng đại số nên G(a)= g ( ρ , , ρ )( ρ nghiệm đặc trưng a), điều n i kiện G(a)≠0 suy g ( ρ , , ρ ) ≠ ⇒ ρ i khác đôi Do a n 48 đồng dạng với ma trận chéo áp dụng tự đẳng cấu Mn(K) ta giả sử a ma trận chéo : { } a = ∑ ρ e chọn sở tập hợp ma trận e Theo (9) ta có : ij i ii q (∑ ρ e , e , , e ) = g ( ρ , , ρ ).1 cách chọn khác f i ii i1i2 in i1 n dãy (e i1 j1 , , e ) qf in jn Khi đó: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢⎣ q f (∑ ρi eii , ei1i2 , , ein i1 ), c ⎥⎦ = ⎣ g ( ρ1, , ρ n ).1⎦ c − c ⎣ g ( ρ1, , ρ n ).1⎦ = g ( ρ , , ρ ).c − g ( ρ , , ρ ).c = ⇒ [q ( a, b , , b ), c] = 0, ∀b , c f n i 1 n n thuộc sở Mn(K) a thuộc tập mở Mn(K) ⇒ ánh xạ (12) Mn(K) (mệnh đề II.3.5) Tương tự ta có L(a)=l( ρ , , ρ ) , qf(a,b1,…,bn)=g(ρ1,…,ρn).1 n l (η , ,η ) f (η , ,η ,η ) = l (η , ,η ).g (η , ,η ) = (lg)(η , ,η ) đối n n 1 n n n xứng ⇒ q (∑ ρ e , e , , e ) = (lg)( ρ , , ρ ).1 lf i ii i1i2 in i1 n = l ( ρ , , ρ ).[ g ( ρ , , ρ ).1] n n = L(a ).q (a, b , , b ) f n Do ánh xạ (13) Mn(K) Vậy ánh xạ (12),(13) Mn(K) K trường đóng đại số Nếu K trường tuỳ ý giả sử K bao đóng đại số K Khi ta nhúng Mn(K) vào Mn( K ) Do kết Mn(K) Với giả thiết f thoả iii) ∃a ∈ M n (K ) cho G(a) ≠ Vì K trường nên G(a)≠ G(a) không lũy linh Giả sử a có tính chất Vì a 49 đồng dạng với ma trận chéo M n (K ) nên theo (9) ta chọn b1,…,bn ∈ M n (K ) cho qf(a,b1,…,bn) ≠ Do qf tuyến tính theo yi sở Mn(K) sở M n (K ) nên ta chọn bi∈Mn(K) cho qf(a,b1,…,bn)≠0 Vậy định lý chứng minh với K trường Bây giả sử K vành giao hoán Xét vành đa thức m=(n+2)n2 ẩn (1) ( n) Z [ x , y , , y , z ],(1 ≤ i, j ≤ n) Khi ij ij ij ij (1) ( n) ) ,…, b = (b ) , c = (c ) ∈ M ( K ) ta có đồng cấu vành ij n ij ij n a=(aij), b = (b (k ) (k ) → b ; Từ ij ij từ Z[xij,…] đến K cách thay x → a ; y ij ij (1) , ]) đến Mn(K) thay ij mở rộng đến đồng cấu vành từ M ( Z [ x , y n ij (1) ) → b , , Z=(cij)→c ij x= (xij)→a; Y = ( y Vì G L đa thức với hệ số nguyên lấy hệ số đa thức đặc trưng nên đồng cấu biến L(X) thành L(a) Vì Z[xij,…] nhúng vào trường nên ta có: [qf(X,Y1,…,Yn),Z] = qlf(X,Y1,…,Yn) = L(X).qf(X,Y1,…,Yn) Áp dụng đồng cấu từ Mn(Z[xij,…]) đến Mn(K) ta nhận được: [qf(a,b1,…,bn),c] = qlf(a,b1,…,bn) = L(a).qf(a,b1,…,bn) Giả sử P ideal tối đại K F = K P ( F trường) Theo giả thiết ∃a ∈ M n (F ) cho G (a ) ≠ Chọn a∈Mn(K) mà đồng cấu chiếu : M n ( K ) → M n ( F ) a a 50 (ở a =a+Mn(P)) Khi G(a) = G(a ) Suy G(a) lũy linh G (a ) = (vơ lý) Do G(a) khơng lũy linh Vậy ∃a∈Mn(K) cho G(a) không lũy linh Với a ∈ Mn(K) mà G(a) không lũy linh K, nil radical K giao tất ideal nguyên tố K nên tồn ideal nguyên tố P K cho G(a)∉P ⇒ G(a) = G(a) + P ≠ Khi G (a ) ≠ với a = a+Mn(P) Giả sử D = K P miền nguyên F trường thương D Khi ∃b1 , , bn ∈ M n ( F ) cho q (a , b , , b ) ≠ Bỏ thương ta giả sử f n b1 , , bn ∈ M n ( D ) Chọn bi ∈ Mn(K) tạo ảnh bi đồng cấu chiếu Mn(K)→Mn(D) ta q (a, b , , b ) ≠ f n IV.1.3 Định lí Amitsur: Giả sử q0(x,y1,…,yn) = qc(x,y1,…,yn) (c đa thức Formanek ).Khi tồn đa thức tâm q1(x,y1,…,yn) ,q2(x,y1,…,yn) ,…,qn(x,y1,…,yn) Mn(K) cho với a,bi ∈ Mn(K) ta