Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) D NG BDT- GTLN - NN NG C P B C ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng D ng đ ng c p b c (ti p theo) thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Cho x, y, z s th c d có th n m v ng ki n th c ng th a mãn x y z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P x y z2 x yz y zx z xy Gi i Ta có: z xy x y xy ( x 1)( y 1) x yz x y( x y 1) x y y( x y) ( x y)( y 1) T ng t ta có: y zx ( x y)( x 1) Khi P x y z2 x2 y2 x y z2 ( x y)( y 1) ( x y)( x 1) ( x 1)( y 1) ( x y)( x 1)( y 1) ( x 1)( y 1) ( a b) 2 a b Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng ,ta có: ab (a b) ( x y) 2 x y 2 ( x 1)( y 1) ( x y 1) ( x y 2) 4 ( x y) x y z2 2 4( z2 2) 4( z2 2) f ( z) v i z Suy P ( x y 2) ( x y 2) x y ( x y 2) z ( z 1) ( x y) 4 4( z2 2) 8( z 2) 6( z 3) Xét hàm s f ( z) v i z Ta có f '( z) ; 2 z ( z 1) ( z 1) ( z 1)3 ( z 1)3 f '( z) z B ng bi n thiên Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) T b ng bi n thiên, suy P f ( z) 13 D u “=” x y BDT- GTLN - NN x y; z x y x y 1 z z 13 , x y z Bài Cho x, y, z s th c d ng th a mãn u ki n x2 y2 z2 V y P đ t giá tr nh nh t b ng Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P 2( y z x) xyz Gi i: Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng a b 2(a b2 ) ab P 2( y z x) xyz Xét hàm s 2( y2 z2 ) x x y2 z2 2 a b2 , ta đ c: 2(1 x2 ) x x.(1 x2 ) 2(1 x2 ) x3 x f ( x) 2 f ( x) 2(1 x2 ) x3 x v i x 2 Ta có f '( x) 2 x x2 27 x (27 x2 5) x2 x 2 x2 0 x 1 Khi f '( x) x (27 x2 5) x2 27 x2 x (3x2 1)(9 x2 1)(27 x2 25) B ng bi n thiên 10 T b ng bi n thiên suy P f ( x) f 3 10 10 Khi x ; y z P V y giá tr l n nh t c a P 3 3 Bài Cho a , b, c s th c không âm đôi m t phân bi t th a mãn ab bc ca Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P 1 2 (a b) (b c) (c a ) Gi i: Bi n đ i P ta đ c: 1 1 1 1 P 2 2 (a b) (b c) (c a ) a b b c c a a b b c b c c a c a a b 1 1 c a a bbc (a b)(b c)(c a ) a b b c c a a b b c c a Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN a c a Không m t tính t ng quát gi s a b c ta có ab bc ca b c b ab Áp d ng b t đ ng th c d ng ( x y)2 xy , ta đ c: 1 1 ba 4 1 a b b c c a a b (b c)(c a ) (a c)(b c) ab a b b c c a c c 1 Suy P D u “=” x y b hoán v a b b c c a a ab V y giá tr nh nh t c a P Bài Cho s th c d ng th a mãn x y z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: x3 y3 ( x yz)( y xz)( z xy)2 Gi i Ta có: z xy x y xy ( x 1)( y 1) P x yz x y( x y 1) x y y( x y) ( x y)( y 1) T Khi P ng t ta có: y zx ( x y)( x 1) x3 y3 ( x y)2 ( x 1)3 ( y 1)3 Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng (a b)2 4ab a b c 3 abc , ta đ ( x y)2 xy x Suy P x x x2 27 x2 1 33 ( x 1)3 T 2 4 x3 y3 ( x y) ( x 1)3 ( y 1)3 c: ng t : ( y 1)3 27 y2 4 x3 y3 2 27 x 27 y 729 xy 4 4 V y giá tr nh nh t c a P b ng 729 729 Bài Cho x, y, z s th c th a mãn 5 x 5 y 5 z Ch ng minh r ng: Khi x y z P 25x 25 y 25x 5x y 5z x y z y z x z x y Gi i a 5x a2 b2 c2 a bc 1 t b y , P a bc b ca c ab a b c c z 1 1 1 Ta có: (a b c) (a b c) 3 abc 3 a b c a b c 1 b c a 1 a (b c) a2 a2 a a2 a bc Bi n đ i b c a bc a a 1 a bc a a (b c) b c a b c a 1 a 1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) T ng t ta có: BDT- GTLN - NN b2 b2 b c2 c2 c b ca a b c c ab a b c ( a b c) a b c (a b c) M t khác a b2 c a b c 1 (a b c) (a b c) a bc 3 P (a b c) a b c 1 3(a b c 1) Suy P 1 1 2 a bc (a b c) ( a b c) 3(a b c 1) 3.