Thông thường khi gặp bài toán bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất học sinh liên tưởng ngay đến dạng mẫu đã học và áp dụng ngay các bất đẳng thức đã học nhưng thực tế nhiều bài toán trong các kỳ thi đại học, cao đẳng học sinh gặp những dạng toán phức tạp mà để giải đòi hỏi phải có những nhận xét đặc biệt. Một trong những nhận xét đặc biệt đó là dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy để giải toán.
MỤC LỤC 1. Mở đầu…………………………………………………………………Trang Lí do chọn đề tài nghiên cứu…………………………………………….Trang Mục đích nghiên cứu…………………………………………………….Trang Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………Trang Phương pháp nghiên cứu…………………………………………… ….Trang 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………………Trang 3 2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm…………………… ……….Trang 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……… Trang 4 2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề………………………………………………………………………….Trang 2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường……………………………………… Trang 19 3. Kết luận,kiến nghị……………………………………………………Trang 19 Kết luận…………………………………………………………………Trang 19 Kiến nghị……………………………………………………………….Trang 19 Tài liệu tham khảo………………………………………………………Trang 20 Phụ lục………………………………………………………………… Trang 23 1. Mở đầu: Lí do chọn đề tài: + Bất đẳng thức là nội dung khó với học sinh nhưng lại là một trong những nội dung quan trọng trong các kỳ thi đại học. Trong q trình học và ứng dụng lí thuyết để làm bài tập học sinh thường gặp nhiều khó khăn, lúng túng khơng biết xuất phát từ đâu, phương pháp giải như thế nào. Chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của một biểu thức là một dãy các bước biến đổi, đánh giá thơng qua các bất đẳng thức mà đảm bảo dấu “=” bất đẳng thức ln đúng tại mọi thời điểm. Sai lầm học sinh hay gặp là khơng kiểm tra dấu “=” của bất đẳng thức có xảy ra hay khơng?. Như thế học sinh dễ mắc sai lầm khi áp dụng các bất đẳng thức mà khơng xảy ra dấu “=”. Học sinh khơng biết xuất phát từ đâu?. Làm cách nào để suy luận ra các bất đẳng thức cần dùng trong bài tốn. Dự đốn dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy là một kỹ thuật suy ngược nhưng logic, và tơi đã dựa trên “kỹ thuật chọn điểm rơi ” dự đốn dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy để giải bài tốn nhằm giúp các em hạn chế và giảm những sai sót này trong q trình giải tốn. Đó là lí do tơi chọn đề tài này Mục đích nghiên cứu : Thơng thường khi gặp bài tốn bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất học sinh liên tưởng ngay đến dạng mẫu đã học và áp dụng ngay các bất đẳng thức đã học nhưng thực tế nhiều bài tốn trong các kỳ thi đại học, cao đẳng học sinh gặp những dạng tốn phức tạp mà để giải địi hỏi phải có những nhận xét đặc biệt. Một trong những nhận xét đặc biệt đó là dự đốn dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy để giải tốn Đối tượng nghiên cứu : Là học sinh lớp 10B2 và 10B3 trong q trình học chương bất đẳng thức. Tơi lựa chọn 2 lớp của trường THPT Lưu Đình Chất có những điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu ứng dụng +Học sinh: Chọn lớp 10B2 là nhóm thực nghiệm và 10B3 là nhóm đối chứng và tiến hành kiểm tra các kiến thức cơ bản để đánh giá và so sánh mức độ của hai lớp trước tác động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp khơng có sự khác nhau, do đó tơi dung phép kiểm chứng T Test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của hai lớp trước khi tác động. Kết quả : Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương Đối chứng(ĐC) Thực nghiệm(TN) TBC 5,5 5,5 P= 0,43 P=0,43 > 0,05 , từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm TN và ĐC là khơng có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương Bảng 2. Thiết kế nghiên cứu Nhóm Kiểm tra trước Tác động (TĐ) KT sau TĐ TĐ Thực nghiệm 01 Dạy học theo hệ thống 03 bài tập liên quan Đối chứng 02 Dạy học theo hệ thống 04 bài tập có nhiều loại Ở thiết kế này chúng tơi sử dụng phép kiểm chứng T Test độc lập Phương pháp nghiên cứu: + Tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, báo Tốn học và tuổi trẻ +Thực hành thơng qua q trình giảng dạy +Điều tra kết quả học tập của học sinh từ đó thấy được mức độ và hiệu đạt được của học sinh khi thực hiện đề tài. Qua đó rút kinh nghiệm và thực hiện tốt hơn trong q trình xây dựng đề tài. 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm: +) Dựa vào nội dung chương trình sách giáo khoa lớp 10. Cụ thể là :”bài 1: Bất đẳng thức” thuộc chương IV đại số 10 Khi giải các bài tốn về bất đẳng thức trong chương trình sách giáo khoa 10 sử dụng một số định lí và tính chất như sau: ) a + b, b c a c �� ) a + b a + c b + c � � b ac bc (c > 0) +) a �۳ b ac bc (c 0, c > 0) �� +)� a � b a 2n+1 b n +1 (n N* ) + a� b� a 2n+1 b n +1 (n N* , a > 0) +) � a b a +) � a b 3 a b (a > 0) b a+b , ∀a,b a+b ab = � a=b 2 , ∀a > 0 +) a+ a +) x 0, x x, x − x +) ab +) a > 0: x �� a −a �� x a x a +) a − b a + b x x −a a a+b +) Dựa vào một số tài liệu liên quan. +) Học sinh lớp 10 trường THPT Lưu Đình Chất 2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Một là: Qua thực tế dạy học tơi thấy trong chương trình lớp 10 phần bất đẳng thức, số bài tập trong sách giáo khoa hạn chế và thời lượng ít Hai là: Trong sách giáo khoa, sách bài tập đại số ban nâng cao và cơ bản đều khơng có hoặc rất ít bài tốn bất đẳng thức u cầu nêu dấu “=” xảy ra?. Do đó học sinh khơng có thói quen thử lại dấu “=” có xảy ra hay khơng? Đây chính là sai lầm học sinh hay gặp phải 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để sử dụng giải quyết vấn đề như sau + Cung cấp cho học sinh khơng chỉ kiên th ́ ức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiên th ́ ức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh co đ ́ ược những kiên th ́ ức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đăt ngay kiên th ̣ ́ ức nâng cao) + Nôi dung ̣ : Bài tốn mở đầu : Bài tốn 1. Cho x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x + x +) Sai lầm thường gặp : 1 x = x x +) Nguyên nhân sai lầm: MinA=2 � x = � x = � vơ lý vì x x +) Xác định điểm rơi: Hàm số: f ( x ) = x + là hàm số đồng biến trên [ 4;+ x Vì x1 �x2 ; x1 , x2 �[ 4; +�) : A= x+ ) f ( x2 ) − f ( x2 ) 1 15 =1− >1− = >0 x2 − x1 x2 x1 4.4 16 17 = � x=4 4 Do bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau nên ta đưa tham số α sao cho tại điểm rơi x=4 thì cặp số Nên MinA = + x phải bằng nhau α x Với x=4 cho cặp số: x = α α � = � α = 16 1 α = x +) Lời giải đúng: x 15 x x 15.4 17 = + + + = x 16 x 16 16 x 16 x = 17 MinA = ��16 x x=4� x=4 x=4 A= x+ Lời bình: Bài tốn 1 áp dụng bất đẳng thức A = x + x x = lời giải 1 x tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách A = x + x 15 x = + + ? ? Làm sao nhận biết được x 16 x 16 điều đó…? Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chun đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài tốn cực trị A. PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất rộng rãi. Đây là bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là cơng cụ hồn hảo cho việc chứng minh các bất đẳng thức * Bất đẳng thức Cauchy Cho n số thực khơng âm a1,a2, ,an (n 2) ta ln có: a1 + a2 + L + an n n a1a2 an Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = L = an * Một vài hệ quả quan trọng: �1 1� (a1 + a2 + L + an )� + + L + � n v� � i ∀ai > 0, i = 1,n (1) an � �a1 a2 1 + +L + a1 a2 an n2 v� � i ∀ai > 0, i = 1,n a1 + a2 + L + an ( 2) Cho 2n số dương ( n γ Z ,n 2): a1,a2, ,an ,b1,b2, ,bn ta có: n (a1 + b1)(a2 + b2) (an + bn ) n a1a2 an + n b1b2 bn ( 3) Trong chứng minh bất đẳng thức, đôi khi việc ghép và sử dụng các bất đẳng thức cơ sở khơng được thuận lợi và dễ dàng. Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất đẳng thức ta phải chú ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện này ln được thỏa mãn suốt q trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian. Và bất đẳng thức Cauchy là một trong những bất đẳng thức đó. Để thấy được kĩ thuật này như thế nào ta sẽ đi vào một số bài tốn sau: Bài tốn 2: Cho x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + x +) Xác định điểm rơi: Hàm số: f ( x ) = x + đồng biến trên [ 3;+ ) x Vì x1 �x2 ; x1 , x2 �[ 3; +�) : f ( x2 ) − f ( x2 ) 1 1 25 =1− − > − − = >0 x2 − x1 x2 x12 x22 x1 3.32 3.32 27 28 = � x = Nên ta có : 32 +)Sơ đồ điểm rơi: x = α α � = � α = 27 1 α = x2 Ta phải tách làm sao để khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì sẽ khử hết biến và dấu '' = '' xảy ra +) Lời giải: Nên MinA = + x x 25 x x x 25 x = + + 2+ 33 + x 27 27 x 27 27 27 x 27 x x = = 28 MinA = ��27 27 x x=3 x=3 A= x+ 25.3 28 + = 27 Bài tốn 3: Cho x 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=2x + 18 x Sơ đồ điểm rơi : 18 18 = 32 18 32 x � = � α = x=4 α x 32 = α α x 18 � � 18 x 18 23 + − Lời giải: S=x + = + x 2 + x � � x 16 x � 16 � 16 x 16 = 23 23 9 2x x + x 2.4 + 4 =41 16 16 2 Vậy với x=4 thì Min S = 41 x, y > Bài tốn 4 : Cho x+ y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + 1 + x y +) Xác định điểm rơi: Do A là biểu thức đối xứng theo x,y nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A +)Sơ đồ điểm rơi: x y = = α α 2α x = y = �� 1 2 = = x y x = y = = �α = 2α +) Lời giải: A= x+ y+ A 1 �4 x � �4 y � + = � + �+ + �+ ( x + y ) x y �9 x � � y� � 4x 4y +2 + ( x + y) x y 4x = x 4y 13 MinA = �� = y x+ y=3 x, y > Bài toán 5: Cho x= y= 2.2 13 + = 9 3 x, y > Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = xy + xy x + y =1 +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y nên ta dự đoán MinS đạt tại x = y = Sơ đồ điểm rơi : xy = x = y = �� = α xy α = � α = 16 α +) Lời giải : S = xy + � � 15 = �xy + �+ xy � 16 xy � 16 xy 15 17 + = x + y � � 16 � � �2 � 17 MinS = � x= y= 2 S xy + 16 xy 15 = x, y > , tìm GTNN của biểu thức P = 2 + + xy xy x+ y x +y +) Định hướng cách giải: Do P là biểu thức đối xứng theo x, y , ta dự đoán Bài toán 6:Cho MinP đạt tại x = y = Lời giải: P= 1 � 1� + + �xy + �+ 2xy � xy � 2xy x +y 13 + xy + 2 xy (x + y ) �x + y � 2� � �2 � x + y = 2xy Min P = 13 � x2 y = � x = y = 1. x+ y =2 Bài toán 7: Cho x, y > 2 , tìm GTNN của biểu thức S = 3 + + x+ y x +y x y xy +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y nên ta dự đoán MinS đạt tại x = y = 1và ta thấy: x3 + y + 3x y + 3xy = (x + y )3 vì thế ta muốn xuất (x + y )3 , ta áp dụng bất đẳng thức 1 1 1 1 + + + + + + + + cho 9 số ta có: 2 x +y 2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy +) Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức cho 9 số: S= 1 1 1 1 + + + + + + + + x3 + y 2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy 81 3 5(x + y ) (x + y ) + Dấu bằng xảy ra khi x = y = 1. S 81 3 5(x + y ) (x + y ) + Bài toán 8 : Cho x, y , z > x+ y+z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z + 1 + + x y z +) Xác định điểm rơi: Do A là biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A x = y = z = +)Sơ đồ điểm rơi: x y z = = = α α α α x = y = z = �� = �α = 1 1 α = = = x y z +) Lời giải: A= x+ y+ z+ A 1 �x � �y � �z � + + = � + �+ + �+ � + �+ ( x + y + z ) x y z �4 x � � �4 y � �4 z � x y z + + + ( x + y + z) x y z x = x y = 15 MinA = ��4 y z = z x+ y+z=6 2.3 15 + = 4 x= y=z=2 10 +) Lời giải : S= � x ��y + z + t + x , y , z ,t S 88 � y + z +t � y + z +t + � � x � x , y , z ,t 9x x y z t y + z +t x+ z +t x+ y +t x+ y +t y+ z +t x+ z+t x+ y+t x+ y + z x y z t �y z t x z t x y t x y + � + + + + + + + + + + + �x x x y y y z z z t t z� � t� 8 y z t x z t x y t x y z 8 40 + 1212 = + 12 = x x x y y y z z z t t t MinS = 40 � x= y= z =t >0 x, y , z > Bài toán 11: Cho S = x2 + y + z + x+ y+z , tìm GTNN của biểu thức 1 + + x y z +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo a,b ,c nên ta dự đoán MinS đạt tại x = y = z = x2 = y2 = z = Sơ đồ điểm rơi : 1 = = = αx α y αz α � = �α = α +) Lời giải : x 2 S = x + y + z + + 1 + y z 12 � 1 1 1 � �1 1 � = �x + y + z + + + + + + �+ � + + � x y z x y z � �x y z � � 1 1 1 3� 1 � S 9 x y z + � 33 � 8x y 8z 8x y 8z � x y z � Bài toán 12 : Cho 9 9 9 27 = + + = + = 4 xyz 4 x + y + z 4 27 MinS = � x= y=z= x, y , z > x2 + y2 + z = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + y + z + xyz +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y nên ta dự đoán MinS đạt tại x = y = z = Sơ đồ điểm rơi : x= y=z= x= y=z= �� 3 = α xyz α 3 = �α = α +) Lời giải : � � S = �x + y + z + �+ xyz � xyz � 8 + = + =4 2 xyz �x + y + z � 3 9� � � � MinS = � x = y = z = S x y.z x, y , z > Bài toán 13 : Cho xy 12 yz �1 �xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = ( x + y + z ) + � + 1� + �+ yz zx � xyz 13 x, y , z > +Dự đoán giá trị nhỏ nhất của đạt được khi xy = 12 tại x = 3, y = 4, z = yz = + Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số khơng âm ta có: x y + + 18 24 xy x z + + xz 33 33 x z + + 16 yz x x z =1 xz 33 z y + 12 xyz + + x y = 18 24 xy x z = 16 yz 44 x z y =1 12 xyz 13 x 13 y + 24 13 x 13 y 24 13 13 xy 24 13 13 x 13 y + 48 24 13 x 13 y 48 24 13 13 xy 48 24 13 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được : �1 �xy S = ( x + y + z ) + � + 1� + �+ yz zx � xyz 13 13 121 + 1+ + 1+ + = 4 12 x, y , z > Bài toán 14 : Cho 1 + + =1 x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 A= + + x + y + 3z x + y + z 3x + y + z +) Định hướng cách giải: Do A là biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A tại x = y = z = 1 Để A có thể xử dụng gỉa thuyết + + = : x y z 1 , , x + y + z x + y + 3z 3x + y + z phải được tách thành tổng các số hạng 1 , , Từ một số hạng ban đầu tách thành nhiều số hạng nghĩ ngay đến hệ x y z quả (2): 14 Do đó: 1 = x + y + 3z x + y + y + z + z + z �2 � + + � 36 � x � y z� �1 � + + � 36 � x � y z� 1 = 3x + y + z x + x + x + y + z + z �3 � + + � 36 � x � y z� 1 = 2x + y + z x + x + y + y + y + z nên:A= 1 + + x + y + z x + y + 3z 3x + y + z �6 6 � + + �= 36 � x � y z� x, y , z > 1 1 MaxA = � + + =1� x = y = z = x y z x= y=z Bài toán 15 : Cho x, y , z > x + y + z =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = x + y + y + z + z + x +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y, z nên ta dự đoán MinS đạt tại x = y = z = Sơ đồ điểm rơi : x= y=z= �x+ y= y+z=z+x= 3 +) Lời giải : 2 x + y = 3 ( x + y ) 3 3 y+z = 2 ( y + z) 3 3 z+x = 2 ( z + x) 3 S = x+ y + y+z + z+x x+ y+ y+z+ 2 + 3 2 + 3 2 z+x+ + 3 3 2( x + y + z) + = = 18 4 15 MaxS= 18 � x = y = z = x, y , z , t > x + y + z + t =1 Bài tốn 16 : Cho Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = x + y + y + z + z + t + 2t + x +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y, z ,t nên ta dự đoán MinS đạt tại x = y = z = t = Sơ đồ điểm rơi : x = y = z = t = � x + y = y + z = z + t = 2t + x = 4 +) Lời giải : ( 2x + y ) 3 4 ( 2z + t ) 3 4 ( 2t + x ) 3 4 �3 3 + 4 2y + z + 3 ( 2y + z) 4 3 + 4 2x + y + 3 2z + t + + 4 3 2t + x + + 4 3( x + y + z ) + � x + y + y + z + z + t + 2t + x � � � 16 � = =3 = =S� =3 16 S 48 23 S = x+ y + y+z + z+x MaxS= 18 � x = y = z = x y z t 2( x + y + z) + = = 18 4 3 Bài tập vận dụng : x 18 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + x Bài 1: Cho x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + Bài 2: Cho x 16 Bài 3: Cho x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + Bài 4: Cho x, y > x+ y 1 x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + y + + Bài 5: Cho 1+ x + y 2 + xy 1 + + xy x +y xy x, y > x+ y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = Bài 8: Cho x, y > x+ y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = Bài 7: Cho y x, y > x+ y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = Bài 6: Cho x x, y > x+ y+z 2 + + x +y x y xy x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + y + z + + Bài toán 9 : Cho x, y , z > x2 + y2 + z = 1 + y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + y + z + xyz 1 1 + + + a + b + c ab bc ca 1 1 1 S= 2+ 2+ 2+ + + ab bc ca a +b b +c c +a 1 1 1 Q= + + + + + a + bc b + ca c + ab ab bc ca P= x, y , z > Bài toán 10 : Cho 1 + + =2 x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 17 A= 1 + + x + y + z y + z + x z + 3x + y Bài toán 11 : Cho x, y , z > x+ y+z=2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = x + y + y + z + z + x Bài12: Cho x, y , z > , tìm GTNN của các biểu thức sau: x+ y+z 1 1 + + + 2 xy yz zx x +y +y 1 S= + + + x + y y + z z + x2 1 Q= + + + x + yz y + zx z + xy P= 1 + + xy yz zx 1 + + xy yz zx Chú ý: Cần chú ý bất đẳng thức Cơsi, có điều kiện các