có: q0(a,b1,…,bn)λn –q1(a,b1,…,bn)λn-1+…+(-1)nqn(a,b1,…,bn)=q0(a,b1,…,bn)Φa(λ) với Φa(λ) đa thức đặc trưng a.Từ ta có q0(x,y1,…,yn) xn – q1(x,y1,…,yn) xn-1 +… + (-1)nqn(x,y1,…,yn) đồng thức Mn(K) Chứng minh Áp dụng phần định lí Formanek (định lí IV.1.2) với f = c đa thức Formanek l(η1,η2,…,ηn) đa thức đối xứng p = ∑η , , p = η η i n n Ta có Φ (λ ) = det(λ I − a ) = λ n − (tra )λ n − + + ( −1) n det a a ⇒ q Φ a (λ ) = q λ n − L0 (a)q λ n −1 + + (−1) n Ln (a)q = q λ n − q1 λ n −1 + + (−1) n q n (với q1=L0(a)q0=qlc ) Phần sau định lí suy từ định lí Hamilton-Cayley 51 IV.1.4.Mệnh đề: Mọi đa thức tâm với hệ số Mn(K) đồng thức Mn-1(K) Chứng minh: Giả sử q(x1,x2,…,xm) đa thức tâm có hệ số Mn(K).Thay xi=ui ∈ M n−1 ( K ) q(x1,x2,…,xm) ∈ M n−1 ( K ) (do q có hệ số 0) q(u1,u2,…,um) nằm tâm Mn(K) nên có dạng k1 q ∈ M n−1 ( K ) nên k = suy q đồng thức Mn-1(K) Ta có Mn(K) đại số đơn tâm hữu hạn chiều,sau ta mở rộng định lí Hamilton-Cayley đa thức tâm đại sô đơn tâm hữu hạn chiều IV.1.5 Định lý: Cho K trường vô hạn,A đại số đơn tâm có số chiều n2 K.Khi đó: 1/Tồn đa thức bậc n χ A (λ ) = λn − Tλn −1 + + (−1)n N T,…,N hàm đa thức xác định A cho an-T(a)an-1+…+(-1)nN(a)=0,a ∈ A Đa thức χ a (λ ) = λn − T (a)λn −1 + + (−1) n N (a) gọi đa thức sinh nhỏ a,T(a) N(a) gọi vết sinh chuẩn sinh tương ứng a 2/Vết sinh T hàm tuyến tính A triệt tiêu với giao hoán tử [a,b]=ab-ba.Chuẩn sinh đẳng cấp bậc n: N( α a)= α nN(a) nhân tính.Hơn T(1)=n N(1)=1 3/Phần tử a ∈ A gọi tách χ a (λ ) có nghiệm phân biệt đại số đóng K K.Do tập hợp phần tử tập mở khác rỗng tôpô Zariski A 4/Gọi q0(x,y1,…,yn) đa thức Formanek Mn(K) q0 đa thức tâm A.Ngoài tồn đa thức tâm q1(x,y1,…,yn) ,q2(x,y1,…,yn) ,…,qn(x,y1,…,yn) Mn(K) có tính chất q0 cho : q0(a,b1,…,bn)λn –q1(a,b1,…,bn)λn-1+…+(-1)nqn(a,b1,…,bn)=q0(a,b1,…,bn) χ a(λ) 52 Từ ta có : q0(x,y1,…,yn) xn – q1(x,y1,…,yn) xn-1 +… + (-1)nqn(x,y1,…,yn) đồng thức A Nếu a tách tồn bi ∈ A cho q0(a,b1,…,bn) ≠ Từ định lý IV.1.4 ta có kết sau đậy : Nếu A đại số nguyên thuỷ thỏa mãn đồng thức thực bậc d=2n đa thức Formanek fc Mn(K) đa thức tâm A.Mọi đa thức tâm A đồng thức đại số nguyên thuỷ thoả mãn đồng thức thực có bậc bé 2n Sau trình bày số áp dụng định lý Kaplanski Amitsur đa thức tâm Fomanek Mn(K) IV.2.Đại số nguyên tố thoả mãn đồng thức thực IV.2.1.Các radical đại số : IV.2.1.1.Định nghĩa : Đại số A gọi luỹ linh địa phương tập hữu hạn sinh đại số lũy linh.Tức {b1 , b2 , , bk } tập hữu hạn A tồn số m cho tích m bi Một ideal phía gọi lũy linh địa phương có tính chất đại số lũy linh địa phương IV.2.1.2.Định lý : Tồn nil ideal tối đại,kí hiệu unA (gọi upper nil radical) chứa nil ideal đại số A Tồn ideal lũy linh địa phương tối đại,kí hiệu L(A) (gọi Levitzki nil radical) chứa ideal lũy linh địa phương phía đại số A IV.2.1.3.Định nghĩa : Trên đại số A xây dựng dãy ideal siêu hạn sau : N(0) tổng tất ideal lũy linh A,khi N(0) nil ideal 53 Nếu α số siêu hạn không giới hạn α = β + N( α ) ideal A cho N (α ) N (β ) tổng tất ideal lũy linh A N (β ) Nếu α số siêu hạn giới hạn N (α ) = ∪ N (β ) β