Bất đẳng thức AM – GM (Côsi) và giới thiệu dạng biến thể đồng cấp bậc 2 (tiếp)

Bài 1. Cho x y z là các s th, , c d ng th a mãn x  y 1 z

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :

2 2

P



  

Gi i

Ta có: zxy   x y 1 xy(x1)(y1)

xyz x y x(     y 1) x y y x( y)(xy y)( 1)

T ng t ta có: yzx(xy x)( 1)

P

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng

2

2 2

2

( ) 2 ( ) 4

a b

a b

a b ab

















,ta có:

2

( )

2 ( 1 1) ( 2) ( 1)( 1)

x y

x y

x y



















Suy ra

2



v i z1

Xét hàm s

2 2

( )

z

f z



'( )

f z

f z   z

B ng bi n thiên

D NG NG C P B C 2

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng D ng đ ng c p b c 2 (ti p theo) thu c khóa h c Luy n thi

THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c

ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

T b ng bi n thiên, suy ra ( ) 13

4



V y P đ t giá tr nh nh t b ng 13

4 , khi x y 1 và z 3

Bài 2. Cho x y z là các s th, , c d ng th a mãn đi u ki n 2 2 2

1

x y z  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P2(y  z x) 9xyz

Gi i:

a b a b và

2 2

2

a b

ab 

, ta đ c:

2

2

2 2(1 2) 9 3 5 ( )

Xét hàm s ( ) 2 2(1 2) 9 3 5

f x  x  x  x v i 0  x 1

Ta có

2

'( )

1

3

x

 







B ng bi n thiên

P f x  f 

 

x y z thì 10

3

P  V y giá tr l n nh t c a P là 10

3

Bài 3. Cho a b c, , là các s th c không âm đôi m t phân bi t và th a mãn ab bc ca   4

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 1 2 1 2 1 2

P

Gi i:

Bi n đ i P ta đ c:

2

P

2

    

Không m t tính t ng quát gi s a    và ta có b c 0 ab bc ca  4

4

ab

 







Áp d ng b t đ ng th c d ng 2

(xy) 4xy, ta đ c:

2

1

)

)(

4

a b b c c a a b b c

b a



Suy ra P1 D u “=” x y ra khi

5 1

5 1 4

b

a ab





và các hoán v

V y giá tr nh nh t c a P là 1

Bài 4 Cho các s th c d ng th a mãn x  y 1 z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

3 3

2

x y P



Gi i

Ta có: zxy   x y 1 xy(x1)(y1)

xyz x y x(     y 1) x y y x( y)(xy y)( 1) T ng t ta có: yzx(xy x)( 1)

x y P



Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng 2

(ab) 4ab và 3

3

a  b c abc , ta đ c:

(xy)2 4xy và

3

3

1 3

27

4

x

4

y

Suy ra

4

P

xy

Khi x y 2 và z thì 5 4

729

P V y giá tr nh nh t c a P b ng 4

729

Bài 5 Cho x y z là các s th c th a mãn , , 5 x5 y5 z 1 Ch ng minh r ng:

Gi i

t

x

y

z

a

b

c





  



, khi đó 1 1 1 1

a   b c và

4

P

 

3 3

a b

c

a

a

b

b

1

bc

a

T ng t ta có: 2 2

1





1





Suy ra

1

P



2

3

a b c

a b c    2

3

a b c

a b c

a b c

  

( ) 1 2 ( ) 1 2

Hay

4

a b c

 D u “=” x y ra khi a       b c 3 x y z log 35

f t

t



có giá tr nh nh t là 0 khi t , khi đó ta đ c đi u ph i ch ng minh 9

Bài 6 Cho x y z là các s th c không âm th a mãn , , x2y2z22xyz1

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: Pxyyzzx2xyz

Gi i

Theo nguyên lý Dirichlet trong ba s (2x1);(2y1);(2z1) luôn t n t i hai s cùng d u, không m t tính t ng quát gi s :

2

z

x y   xy xy    xyz xy z  z xzzx xyz (1)

2

z

C ng t ng ng hai v c a (1) và (2) ta đ c: 1 1

2

x  y z thì 1

2

P  V y giá tr l n nh t c a P b ng 1

2

Bài 7. Cho các s th c d ng x y z, , th a mãn 4  2 2 4

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c   2 2 2

1

1

Gi i

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng 2 2

2

a b

ab 

và

2

2 2

( ) 2

a b

a b



(suy ra t 2(a2b2)(ab)24ab) ta đ c:

2  2

 

T gi i thi t ta có 4  2 2 4 1 2 2 2 2

3

        , suy ra 0x2y2z2  4

t tx2y2z2   1 1 t 5

t

1

f t

t

   v i  t 1;5

Suy ra f t( ) đ ng bi n trên 1;5, khi đó   1 21

P f t  f   

ng th c x y ra khi 1

2

x z y

 







21

5

P 

Bài 8 Cho các s th c d ng a b c, , Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

1

P

Gi i

Áp d ng AM – GM d ng 2 2 ( )2

2

x y

x y  

, ta có:

1

M t khác theo AM – GM có: a     1 b 1 c 1 33 a1b1c 1

     33

27

V y t đó:

P

t t   a b c 1,t1

2

P f t

 Ta có:  

2

2

f t



Lúc đó:  

4 2

2

f t   P

V y giá tr l n nh t c a 1

4

P  đ t đ c khi t Lúc đó 4 a    b c 1

Bài 9 Cho các s th c d ng x y z, , th a x2y2z2 3

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

P

Gi i

2(a b )(ab) hay a b 2(a2b2), ta đ c:

xy x y  z

2 3

2 3

Khi đó ( 2) ( 2) ( 2) 2.(3 2 2) 2.(3 2 2) 2.(3 2 2)

M t khác, ta luôn có:  2 2  

t

t t



(*)8(3t2)(t25)2 (t21)2 0 (luôn đúng) ng th c có khi t 1

Do đó, áp d ng (*) ta đ c: 1 

2

P x y z

a  b c a b c , ta

đ c:

   2 2 2

3

D u “=” x y ra khi x  y z 1 V y max 3

2

P

Bài 10. Cho x y z là các s th c th a mãn , , x2y2z2 9 và xyz0

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P2(x  y z) xyz

Gi i:

Không m t tính t ng quát, gi s xminx y z; ; , do xyz  0 x 0

x y z  x    x

y z y z và

2

y z

yz 

2

2

2

2

Xét hàm s

3

2 5

Ta có

'( )

f x

Khi đó

2

x





2 2 2

2 2

2

1

25

3 3

x x x

x

x



 



 





Ta có f( 3)  6 ; f( 1) 10  và f(0)6 2 f x( ) f( 1) 10

2 9





V y P đ t giá tr nh nh t b ng 10, khi x  ; 1 y z 2

Chú ý:

bài toán này có th không c n đi u ki n xyz0 Khi đó các b n tham kh o nh ng b c gi i chính sau:

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz (s đ c tìm hi u k các bài h c sau), ta có:

2 2 2 2 2 2(x  y z) xyzx(2yz) ( y z ).2 (x (y z )   (2yz) 4  (2yz9)(y z 4yz8)

t tyz, suy ra: P2(x  y z) xyz (2t9)(t2 4t 8)  f t( )

2

3

t

(2t9)(t  4t 8)10 v i t Khi đó ta suy ra đ c đáp s bài toán 3

Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng

Ngu n : Hocmai.vn

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N

 Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng

 Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c

 H c m i lúc, m i n i

 Ti t ki m th i gian đi l i

 Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI

 Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t

 i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam

 Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên

 Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c

Là các khoá h c trang b toàn

b ki n th c c b n theo

ch ng trình sách giáo khoa

(l p 10, 11, 12) T p trung

vào m t s ki n th c tr ng

tâm c a kì thi THPT qu c gia

Là các khóa h c trang b toàn

di n ki n th c theo c u trúc c a

kì thi THPT qu c gia Phù h p

v i h c sinh c n ôn luy n bài

b n

Là các khóa h c t p trung vào

rèn ph ng pháp, luy n k

n ng tr c kì thi THPT qu c

gia cho các h c sinh đã tr i

qua quá trình ôn luy n t ng

th

Là nhóm các khóa h c t ng

ôn nh m t i u đi m s d a

trên h c l c t i th i đi m

tr c kì thi THPT qu c gia

1, 2 tháng