FREE: KỸ THUẬT CÂN BẰNG ĐÁNH GIÁ TRONG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC GTLN, GTNN

Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá” TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2016 KỸ THUẬT “Cân bằng đánh giá” Trong giải toán Bất đẳng thức, Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất... ĐÔI LỜ

Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá”

TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2016

KỸ THUẬT

“Cân bằng đánh giá”

Trong giải toán Bất đẳng thức, Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất

Tác giả: ĐOÀN TRÍ DŨNG

Giáo viên chuyên luyện thi THPT Quốc Gia tại Hà Nội

Điện thoại: 0902.920.389

ĐÔI LỜI ĐẦU VỀ KỸ THUẬT

“CÂN BẰNG ĐÁNH GIÁ”

Trong các dạng toán bất đẳng thức hiện nay, tôi xin phép được chia làm hai dạng chính:

 Dạng 1: Các bất đẳng thức ở dạng đối xứng, giả đối xứng,… sử

dụng các biến đổi bất đẳng thức, các đánh giá phụ, bất đẳng thức phụ,… Các dạng bài toán bất đẳng thức này rất khó, bạn đọc có thể tham khảo các tác phẩm đã được viết bởi Phạm Kim Hùng, Võ Quốc Bá Cẩn,…

 Dạng 2: Các bất đẳng thức ở dạng bất đối xứng, yêu cầu các đánh giá cơ bản không quá khó và xây dựng chủ yếu chỉ cần nền tảng là biến đổi tương đương Các dạng bài toán này xuất hiện rất nhiều ở các đề thi Trung học phổ thông quốc gia, đề thi thử của các trường trung học phổ thông,…

Kỹ thuật cân bằng đánh giá được chia làm hai phần chính:

 Phần 1: Đánh giá điểm rơi của bài toán bất đẳng thức

 Phần 2: Thay vào biểu thức cần đánh giá để nhận giá trị, từ

đó tìm ra quy luật

 Phần 3: Cân bằng đánh giá!

Để hiểu rõ hơn, xin mời bạn đọc xem từng ví dụ từ trang sau

Kỹ thuật này có lẽ không có gì mới và nổi bật, nhưng tôi muốn viết một cách chi tiết và cẩn thận để chia sẻ cho mọi người Mọi ý kiến đóng góp dù tốt hay xấu, xin vui lòng liên hệ mang tính

cá nhân với tác giả

Xin chân thành cảm ơn

Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá”

Ví dụ 1: Cho các số thực x y z, ,    1;2 thỏa mãn điều kiện

 

x4 y4 z4 x2 yz

4   4 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

1



Đề luyện tập số 15 lớp toán offline thầy Đoàn Trí Dũng

Phần 1: Đánh giá điểm rơi: x 1,y  z 2

Phần 2: Với điểm rơi đó ta có: x2 3y z  13 x2 y2 z2 4

Phần 3: Cân bằng đánh giá: Ta tạo ra được đánh giá sau:

x2 3 y z x2 y2 z2 4

Bài giải

Ta chứng minh: x2 3y z  x2 y2 z2 4

y 1y 2  z 1 z 2 0

       (Luôn đúng)

Vậy ta có: P x y z

2 2 2

1

 

Tới đây ta có đánh giá cơ bản: x2 2yz x2 y2 z2

Do đó: P x y z

2 2 2

1

4

 

Tìm điều kiện của x2 y2 z2 Từ điều kiện ban đầu ta có:

x4 9y4 9z4 x2 yz x2 y2 z2

x2 y2 z2 x4 y4 z4 y4 z4 x4 1y4 x4 1z4

x2 y2 z2 x4 y4 z4 y z2 2 x y2 2 x z2 2

x2 y2 z2 x2 y2 z22

9

      x2 y2 z2 9

Do đó ta tìm được Max P là 62

117 tại x 1,y  z 2

Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a b c, , [1;2] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

P

Thi thử Trường THPT Anh Sơn 2 – Lần 2

Phần 1: Đánh giá điểm rơi: a 1,b  c 2

Phần 2: Với điểm rơi đó ta có:

2(2   ) 16 2 (  ) 4

Phần 3: Cân bằng đánh giá: Ta tạo ra được đánh giá sau:

a b c abc a b c bc

2(2   ) 2 (  ) 4

Bài giải

Ta chứng minh: 2(2a b c  )abc 2 (a b c )bc4

a b c abc a b c bc

abc 2ab 2ac bc 4a 2b 2c 4 0

( 1)( 2)( 2) 0

     (Luôn đúng)

Nhận xét: Rõ ràng đánh giá cuối cùng rất khó phát hiện 

1

Vì a 1 do đó: P bc bc

1

Vậy, giá trị lớn nhất của 7

6

P  khi a 1,b  c 2

Bình luận: Thực chất phương pháp không có gì mới mẻ, nhưng nó

được diễn ra một cách hoàn toàn tự nhiên, hạn chế các bước “suy đoán”

Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá”

Ví dụ 3: Cho a b c, , 0 thỏa mãn a b c

a2 b2 c2 ab bc ca

2

2

  



      

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

Thi thử Trường THPT Hùng Vương – Bình Phước – Lần 2

Phần 1: Đánh giá điểm rơi:

a b

2

0

2 2 2

  



           

Các điểm rơi cần tìm: a 2 2 b 2,b c 2 2

Phần 2: Với điểm rơi đó ta có:

a c

a b

2 2 2 2

 

 



Phần 3: Cân bằng đánh giá: Ta tạo ra được đánh giá sau:

a b c a b

1



   

Phần 4: Với điểm rơi đó ta có:

a b



Phần 3: Cân bằng đánh giá: Ta tạo ra được đánh giá sau:

a c a a b b c a b a b2

2



Bài giải Đánh giá 1: Ta chứng minh:

a b c a b

1



   

a b a c 2 2a b c  2a 2b 2

a2 ab ac bc 2a 2b 2ab 2ac 2a 2b 2

a2 bc ab ac 2

Mặt khác sử dụng phép thế: ab ac  2 a2 b2 c2 bc ta được:

a2 bc a 2 b2 c2 bc  b c 2  0 (Luôn đúng)

Đánh giá 2: Ta chứng minh:

a c a a b b c a b a b2

2



a c a a b b c a ba b2

2

    a b  2  a c a  2b c 

a2 2ab b2 a2 ac 2ab 2bc ac c2

          b c 2  0 (Đúng)

Vậy ta có đánh giá:

P

a b a b a b 2 a b a b 2

Kết luận: MaxP 1,khi a 2 2,b c 2 2

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn x2 y2 z2 2x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

2 2

4



Trường THPT Thực Hành Cao Nguyên – Tây Nguyên– Lần 1

Bài 2: (Trường THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An – Lần 1) Cho các số thực a0;1 , b0;2,c0;3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá”

THAY LỜI KẾT

Kỹ thuật trên không có tác dụng thay thế các bài toán chứng minh bất đẳng thức mà chỉ đơn thuần bổ trợ và giúp các bạn có thêm một hướng tư duy mới trong việc tiếp cận bất đẳng thức

Trên đây là một trong số các kỹ thuật giải bất đẳng thức tôi sử dụng trong giảng dạy offline xin được chia sẻ với các bạn đọc

MỌI CHI TIẾT ĐÓNG GÓP Ý KIẾN XIN GỬI VỀ

Thày giáo: Đoàn Trí Dũng

Số điện thoại: 0902.920.389

Email: dungdoan.math@gmail.com