Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm giúp học sinh thấy được vai trò bất đẳng thức Cauchy trong giải quyết bài toán. Yêu cầu đạt đến đối với học sinh là thấy rõ, hiểu và biết cách vận dụng bất đẳng thức Cauchy trong thực hành giải toán.

Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng MỤC LỤC Nội dung Mở đầu Chương 1: Cơ sở lý luận     1. Bất đẳng thức Cauchy  2 . Hệ quả bất đẳng thức Cauchy  Chương 2: Một số ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy  I. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức II.  Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải phương trình, bất phương   trình III. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào tìm GTLN­ GTNN    1.  Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy    2. Ứng dụng  vào tìm GTLN­ GTNN     IV. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh tính chất nghiệm Kết luận Tài liệu tham khảo Trang  3 4 13 13 17 20 21 22 MỞ ĐẦU Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng 1­ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI :  Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của tốn học  phổ  thơng mà học sinh cần phải nắm được, bởi  ứng dụng của bất đẳng thức  xun suốt chương trình tốn học THPT. Đặc biệt phải kể đến mảng ứng dụng ,   bởi lí do đó  nên tơi chọn đề tài : “ Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng ’’   Đề tài cũng giúp tơi hiểu sâu hơn về phương pháp dậy bài tập bất đẳng thức cho   học sinh 2­ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Để cho học sinh thấy được vai trị bất đẳng thức Cauchy trong giải quyết bài  tốn. u cầu đạt đến đối với học sinh là thấy rõ, hiểu và biết cách vận dụng  bất đẳng thức Cauchy trong thực hành giải tốn 3­ ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU :  Đối tượng nghiên cứu của đề tài là vận dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải  quyết một số bài tốn liên quan trong các đề thi HSG và tuyển sinh ĐH 4­ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :  Đưa ra những cơ sở lí luận về bất đẳng thức Cauchy . Từ đó mơ tả phân tích  để tìm ra biện pháp dậy cho học sinh cách vận dụng vào giải tốn 5­ CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH :  Với nền tảng cơ sở lí luận về phương pháp dạy tốn học , thì địi hỏi phương  pháp phân tích sản phẩm , tổng kết kinh nghiệm để  út ra được lí thuyết cho  chính bản thân người dạy 6­ KẾT CẤU CỦA ĐỀ TÀI :  Đề tài gồm 2 chương : Chương 1 :                  Chương 2 : Cơ sở lí luận  Một số ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng Chương 1 : Cơ sở lí luận  1.BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY    Cho  �ﾡ + , i = 1, n  .Ta có :    n i =1 n n i =1    Dấu  '' = ''  xảy ra  � a1 = a2 = = an                                                    CM Với  n =  ta có :  a1 + a2   ,  n ﾡ \ { 0,1}       (1) a1a2   ( luôn đúng) k �1 k � k Giả sử (1) đúng với  n = k , tức là : � ak � Ta chứng minh (1)  k � i =1 � i=1 cũng đúng với  n = k +   Thật vậy , giả sử  k a1 ���� a2 ak ak +1 ak +1 k i=1 k ,  ak +1 = x + y,( y 0) Đặt     x = k i =1 1 k +1 k k a k x+ y � � = �ai + k +1 = x+ = �x + y� Vì   � k + i =1 k + k i =1 k +1 k +1 k +1 � k +1 � k +1 k +1 k +1 k x y k +1 � k +1 � � � Do đó :  � � = �x + y� �k + i=1 � � k + � x k +1 +                                                                            x ( x + y)   k Dấu  '' = ''  xảy ra  � a1 = a2 = = an k +1 i =1  Vậy theo ngun lý quy nạp tốn học bất đẳng thức (1) đúng  ∀n Với  n = thì hiển nhiên bất đẳng thức (1) đúng     (đúng) ﾡ \ { 0,1} 2. HỆ QUẢ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY    + Hệ quả 1:  Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng ( ) n �S�         Nếu  = S( const )  thì  Max = � �xảy ra  i =1 i =1 �n � � a1 = a2 = = an n n    + Hệ quả 2:      Nếu  n i =1 = P ( const )  thì  Min ( a) =n n i =1 n i P  xảy ra   � a1 = a2 = = an Chương 2 : Một số ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy I.