Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM – GM

Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) B T BDT- GTLN - NN NG TH C AM – GM: CH N I M R I ÁP ÁN BÀI T P T LUYÊN Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng K thu t ch n m r i thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Cho s th c d ng x, y th a mãn x  y  Ch ng minh r ng x3 y3 ( x3  y3 )  Gi i Cách 1: Ta có x  y  ( x  y)  3xy( x  y)   xy , ta c n ch ng minh x3 y3 (8  xy)  3  a bcd  Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng abcd    , ta đ   c: 1  xy  xy  xy   xy  24 2 x3 y3 (8  xy)  (2 xy).(2 xy).(2 xy)(8  xy)     8   x  y  D u “=” x y   x  y  2 xy   xy Cách 2: Ta có x3  y3  ( x  y)( x2  xy  y2 )  2( x2  xy  y2 ) , c n ch ng minh: x3 y3 ( x2  xy  y2 )   a bcd  Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng abcd    , ta đ   c: 4  xy  xy  xy  x2  xy  y2   ( x  y)2   22  x y ( x  xy  y )  ( xy).( xy).( xy).( x  xy  y )         1 4   4    3 2 2 x  y   x  y  D u “=” x y  2  xy  x  xy  y Bài Cho hai s th c a , b th a mãn a  b  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P  ab  Phân tích đ nh h D đoán m r i a  b  ab ng l i gi i 1   16ab  Do ta có l i gi i sau: ab Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng x  y  xy xy  ( x  y) , ta đ c: 1 (a  b)2 17  15ab  16ab  15  ab ab 4 17 17 Khi a  b  P  V y giá tr nh nh t c a P 4 Ta có P  16ab  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Bài Cho hai s th c d ng a , b Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P  BDT- GTLN - NN a b ab  ab a  b Phân tích đ nh h ng l i gi i Do P bi u th c đ i x ng nên ta d đoán m r i x y a  b Lúc đ áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta c n ch n h s  th a mãn  a b ab  a 2a      Do ta có l i gi i sau:  ab a  b  a a  a  b  Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ c: ab ab a  b ab 3(a  b) a  b    2  1  ab ab a  b ab ab a  b 5 Khi a  b P  V y giá tr nh nh t c a P b ng 2 P Bài Cho ba s th c d ng x, y, z th a mãn x  y  z  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P  x y  y z  z x Phân tích đ nh h ng l i gi i D đoán m r i x  y  z   x  y  y  z  z  x  Do ta có l i gi i sau: 3 4 x y y z z x 4 4 3 3  x y z  P   x  y    y  z    z  x  3 3 2 hay P   P  V y giá tr l n nh t c a P b ng x  y  z  3 Bài Cho s th c a , b, c th a mãn a  2, b  3, c  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 1   a b c Phân tích đ nh h ng l i gi i Bài toán th c ch t có th tách thành toán sau: +) Tìm giá tr nh nh t c a P1  a  v i a  a +) Tìm giá tr nh nh t c a P2  b  v i b  b +) Tìm giá tr nh nh t c a P3  c  v i c  c Tr c h t, ta xét bi u th c P1  a  D đoán P1  a  a   a  Khi đó, ta ch n  th a mãn:  a    T i đây, ta s d ng b t đ ng th c AM – GM :  a  P  a bc Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN a 3a 3a a 3a 3.2     2  1  1  a 4 a 4 a 4 17 10 10 17 121 P3  Suy P     a  2, b  3, c  Làm t ng t ta đ c: P2  4 12 Bài Cho s th c a , b th a mãn u ki n  a  ,  b  a  b  P1  a  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  ab Phân tích đ nh h ng l i gi i V i d ki n  a  ,  b  a  b  , ta d đoán P s đ t giá tr l n nh t a  2, b  , 7a  2b Do đ kh p đ c d u “=” ta s tách ghép đ áp d ng b t đ ng th c AM – GM nh sau: 1  7a  2b   2(a  b)  5a  (18  5a ) (18  5.2)    14 P  ab  (7a ).