(9 1) Hay P a bc D u “=” x y a b c x y z log5 Chú ý: Có th đ t t a b c , r i dùng hàm s ch ng minh hàm f (t ) t 3t t 3(t 1) có giá tr nh nh t t , ta đ c u ph i ch ng minh Bài Cho x, y, z s th c không âm th a mãn x2 y2 z2 xyz Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P xy yz zx xyz Gi i Theo nguyên lý Dirichlet ba s (2 x 1);(2 y 1);(2 z 1) t n t i hai s d u, không m t tính t ng quát gi s : z (2 x 1)(2 y 1) xy 2( x y) xyz 2( x y) z z xz zx xyz (1) 1 z M t khác, ta có: z2 xyz x2 y2 xyz xy xy( z 1) xy (2) z 1 z C ng t ng ng hai v c a (1) (2) ta đ c: P 2 1 Khi x y z P V y giá tr l n nh t c a P b ng 2 Bài Cho s th c d ng x, y, z th a mãn x4 y2 1 z4 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P y x z x y z2 2 Gi i ( a b) a b2 a b2 2 2 (suy t 2(a b ) (a b) 4ab ) ta đ c: Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng ab y2 x z 1 y2 x2 z2 P 2 x y z 1 x y z2 2 T gi i thi t ta có x4 y2 1 z4 x2 y2 z2 1 , suy x2 y2 z2 2 t t x y z t 1 Xét hàm s f t t ; t Ta có f ' t v i t 1;5 t t Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN 21 Suy f (t ) đ ng bi n 1;5 , P f (t ) f 5 5 21 x z ng th c x y V y max P y Bài Cho s th c d ng a , b, c Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: a b c a 1 b 1 c 1 Gi i P 2 ( x y)2 Áp d ng AM – GM d ng x y , ta có: 2 a b c 2 2 a b 1 2 c 1 2 a b c 1 M t khác theo AM – GM có: a b c 3 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 V y t đó: P a b c 3 27 54 a b c a b c 3 t t a b c 1, t Lúc P f t 162 54 Ta có: f t t t t 2 t 2 Lúc đó: f t 162 t 81t t t t t 2 1 P 4 V y giá tr l n nh t c a P đ t đ c t Lúc a b c Bài Cho s th c d ng x, y, z th a x2 y2 z2 L p BBT ta suy f t Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P x2 xy y2 yz z2 zx z2 x2 y2 Gi i Áp d ng b t đ ng th c d ng 2(a b ) (a b)2 hay a b 2(a b2 ) , ta đ 2 c: Ta có: x y x2 y2 z2 T ng t ta có : y z x2 ; z x y2 Khi P 2.(3 z2 ) 2.(3 x2 ) 2.(3 y2 ) x( x y) y( y z) z( z x) x y z z2 x2 y2 z2 x2 y2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 3 t BDT- GTLN - NN , t 0; (*) Th t v y: 5t 2 2 (*) 8(3 t ) (t 5) (t 1)2 (luôn đúng) ng th c có t M t khác, ta có: Do đó, áp d ng (*) ta đ c: P x y z Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng 3(a b2 c2 ) (a b c)2 hay a b c 3(a b2 c ) , ta đ c: 1 x y z x2 y2 z2 2 D u “=” x y x y z V y max P 2 Bài 10 Cho x, y, z s th c th a mãn x y2 z2 xyz P Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P 2( x y z) xyz Không m t tính t ng quát, gi s Gi i: x x; y; z , xyz x M t khác x2 y2 z2 x2 x 3;0 Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng y z 2( y2 z2 ) yz y2 z , ta đ c: y2 z2 x2 x3 5x P 2( x y z) xyz x 2( y z ) x x 2(9 x ) x 2(9 x2 ) 2 2 Xét hàm s f ( x) 2 x3 x 2(9 x2 ) v i x 3;0 2 3x2 2 x (3x2 5) x2 2 x Ta có f '( x) 2 x2 x2 3x Khi f '( x) (3x 5) x 2 x 2 2 (3x 5) (9 x ) x 2 3x2 x 3x 9 x 111x 327 x 225 x x2 5 1 25 x x 1 3;0 3 Ta có f (3) 6 ; f (1) 10 f (0) f ( x) f (1) 10 x 1; y z x 1 D u “=” x y 2 y z x y z V y P đ t giá tr nh nh t b ng 10 , x 1 ; y z Chú ý: toán có th không c n u ki n xyz Khi b n tham kh o nh ng b Áp d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz (s đ Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t c tìm hi u k c gi i sau: h c sau), ta có: T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN 2( x y z) xyz x(2 yz) ( y z).2 ( x2 ( y z)2 (2 yz) 4 (2 yz 9)( y2 z2 yz 8) t t yz , suy ra: P 2( x y z) xyz (2t 9)(t 4t 8) f (t ) Gi s x max x , y , z 3x2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 yz Ta d dàng ch ng minh đ c (2t 9)(t 4t 8) 10 v i t Khi ta suy đ Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr y2 z2 hay t ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 c đáp s toán : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -