Dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy

Thông thường khi gặp bài toán bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất học sinh liên tưởng ngay đến dạng mẫu đã học và áp dụng ngay các bất đẳng thức đã học nhưng thực tế nhiều bài toán trong các kỳ thi đại học, cao đẳng học sinh gặp những dạng toán phức tạp mà để giải đòi hỏi phải có những nhận xét đặc biệt. Một trong những nhận xét đặc biệt đó là dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy để giải toán.

MỤC LỤC 1. Mở đầu…………………………………………………………………Trang  ­ Lí do chọn đề tài nghiên cứu…………………………………………….Trang  ­ Mục đích nghiên cứu…………………………………………………….Trang  ­ Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………Trang  ­ Phương pháp nghiên cứu…………………………………………… ….Trang  2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………………Trang  3           2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm…………………… ……….Trang  2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh  nghiệm……… Trang 4 2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết  vấn  đề………………………………………………………………………….Trang  2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản  thân, đồng nghiệp và nhà trường……………………………………… Trang  19 3. Kết luận,kiến nghị……………………………………………………Trang  19 ­ Kết luận…………………………………………………………………Trang  19 ­ Kiến nghị……………………………………………………………….Trang  19 Tài liệu tham khảo………………………………………………………Trang  20 Phụ lục………………………………………………………………… Trang  23                                                  1. Mở đầu:    ­  Lí do chọn đề tài:     + Bất đẳng thức là nội dung khó với học sinh nhưng lại là một trong những   nội dung quan trọng trong các kỳ thi đại học. Trong q trình học và ứng dụng  lí thuyết để làm bài tập học sinh thường gặp nhiều khó khăn, lúng túng khơng  biết xuất phát từ  đâu, phương pháp giải như  thế  nào. Chứng minh bất đẳng  thức hoặc tìm giá trị  lớn nhất, giá trị  nhỏ  của một biểu thức là một dãy các  bước biến đổi, đánh giá thơng qua các bất đẳng thức mà đảm bảo dấu “=”   bất đẳng thức ln đúng tại mọi thời  điểm. Sai lầm học sinh hay gặp là  khơng kiểm tra dấu “=”  của bất đẳng thức có xảy ra hay khơng?.  Như  thế  học sinh dễ mắc sai lầm khi áp dụng các bất đẳng thức mà khơng xảy ra dấu   “=”. Học sinh khơng biết xuất phát từ đâu?. Làm cách nào để suy luận ra các   bất đẳng thức cần dùng trong bài tốn. Dự đốn dấu “=” trong bất đẳng thức   Cauchy là một kỹ  thuật suy ngược nhưng logic, và tơi đã dựa trên “kỹ  thuật  chọn điểm rơi ”   dự  đốn dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy để  giải bài   tốn nhằm giúp các em hạn chế và giảm những sai sót này trong q trình giải  tốn. Đó là lí do tơi chọn đề tài này ­  Mục đích nghiên cứu :     Thơng thường khi gặp bài tốn bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị  nhỏ nhất học sinh liên tưởng ngay đến dạng mẫu đã học và áp dụng ngay các   bất đẳng thức đã học nhưng thực tế nhiều bài tốn trong các kỳ  thi đại học,   cao đẳng học sinh gặp những dạng tốn phức tạp mà để giải địi hỏi phải có  những nhận xét đặc biệt. Một trong những nhận xét đặc biệt đó là dự  đốn  dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy để giải tốn ­  Đối tượng nghiên cứu :     Là học sinh lớp 10B2 và 10B3 trong q trình học chương bất đẳng thức.  Tơi lựa chọn 2 lớp của trường THPT Lưu  Đình Chất có những điều kiện  thuận lợi cho việc nghiên cứu ứng dụng   +Học sinh:    Chọn lớp 10B2 là nhóm thực nghiệm và 10B3 là nhóm đối chứng và tiến  hành kiểm tra các kiến thức cơ  bản để  đánh giá và so sánh mức độ  của hai   lớp trước tác động. Kết quả  kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp   khơng có sự  khác nhau, do đó tơi dung phép kiểm chứng T­ Test để  kiểm   chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của hai lớp trước khi tác động.     Kết quả : Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương Đối chứng(ĐC) Thực nghiệm(TN) TBC 5,5 5,5 P= 0,43 P=0,43 > 0,05 , từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm  TN và ĐC là khơng có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương   Bảng 2. Thiết kế nghiên cứu Nhóm Kiểm tra trước  Tác động (TĐ) KT sau TĐ TĐ Thực nghiệm 01 Dạy học theo hệ thống  03 bài tập liên quan Đối chứng 02 Dạy học theo hệ thống  04 bài tập có nhiều loại Ở thiết kế này chúng tơi sử dụng phép kiểm chứng T­ Test độc lập ­  Phương pháp nghiên cứu:     + Tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, báo Tốn học và tuổi trẻ   +Thực hành thơng qua q trình giảng dạy    +Điều tra kết quả  học tập của học sinh từ đó thấy được mức độ  và hiệu    đạt được của học sinh khi thực hiện đề  tài. Qua đó rút kinh nghiệm và  thực hiện tốt hơn trong q trình xây dựng đề tài.  2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:    +) Dựa vào nội dung chương trình sách giáo khoa lớp 10.      Cụ thể là :”bài 1: Bất đẳng thức”  thuộc chương IV đại số 10     Khi giải các bài tốn về bất đẳng thức trong chương trình sách giáo khoa 10  sử dụng một số định lí và tính chất như sau: ) a + b,  b c   a   c      �� ) a +  b a + c   b + c      � �  b  ac   bc  (c > 0)      +) a  �۳  b  ac   bc  (c  0, c > 0)      ��      +)� a � b  a 2n+1 b n +1   (n N* )      + a� b�  a 2n+1 b n +1   (n N* , a  > 0)      +) � a b   a      +) � a b  3 a b   (a  > 0) b    a+b   , ∀a,b       a+b      ab = � a=b 2  , ∀a > 0       +) a+ a       +) x 0, x x, x − x +)  ab +) a > 0:  x �� a −a �� x a                      x a                          +) a − b a + b x x −a a a+b   +) Dựa vào một số tài liệu liên quan.      +) Học sinh lớp 10 trường THPT Lưu Đình Chất 2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:     Một là: Qua thực tế dạy học tơi thấy trong chương trình lớp 10 phần bất   đẳng thức, số bài tập trong sách giáo khoa hạn chế và thời lượng ít    Hai là: Trong sách giáo khoa, sách bài tập đại số ban nâng cao và cơ bản đều  khơng có hoặc rất ít bài tốn bất đẳng thức u cầu nêu dấu “=” xảy ra?. Do  đó học sinh khơng có thói quen thử  lại dấu “=” có xảy ra hay khơng? Đây  chính là sai lầm học sinh hay gặp phải 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để sử dụng giải quyết vấn đề như sau + Cung cấp cho học sinh khơng chỉ kiên th ́ ức mà cả phương pháp suy luận,  khả  năng tư  duy. Từ những kiên th ́ ức cơ  bản phải dẫn dắt hoc sinh co đ ́ ược  những kiên th ́ ức nâng cao một cách tự  nhiên (chứ  không áp đăt ngay kiên th ̣ ́ ức   nâng cao) + Nôi dung ̣  : Bài tốn mở đầu : Bài tốn 1. Cho  x  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :  A = x + x +) Sai lầm thường gặp :  1 x = x x +) Nguyên nhân sai lầm: MinA=2  � x = � x = � vơ lý vì  x x +) Xác định điểm rơi:  Hàm số:  f ( x ) = x +    là hàm số đồng biến trên  [ 4;+ x Vì  x1 �x2 ; x1 , x2 �[ 4; +�) : A= x+ ) f ( x2 ) − f ( x2 ) 1 15 =1− >1− = >0 x2 − x1 x2 x1 4.4 16 17 = � x=4 4 Do bất đẳng thức Cauchy   xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số  tham gia  phải bằng nhau nên ta đưa tham số   α   sao cho tại điểm rơi x=4 thì cặp số  Nên  MinA = + x phải bằng nhau α x Với x=4 cho cặp số: x = α α � = � α = 16 1 α = x +) Lời giải đúng:  x 15 x x 15.4 17 = + + + = x 16 x 16 16 x 16 x = 17 MinA = ��16 x x=4� x=4 x=4 A= x+ Lời bình: Bài tốn 1 áp dụng bất đẳng thức  A = x + x x =  lời giải 1  x tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách A = x + x 15 x = + + ? ? Làm sao nhận biết được  x 16 x 16 điều đó…? Đó chính là kỹ  thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chun   đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc   giải các bài tốn cực trị  A. PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI  Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy   Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất   rộng rãi. Đây là bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là  cơng cụ hồn hảo cho việc chứng minh các bất đẳng thức  *  Bất đẳng thức Cauchy Cho  n  số thực khơng âm  a1,a2, ,an (n 2)  ta ln có:  a1 + a2 + L + an n n a1a2 an  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  a1 = a2 = L = an *  Một vài hệ quả quan trọng: �1 1� (a1 + a2 + L + an )� + + L + � n v� � i ∀ai > 0, i = 1,n (1) an � �a1 a2 1 + +L + a1 a2 an n2 v� � i ∀ai > 0, i = 1,n a1 + a2 + L + an ( 2) Cho  2n  số dương ( n γ Z ,n 2):  a1,a2, ,an ,b1,b2, ,bn  ta có:                    n (a1 + b1)(a2 + b2) (an + bn ) n a1a2 an + n b1b2 bn ( 3) Trong chứng minh bất đẳng thức, đôi khi việc ghép và sử  dụng các bất  đẳng thức cơ  sở  khơng được thuận lợi và dễ  dàng. Khi sử  dụng liên tiếp   nhiều bất đẳng thức ta phải chú ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để  điều kiện này ln được thỏa mãn suốt q trình ta sử  dụng bất đẳng thức   trung gian. Và bất đẳng thức Cauchy  là một trong những bất đẳng thức đó.  Để thấy được kĩ thuật này như thế nào ta sẽ đi vào một số bài tốn sau: Bài tốn 2: Cho  x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A = x + x +) Xác định điểm rơi:  Hàm số:  f ( x ) = x +     đồng biến trên  [ 3;+ ) x Vì  x1 �x2 ; x1 , x2 �[ 3; +�) : f ( x2 ) − f ( x2 ) 1 1 25 =1− − > − − = >0 x2 − x1 x2 x12 x22 x1 3.32 3.32 27 28 = � x =  Nên ta có : 32 +)Sơ đồ điểm rơi: x = α α � = � α = 27 1 α = x2 Ta phải tách làm sao để khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì sẽ khử hết  biến và dấu  '' = ''  xảy ra +) Lời giải: Nên  MinA = + x x 25 x x x 25 x = + + 2+ 33 + x 27 27 x 27 27 27 x 27 x x = = 28 MinA = ��27 27 x x=3 x=3 A= x+ 25.3 28 + = 27 Bài tốn 3: Cho x 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=2x  + 18 x Sơ đồ điểm rơi : 18 18 = 32 18 32 x � = � α = x=4         α x 32 = α α x 18  � � 18 x 18 23 + − Lời giải: S=x + = + x    2 + x � � x 16 x  � 16 � 16 x 16 = 23 23 9  2x x   + x    2.4   +  4 =41 16 16 2 Vậy với x=4 thì Min S = 41 x, y > Bài tốn 4 : Cho    x+ y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + 1 + x y +) Xác định điểm rơi:  Do A là biểu thức đối xứng theo x,y nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A  +)Sơ đồ điểm rơi:  x y = = α α 2α x = y = �� 1 2 = = x y x = y = = �α = 2α +) Lời giải: A= x+ y+ A 1 �4 x � �4 y � + = � + �+ + �+ ( x + y ) x y �9 x � � y� � 4x 4y +2 + ( x + y) x y 4x = x 4y 13 MinA = �� = y x+ y=3 x, y > Bài toán 5: Cho  x= y= 2.2 13 + = 9 3 x, y >  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  S = xy + xy x + y =1 +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo  x, y  nên ta dự đoán  MinS  đạt tại  x = y = Sơ đồ điểm rơi : xy = x = y = �� = α xy α = � α = 16 α +) Lời giải :   S = xy + � � 15 = �xy + �+ xy � 16 xy � 16 xy 15 17 + = x + y � � 16 � � �2 � 17 MinS = � x= y= 2 S xy + 16 xy 15 = x, y > , tìm GTNN của biểu thức  P = 2 + + xy xy x+ y x +y +) Định hướng cách giải: Do P là biểu thức đối xứng theo   x, y , ta dự  đoán  Bài toán 6:Cho  MinP  đạt tại  x = y = Lời giải: P= 1 � 1� + + �xy + �+ 2xy � xy � 2xy x +y 13 + xy + 2 xy (x + y ) �x + y � 2� � �2 � x + y = 2xy Min P =  13 � x2 y = � x = y = 1.  x+ y =2 Bài toán 7:  Cho  x, y > 2 , tìm GTNN của biểu thức  S = 3 + + x+ y x +y x y xy +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo  x, y nên ta dự đoán  MinS  đạt tại  x = y = 1và ta thấy:  x3 + y + 3x y + 3xy = (x + y )3  vì thế ta muốn  xuất     (x + y )3 ,   ta   áp   dụng   bất   đẳng   thức  1 1 1 1 + + + + + + + +   cho 9 số ta có: 2 x +y 2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy   +) Lời giải :      Áp dụng bất đẳng thức cho 9 số: S= 1 1 1 1 + + + + + + + + x3 + y 2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy 81 3 5(x + y ) (x + y ) + Dấu bằng xảy ra khi  x = y = 1.   S 81 3 5(x + y ) (x + y ) + Bài toán 8 : Cho  x, y , z >   x+ y+z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z + 1 + + x y z +) Xác định điểm rơi:  Do A là biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A  x = y = z = +)Sơ đồ điểm rơi:  x y z = = = α α α α x = y = z = �� = �α = 1 1 α = = = x y z +) Lời giải: A= x+ y+ z+ A 1 �x � �y � �z � + + = � + �+ + �+ � + �+ ( x + y + z ) x y z �4 x � � �4 y � �4 z � x y z + + + ( x + y + z) x y z x = x y = 15 MinA = ��4 y z = z x+ y+z=6 2.3 15 + = 4 x= y=z=2 10 +) Lời giải :   S= � x ��y + z + t + x , y , z ,t S 88 � y + z +t � y + z +t + � � x � x , y , z ,t 9x x y z t y + z +t x+ z +t x+ y +t x+ y +t y+ z +t x+ z+t x+ y+t x+ y + z x y z t �y z t x z t x y t x y      + � + + + + + + + + + + + �x x x y y y z z z t t z� � t� 8 y z t x z t x y t x y z 8 40 + 1212 = + 12 = x x x y y y z z z t t t MinS = 40 � x= y= z =t >0 x, y , z > Bài toán 11: Cho  S = x2 + y + z + x+ y+z , tìm GTNN của biểu thức  1 + + x y z +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo  a,b ,c nên ta dự  đoán  MinS  đạt tại  x = y = z = x2 = y2 = z = Sơ đồ điểm rơi : 1 = = = αx α y αz α � = �α = α +) Lời giải : x 2    S = x + y + z + + 1 + y z 12 � 1 1 1 � �1 1 � = �x + y + z + + + + + + �+ � + + � x y z x y z � �x y z � � 1 1 1 3� 1 � S 9 x y z + � 33 � 8x y 8z 8x y 8z � x y z � Bài toán 12 : Cho  9 9 9 27       = + + = + = 4 xyz 4 x + y + z 4 27 MinS = � x= y=z= x, y , z > x2 + y2 + z =  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   S = x + y + z + xyz +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo  x, y  nên ta dự đoán  MinS  đạt tại  x = y = z = Sơ đồ điểm rơi : x= y=z= x= y=z= �� 3 = α xyz α 3 = �α = α +) Lời giải :   � � S = �x + y + z + �+ xyz � xyz � 8 + = + =4 2 xyz �x + y + z � 3 9� � � � MinS = � x = y = z = S x y.z x, y , z > Bài toán 13 : Cho  xy 12 yz �1 �xy  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   S = ( x + y + z ) + � + 1� + �+   yz zx � xyz 13 x, y , z > +Dự đoán giá trị nhỏ nhất của đạt được khi  xy = 12  tại  x = 3, y = 4, z = yz = + Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số khơng âm ta có:    x y + + 18 24 xy x z    + +    xz 33 33 x z + + 16 yz x x z =1 xz 33 z y + 12 xyz    + + x y = 18 24 xy x z = 16 yz 44 x z y =1 12 xyz    13 x 13 y + 24 13 x 13 y 24 13 13 xy 24 13    13 x 13 y + 48 24 13 x 13 y 48 24 13 13 xy 48 24 13 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được : �1 �xy    S = ( x + y + z ) + � + 1� + �+ yz zx � xyz 13 13 121 + 1+ + 1+ + = 4 12 x, y , z > Bài toán 14 : Cho  1   + + =1 x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 A= + + x + y + 3z x + y + z 3x + y + z +) Định hướng cách giải: Do A là biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự  đoán giá trị nhỏ nhất của A tại x = y = z = 1 Để   A   có   thể   xử   dụng   gỉa   thuyết   + + =   : x y z 1 , , x + y + z x + y + 3z 3x + y + z phải được tách thành tổng các số hạng  1 , , Từ một số hạng ban đầu tách thành nhiều số hạng  nghĩ ngay đến hệ  x y z quả (2): 14 Do đó:  1 = x + y + 3z x + y + y + z + z + z �2 � + + � 36 � x � y z� �1 � + + � 36 � x � y z� 1 = 3x + y + z x + x + x + y + z + z �3 � + + � 36 � x � y z� 1 = 2x + y + z x + x + y + y + y + z nên:A= 1 + + x + y + z x + y + 3z 3x + y + z �6 6 � + + �= 36 � x � y z� x, y , z > 1 1 MaxA = � + + =1� x = y = z = x y z x= y=z Bài toán 15 : Cho  x, y , z > x + y + z =1  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:   S = x + y + y + z + z + x +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo  x, y, z  nên ta dự  đoán  MinS  đạt tại  x = y = z = Sơ đồ điểm rơi : x= y=z= �x+ y= y+z=z+x= 3 +) Lời giải :   2 x + y = 3 ( x + y ) 3 3 y+z = 2 ( y + z) 3 3 z+x = 2 ( z + x) 3 S = x+ y + y+z + z+x x+ y+ y+z+ 2 + 3 2 + 3 2 z+x+ + 3 3 2( x + y + z) + = = 18 4 15 MaxS= 18 � x = y = z = x, y , z , t > x + y + z + t =1 Bài tốn 16 : Cho   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:   S = x + y + y + z + z + t + 2t + x +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo  x, y, z ,t  nên ta dự  đoán  MinS  đạt tại  x = y = z = t = Sơ đồ điểm rơi : x = y = z = t = � x + y = y + z = z + t = 2t + x = 4 +) Lời giải :   ( 2x + y ) 3 4 ( 2z + t ) 3 4 ( 2t + x ) 3 4 �3 3 + 4 2y + z + 3 ( 2y + z) 4 3 + 4 2x + y + 3 2z + t + + 4 3 2t + x + + 4 3( x + y + z ) + � x + y + y + z + z + t + 2t + x � � � 16 � = =3 = =S� =3 16 S 48 23 S = x+ y + y+z + z+x MaxS= 18 � x = y = z = x y z t 2( x + y + z) + = = 18 4 3  Bài tập vận dụng : x 18 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  S = x + x Bài 1: Cho x  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  S = x + Bài 2: Cho x 16 Bài 3: Cho x  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  S = x + Bài 4: Cho  x, y >    x+ y 1 x Tìm giá trị nhỏ nhất của  biểu thức:  S = x + y + + Bài 5: Cho  1+ x + y 2 + xy 1 + + xy x +y xy x, y >    x+ y Tìm giá trị nhỏ nhất của  biểu thức:  S = Bài 8: Cho  x, y >    x+ y Tìm giá trị nhỏ nhất của  biểu thức:  S = Bài 7: Cho  y x, y >    x+ y Tìm giá trị nhỏ nhất của  biểu thức:  S = Bài 6: Cho  x x, y > x+ y+z 2 + + x +y x y xy    x Tìm giá trị nhỏ nhất của  biểu thức:  S = x + y + z + + Bài toán 9 : Cho  x, y , z > x2 + y2 + z = 1 + y z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   S = x + y + z + xyz 1 1 + + + a + b + c ab bc ca 1 1 1 S= 2+ 2+ 2+ + + ab bc ca a +b b +c c +a 1 1 1 Q= + + + + + a + bc b + ca c + ab ab bc ca P= x, y , z > Bài toán 10 : Cho  1   + + =2 x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 17 A= 1 + + x + y + z y + z + x z + 3x + y Bài toán 11 : Cho  x, y , z > x+ y+z=2  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:   S = x + y + y + z + z + x Bài12: Cho  x, y , z > , tìm GTNN của các biểu thức sau: x+ y+z 1 1 + + + 2 xy yz zx x +y +y 1 S= + + + x + y y + z z + x2 1 Q= + + + x + yz y + zx z + xy P= 1 + + xy yz zx 1 + + xy yz zx Chú ý: Cần chú ý bất đẳng thức Cơsi, có điều kiện các số dương thì khả năng   nghĩ tới Cơsi. Cách giải phải đi ngược qui trình thơng thường. Đầu tiên phải   dự đốn được điểm rơi xảy ra tại đâu, sau đó lồng ghép các số trong bất đẳng   thức sao cho khi xảy ra dấu bằng tại đúng điểm rơi đã dự đốn… 18  2.4. Hiệu quả sau khi sử dụng + Học sinh: Sau khi học sinh học xong chun đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng  thú hơn, tạo cho hoc sinh ni ̣ ềm đam mê, u thích mơn tốn, mở  ra một cách   nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tang ̉   cho học sinh tự học  va t ̀ ự nghiên cứu.  + Bản thân : Sau khi áp dụng đề  tài này  tơi thấy  trong q trình giảng  dạy học sinh học tốt hơn và đa số  khơng mắc sai lầm khi giải bài tốn bất   đẳng thức  Kết luận, kiến nghị : ­  Kết luận : Một bài tốn có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải   hợp lý, ngắn gọn thú vị  và độc đáo là một việc khơng dễ. Do đó đây chỉ  là  một chun đề trong rât nhiêu chun đ ́ ̀ ề, một phương pháp trong hàng vạn  phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên   trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó  là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài tốn, thể  hiện bài tốn từ  đó   học sinh có thể  vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ  bản, phân tích tìm ra  hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học  sinh khơng sợ khi đứng trước một bài tốn khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây   hứng thú say mê mơn tốn, từ  đó tạo cho học sinh tác phong tự  học, tự  nghiên cứu.  Tuy nội dung cua chun đê kha rơng, song trong khn kh ̉ ̀ ́ ̣ ổ thời gian có  hạn người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài tốn điển hình          Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để  chun đề này được đầy đủ hồn thiện hơn     ­ Kiến nghị: Qua thực tế khảo sát học sinh đa số  các em chưa học tốt nội dung bất đẳng   thức nên rất ngại học nội dung này, nhiệm vụ  giáo viên chúng ta là cần hệ  thống bài tập và lựa chọn sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh để  giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản cũng như kỹ năng giải tốn, có như  vậy các  em mới u thích mơn tốn và đạt kết quả  cao hơn. Trong q trình  hồn thành đề tài  tơi biết ơn các đồng nghiệp đã nhiệt tình giúp đỡ, tơi mong   19 muốn nhận được ý kiến đóng góp để  sáng kiến nhỏ  mang lại nhiều lợi ích  cho các em học sinh   Tài liệu tham khảo: 1.Đại số lớp 10, bai tâp đ ̀ ̣ ại số lớp 10­  nha XBGD năm 2016 ̀ 2.Tap chi Toan hoc va tuôi tre năm 2016 ̣ ́ ́ ̣ ̀ ̉ ̉ 3.Cac dang Toan LT ĐH cua Phan Huy Khai­  NXB Ha Nôi năm 2002 ́ ̣ ́ ̉ ̉ ̀ ̣ 4. 263 bài bất đẳng thức của Nguyễn Vũ Thanh­ NXB Giáo Dục 5. Bất đẳng thức của Trần Văn Hạo­ NXB Giáo Dục năm 2009 6. Sáng tạo bất đẳng thức của Phạm Kim Hùng  SVK9­ Trường ĐHKHTN­ ĐHQGHN (NXB Tri Thức).  20 Phụ lục 1. Kiểm tra tìm hiểu thực trạng:  x Đề bài.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P = x +  Biết : a ) x>0                b) x Biểu điểm và đáp án: x a) Do  x>0 nên  >   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: P = x+ x x = ………………………………………………… 2  x điểm        � MinP = 2  tại x = 1………………………………………………… 2  điểm b) P = x+ �x � 15 x = � + �+ x � 16 x � 16 1,5        điểm       x 15 x + 16 x 16 ……………………………………………… 1,5         điểm 15 x       = + 16 ………….……………………………………………… 1 điểm         15 17            + = ………….……………………………………… 1 điểm 4 � MinP = 17   ……………….……………………………………… 1 điểm 21 Phụ lục 2. Kiểm tra sau tác động Bài toán: Cho x,y,z là 3 số dương thõa mãn điều kiện: x + y + z x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :  P = 3x + y + 3z + + 2 + y z Biểu điểm và đáp án: 2 � 2� � 2� � 2� P = 3x + y + 3z + + +  = �18x+ �+ � 18y+ �+ � 18z+ �− 15 ( x + y + z ) …4  x y z � x� � y� � z� điểm 1 x y z Do x,y,z là 3 số dương  nên  , ,  cũng là 3 số dương     Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 18x =12     ( 1) ………………………………………… 1 điểm x Dấu bằng xảy rakhi và chỉ khi 18 x = � x = x   18x+ x ……………………………………………………… 1 điểm Tương tự ta cũng có:   18y+ y 2 18y =12    ( ) ….……………………………………… 1 điểm y   18z+ z 2 18z =12      ( 3) ………………………………………… 1 điểm z Mà  −15 ( x + y + z ) điểm −15       ( ) ……………………………………… 1  Cộng (1), (2), (3), (4) ta có  P 21 Gía trị nhỏ nhất của P bằng 19 khi  x = y = z = điểm 22 23 Phụ lục 2.   Bảng điểm lớp thực nghiệm: Stt 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Họ và tên Lê Tuấn                      Anh Nguyễn Thị Mai          Chi Võ Thị                      Chiến Lê Thị                       Dung Nguyễn Thế              Dũng Ngô Hùng                   Đức Tào Minh                    Đức Nguyễn Thị              Hạnh Đỗ Ngọc                 Hoàng Trần Thị                    Hồng Đỗ Thị                     Huyền Nguyễn Tác              Hùng Nguyễn Thị Lan     Hương Lê Cung                        Kỳ Lê Thị                          Lan Nguyễn Thị                 Lan Nguyễn Tuấn             Lâm Đỗ Đức                      Linh Nguyễn Khánh           Linh Nguyễn Thị Kiều      Loan Đặng Văn                  Luân Phan Thị                      Lưu Nguyễn Thị                 Mai Nguyễn Văn               Nam Nguyễn Thị                 Nga Nguyễn Linh             Ngọc Lê Thị                       Oanh Tào Minh                 Phong Ngô Khánh            Phương Nguyễn Thị           Phương Lê