số dương thì khả năng nghĩ tới Cơsi. Cách giải phải đi ngược qui trình thơng thường. Đầu tiên phải dự đốn được điểm rơi xảy ra tại đâu, sau đó lồng ghép các số trong bất đẳng thức sao cho khi xảy ra dấu bằng tại đúng điểm rơi đã dự đốn… 18 2.4. Hiệu quả sau khi sử dụng + Học sinh: Sau khi học sinh học xong chun đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho hoc sinh ni ̣ ềm đam mê, u thích mơn tốn, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tang ̉ cho học sinh tự học va t ̀ ự nghiên cứu. + Bản thân : Sau khi áp dụng đề tài này tơi thấy trong q trình giảng dạy học sinh học tốt hơn và đa số khơng mắc sai lầm khi giải bài tốn bất đẳng thức Kết luận, kiến nghị : Kết luận : Một bài tốn có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc khơng dễ. Do đó đây chỉ là một chun đề trong rât nhiêu chun đ ́ ̀ ề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài tốn, thể hiện bài tốn từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh khơng sợ khi đứng trước một bài tốn khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê mơn tốn, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu. Tuy nội dung cua chun đê kha rơng, song trong khn kh ̉ ̀ ́ ̣ ổ thời gian có hạn người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài tốn điển hình Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chun đề này được đầy đủ hồn thiện hơn Kiến nghị: Qua thực tế khảo sát học sinh đa số các em chưa học tốt nội dung bất đẳng thức nên rất ngại học nội dung này, nhiệm vụ giáo viên chúng ta là cần hệ thống bài tập và lựa chọn sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh để giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản cũng như kỹ năng giải tốn, có như vậy các em mới u thích mơn tốn và đạt kết quả cao hơn. Trong q trình hồn thành đề tài tơi biết ơn các đồng nghiệp đã nhiệt tình giúp đỡ, tơi mong 19 muốn nhận được ý kiến đóng góp để sáng kiến nhỏ mang lại nhiều lợi ích cho các em học sinh Tài liệu tham khảo: 1.Đại số lớp 10, bai tâp đ ̀ ̣ ại số lớp 10 nha XBGD năm 2016 ̀ 2.Tap chi Toan hoc va tuôi tre năm 2016 ̣ ́ ́ ̣ ̀ ̉ ̉ 3.Cac dang Toan LT ĐH cua Phan Huy Khai NXB Ha Nôi năm 2002 ́ ̣ ́ ̉ ̉ ̀ ̣ 4. 263 bài bất đẳng thức của Nguyễn Vũ Thanh NXB Giáo Dục 5. Bất đẳng thức của Trần Văn Hạo NXB Giáo Dục năm 2009 6. Sáng tạo bất đẳng thức của Phạm Kim Hùng SVK9 Trường ĐHKHTN ĐHQGHN (NXB Tri Thức). 20 Phụ lục 1. Kiểm tra tìm hiểu thực trạng: x Đề bài. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + Biết : a ) x>0 b) x Biểu điểm và đáp án: x a) Do x>0 nên > Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: P = x+ x x = ………………………………………………… 2 x điểm � MinP = 2 tại x = 1………………………………………………… 2 điểm b) P = x+ �x � 15 x = � + �+ x � 16 x � 16 1,5 điểm x 15 x + 16 x 16 ……………………………………………… 1,5 điểm 15 x = + 16 ………….……………………………………………… 1 điểm 15 17 + = ………….……………………………………… 1 điểm 4 � MinP = 17 ……………….……………………………………… 1 điểm 21 Phụ lục 2. Kiểm tra sau tác động Bài toán: Cho x,y,z là 3 số dương thõa mãn điều kiện: x + y + z x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 3x + y + 3z + + 2 + y z Biểu điểm và đáp án: 2 � 2� � 2� � 2� P = 3x + y + 3z + + + = �18x+ �+ � 18y+ �+ � 18z+ �− 15 ( x + y + z ) …4 x y z � x� � y� � z� điểm 1 x y z Do x,y,z là 3 số dương nên , , cũng là 3 số dương Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 18x =12 ( 1) ………………………………………… 1 điểm x Dấu bằng xảy rakhi và chỉ khi 18 x = � x = x 18x+ x ……………………………………………………… 1 điểm Tương tự ta cũng có: 18y+ y 2 18y =12 ( ) ….……………………………………… 1 điểm y 18z+ z 2 18z =12 ( 3) ………………………………………… 1 điểm z Mà −15 ( x + y + z ) điểm −15 ( ) ……………………………………… 1 Cộng (1), (2), (3), (4) ta có P 21 Gía trị nhỏ nhất của P bằng 19 khi x = y = z = điểm 22 23 Phụ lục 2. Bảng điểm lớp thực nghiệm: Stt 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Họ và tên Lê Tuấn Anh Nguyễn Thị Mai Chi Võ Thị Chiến Lê Thị Dung Nguyễn Thế Dũng Ngô Hùng Đức Tào Minh Đức Nguyễn Thị Hạnh Đỗ Ngọc Hoàng Trần Thị Hồng Đỗ Thị Huyền Nguyễn Tác Hùng Nguyễn Thị Lan Hương Lê Cung Kỳ Lê Thị Lan Nguyễn Thị Lan Nguyễn Tuấn Lâm Đỗ Đức Linh Nguyễn Khánh Linh Nguyễn Thị Kiều Loan Đặng Văn Luân Phan Thị Lưu Nguyễn Thị Mai Nguyễn Văn Nam Nguyễn Thị Nga Nguyễn Linh Ngọc Lê Thị Oanh Tào Minh Phong Ngô Khánh Phương Nguyễn Thị Phương Lê Thị Qúy Nguyễn Hữu Thông Lê Văn Thống Lê Thị Thùy Lê Thị Thúy Lê Thị Thủy Nguyễn Thị Vân Thư Nguyễn Thị Thương Nguyễn Thị Trang Bùi Văn Tuấn Nguyễn Hoằng Tuấn Lê Thị Yến KT trước tác động 7 4 6 6 8 8 7 6 KT sau tác động 6 6 10 7 8 9 9 10 10 8 8 Bảng điểm lớp đối chứng Stt Họ và tên Lê Phương Anh Lê Thị Mai Anh KT trước tác động 5 KT sau tác động 24 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 Phan Hồng Anh Trần Việt Anh Vũ Văn Bình Nguyễn Đức Chính Mai Văn Chung Tào Quốc Cường Nguyễn Tuấn Duy Đỗ Văn Dũng Hồng Anh Đức Lê Minh Đức Lê Trung Đức Phạm Văn Đức Lê Trung Hải Nguyễn Văn Hậu Tào Thị Hiền Hồng Văn Hoan Lê Văn Hịa Hồng Thị Hồng Lê Đăng Linh Lê Thị Hồi Linh Lê Xn Linh Vũ Thị Ngọc Linh Nguyễn Thị Lưu Luyến Lê Đình Nam Trịnh Thị Nguyệt Trần Thị Kim Oanh Lê Thành Sơn Lưu Hồi Sơn Nimh Xn Sơn Lại Thị Thanh Nguyễn Viết Thanh Ngơ Văn Thái Phạm Văn Thắng Lê Xn Thu Lê Ngọc Thuận Đồn Thị Thủy 6 4 7 6 6 4 6 7 6 5 7 6 7 5 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày20 tháng 5 năm2016 Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, khơng sao chép nội dung của người khác Người thực hiện 25 Hồng Thị Thúy 26 ... bất? ?đẳng? ?thức? ?cần dùng? ?trong? ?bài tốn.? ?Dự? ?đốn? ?dấu? ?“=”? ?trong? ?bất? ?đẳng? ?thức Cauchy? ?là một kỹ thuật suy ngược nhưng logic, và tơi đã dựa trên “kỹ thuật chọn điểm rơi ” ? ?dự đốn? ?dấu? ?“=”? ?trong? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?Cauchy? ?để... nhiều? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?ta phải chú ý tới điều kiện để? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?xảy ra, để điều kiện này ln được thỏa mãn suốt q trình ta sử dụng? ?bất? ?đẳng? ?thức trung gian. Và? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?Cauchy? ? là một? ?trong? ?những? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?đó. Để thấy được kĩ thuật này như thế nào ta sẽ đi vào một số bài tốn sau:... A. PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI Kỹ thuật chọn điểm rơi? ?trong? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?Cauchy? ? ? ?Bất? ?đẳng? ?thức? ?Cauchy? ?là một? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?quen thuộc và có ứng dụng rất rộng rãi. Đây là? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là