(2b)     14 14   56 56 56 V y max P  14 a  2, b  Nh n xét: Ngoài cách gi i ta có th gi i theo cách th sau: P  ab  a (9  a )  9a  a 2 Xét hàm f (a )  9a  a v i a   0; 2 Ta có f '(a )   2a  , a  0; 2  f (a ) đ ng bi n 0; 2 Suy P  f (a )  f (2)  14 V y max P  14 a  2, b  Bài Cho s th c d 1) ng a , b, c th a mãn a  b  c  Ch ng minh r ng a2 b2 c2    2) b5 c5 a 5 a (4b  5c)  b(4c  5a )  c(4a  5b)  Gi i x y ta có: 1 9a  4b  5c 9a  4b  5c a (4b  5c)  9a (4b  5c)   3 9a  4b  5c hay a (4b  5c)  9b  4c  5a T ng t ta có: b(4c  5a )  9c  4a  5b c(4a  5b)  18(a  b  c) 18.3 Suy a (4b  5c)  b(4c  5a )  c(4a  5b)   9 6 D u “=” x y a  b  c  1) Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng 2) Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:  T ng t ta có: xy  a2 b5 a2 b  a  2  b  36 b  36 a2 12a  b   b5 36 b2 12b  c  c2 12c  a    c5 36 a 5 36 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Suy BDT- GTLN - NN a2 b2 c2 12a  b  12b  c  12c  a  11(a  b  c)  15 11.3  15         b5 c5 a 5 36 36 36 36 36 a2 b2 c2    b5 c5 a 5 D u “=” x y a  b  c  V y Bài Cho s th c d ng x, y, z th a mãn x  y  3z  10 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P  x y z 15   2x y 2z Gi i Áp d ng b t đ ng th c AM – GM , ta có:  15 x 15 x  15 5x  5    2x   6 x x    y 2y  8 2y 15 26 x  y  z             3y 3 3y 3 2x 3y 2z 3y 1 z 1 z    z    1  2z  z 2z Suy P  x  y  z  26 x  y  3z x  y  3z 26 10 26 31       6 3  x, y, z  x   2y z  15 x  D u “=” x y khi:   ; ;    y  3y 2z  2x z    x  y  3z  10 31 x  3, y  2, z  V y giá tr nh nh t c a P Bài Cho a , b, c s th c d ng th a mãn a  b  c  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P  a  b  2b  6c  4a  3b  2c Phân tích đ nh h ng l i gi i D đoán d u “=” x y a  b  c  Do đó, ta có: a  b  2; b  3c  4;4a  3b  2c  Vì v y, đ b o đ m đ c d u “=” ta s đánh giá nh sau: x y , ta đ c: S d ng b t đ ng th c AM – GM d ng xy  1 P 2.(a  b)  4.(b  3c)  9.(4a  3b  2c) 2   a  b  b  3c  4a  3b  2c 15  5(a  b  c) 30 15      2 2 2 2 2 V y max P = 15 a  b  c  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Bài 10 Cho a , b, c s th c d BDT- GTLN - NN ng Ch ng minh r ng: a  b  c2  1 1      2 4b 4c 4a a b bc ca Gi i 2 a  b2  c   a   b2   c2            Ta có 2 4b 4c 4a 4a   4b 4b   4c 4c   4a 1 a b c  a2 b2 c2     2 2 2 2 2 4b 4b 4c 4c 4a 4a 2b c a  b 1 c 1   ;   c2 a c a c a a b c 1 ng th c ta đ c:      b c a a b c 2 M t khác: a 1   ; b2 a b C ng theo v b t đ a  b  c  1  1   1   1   1   Suy                     4b2 4c 4a 2  a b c   a b   b c   c a    1 4  1        a b b  c c  a  a b b c c  a Bài 11 Cho x, y, z s th c không âm th a mãn x  y  z  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P  x3 y  y3 z  z3 x  xy3  yz3  zx3 Phân tích đ nh h ng l i gi i Nh n xét: V i đa s nh ng bi u th c ba bi n đ i x ng giá tr l n nh t (hay c giá tr nh nh t) th ng đ t đ c x  y  z ho c x  y, z  (th ng có u ki n không âm) Trong toán đ d đoán giá tr l n nh t c a P ta th ch n x  y  z  so sánh v i tr ng h p x  y  1, z  x  y  z  P  x  y  1, z  Nh v y ta d đoán max P  x  y  1, z  Nh n th y P  Khi x  y  1, z   x3 y  y3 z  z3 x  xy3  yz3  zx3   Do ta s áp d ng b t đ ng th c AM – GM theo cách sau: Cách 1: a b Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng ab  , ta đ c: P  1.