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CHỨNG MINH BĐT Bài toán 1 (BĐT Bernoulli)    Cho  α γ ﾡ + , x −1, khi đó : α , ta có:   ( + x ) + α x   (2).  Dấu  '' = ''  xảy ra  � α = 1 hoặc  x = α α < , ta có : ( + x ) + α x   (3). Dấu  '' = ''  xảy ra  � α =  hoặc  α x =1                                           CM α  . Trước hết ta chứng minh  α ﾡ         + Với α = 1thì bđt (2) hiển nhiên đúng  + n , ( n, m ) = 1, n > m  Khi đó ta có :  m n m m + α x + n − m � � ( ) ( ) n m ( + α x ) + 114+2 + 31 n ( + α x ) ۳ � � n −m n � �    + Với  α > , đặt  α = n (1+ α x) m n m � ( x + 1) �( + α x ) � ( + x ) m �( + α x ) � ( + x ) �( + α x ) α    Dấu  '' = ''  xảy ra  � x =    + Với  α I + , giả sử  α  là số vơ tỷ tùy ý . Khi đó vì  ﾡ là tập trù mật trong  ﾡ nên tồn tại dãy số hữu tỷ  Với mọi n , ta có :   ( + x ) ( 1+ x)      lim x αn αn ( α n ) n =1 ,α n >  mà  lim α x n = α   + α n x chuyển qua giới hạn ta có :                      lim ( + α n x )   hay     ( + x ) x α + α x   Như vậy BĐT (2)  được chứng minh trọn vẹn α < 1, α ﾡ +           +  Với α = , thì bđt (3) hiển nhiên đúng Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng    +  Với  < α < , đặt  α = Ta có :  m ( + x ) + ( n − m ) m , ( n, m ) = 1, m < n, ( m, n ﾡ *+ ) n n mx + n m m � � + x     ( ) n n (1+ x)  ۳ � � � n � m        � ( + α x ) n �( + x ) m � ( + x ) n �( + α x ) � ( + x ) α �1 + α x Dấu  '' = ''  xảy ra  � x =  Giả sử  α  là số vơ tỷ  tùy ý , vì  ﾡ  trù mật trong  ﾡ nên  ∃ ( α n ) n=1  hữu tỷ ,  α n = α   < α n <  mà  lim x       ∀n ﾡ *+  ta có :  ( + x ) ( 1+ x)                   lim x αn αn + α n x  . Chuyển qua giới  hạn , thì được :                lim(1 + α n x )    hay  ( + x ) x α + α x Như vậy bđt (3) được chứng minh hoàn toàn , Bài toán 2 :   Cho  γ=ﾡ �                        k n �ai k i =1 0, i 1, k , ( n, k ﾡ * + )  Ta có :  n �1 k � �  (4) .  Dấu  '' = ''  xảy ra  � a1 = a2 = = ak �� �k i =1 � CM k i =1 k = , thì BĐT (4) hiển nhiên đúng n k > , áp dụng BĐT cauchy cho 1 số   và  ( n − 1)  số  S n  ta được : n n nS n −1 , ∀i          + ( n − 1) S k Đặt    S = k n n Do đó  :    �ai + k ( n − 1) S i =1      ۳ ain � k i =1 k k k i =1 i =1 nS n−1 �ai = knS n   ۳ ain kS n n �1 � S n = � �ai �. Dấu '' = '' xảy ra  � a1 = a2 = = ak ( đpcm)  �k i =1 � k Chú ý : + Ta có thể chứng minh BĐT (4) nhờ BĐT Bernoulli như sau : n �ka i �  .  Khi đó :     (4)    k � � i =1 �S � i =1 n n kai � � kai − S � kai − S � ∀i , ta có :  � �= � 1+ + n � S � S �S � � Đặt    S = k k k Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng n n �ka � �ks − ks � k �ka i � Do đó  :  �� i ��k+ ۳n � � �� � k   i =1 �s � � s � i =1 �s � k kai − S = 0,(i = 1, k ) � a1 = a2 = = a k S               + Nếu thay điều kiện  n ﾡ *+  bằng điều kiện  n 1, n ﾡ  thì cách  Dấu “ = ” xảy ra  � chứng minh thứ 2 hợp lí hơn               + Các BĐT (2), (3) , (4) đều có thể chứng minh bằng đạo hàm Bài tốn 3:  Cho  x, y , z > và  m, n ﾡ *  Chứng minh rằng:    xm ym zm                      n + n + n y z x xm−n + ym−n + zm−n  Dấu “ = ” xảy ra  � x = y = z CM  Áp dụng BĐT CauChy cho  ( m + mn + n )  số , ta có : m m ym x z m n + mn n + n n y z x 2 m m n mn z 2 ( m + mn+ n ) x y        ( m + mn + n ) nm nm n y z x 2 ( m + mn+n ) xm −n = ( m2 + mn + n2 ) xm−n   ( m2 + mn + n2 ) m m zm y x 2 m− n   Tương tự ta có :  m n + mn n + n n ( m + mn + n ) y z x y m m m x z y 2 m− n  và   m n + mn n + n n ( m + mn + n ) z x y z                                2 3 Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên và rút gọn ta được điều phải chứng minh MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ: Cho  �ﾡ , > 0, i = 1, k  , m n; k 2; m, n, k ﾡ *  Đặt  S = k i =1 ain   Chứng minh rằng : m −n aim k k aim k m −n k �1 n � a � � � � �� i n i =1 S − a i =1 S i =1 i =1 k − k − k − k � � i Cho  �ﾡ , > 0, i = 1, n, ∀k , l �ﾡ  Chứng minh rằng : k l k +l n �n � �n � n S = ail                      �   , trong đó  � � � � � � i =1 �i =1 n � �i =1 n � i =1 n Cho  �ﾡ , i = 1, n, n �ﾡ *+  Chứng minh rằng : k Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng m m l n l � n * �                     �� �ai � �ai  , ( m, l j ﾡ ) , trong đó  l j = α  (chẵn) j =1 j =1 � n i =1 � n i=1 Cho  xi �ﾡ , xi > 0, i = 1, k , k �2 k , m, n �ﾡ *  Chứng minh rằng : k k xin n −m                        � m �xi    , trong đó  xk +1 x1 i =1 x i =1 i +1 m j j j=1    Chú ý : Với việc sử dụng hằng đẳng thức sau :            m − n = ( m − n ) ( m + m n + + mn + n )  .Ta sẽ có một lời  giải  bằng BĐT Cauchy thật đẹp cho bài 4       5. Cho  x, y , z > Chứng minh rằng nếu  k , m, n ﾡ *+ thỏa mãn điều kiện  k k k −1 k k−2 k −2 xm yn ym zn zm xn m.n , thì ta có  :    k + k + k z x y k −1 x m + n −k + y m + n − k + z m + n −k II. ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT , BPT ,HPT, HBPT   1. ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT, BPT.       Ví dụ 1.  Giải pt sau :                           x − x − x + 40 = 4 x +                                              Lời giải   Điều kiện   4x + �۳0− x  Ta có :    x − x − x + 40 = 4 x + = 4 ( x + 1) 4.4.4 CS x +1+ + + � ( x + 3) ( x − 3) �0 � x = Vậy  x =  là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho       Ví d   ụ 2      Giải phương trình sau :                                       27 x10 − x + 864 =   lời giải Do  x =  không là nghiệm của pt , nên  chia cả 2 vế cho  27x  ta được : x4 −               864 5 + = � x + = 27 x x 27 27 x4 �x ��1 � 5 � = + �5 � �� �= x 27 27 �3 ��x � x                Dấu “ = ’’ xảy ra  � = � x10 = � x = �10 3 x  Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là   x = Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh 10 Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng      Ví dụ 3 . Tìm nghiệm x, y của bất phương trình sau : 2002                                 e 2003 x+ y 2003 > 2002 x y e + e                  ( 1 ) 2003 2003 Lời giải Đặt  a = thành :  e 2002 , = b � a + b = � b = − a  Khi đó phương trình( 1)  trở  2003 2003 ax + ( 1− a ) y > ae x + be y = ae x + ( − a ) e y   � e a( x − y ) > ae x − y + − a    ( 2 )     Giả sử  ( x0 , y0 ) là nghiệm của BPT (2) , điều này cũng có nghĩa là nghiệm của  BPT (1)   Tức là :             e a( x − y ) > ae x − y + − a                 ( * ) Mặt khác theo BĐT Bernoulli , ta lại có :   ( 0 ) ( ) a( x − y ) � + a e a ( x − y ) − = ( − a ) + ae x − y mâu thuẫn với ( *) ea( x − y ) = � + e − � � Vậy BPT đã cho vơ nghiệm      Ví dụ 4 . Chứng minh rằng các BPT sau khơng có nghiệm ngun dương:         a)   x y + y x                                                                                    ( 1 ) 0 0 a         b)  ( x + y ) + ( y + z ) + ( x + z ) z x y 0                                              ( 2 ) Lời giải a) Từ ( 1 ) suy ra  < x, y <  Giả sử  ( x0 , y0 )  là một nghiệm của BPT (1) , tức  là : y x                             x0 + y0      (*) Theo BĐT Bernoulli , ta có :  0 x0 x0 x0 x0 = = − y x01− y � + ( x0 − 1) � � � + ( − y0 ) ( x0 − 1) x0 + y0 − x0 y0 y0 x Và   y0  .     