Kĩ thuật truy ngược dấu trong bất đẳng thức AM – GM

Bài 1 Cho a b c, , là các s th c d ng Ch ng minh r ng: 2 3 2 2 3 2 2 3 2

2

a b c a b c

a b b c c a

 

Gi i:

Ta có

2

( )

2

a a a b ab ab ab b

a b a b a b ab



3

2 2

2

a b

a

a b  



Ch ng minh t ng t ta đ c: 2 3 2

2

b c

b

b c  

3

2 2

2

c a

c

c a  



Khi đó 2 3 2 2 3 2 2 3 2

2 2

a b c a b c a b c

a b c

a b b c c a

Nh n xét: T đây ta có th t ng quát bài 1 nh sau:

Cho các s th c d ng a v i i i1;n th a mãn

1

n

i

a k

 Ch ng minh r ng:

1 2

( 2) ( 2) ( 2)

n

n

n

a

a  n a  a  n a   a  n a  n

(xem cách ch ng minh Bài 10 – Ph n bài t p)

Bài 2 Cho a b c, , là các s th c d ng Ch ng minh r ng:

3

a ab b b bc c c ca a

 

Gi i:

Ta có

3

a ab a b ab a b a b a b

a ab b a ab b ab

3

2 3

a a b

a ab b





T ng t : 2 3 2 2

3

b b c

b bc c





3

2 3

c c a

c ca a





Suy ra

2 2 2

a b c a b b c c a a b c

a ab b b bc c c ca a

D u “=” x y ra khi a b c 

Chú ý: Ngoài cách gi i trên các b n có th s d ng k thu t ti p tuy n đ có đ c luôn:

3

2 3

a a b

a ab b





 

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

ây h c li u đi kèm khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website

Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Bài 3 Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn đi u ki n x  y z 3 Tìm giá tr nh nh t c a bi u

th c:

2 2 2

x y z P

x y y z z x

Gi i:

Ta có

( 2 ) 2 2

x x x y xy xy

x

x y x y x y

Áp d ng AM – GM ta có: 3 3 3 3 6 2 3

x y  x y y  xy  y x

Suy ra

3 2

2 2

x xy

x x y x

x y   y x  



3

2

2 3

y

y z y

y z  

2

3 2 3

2

2 3

z

z x z

z x  



3

P   x y z y x z y x z   y x z y x z (1)

M t khác, áp d ng AM – GM ta có:

3 2

2 3

3 2

3 3 3

y yx yx y x

z zy zy z y

x xz xz x z

   







 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2( )

3

x y z xy yz zx y x z y x z y x z y x z     

Ap d ng b t đ ng th c d ng 2

(a b c) 3(ab bc ca  ) ta có:

932 (x y z)2 3(xyyzzx)xyyzzx3 (2)

Suy ra 3 2 3 2 3 2 2( ) 3 2.3

3

y x z y x z         

(2)

T (1) và (2) suy ra 3 2.3 1

3

Khi x  y z 1 thì P1 V y giá tr nh nh t c a P là 1

Bài 4. Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn: 2 2 2

3

x y z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

1 1 1

2 2 2

P

x y z

Gi i:

Do x y z, , 0 và x2y2z2 3, suy ra x y z, , thu c kho ng  0; 3

Cách 1: Ta có

x

2 2

y y





 và

2

1 1

2 2

z z







C ng theo v các b t đ ng th c trên ta đ c: 2 2 2 3 3 3 3

x y z

P    

Khi x  y z 1 thì P V y giá tr nh nh t c a 3 P là 3

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Cách 2: Xét hi u

1 1 2 ( 1)

0

2 2 2(2 ) 2(2 )

x x x x x x

   v i  x  0; 3 1 2 1

2 2

x x





Sau đó làm t ng t nh Cách 1

Bài 5. Cho a b c, , là các s th c d ng th a mãn hai l n bình ph ng c a m t s luôn l n h n hai s còn

l i

Ch ng minh r ng:

3 3 3

2 2 2

a b c

a b c

a b b c c a   

Gi i:

Ta có luôn có Ta có

x

   v i  x (0; 2) (*)

Áp d ng (*), ta đ c:

2

2

2

1 1

b

a a

b

a b

a

V y

2

a b a

a b





b c b

b c





2

c a c

c a







Suy ra

3 3 3

AM GM

a b c a b c a b c a a b b c c

a b c

a b b c c a



D u “=” x y ra khi a   b c 1

Bài 6. Cho a b c, , là các s th c d ng Ch ng minh r ng: 1 1 1 3

a b c

 

Gi i:

Ta có 1 1 1 1 1 1

ab ab ab ab ab a b

ab ab ab ab

1 1

a b ab



 

T ng t ta có: 1 1

b c bc



 

1 1

c a ca



 

Suy ra 1 1 1 3

a b c

 

   (đpcm) D u “=” x y ra khi a   b c 1

Bài 7. Cho a b c, , là các s th c d ng th a mãn a   Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: b c 3

1 2 12 12

P

Gi i:

Ta có

a b a b a b a b

a b a ab ab

a b a b a b a b

V y 2 2 1 1( 2 )

2 a b 9 a ab ab

2

2 b c 9 b bc bc

2 2

2 c a  9 c caca



Suy ra

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

2 2 2 2

a b c ab bc ca a b c

a b b c c a

Khi a   thì b c 1 P 1 V y giá tr nh nh t c a P là 1

Bài 8. Cho a b c, , là các s th c d ng và th a mãn a   Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: b c 3

2 1 2 1 2 1

P

Gi i:

Ta có

1 ( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2

AM GM

a a b a b a b a b ab b a ab b



V y 2 1 2 1

b

    

c

    

2

1

a



Suy ra ( ) 3

2

P     

M t khác, áp d ng b t đ ng th c d ng 2

(x y z) 3(xyyzzx) ta có:

932 (a b c)2 3(ab bc ca  )ab bc c  a3

Khi đó 3 3 3 3

2

P   

D u “=” x y ra khi a   V y giá tr nh nh t c a b c 1 P là 3

Bài 9 Cho a b c, , là các s th c d ng, th a mãn a   b c 3

( 1) n 1 ( 1) n 1 ( 1) n 1

n b  n c  n a n

      v i

* n

 

Gi i:

Ta có ( 1) 1 ( 1) ( 1)

( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1

a n b n ab

a

      (1)

M t khác áp d ng b t đ ng th c AM – GM, ta có: 1

1

n

AM GM

n so b







        (2)

T (1) và (2), suy ra: ( 1)

( 1) n 1

a n ab

a



 

( 1) n 1

b n bc

b

n c n



 

( 1) ( 1) n 1

c n ca

c



 

( 1) n 1 ( 1) n 1 ( 1) n 1

a b c ab bc ca

n b n c n a n



M t khác, áp d ng b t đ ng th c d ng 2

(x y z) 3(xyyzzx) ta có:

932 (a b c)2 3(ab bc ca  )ab bc c  a3

( 1) n 1 ( 1) n 1 ( 1) n 1

n b n c n a n n



D u “=” x y ra khi a    b c 1

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Bài 10 Cho các s th c d ng a v i i i1;n th a mãn

1

n

i

a k

 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

1 2

( 2) ( 2) ( 2)

n

n

n

a

P

a  n a  a  n a  a  n a 

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM v i n s ta đ c: 1

1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

2

n



( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 1) 1

a n a a n a a n a

a n a a n a n a a n

Xây d ng các b t đ ng th c t ng t và c ng v v i v ta đ c:

1 1

1

( 2)

1 1 1

n

i

n a a

k

P a

n n n





D u “=” x y ra khi a1 a2 an k

n

   V y giá tr nh nh t c a P là k

n

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01