( x3 y  y3 z  z3 x)  1.( xy3  yz3  zx3 )  Ta có M    1  x3 y  y3 z  z3 x  xy3  yz3  zx3  M 2 xy( x2  y2 )  yz( y2  z2 )  zx( z2  x2 ) xy( x2  y2  z2 )  yz( x2  y2  z2 )  zx( z2  y2  x2 )   ( x2  y2  z2 )( xy  yz  zx) 2 ( a  b) Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng ab  ta đ Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t c: T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 2 2  x  y  z  2( xy  yz  zx)  2 M   ( x  y  z )  2( xy  yz  zx)   4  1 BDT- GTLN - NN ( x  y  z)4 24  1  16 16 Suy P  Khi x  y  1, z  P  V y giá tr l n nh t c a P Cách 2: Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng a  b  2(a  b) , ta đ c: P  x3 y  y3 z  z3 x  xy3  yz3  zx3  2( x3 y  y3 z  z3 x  xy3  yz3  zx3 )  2M (1) Ta có M  x3 y  y3 z  z3 x  xy3  yz3  zx3  xy( x2  y2 )  yz( y2  z2 )  zx( z2  x2 ) Do d đoán z  nên ta có đánh giá sau: M  xy( x2  y2  z2 )  yz( y2  z2  x2 )  zx( z2  x2  y2 )  ( xy  yz  zx)( x2  y2  z2 ) (2) Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng ab  ( a  b) ta đ c: ( xy  yz  zx)( x2  y2  z2 )  2( xy  yz  zx)( x2  y2  z2 ) 2 2  2( xy  yz  zx)  ( x  y  z )  ( x  y  z)4    (3) 4 T (1), (2) (3) suy ra: P  2.2  V y P đ t giá tr l n nh t b ng x  y  1, z  ho c hoán v Bài 12 Cho x, y, z s th c d ng th a mãn x  y  z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : x3 y3 z3    ( xy  yz  zx) 3 y  z  x  27 Gi i Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ c: P x3 y  y2  y  x3 y  y2  y  x x3 x  y  y2        y3  27 27 y3  27 27 y3  27 y3 y  z  z2  z3 z  x  x2    ; z3  27 x3  27 K t h p v i u ki n x  y  z  , suy ra: T ng t ta đ c: x3 y3 z3 10( x  y  z)  ( x2  y2  z2 )  18 30  ( x  y  z)  2( xy  yz  zx)   18     y3  z3  x3  27 27 x3 y3 z3    ( xy  yz  zx)  hay P  3 y  z  x  27 1 Khi x  y  z  P  V y giá tr nh nh t c a P 9  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Bài 13 Cho a , b, c s th c d BDT- GTLN - NN ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P  a  ab  abc a bc Gi i x y z , ta đ c: 1 a  4b a  4b  16c a.4b  a.4b.16c  a  a  ab  abc  a    (a  b  c) 2 Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng xy  x y xyz  3 4 4        Khi P  4(a  b  c) a bc 4 a bc 3 a  4b  16c  3  D u “=” x y   a  ;b  ;c  28 112  a  b  c  4 V y giá tr nh nh t c a P  Bài 14 Cho a , b, c s th c d bi u th c: ng th a mãn u ki n a  b2  c2  Tìm giá tr nh nh t c a P a3 b2   b3 c2   c3 a2  Gi i Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ c: b2     33 b2  b2  a3 T a3 ng t ta đ b3 c: c2   12a  b  b  3a a3    16 b2  b2  b2  a3 12b  c  16 a3 c3 a2   12c  a  16 12(a  b2  c )  (a  b2  c )  12.3     16 16 3 Khi a  b  c  P  V y giá tr nh nh t c a P b ng 2 Suy P  Bài 15 Cho x, y, z s th c d P ng th a mãn u ki n xyz  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 1   x ( y  1)( z  1) y ( z  1)( x  1) z ( x  1)( y  1) Gi i t a 1 ; b  c  , a , b, c  abc  x z y Suy P  a 4bc b 4ca c ab a3 b3 c3      (b  1)(c  1) (c  1)(a  1) (a  1)(b  1) (b  1)(c  1) (c  1)(a  1) (a  1)(b  1) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN Áp d ng b t đ ng th c AM – GM , ta có: a3 b 1 c 1 a3 b  c  3a a3 6a  b  c    3    (b  1)(c  1) 8 (b  1)(c  1) 8 (b  1)(c  1) T ng t ta đ c: b3 6b  c  a  c3 6c  a  b    ; (c  1)(a  1) (a  1)(b  1) 4(a  b  c)  4.3 abc  4.3     8 3 Khi x  y  z  P  V y giá tr nh nh t c a P 4 Suy P  Bài 16 Cho x, y, z s th c d c a bi u th c: ng th a mãn u ki n 2( x  y  z)  xyz2 Tìm giá tr nh nh t 1 2 P  x4  y4  z4  32      x y z Phân tích đ nh h ng l i gi i D đoán d u “=” x y x  y  z  Do đó, ta có: x  4  y  z 2 x y z Vì v y, đ b o đ m đ c d u “=” ta s đánh giá nh sau: Áp d ng b t đ ng th c AM – GM , ta có: x4  y4  z4  x4  y4  z4  z4  xyz2 1 1 1 1 xyz2  32      8( x  y  z)  32      x y z  x y z 4  4 4     x     y    16  z    32  32  64  128 x  y z   C ng v hai b t đ ng th c ta đ c: 1 2 P  x4  y4  z4  32      128  x y z Khi x  y  z  P  128 V y giá tr nh nh t c a P 128  2    x y z  Bài 17 Cho x, y, z s th c không âm th a mãn  2 5 x  y  z   Ch ng minh r ng: x2  y3  z4  16 Phân tích đ nh h ng l i gi i Nh n xét: toán ta nh n th y có m t u đ c bi t bi n u ki n c ng nh b t đ ng th c c n ch ng minh ch a h s s m hoàn toàn l ch nh ng d u “=” l i x y x  y  z  T vi c d đoán đ c d u “=” ta có l i gi i chi ti t sau: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: 1 y3 y3 y3 y3    3  y2  y3  y2   2 2 16 2 16 4 16    x  y  z  x  y  z  (1) 1 1  z4   z4  z2  z4  z2   16 16 2 16 x2  y2  z2  1 1 Ta có: x2  y2  z2   x2  y2  z2   8 9 (2)  ( x2  y2  z2 )     4 4 16 D u “=” x y x  y  z  T (1) (2) suy x2  y3  z4  16 Bài 18 Cho s th c d ng a , b, c th a mãn a  b  c  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P  a  b  c3 Phân tích nháp: Do a , b có vai trò nh nên ta d đoán P nh nh t a  b M t khác, bi u th c c a P xu t hi n l y th a b c 2, b c nên đ khai thác tri t đ gi thi t d i d ng b c nh t a  b  c  , ta ngh t i vi c áp d ng b t đ ng th c Cauchy Song m t tr ng i toán ta ch a xác đ nh đ c m r i, v y ta gi đ nh m r i nh sau: a  b   c   , đó: 2    Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: a    2 a  2  a  b  c3  2  2  2 (a  b)  3 2c b    2 b c3      3 2c   a  b2  c3  2 (a  b)  3 2c   2  2 t n d ng t i đa gi thi t a  b  c  ta c n h s c a (a  b) c b ng hay 2  3 2    19  37 37     V y m r i th c s c a toán th a mãn h :    12     T ta có l i gi i chi ti t sau: L i gi i: t 19  37 37    , đó: 2    2  3 12 a    2 a  Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: b    2 b c3      3 c   a  b2  c3  2  2  2 (a  b)  3 2c  2 (a  b)  2 c  2 (a  b  c)  6  P  a  b2  c3  6  2  2  Hocmai.vn – Ngôi tr 541  37 37 108 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN 541  37 37 19  37 37  a  b    c    108 12 325 ng a , b, c th a mãn a  b  c3  Tìm giá tr nh nh t c a V y P đ t giá tr nh nh t b ng Bài 19 Cho s th c d P  a  b3  c Gi i a   a  4a 6a  24  24a  3   512  8 8 Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: b3  b3     3 b3 b3    8b  6b   24b 3 3    4 4 4 4 6c  162  24c c c c c c c c      12  2186 325 2600 2807  2600 2186   6(a  b3  c )   24(a  b2  c3 )  24   a  b3  c    :6  9  27  2807 D u “=” x y a  2; b  c  27 2807 a  2; b  c  V y P đ t giá tr nh nh t b ng 27 Hay P  Bài 20 Cho x, y, z s th c th a mãn 5 x  5 y  5 z  Ch ng minh r ng: 25x 25 y 25x 5x  y  5z    x  y  z y  z  x z  x y Gi i a  5x   a2 b2 c2 a bc 1    t b  y  ,    P  a  bc b  ca c  ab a b c c  z   1 Cách 1: Ta có     ab  bc  ca  abc a b c Khi b t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng: a3 b3 c3 a bc a3 b3 c3 a bc        2 a  abc b  abc c  abc (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) (d đo n d u “=” x y a  b  c   Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ a3 a b a c   ) (a  b)(a  c) 8 c: a3 a b a c a3 4a  b  c    a  (a  b)(a  c) 8 (a  b)(a  c) b3 4b  c  a c3 4c  a  b   (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) C ng v b t đ ng th c ta đ c: T ng t ta có: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN a3 b3 c3 4(a  b  c)  2(a  b  c) a  b  c (đpcm)     (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) Cách 2: 1 1 1 Ta có: a  b  c  (a  b  c)      3 abc 3  a b c a b c Bi n đ i T 1 b  c a 1 a (b  c) a2 a2 a a2  a   1    bc      b c a bc a a 1 a  bc a  a (b  c)  b  c a  b  c  a 1 a 1 ng t ta có: b2 b2  b c2 c2  c   b  ca a  b  c  c  ab a  b  c  ( a  b  c) a  b  c  (a  b  c) 2 Suy P  M t khác a  b  c  a  b  c 1 (a  b  c)  (a  b  c) a bc 3 P  (a  b  c)  a  b  c 1 3(a  b  c  1) 1  1 2  a bc  (a  b  c)    ( a  b  c)      3(a  b  c  1)   3.(9  1)  Hay P  a bc D u “=” x y a  b  c   x  y  z  log5 t  3t t  có giá tr nh Chú ý: Có th đ t t  a  b  c  , r i dùng hàm s ch ng minh hàm f (t )  3(t  1) nh t t  , ta đ c u ph i ch ng minh Bài 21 Cho x, y, z s th c d ng Ch ng minh r ng:  x2 y2 z2  x3 y3 y3 z3 z3 x3           y3 x3 z3 y3 x3 z3  yz zx xy  Gi i x3 x3 3x2 Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:    y z yz y3 y3 y2  1  x3 z3 zx z3 z3 z2    y3 x3 xy x2 y2 z2   3 yz zx xy C ng v v i v b t đ ng th c rút g n ta đ c u ph i ch ng minh D u “=” x y x  y  z Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Bài 22 Cho x, y, z s th c d P BDT- GTLN - NN ng th a mãn x2  y2  z2  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ( x  y  z  1)2 1    x2 y  y2 z  z2 x x y z Gi i Ta có 3( x  y  z)  ( x2  y2  z2 )( x  y  z)  ( x3  xy2 )  ( y3  yz2 )  ( z3  zx2 )  ( x2 y  y2 z  z2 x)  x2 y  y2 z  z2 x  ( x2 y  y2 z  z2 x)  3( x2 y  y2 z  z2 x)  x  y  z  x2 y  y2 z  z2 x M t khác 1    x y z x y z Khi P  ( x  y  z  1)2 10   x y z 2 x y z x y z x y z Ta có ( x  y  z)2  3( x2  y2  z2 )    x  y  z  Suy P  x  y  z  9 13    ( x  y  z)  2 x y z x y z x y z 3 Khi x  y  z  P  13 13 V y giá tr nh nh t c a P 3 Bài 23 Cho x, y, z s th c d ng th a mãn x2  y2  z2  y Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P  x  y  z   y  1   z  6 Gi i Ta bi n đ i gi thi t thành x   y  3  z  Và v i d đoán d u “=” x y v i nh ng s đ p nên ta 2  x; y  ; z s th  2; 2;1 t ng v i b s h p c a vào P Ta th y giá tr nh nh t x y x  1; y  5; z  T ta có l i gi i chi ti t nh sau: x2 y z2 y y x z y  T u ki n, ta có:        y 25 y 25 5 5 Suy ra: x  y  z  15 Khi áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ P  x  y  z   y  11   y  11   z  6   c:  x  y  z  y  11 y  11 z   64  x  y  z  17   64 15  17   16 16 ng th a mãn x2  y2  x  y Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : D u “=” x y x  1, y  5, z  V y giá tr nh nh t c a P Bài 24 Cho x, y s th c d Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 12 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) P  3x  y  BDT- GTLN - NN 16 16  x  3y 3x  Gi i  16 16 16   16  P  3x  y     x  3y     3x      x  y   x  3y 3x   x  3y   3x   T gi thi t ta suy  x  y  M t khác áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có 16 8 x  3y   x  3y    12 x  3y x  3y x  3y 3x   16 8  3x     12 3x  3x  3x  Suy  16   16   x  y     3x      x  y    24    21  x  x y     V y giá tr nh nh t c a P  21 x  y  Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | 13 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng - [...]... Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: 3  3  1  y z yz y3 y3 3 y2  1  x3 z3 zx z3 z3 3 z2   1  y3 x3 xy x2 y2 z2   3 yz zx xy C ng v v i v các b t đ ng th c trên và rút g n ta đ c đi u ph i ch ng minh D u “=” x y ra khi x  y  z Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi... 12 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) P  3x  2 y  BDT- GTLN - NN 16 16  x  3y 3x  1 Gi i  16 16 16   16  P  3x  2 y     x  3y     3x  1     x  y  1  x  3y 3x  1  x  3y   3x  1  T gi thi t ta suy ra 0  x  y  2 M t khác áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có 16 8 8... áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ P 1  x  y  z 2  4  y  11 2  4  y  11 2  1  z  6 2   c: 8  x  y  z  y  11 y  11 z  6  64  x  y  2 z  17  2  64 15  17  2  1 16 1 16 ng th a mãn x2  y2  x  y Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : D u “=” x y ra khi x  1, y  5, z  2 V y giá tr nh nh t c a P là Bài 24 Cho x, y là các s th c d Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c...Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN a3 b3 c3 4(a  b  c)  2(a  b  c) a  b  c (đpcm)     (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) 8 4 Cách... y   1  24  2  1  21  x 3 1  x y 3     V y giá tr nh nh t c a P  21 khi x  y  1 Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | 13 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam 5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù... các trung tâm 4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là các khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l... Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Bài 22 Cho x, y, z là các s th c d P BDT- GTLN - NN ng th a mãn x2  y2  z2  3 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ( x  y  z  1)2 1 1 1    x2 y  y2 z  z2 x x y z Gi i Ta có 3( x