x0 + y0 − x0 y0 x0 y0 x0 + y y x + > 1  Do đó :  x0 + y0 x0 + y0 − x0 y0 x0 + y0 − x0 y0 x0 + y0 − x0 y0 =                x0 y0 0 0                                                   Mâu thuẫn (*) suy ra điều giả sử là sai. Vậy BPT (1) vơ nghiệm    b)  làm tương tự ý a  2.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI HPT, HBPT    Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau : Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng 1 + + = 3 (1) x y z                             x + y + z = xy + yz + zx = (2) + xyz (3) 27 Lời giải  Điều kiện  x, y, z > 1   ۳ xyz 3 xyz ۳ xyz    (4) xyz 27  Từ (2)  � = x + y + z �3 xyz xyz                   (5) 27 1 = = x y z � x = y = z   Dấu “ = ’’ ở (4) và (5) xảy ra đồng thời  �  Từ (1) � 3 = 1 + + �3 x y z x= y=z Thay vào (1)  � x = y = z = thoả mãn (3)  3 Vậy HPT đã cho có nghiệm duy nhất là  x = y = z = Nhận xét :  Thay vì lý luận dấu “ = ’’ ở (4) và (5) xảy ra đồng thời , ta có thể làm như  sau :     Từ (4) và (5)  � xyz =  (6) thế vào (3) ta được :  xy + yz + zx = =   (7) 27 27    Từ (2), (6),(7) và theo định lí Vi­ét thì x, y,z là 3 nghiệm của phương trình sau :   1 1 � 1�        X − X + X − =   � �X − �= � X = � x = y = z =     3 27 � 3� Với cách làm ở trên thì phương trình  (3) là khơng cần thiết  Ta cũng có thể trình bày lời giải bài tốn trên theo cách sau :      Vì vai trị  x, y , z  là như nhau. Khơng mất tính tổng qt ta giả sử x y z  Ta có  3z �x � �y = z+ +1 Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh 3z z   Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng = xy + yz + zx − xyz = xy ( − z ) + z ( x + y ) � 27 2 x + y) 1− z) ( (          ( − 2z ) + z ( x + y ) = ( − z ) + z ( − z )                         4 1� 1 �z + z + − z � �        = ( −2 z + z + 1) = �   z z ( − z ) + 1� � �+ 1�= � 4� 27 4� � � � � ( 3) � x= y x= y � �  Thế vào (2) ta được  x = y = z =   Dấu  " = "  xảy ra  � � z = − 2z z= 3 thoả  mãn phương trình (1). Vậy  x = y = z =  là nghiệm của hệ đã cho     Bình luận : Với cách làm trên ta thấy phương trình (1) chỉ cần thay bằng  giả thiết  x, y, z >   là đủ   Ví dụ 2 . Tìm m để hệ sau có nghiệm dương : x + y + z =1                             xy + yz + zx = 9m xyz = m Lời giải Giả sử hệ có nghiệm nguyên dương  x0 > 0, y > 00 , z0 > , tức là : x0 + y0 + z0 = (1)                                  x0 y0 + y0 z0 + z0 x0 = 9m x0 y z = m Ta có :      1 = x0 + y0 + z0 Với   m = (3) 3 x0 y0 z0 = 3 m     Mặt khác :  9m = x0 y0 + y0 z0 + z0 x0 Từ (4) và (5) suy ra  m = (2) m 27 (4) 3 ( x0 y0 z0 ) = 3 m   ۳ m 27 27 (5) , thì ta có : 27 Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh 10 Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng x + y + z =1 xy + yz + zx = xyz =   x, y, z  là 3 nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau) của  27 phương trình sau :  X − X + 1 X− =0 27 1 � 1� � �X − �= � X = � x = y = z = 3 � 3� Vậy với   m =  , thì ycbt được thoả mãn 27 * Ví dụ 3. Tìm a,b  ﾡ +  thoả mãn :            a b + b a 12 (1) a a +b b (2) 28 Lời giải Từ (1) ta có : 12 �a+ � b < b= a Do a,b  ﾡ * + ab 11 (3) Từ (2) ta có :   282 ( a a +b b (ab)3 )                                                              ab 6 12 ( a + b ) ( a + b) ( a + b) ( a + b) = ( a + b) 2                        � a + b > 28 > � a + b �10 (4) Giả sử  a b , từ (3) suy ra   ab �11 � a 11 a     Với  a , thì từ (4)  b< = ab 2.7 14 11        (mâu thuẫn (3) )  Với  a = , từ (4) suy ra  b  kết hợp với (3) ta được  b = 9;10;11 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh 11 Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng Dễ dàng kiểm tra thấy chỉ có cặp (1 ; 9) là thoả mãn Vậy nghiệm của hệ BPT đã cho là  ( a, b ) = { ( 1;9 ) , ( 9;1) } Ví dụ 4 . Tìm nghiệm dương của HBPT sau :             a 2000 + b 2000 + c 2000 = (1) a + b2 + c2 (2) Lời giải Áp dụng BĐT cauchy ta có :  a 2000 + 999.1 10001000 a 2000 1000a Tương tự , ta có :           b 2000 + 999.1 1000b  và  c 2000 + 999.1 1000c 2000 2 Do đó  :   a 2000 + b 2000 + c + 3.999 1000( a + b + c ) � ( a + b + c ) 1000 �3.( + 999 ) = 3.1000 � a + b + c �3 (3)   2 Từ (2) và (3) suy ra  a + b + c =  Dấu “ = “ xảy ra  � a = b = c =   Vậy nghiệm của HBPT đã cho là :   a = b = c = W MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1.Tìm  x 2− n � π� n n ;  tho ả  mãn :   sin x + cos x = n , n ﾡ \ { 0,1}    � � � � 2.Giải phương trình sau :  16 + x − 1986 = 10 − y − 2002 ( x − 1986 + y − 2002 )  3.Tìm GTLN của tham số a để BPT sau có ít nhất một nghiệm : a ( x − 1) + a ( x − 1) a sin πx        4.Giải các HPT  , HBPT sau :   a)   x , y , x, t >              b)   x + y + z + t = 12 2005 xy + yz + zx + xt + yt + zt = xyzt − 27 = ( xy ) x y + = xy y x x 2008 + y 2008 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh 12 Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng x3 y = c)   3x + y = 4x+ y−1 + 3.42 y−1 e)  x + 3y − log4 x x3 − x + = ( x3 + ) ( x + x − ) d)  x+ 1+ x x ( x − 1) ( y − 2) z3t = 1024 f)  4x + z + 16y + t = 8x + 76 x 1; y 2; z 0; t          III. ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO TÌM GTLN ­ GTNN  1.KỸ THUẬT CHỌN  ĐIỂM RƠI TRONG BĐT CAUCHY    Giả sử  ta cần chứng minh, BĐT sau :            S ( a1 , a2 , , an ) C _ const  (*)  hoặc   S ( a1 , a2 , , an ) C _ const   1.1   Trường   hợp   1  :   S ( a1 , a2 , , an )       biểu   thức   đối   xứng     các  , i = 1, n  .Ta dự đoán dấu “ = ’’ trong BĐT (*) xảy khi  a1 = a2 = = an  Kiểm  tra lại dự đốn nếu đúng thì kết hợp với điều kiện xảy ra dấu “ = ’’ trong BĐT  cauchy , ta sẽ tìm được các hằng số trong các đánh giá giả định. T ừ đó đưa ra lời  giải của bài tốn     Ví dụ 1:  Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh 13 Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng a, b, c >  Cho  a+b+c     Chứng minh rằng : S = ( a + b2 + c ) + 1 15 + + a b c Lời giải  Dự đoán  S = 15  khi  a = b = c =  Do đó ta cần chọn  α  sao cho : 2 2a = 2b = 2c 2       1 � = � α =   Từ  đó ta có lời giải sau : α = = α a αb αc 1 1 1 � �1 1 � � S =� 2a + 2b + 2c + + + + + + �+ � + + �   a b c a b c a b c � � � � �3 � 9 15 + +      2 � abc � 2 a + b + c + = � � 2 Dấu “ = ” xảy ra khi  a = b = c = (đpcm)   Ví dụ 2 :     Cho  a, b, c >  . Chứng minh rằng : a3 b3 c3                   + + a + ab + b b + bc + c c + ac + a a+b+c      Trước tiên ta xét đánh giá giả định sau :  a3                                   αa + βb a + ab + b 3                          � ( 1− α ) a − β b �( α + β ) ab ( a + b ) 1− α −β a + b �ab ( a + b )        (*)                          � α +β α +β Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh 14 Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng    Mặt khác , ta lại có :  a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b )   CS ( a + b ) ( 2ab − ab ) = ab ( a + b )     Do đó (*) ln đúng nếu ta chọn được α , β  thoả mãn : 1−α =1 α +β �                        � � −β = α +β ∀a, b α= �        � − �β =    Khi này , ta có lời giải sau :  a3 b3   Ta có :  a − b   ,    a + ab + b 3 b + bc + c c3      và    c − a c + ac + a 3 b − c  3    Cộng vế với vế  3 BĐT trên ta được ĐPCM   W  Ví dụ 3 : Cho  a, b, c �ﾡ                          * + t / m abc =  Chứng minh rằng :    1 + + a3 ( b + c) b3 ( c + a) c3 ( a + b) Trước tiên ta dự đoán dấu “ =  ” xảy ra khi  a = b = c = Khi đó     1 b+c = = =   Do đó : a3 ( b + c) 4bc b+c b+ c +− = � + a3 ( b + c) 4bc a3 ( b + c ) 4bc Tương tự ta có :  b3 ( c + a) a a3 ( b + c ) 1 �1 � − �+ �  và  b �c a � c ( a + b) a �1 4� �b 1� c� � 1 �1 � − + � c 4� a � b� Cộng vế với vế  3 BĐT trên ta được: 1 + + a ( b + c ) b ( c + a) c ( a + b) �1 1 � 3 1 + + � = 2� a b c a b c � � Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh 15 Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng 1.2. Trường hợp 2 :  Trong biểu thức  S ( a1 , a2 , , an )  các  , i = 1, n  khơng có  tính đối xứng . Khi này việc dự đốn dấu “ = ’’ trong BĐT (*) cho một lớp bài  tốn là rất khó. Kết quả của việc này chủ yếu dựa vào kinh nghiệm và trực quan  tốn học của mỗi người làm tốn a, b, c >       Chứng minh rằng : a + 2b + 3c 20           S = a + b + c + + + 13 a 2b c  Trước tiên , ta dự đoán  S = 13  , khi  a, b, c >  và thoả mãn  a + 2b + 3c = 20   Ví dụ 1 : Cho  Biểu diễn S dưới dạng sau : 3� � � � 4� � S =� α a + �+ �β b + �+ � γ c + �+ ( − α ) a + ( − β ) b + ( − γ ) c a� � 2b � � c � � Như vậy ta cần chọn các số  α , β , γ  thoả mãn các điều kiện sau đây :  1−α 1− β 1− γ α = − k (1) = = =k >0 β = − 2k (2) 3 γ = − 3k (3) a= , b= ,c = α 2β γ 6 + + = 20 (4) a + 2b + 3c = 20 α 2β γ Thế (1),(2),(3) vào (4) ta được : 6 + + = 20 (5) 1− k − 4k − 3k Ta cần chọn  < k < 1 sao cho thay vào (5) thì ta khai căn được ở các biểu thức  có chứa dấu căn. Dễ thấy  k =  đáp ứng được u cầu đó. Khi này ta có một                                 lời giải đẹp như sau :     Ta có :  LG Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh 16 Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng � � � � � 16 � 1 a + �+ � b + �+ � c + �+ a + b + c                               � 4� a � 2� b � 4� c � CS 16 ۳ S a + b + c + ( a + 2b + 3c ) a b c 20            + + + = 13 ۳ S 13 Dấu “ = “ xảy ra  � a = 2, b = 3, c = W             S =                          Ví dụ 2 :  Cho  x, y > 0, x + y    Chứng minh rằng : 48 68                                 P = 51x + 23 y + + x y Trước tiên ta dự đoán  P = 68  , khi  x, y > và  x + y =   Ta biểu diễn P dưới dạng sau : 9� � 48 � + ( 51 − α ) x + ( 23 − β ) y �+ �β y + � x� � 7y � Như vậy , ta cần chọn  α , β >  thoả mãn các điều kiện sau :  51 − α = 23 − β α = 28 + β (1) � � αx +           P = � 3 , y=4 7β α x + y =1 x= Thay (2) vào (3) ta được :  � x= 3 , y=4 (2) β 28 + β x + y =1 (3) 3 +4 =1 7β 28 + β (4) Dễ thấy  β = 21 thoả mãn (4) , thay vào (1) ta được α = 49   Khi này , ta có lời giải sau : � � 49 x +                   P = � 9� � 48 � 21 y + + 2( x + y ) �+ � x� � 7y � �                       42 + 24 + = 68   Dấu đẳng thức xảy ra khi  x = CS 2. ỨNG DỤNG VÀO TÌM GTLN ­ GTNN .       Ví dụ 1 :  Cho  x, y, z >  Tìm GTNN của biểu thức sau : Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh , y = W   7 17 Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng ( x + y + z)                                   S = xy z LG  Do  x, y, z khơng có mối quan hệ ràng buộc nào . Nên để tìm MinS ta có 2 cách  sau  Cách 1 . Sử dụng BĐT Cauchy ngược ta có :  xy z α ( x + y + z )                       1 �6 ( x + y + z ) �  Ta có :  xy z = ( x.3 y.3 y.2 z.2 z.2 z ) � � 423 423 � �       xy z ( x + y + z )  . Do đó   : 432 6 x + y + z) x + y + z) ( ( S= = 432         xy z ( x + y + z) 432 1 Vậy  MinS = 432 , khi  x = y = z > W Cách 2 .  Sử dụng BĐT Cauchy thuận ta có : ( x + y + Z ) αxy z 6 1 1 � �  Ta có   ( x + y + z ) = � x + y + y + z + z + z� 3 � � CS � � xy z                                � 66 �= 432xy z  Do đó, ta có kết quả như cách 1 � 108 � x         Tìm GTLN của : y                  S = ( − x ) ( − y ) ( x + y ) Ví dụ 2 :  Cho  LG    Nhận xét : Rõ ràng với điều kiện đã cho thì  − x theo hệ quả của BĐT cauchy thì  ( a) n i =1 i  � Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh n i =1 0,4 − y  Mặt khác ,  = C _ const  Vậy ta cần  18 Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng chọn α , β  sao cho :                                                                                                       (3α − α x) + (4 β − β y ) + (2 x + y ) = C _ const Dễ dàng thấy  α = 2, β =   Khi đó ta có lời giải sau :              S = ( − x ) ( 12 − y ) ( x + y ) CS 1� (6 − x) + (12 − y ) + (2 x + y ) �                 36 � � 6� � Vậy  MaxS=36  , khi  x = 0, y = W Ví dụ 3 : Cho  a,b,c,d >  Trong tất cả các nghiệm dương  ( x, y,z, t )  của  phương trình :  a b c d + + + = 1   . Hãy chỉ ra nghiệm với tổng : x y z t n n n n       Sn = x + y + z + t  nhỏ nhất với  n ﾡ *                             Lời giải      Đặt  A = n +1 a n + n +1 b n + n +1 c n + n +1 d n Theo BĐT cauchy , ta có :   xn + a n+1 a A + + A n +1 x 44 x4 43 ( n + 1) n +1 a n An n _ sô' b n +1 A ( n + 1) n+1 b n A n y c                                              z n + n A n +1 ( n + 1) n +1 c n A n z d       Và                                  t n + n A n +1 ( n + 1) n +1 d n A n t a b c d� n n n n n +1 � Do đó   :    x + y + z + t + nA � + + + � �x y z t �                                              y + n n                                                                                 ( n + 1) A ( n + 1) A Vậy    S = x + y + z + t n n n n A n +1 n ( n +1 = n +1 a n + n +1 b n + n +1 c n + n +1 d n ) ( n +1 a n +1 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh + n +1 b n +1 + n +1 c n +1 + n +1 d n +1 ) n +1   19 Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng a n +1 n b n +1 n c n +1 n d n +1 A , y = A ,z = A , t = A x y z t a b c d + + + =1 x y z t xn = Dấu “ = “ xảy ra  x = n +1 aA , y = n +1 bA                              Vậy   MinSn = ( z= n +1 n +1 cA , t = n +1 dA      (*) a n + n +1 b n + n +1 c n + n +1 d n ) n +1 , đạt được khi có (*) MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : x, y,z > x 30 y30 z 30 Cho   . Tìm GTLN của  :   P = 21 + 21 + 21   y z x x + y + z = 2004 Tìm giá tị nhỏ nhất của hàm số:                       y = 9x + x4 + 13x2 − x4 , (x 1) x 2001 2002  Tìm GTLN của  y = x ( 2002 − x ) a bc a − + ca b − + ab c −   Cho  b Tìm GTLN của  S = abc c 2001 Với  Tìm GTLN , GTNN của hàm số :  y = x ( ) 1999 − x + 1997 IV.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CM TÍNH CHẤT NGHIỆM   Ví dụ  1 : Chứng minh rằng nếu phương trình  x n +1 + dương  x , thì  x < n   ( n − =  (1) có nghiệm  x ) Lời giải Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh 20 Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng Giả sử  x >  là nghiệm của (1) thì ta có :                              x n +1 + 1 − = � = x 02 n +1 + �2x 0n x0 x0 x0                                                                     � x Dấu “ = ” xảy ra  = � x =                 x0 n n +1  Nhưng  x = 1 khơng thoả mãn (1) . Do đó  x < n W Ví dụ 2 : Chứng minh rằng phương trình : 2                x − ax + a x − a x + a = , a >  khơng thể có 4 nghiệm  khơng  âm Lời giải     Giả sử phương trình đã cho có 4 nghiệm  x1 , x , x , x Theo định lý Vi­et ta có :  x1 + x + x + x = a x1 x x x = a Mặt khác theo BĐT Cauchy , ta lại có :                       x1 x x x                 a4 a x1 + x + x + x 4 a   ( vơ lý ) a 4 Vậy điều giả sử là sai , tức là phương trình đã cho khơng thể có 4 nghiệm  khơng  âm  W n n −1 Ví dụ 3 :  Cho  P ( x ) = x + a x + + a n −1 x +  ,  a i , i = 1,n − 1 và  P ( x ) =  có n nghiệm thực . Chứng minh rằng  P ( m ) ( m + 1) n , m, n ﾡ * Lời giải   Vì  a i , i = 1,n − 1 và 1 > 0 nên trong n nghiệm của  P ( x ) =  khơng có  nghiệm nào dương . Giả sử đó là  α i , i = 1,n  Khi này  P ( x )  có dạng : n n            P ( x ) = �( x − α i ) = �( x + βi )   ( với  βi = −α i > 0,i = 1,n  ) i =1 i =1 n Theo định lý Vi­et thì  �βi = ( −1) i =1 n n �α = ( −1) ( −1) = i =1 n n i Áp dụng BĐT Cauchy ta được : Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh 21 Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng n              P ( m ) = �( m + βi )            ۳ P ( m ) i =1 ( m + 1) n ( m + 1) n n n +1 �β = ( m + 1) i =1 n i   W  KẾT LUẬN       Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức khá nổi  tiếng bởi phạm vi ứng dụng rộng rãi của nó. Ngồi việc được vận dụng để  chứng minh các bất đẳng thức đại số thì bất đẳng thức Cauchy cịn được sử  dụng trong các các bài chứng minh bất đẳng thức lượng giác hay các bài tốn cực  trị hình học. Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu khơng nhiều nên trong chun đề  này những vấn đề thú vị đó vẫn chưa được đề cập đến.        Trên đây là một số kinh nghiệm có được trong q trình dạy hoc, tìm tịi tự  bồi dưỡng nghiệp vụ chun mơn. Các ví dụ được sưu tầm và chọn lọc kĩ lưỡng  từ đề thi đại học các năm và đề thi học sinh giỏi các tỉnh trong cả nước. Mặc dù  đã cố gắng song kinh nghiệm cịn rất khiêm tốn. Mong nhận được sự góp ý chân  thành của q thầy cơ và các bạn động nghiệp về cả nội dung và hình thức trình  bày để chun đề được hồn thiện hơn    Tơi xin chân thành cảm ơn ! Mê Linh , ngày 10 tháng 05 năm 2011 Giáo viên    Trần cơng Văn Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh 22 Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO Bất đẳng thức ( Phan Đức Chính) Chun đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số (Nguyễn  Đức Tấn) Báo tốn học và tuổi trẻ Báo tốn tuổi thơ Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh 23 ...      Như chúng ta đã biết,? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?Cauchy? ?là? ?một? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?khá nổi  tiếng bởi phạm vi? ?ứng? ?dụng? ?rộng rãi của nó. Ngồi việc được vận? ?dụng? ?để  chứng minh các? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?đại? ?số? ?thì? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?Cauchy? ?cịn được sử ... Trần Cơng Văn – Trường THPT Tiến Thịnh 22 Bất? ?đẳng? ?thức? ?Cauchy? ?và? ?một? ?số? ?ứng? ?dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO Bất? ?đẳng? ?thức? ?( Phan Đức Chính) Chun đề? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?và? ?ứng? ?dụng? ?trong đại? ?số? ?(Nguyễn  Đức Tấn) Báo tốn học? ?và? ?tuổi trẻ.. .Bất? ?đẳng? ?thức? ?Cauchy? ?và? ?một? ?số? ?ứng? ?dụng 1­ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI :  Bất? ?đẳng? ?thức? ?là? ?một? ?trong những mảng? ?kiến? ?thức? ?khó nhất của tốn học  phổ  thơng mà học sinh cần phải nắm được, bởi  ứng? ?dụng? ?của? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?