Dự đoán dấu = trong bất đẳng thức CAUCHY

MỤC LỤC Mở đầu…………………………………………………………………Trang - Lí chọn đề tài nghiên cứu…………………………………………….Trang - Mục đích nghiên cứu…………………………………………………….Trang - Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………Trang - Phương pháp nghiên cứu…………………………………………… ….Trang Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………………Trang 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm…………………… ……….Trang 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……… Trang 2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề………………………………………………………………………….Trang 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường……………………………………… Trang 19 Kết luận,kiến nghị……………………………………………………Trang 19 - Kết luận…………………………………………………………………Trang 19 - Kiến nghị……………………………………………………………….Trang 19 Tài liệu tham khảo………………………………………………………Trang 20 Phụ lục………………………………………………………………… Trang 23 1 Mở đầu: - Lí chọn đề tài: + Bất đẳng thức nội dung khó với học sinh lại nội dung quan trọng kỳ thi đại học Trong trình học ứng dụng lí thuyết để làm tập học sinh thường gặp nhiều khó khăn, lúng túng xuất phát từ đâu, phương pháp giải Chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức dãy bước biến đổi, đánh giá thông qua bất đẳng thức mà đảm bảo dấu “=” bất đẳng thức thời điểm Sai lầm học sinh hay gặp không kiểm tra dấu “=” bất đẳng thức có xảy hay không? Như học sinh dễ mắc sai lầm áp dụng bất đẳng thức mà không xảy dấu “=” Học sinh xuất phát từ đâu? Làm cách để suy luận bất đẳng thức cần dùng toán Dự đoán dấu “=” bất đẳng thức Cauchy kỹ thuật suy ngược logic, dựa “kỹ thuật chọn điểm rơi ” dự đoán dấu “=” bất đẳng thức Cauchy để giải toán nhằm giúp em hạn chế giảm sai sót trình giải toán Đó lí chọn đề tài - Mục đích nghiên cứu: Thông thường gặp toán bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ học sinh liên tưởng đến dạng mẫu học áp dụng bất đẳng thức học thực tế nhiều toán kỳ thi đại học, cao đẳng học sinh gặp dạng toán phức tạp mà để giải đòi hỏi phải có nhận xét đặc biệt Một nhận xét đặc biệt dự đoán dấu “=” bất đẳng thức Cauchy để giải toán - Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh lớp 10B2 10B3 trình học chương bất đẳng thức Tôi lựa chọn lớp trường THPT Lưu Đình Chất có điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu ứng dụng +Học sinh: Chọn lớp 10B2 nhóm thực nghiệm 10B3 nhóm đối chứng tiến hành kiểm tra kiến thức để đánh giá so sánh mức độ hai lớp trước tác động Kết kiểm tra cho thấy điểm trung bình hai lớp khác nhau, dung phép kiểm chứng T- Test để kiểm chứng chênh lệch điểm số trung bình hai lớp trước tác động Kết : Bảng Kiểm chứng để xác định nhóm tương đương Đối chứng(ĐC) Thực nghiệm(TN) TBC 5,5 5,5 P= 0,43 P=0,43 > 0,05 , từ kết luận chênh lệch điểm số trung bình hai nhóm TN ĐC ý nghĩa, hai nhóm coi tương đương Bảng Thiết kế nghiên cứu Nhóm Kiểm tra trước TĐ Tác động (TĐ) KT sau TĐ Thực nghiệm 01 Dạy học theo hệ thống 03 tập liên quan Đối chứng 02 Dạy học theo hệ thống 04 tập có nhiều loại Ở thiết kế sử dụng phép kiểm chứng T- Test độc lập - Phương pháp nghiên cứu: + Tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, báo Toán học tuổi trẻ +Thực hành thông qua trình giảng dạy +Điều tra kết học tập học sinh từ thấy mức độ hiệu đạt học sinh thực đề tài Qua rút kinh nghiệm thực tốt trình xây dựng đề tài Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: +) Dựa vào nội dung chương trình sách giáo khoa lớp 10 Cụ thể :”bài 1: Bất đẳng thức” thuộc chương IV đại số 10 Khi giải toán bất đẳng thức chương trình sách giáo khoa 10 sử dụng số định lí tính chất sau: +) a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c +) a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c +) a ≤ b ⇔ ac ≤ bc (c > 0) +) a ≤ b ⇔ ac ≥ bc (c < 0) +) a ≤ b ,c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d +) a ≤ b ,c ≤ d ⇒ ac ≤ bd (a > 0, c > 0) +)a ≤ b ⇔ a 2n+1 ≤ b n +1 (n ∈ N* ) + a ≤ b ⇔ a 2n+1 ≤ b n +1 (n ∈ N* , a > 0) +) a ≤ b ⇔ +) a ≤ b ⇔ a ≤ b (a > 0) a≤3b a+b , ∀a,b ≥ a+b ab = ⇔a=b +) a+ ≥ , ∀a > a +) x ≥ 0, x ≥ x, x ≥ − x +) ab ≤ +) a > 0: x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a  x ≤ −a x ≥a⇔ x ≥ a +) a − b ≤ a + b ≤ a + b +) Dựa vào số tài liệu liên quan +) Học sinh lớp 10 trường THPT Lưu Đình Chất 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Một là: Qua thực tế dạy học thấy chương trình lớp 10 phần bất đẳng thức, số tập sách giáo khoa hạn chế thời lượng Hai là: Trong sách giáo khoa, sách tập đại số ban nâng cao toán bất đẳng thức yêu cầu nêu dấu “=” xảy ra? Do học sinh thói quen thử lại dấu “=” có xảy hay không? Đây sai lầm học sinh hay gặp phải 2.3 Các giải pháp sử dụng để sử dụng giải vấn đề sau + Cung cấp cho học sinh không kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn dắt hoc sinh có kiến thức nâng cao cách tự nhiên (chứ không áp đặt kiến thức nâng cao) + Nội dung : Bài toán mở đầu : Bài toán Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x + x +) Sai lầm thường gặp : 1 ≥ x = x x +) Nguyên nhân sai lầm: MinA=2 ⇔ x = ⇔ x = ⇒ vô lý x ≥ x A= x+ +) Xác định điểm rơi: Hàm số: f ( x ) = x + hàm số đồng biến [ 4;+∞ ) x Vì x1 ≠ x2 ; x1 , x2 ∈ [ 4; +∞ ) : f ( x2 ) − f ( x2 ) 1 15 =1− >1− = >0 x2 − x1 x2 x1 4.4 16 17 = ⇔x=4 4 Do bất đẳng thức Cauchy xảy dấu điều kiện số tham gia phải Nên MinA = + nên ta đưa tham số α cho điểm rơi x=4 cặp số x phải α x Với x=4 cho cặp số: x α = α ⇒ = ⇒ α = 16  α 1 =  x +) Lời giải đúng: x 15 x x 15.4 17 = + + ≥2 + = x 16 x 16 16 x 16 x 17  = MinA = ⇔ 16 x ⇔ x = ⇔ x = 4  x = A= x+ Lời bình: Bài toán áp dụng bất đẳng thức A = x + 1 ≥ x = lời giải x x sai? Lời giải lại tách A = x + x 15 x = + + ? ? Làm nhận biết x 16 x 16 điều đó…? Đó kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Và qua chuyên đề hiểu sâu kỹ thuật “chọn điểm rơi” việc giải toán cực trị A PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức quen thuộc có ứng dụng rộng rãi Đây bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh bất đẳng thức * Bất đẳng thức Cauchy Cho n số thực không âm a1,a2, ,an (n ≥ 2) ta có: a1 + a2 + L + an n ≥ a1a2 an Dấu “=” xảy a1 = a2 = L = an n * Một vài hệ quan trọng: 1 1 + + L + ÷ ≥ n vôù i ∀ai > 0, i = 1,n (1) an   a1 a2 + (a1 + a2 + L + an ) 1 n2 vôù i ∀ai > 0, i = 1,n + + +L + ≥ a1 a2 an a1 + a2 + L + an ( 2) + Cho 2n số dương ( n ∈ Z ,n ≥ 2): a1,a2, ,an ,b1,b2, ,bn ta có: n (a1 + b1)(a2 + b2) (an + bn ) ≥ n a1a2 an + n b1b2 bn ( 3) Trong chứng minh bất đẳng thức, việc ghép sử dụng bất đẳng thức sở không thuận lợi dễ dàng Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất đẳng thức ta phải ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện thỏa mãn suốt trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian Và bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Để thấy kĩ thuật ta vào số toán sau: Bài toán 2: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + x +) Xác định điểm rơi: Hàm số: f ( x ) = x + đồng biến [ 3;+∞ ) x Vì x1 ≠ x2 ; x1 , x2 ∈ [ 3; +∞ ) : f ( x2 ) − f ( x2 ) 1 1 25 =1− − >1− − = >0 x2 − x1 x2 x1 x2 x1 3.3 3.3 27 28 = ⇔ x = Nên ta có : 32 +)Sơ đồ điểm rơi: x α = α ⇒ = ⇒ α = 27  1 =1 α  x Nên MinA = + Ta phải tách để sử dụng bất đẳng thức Cauchy khử hết biến dấu '' = '' xảy +) Lời giải: x x 25 x x x 25 x 25.3 28 = + + + ≥ + ≥ + = x 27 27 x 27 27 27 x 27 27 x x = 28  = MinA = ⇔  27 27 x ⇔ x =  x = A= x+ Bài toán 3: Cho x ≥ 4.Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=2x + 18 x Sơ đồ điểm rơi :  18 18  x = 32 18 32 ⇒ = ⇒α = x=4 ⇒  α  x = 32  α α 18  x 18   9 x 18 23 + − ≥ Lời giải: S=x + = + x × + x  ÷ x  16 16  x   16 x 16 = 2x x + 23 23 x ≥ 2.4 + =41 16 16 Vậy với x=4 Min S = 41  x, y > Bài toán : Cho  x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y + 1 + x y +) Xác định điểm rơi: Do A biểu thức đối xứng theo x,y nên dự đoán giá trị nhỏ A +)Sơ đồ điểm rơi: x y = =  α α 2α x= y= ⇒ ⇒ = ⇒α = 1 2α = =  x y x= y= +) Lời giải: A= x+ y+ A≥ 1  4x   y  + =  + ÷+ + + ( x + y) x y  x   y ÷  4x 4y 5 13 +2 + ( x + y ) ≥ 2.2 + = x y 9  4x 9 =x  13 4y MinA = ⇔  = ⇔x= y= y  x + y =  x, y >   x, y > Bài toán 5: Cho  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = xy + xy x + y = +) Định hướng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo x, y nên ta dự đoán MinS đạt x = y = Sơ đồ điểm rơi :  xy =   4 x= y= ⇒ ⇒ = ⇒ α = 16  =4 α α xy α +) Lời giải : S = xy +   15 =  xy + ÷+ xy  16 xy  16 xy S ≥ xy + 16 xy 15  x+ y 16  ÷   17 MinS = ⇔x= y= 2 = 15 17 + =  x, y > , tìm GTNN biểu thức P = 2 + + xy xy x +y x + y ≤ +) Định hướng cách giải: Do P biểu thức đối xứng theo x, y , ta dự đoán MinP đạt x = y = Bài toán 6:Cho  Lời giải: 1  1 7 13 + + xy + + ≥ + xy + ≥  ÷ xy  2xy (x + y )2 xy x + y 2xy   x+ y 2 ÷   P=  x + y = 2xy  13 ⇔  x2y = ⇔ x = y = Min P = x + y =  2  x, y > Bài toán 7: Cho  , tìm GTNN biểu thức S = 3 + + x +y x y xy x + y ≤ +) Định hướng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo x, y nên ta dự đoán MinS đạt x = y = 1và ta thấy: x3 + y + 3x y + 3xy = (x + y )3 ta muốn xuất (x + y )3 , ta áp dụng bất đẳng thức 1 1 1 1 + + + + + + + + cho số ta có: 2 x +y 2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy +) Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức cho số: S= 1 1 1 1 + + + + + + + + 2 x + y 2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy 81 81 ≥ ≥ 5(x + y )3 5(x + y )3 (x + y )3 + (x + y )3 + 4 x = y = Dấu xảy S≥  x, y , z > Bài toán : Cho  x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y + z + 1 + + x y z +) Xác định điểm rơi: Do A biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán giá trị nhỏ A x= y=z=2 +)Sơ đồ điểm rơi: x y z α = α = α = α x = y = z = 2⇒  ⇒ = ⇒α = α 1 = = =  x y z +) Lời giải: A= x+ y+ z+ A≥ 1  x 1  y 1  z 1 + + =  + ÷+ + +  + ÷+ ( x + y + z ) x y z  x   y ÷  4 z x y z 3 15 + + + ( x + y + z ) ≥ 2.3 + = x y z 4 x 4 = x  y = 15  MinA = ⇔  y ⇔ x= y=z=2 z  = 4 z  x + y + z =  x, y , z >  Bài toán 9: Cho  , tìm GTNN biểu thức x + y + z ≤  S = x2 + 1 2 + y + + z + y2 z2 x2 +) Định hướng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo a,b ,c nên ta dự đoán MinS đạt x = y = z =  2 x = y = z =  4 ⇒ = ⇒ α = 16 Sơ đồ điểm rơi :  α  12 = = 12 = α x α y α z α +) Lời giải : S = x2 + 1 1 1 + + + y2 + + + + z2 + + + 2 2 16y 16y 16 z 4 16 z 16 x 4 16 x2 14 43 14 43 1442443 16 S ≥ 1717 16 16  x2 y2 z2 x y z 17 17 + 17 + 17 = 17  17 16 + 17 16 + 17 16 16 32 16 32 16 32  16 y 16 y 16 z 16 x 16 z 16 x   x y z ≥ 17 3 17 16 17 16 17 16 16 y 16 z 16 x   ÷ ÷   17  = 17 17 5 = 16 x y z  2.17 ( x y z ) 10 ≥ 17 15 2x + y + 2z   ÷    2.17 ≥ 17 Vậy MinS = 17 ⇔ x = y = z = 2 Bài toán 10: Cho x, y, z , t > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z t y + z +t x + z +t x + y +t x + y +t + + + + + + + y + z +t x + z +t x + y +t x + y + z x y z t +) Định hướng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo a,b ,c,d nên ta dự đoán MinS đạt x = y = z = t > S= Sơ đồ điểm rơi : x y z t   y + z + t = x + z + t = x + y + t = x + y + z = 3 ⇒ = ⇒α =  α y+ z+t = x+ z+t = x+ y +t = x+ y +t =  x y z t α +) Lời giải : S=  x ∑  y + z +t + x , y , z ,t S ≥ 88  y + z +t  y + z +t ÷+ ∑ x  x , y , z ,t 9x x y z t y + z +t x + z +t x+ y +t x + y +t y+ z +t x+ z+t x+ y+t x+ y+ z x y z t 8 y z t x z t x y t x y +  + + + + + + + + + + + 9 x x x y y y z z z t t z ÷ t 8 y z t x z t x y t x y z 8 40 ≥ + 1212 = + 12 = x x x y y y z z z t t t 40 ⇔ x= y= z =t >0  x, y , z >  Bài toán 11: Cho  , tìm GTNN biểu thức  x + y + z ≤ MinS = S = x2 + y + z + 1 + + x y z +) Định hướng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo a,b ,c nên ta dự đoán MinS đạt x = y = z = 11  2  x = y = z = ⇒ = ⇒α =8 Sơ đồ điểm rơi :  α  = = =2 α x α y α z α +) Lời giải : S = x2 + y + z + 1 + + x y z  1 1 1  1 1 =  x2 + y + z + + + + + + ÷+  + + ÷ 8x y 8z 8x y 8z   x y z   1 1 1 3 1  S ≥ 9 x y z +  3 ÷ 8x y 8z 8x y 8z  x y z  Bài toán 12 : Cho 9 9 9 27 = + ≥ + = + = 4 xyz 4 x + y + z 4 27 MinS = ⇔x= y=z=  x, y , z >  2 x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x + y + z + xyz +) Định hướng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo x, y nên ta dự đoán MinS đạt x = y = z = Sơ đồ điểm rơi :  x = y = z =  3  x= y=z= ⇒ ⇒ = ⇒α = α  3 = α xyz α +) Lời giải : 12   S =x+ y+ z+ ÷+ xyz  xyz  8 + = + =4 xyz  x2 + y + z  3 9 ÷   MinS = ⇔ x = y = z = S ≥ x y.z  x, y , z >  Bài toán 13 : Cho  xy ≥ 12  yz ≥   1 1 + + ÷+  xy yz zx  xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = ( x + y + z ) +   x, y , z >  +Dự đoán giá trị nhỏ đạt  xy = 12 x = 3, y = 4, z =  yz =  + Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ta có: x y x y + + ≥ 33 = 18 24 xy 18 24 xy x z x z + + ≥ 33 = xz xz x z x z + + ≥ 33 = 16 yz 16 yz x z y x z y + + + ≥ 44 =1 12 xyz 12 xyz 13 x 13 y 13 x 13 y 13 13 13 + ≥2 ≥2 xy ≥ 24 24 24 13 x 13 y 13 x 13 y 13 13 13 + ≥2 ≥2 xy ≥ 48 24 48 24 48 24 Cộng theo vế bất đẳng thức ta :  1 1 13 13 121 S = ( x + y + z ) +  + + ÷+ ≥ +1+ +1+ + = 4 12  xy yz zx  xyz  x, y , z >  Bài toán 14 : Cho  1 x + y + z =1  Tìm giá trị lớn biểu thức: 13 1 + + x + y + 3z x + y + z 3x + y + z +) Định hướng cách giải: Do A biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán giá trị nhỏ A x = y = z = 1 + + = : Để A xử dụng gỉa thuyết x y z A= 1 , , x + y + z x + y + 3z 3x + y + z phải tách thành tổng số hạng 1 , , Từ số hạng ban đầu tách thành nhiều số hạng nghĩ đến hệ x y z (2): Do đó: 1 2 1 = ≤  + + ÷ x + y + z x + x + y + y + y + z 36  x y z  1 1 3 = ≤  + + ÷ x + y + z x + y + y + z + z + z 36  x y z  1 3 2 = ≤  + + ÷ x + y + z x + x + x + y + z + z 36  x y z  1 1 6 6 + + ≤  + + ÷= x + y + z x + y + z x + y + z 36  x y z   x, y , z >  1 1 MaxA = ⇔  + + = ⇔ x = y = z = x y z  x = y = z  x, y , z > Bài toán 15 : Cho  x + y + z = nên:A= Tìm giá trị lớn biểu thức: S = x + y + y + z + z + x +) Định hướng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo x, y, z nên ta dự đoán MinS đạt x = y = z = Sơ đồ điểm rơi : x= y=z= ⇒x+ y= y+z=z+x= 3 +) Lời giải : 14 2  x+ y+ + 3 2 3  x + y = 3 ( x + y ) ≤ 3  2  y+z+ +  2 3  y + z = 3 ( y + z ) ≤ 3   2 z+x+ + 3 2 3  z + x = 3 ( z + x ) ≤ 3   2( x + y + z) + S = x+ y + y+z + z+x ≤ = = 18 4 MaxS= 18 ⇔ x = y = z =  x, y , z , t > Bài toán 16 : Cho  x + y + z + t = Tìm giá trị lớn biểu thức: S = x + y + y + z + z + t + 2t + x +) Định hướng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo x, y, z ,t nên ta dự đoán MinS đạt x = y = z = t = Sơ đồ điểm rơi : x = y = z = t = ⇒ x + y = y + z = z + t = 2t + x = 4 +) Lời giải : 3  2x + y + +  3 4  ( 2x + y ) ≤ 4  3  y + z + +  3 4 ( 2y + z) ≤   4  3  2z + t + + 3  ( 2z + t ) ≤ 4  4  3  t + x + +  2t + x ≤ 4 )  ( 4 15 ⇒ 3( x + y + z ) + 3 y + z + z + t + 2t + x  ≤ x + y +  16  ⇒ S ≤ ⇒ S ≤ 48 = ⇔ x = y = z = t = 16 S = x+ y + y+z + z+x ≤ MaxS= 18 ⇔ x = y = z = 2( x + y + z) + = = 18 4 3 Bài tập vận dụng: x 18 Bài 2: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x + x Bài 3: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x + x Bài 1: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x +  x, y > x + y ≤ Bài 4: Cho  x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x + y + + y  x, y > x + y ≤ Bài 5: Cho  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = 1+ x + y 2 + xy  x, y > x + y ≤ Bài 6: Cho  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = 1 + + xy x + y xy  x, y > x + y ≤ Bài 7: Cho  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = 2 + + x + y x y xy  x, y > x + y + z ≤ Bài 8: Cho  x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x + y + z + + 1 + y z 16  x, y , z > Bài toán : Cho  2 x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x + y + z + xyz 1 1 + + + a + b + c ab bc ca 1 1 1 S= 2+ 2+ 2+ + + ab bc ca a +b b +c c +a 1 1 1 Q= + + + + + a + bc b + ca c + ab ab bc ca P=  x, y, z >  Bài toán 10 : Cho  1 + + = x y z  Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 A= + + x + y + z y + z + x z + 3x + y  x, y , z > Bài toán 11 : Cho  x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: S = x + y + y + z + z + x  x, y , z > , tìm GTNN biểu thức sau: x + y + z ≤ Bài12: Cho  1 1 + + + 2 xy yz zx x +y +y 1 S= + + + x + y y + z z + x2 1 Q= + + + x + yz y + zx z + xy P= 1 + + xy yz zx 1 + + xy yz zx Chú ý: Cần ý bất đẳng thức Côsi, có điều kiện số dương khả nghĩ tới Côsi Cách giải phải ngược qui trình thông thường Đầu tiên phải dự đoán điểm rơi xảy đâu, sau lồng ghép số bất đẳng thức cho xảy dấu điểm rơi dự đoán… 17 2.4 Hiệu sau sử dụng + Học sinh: Sau học sinh học xong chuyên đề học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học tự nghiên cứu + Bản thân : Sau áp dụng đề tài thấy trình giảng dạy học sinh học tốt đa số không mắc sai lầm giải toán bất đẳng thức Kết luận, kiến nghị: - Kết luận: Một toán có nhiều cách giải song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc không dễ Do chuyên đề nhiều chuyên đề, phương pháp hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sáng tạo học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng toán, thể toán từ học sinh vân dụng linh hoạt kiến thưc bản, phân tích tìm hướng giải, đâu bắt đầu quan trọng để học sinh không sợ đứng trước toán khó mà tạo tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Tuy nội dung chuyên đề rộng, song khuôn khổ thời gian có hạn người viết ví dụ, toán điển hình Rất mong đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chuyên đề đầy đủ hoàn thiện - Kiến nghị: Qua thực tế khảo sát học sinh đa số em chưa học tốt nội dung bất đẳng thức nên ngại học nội dung này, nhiệm vụ giáo viên cần hệ thống tập lựa chọn cho phù hợp với đối tượng học sinh để giúp em nắm vững kiến thức kỹ giải toán, có em yêu thích môn toán đạt kết cao Trong trình hoàn thành đề tài biết ơn đồng nghiệp nhiệt tình giúp đỡ, mong muốn nhận ý kiến đóng góp để sáng kiến nhỏ mang lại nhiều lợi ích cho em học sinh 18 Tài liệu tham khảo: 1.Đại số lớp 10, tập đại số lớp 10- nhà XBGD năm 2016 2.Tạp chí Toán học tuổi trẻ năm 2016 3.Các dạng Toán LT ĐH Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 263 bất đẳng thức Nguyễn Vũ Thanh- NXB Giáo Dục Bất đẳng thức Trần Văn Hạo- NXB Giáo Dục năm 2009 Sáng tạo bất đẳng thức Phạm Kim Hùng SVK9- Trường ĐHKHTN- ĐHQGHN (NXB Tri Thức) 19 Phụ lục Kiểm tra tìm hiểu thực trạng: x Đề Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + Biết : b) x ≥ a ) x>0 Biểu điểm đáp án: a) Do x>0 nên > Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x 1 ≥ x = ………………………………………………… điểm x x ⇒ MinP = x = 1………………………………………………… điểm P = x+ b) P = x+  x  15 x =  + ÷+ x  16 x  16 1,5 điểm ≥2 x 15 x + 16 x 16 ……………………………………………… 1,5 điểm 15 x = + 16 ………….……………………………………………… điểm ≥ 15 17 + = ………….……………………………………… điểm 4 ⇒ MinP = 17 ……………….……………………………………… điểm 20 Phụ lục Kiểm tra sau tác động Bài toán: Cho x,y,z số dương thõa mãn điều kiện: x + y + z ≤ x Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 3x + y + 3z + + 2 + y z Biểu điểm đáp án: 2  2  2  2 P = 3x + y + 3z + + + =  18x+ ÷ +  18y+ ÷ +  18z+ ÷ − 15 ( x + y + z ) …4 điểm x y z  x  y  z Do x,y,z số dương nên 1 , , số dương x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 18x+ 2 ≥ 18x =12 x x ( 1) ………………………………………… điểm Dấu xảy rakhi 18 x = ⇔x= x ……………………………………………………… điểm Tương tự ta có: 2 ≥ 18y =12 y y ( ) ….……………………………………… điểm 2 18z+ ≥ 18z =12 z z ( 3) ………………………………………… điểm 18y+ Mà −15 ( x + y + z ) ≤ −15 ( ) ……………………………………… điểm Cộng (1), (2), (3), (4) ta có P ≥ 21 Gía trị nhỏ P 19 x = y = z = điểm 21 Phụ lục Bảng điểm lớp thực nghiệm: Stt 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Họ tên Lê Tuấn Anh Nguyễn Thị Mai Chi Võ Thị Chiến Lê Thị Dung Nguyễn Thế Dũng Ngô Hùng Đức Tào Minh Đức Nguyễn Thị Hạnh Đỗ Ngọc Hoàng Trần Thị Hồng Đỗ Thị Huyền Nguyễn Tác Hùng Nguyễn Thị Lan Hương Lê Cung Kỳ Lê Thị Lan Nguyễn Thị Lan Nguyễn Tuấn Lâm Đỗ Đức Linh Nguyễn Khánh Linh Nguyễn Thị Kiều Loan Đặng Văn Luân Phan Thị Lưu Nguyễn Thị Mai Nguyễn Văn Nam Nguyễn Thị Nga Nguyễn Linh Ngọc Lê Thị Oanh Tào Minh Phong Ngô Khánh Phương Nguyễn Thị Phương Lê Thị Qúy Nguyễn Hữu Thông Lê Văn Thống Lê Thị Thùy Lê Thị Thúy Lê Thị Thủy Nguyễn Thị Vân Thư Nguyễn Thị Thương Nguyễn Thị Trang Bùi Văn Tuấn Nguyễn Hoằng Tuấn Lê Thị Yến KT trước tác động 7 4 6 6 8 8 7 6 KT sau tác động 6 6 10 7 8 9 9 10 10 8 8 Bảng điểm lớp đối chứng Stt Họ tên Lê Phương Lê Thị Mai Phan Hoàng Trần Việt Anh Anh Anh Anh KT trước tác động 5 KT sau tác động 5 22 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 Vũ Văn Nguyễn Đức Mai Văn Tào Quốc Nguyễn Tuấn Đỗ Văn Hoàng Anh Lê Minh Lê Trung Phạm Văn Lê Trung Nguyễn Văn Tào Thị Hoàng Văn Lê Văn Hoàng Thị Lê Đăng Lê Thị Hoài Lê Xuân Vũ Thị Ngọc Nguyễn Thị Lưu Lê Đình Trịnh Thị Trần Thị Kim Lê Thành Lưu Hoài Nimh Xuân Lại Thị Nguyễn Viết Ngô Văn Phạm Văn Lê Xuân Lê Ngọc Đoàn Thị Bình Chính Chung Cường Duy Dũng Đức Đức Đức Đức Hải Hậu Hiền Hoan Hòa Hồng Linh Linh Linh Linh Luyến Nam Nguyệt Oanh Sơn Sơn Sơn Thanh Thanh Thái Thắng Thu Thuận Thủy XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ 4 7 6 6 4 6 7 8 5 7 6 7 5 Thanh Hóa, ngày20 tháng năm2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người thực Hoàng Thị Thúy 23 24 ... rơi bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức quen thuộc có ứng dụng rộng rãi Đây bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh bất đẳng thức. .. điểm rơi :  x = y = z =  3  x= y=z= ⇒ ⇒ = ⇒α = α  3 = α xyz α +) Lời giải : 12   S = x+ y+ z+ ÷+ xyz  xyz  8 + = + =4 xyz  x2 + y + z  3 9 ÷   MinS = ⇔ x = y = z = S ≥ x y.z ... α = α ⇒ = ⇒ α = 16  α 1 =  x +) Lời giải đúng: x 15 x x 15.4 17 = + + ≥2 + = x 16 x 16 16 x 16 x 17  = MinA = ⇔ 16 x ⇔ x = ⇔ x = 4  x = A= x+ Lời bình: Bài toán áp dụng bất đẳng thức