Thị                         Qúy Nguyễn Hữu            Thông Lê Văn                    Thống Lê Thị                       Thùy Lê Thị                       Thúy Lê Thị                       Thủy Nguyễn Thị Vân         Thư Nguyễn Thị           Thương Nguyễn Thị              Trang Bùi Văn                     Tuấn Nguyễn Hoằng          Tuấn Lê Thị                         Yến KT trước tác động 7 4 6 6 8 8 7 6 KT sau tác động 6 6 10 7 8 9 9 10 10 8 8 Bảng điểm lớp đối chứng Stt Họ và tên Lê Phương                    Anh Lê Thị Mai                    Anh KT trước tác động 5 KT sau tác động 24 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 Phan Hồng                   Anh Trần Việt                       Anh Vũ Văn                         Bình Nguyễn Đức               Chính Mai Văn                    Chung Tào Quốc                  Cường Nguyễn Tuấn                Duy Đỗ Văn                        Dũng Hồng Anh                    Đức Lê Minh                        Đức Lê Trung                       Đức  Phạm Văn                      Đức  Lê Trung                         Hải Nguyễn  Văn                 Hậu Tào Thị                         Hiền Hồng Văn                  Hoan Lê Văn                           Hịa Hồng Thị                   Hồng Lê Đăng                        Linh Lê Thị Hồi                  Linh Lê Xn                        Linh Vũ Thị Ngọc                 Linh Nguyễn Thị Lưu        Luyến Lê Đình                        Nam Trịnh Thị                  Nguyệt Trần Thị Kim              Oanh Lê Thành                       Sơn Lưu Hồi                       Sơn Nimh Xn                    Sơn Lại Thị                       Thanh Nguyễn Viết               Thanh Ngơ Văn                       Thái Phạm Văn                  Thắng Lê Xn                         Thu Lê Ngọc                     Thuận Đồn Thị                      Thủy 6 4 7 6 6 4 6 7 6 5 7 6 7 5             XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN  VỊ Thanh Hóa, ngày20 tháng 5 năm2016 Tơi xin cam đoan đây là SKKN của  mình viết, khơng sao chép nội dung  của người khác Người thực hiện 25 Hồng Thị Thúy 26 ...   bất? ?đẳng? ?thức? ?cần dùng? ?trong? ?bài tốn.? ?Dự? ?đốn? ?dấu? ?“=”? ?trong? ?bất? ?đẳng? ?thức   Cauchy? ?là một kỹ  thuật suy ngược nhưng logic, và tơi đã dựa trên “kỹ  thuật  chọn điểm rơi ”  ? ?dự  đốn? ?dấu? ?“=”? ?trong? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?Cauchy? ?để... nhiều? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?ta phải chú ý tới điều kiện để? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?xảy ra, để  điều kiện này ln được thỏa mãn suốt q trình ta sử  dụng? ?bất? ?đẳng? ?thức   trung gian. Và? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?Cauchy? ? là một? ?trong? ?những? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?đó.  Để thấy được kĩ thuật này như thế nào ta sẽ đi vào một số bài tốn sau:...  A. PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI  Kỹ thuật chọn điểm rơi? ?trong? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?Cauchy? ? ? ?Bất? ?đẳng? ?thức? ?Cauchy? ?là một? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?quen thuộc và có ứng dụng rất   rộng rãi. Đây là? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là