KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM Kỹ thuật chọn điểm rơi hay cịn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số.. Đối với một số BĐT đồng dạng khơng đối xứng thì dấu BĐ
Trang 1
KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM
Kỹ thuật chọn điểm rơi hay cịn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số
Đối với một số BĐT đồng dạng khơng đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy ra khi giá trị của các biến tướng ứng khơng bằng nhau Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải các bài
tốn BĐT (hay cực trị) dạng khơng đối xứng là rất cần thiết Một trong những kỹ thuật cơ bản
nhất chính là xây dựng thuật tốn sắp thứ tự gần đều (kỹ thuật điểm rơi)
Kỹ thuật chủ yếu ở đây thường là các giá trị trung gian được xác định theo cách chọn đặc biệt để tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra Tham số phụ đưa vào một cách hợp lý để phương trình xác định chúng cĩ nghiệm
Một số bất đẳng thức cơ bản
Bất đẳng thức Cauchy
Cho n a a1 2, , , (a n n 2) ta luôn có
1 2
n n
n
a a a n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 a n
Một vài hệ quả quan trọng:
2
n
2
i
n
Cho 2n số dương (n Z n, 2): a a1 2, , , , , , ,a b b n 1 2 b n ta có:
n( 1 1)( 2 2) ( ) n 1 2 n 1 2
Bài tốn mở đầu:
VD1 Cho Ta cĩ Khi đĩ ta cĩ hệ quả với thì
Rõ ràng với bài tốn trên là kết quả của BĐT Cauchy
Nếu thay điều kiện bởi hay hay … thì lời giải bài tốn như nào??
Bài 1: Choa 3 Tìm Min của
a a
S 1
≥
> =
=
≥
≥
=
Bình luận và lời giải :
+Sai lầm :
+Nguyên nhân :
điều này mâu thuẫn với giả thiếta 3
+Xác định điểm rơi :
2 min 2
1 2
1
S a
a a
a
S
1
1 2
min
a a S
= Û = =
www.hongsontv.vn www.hsmath.net
Bất đẳng thức Cauchy
www.hongsontv
Trang 2Ta thấy rằng khi a tăng thì S cũng càng lớn nên dẫn đến dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất Và
3 3
10
minS a Do BĐT Cauchy xãy ra dấu đẳng thức tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau
nên ta đưa tham số sao cho tại điểm rơi a = 3 thì cặp số a và 1 phải bằng nhau
Với a=3 cho cặp số
+Lời giải đúng :
Đẳng thức xãy ra a 3
Bài 2: Cho a 2.Tìm Min của
2
1
a a S
+Xác định điểm rơi : a=2 cho cặp số
9 3
1 3 3
1
1
3
a
a
3
10 3
10 9
3 8 1 9
2 9
8 1 9
1
MinS a
a a
a
a a
a
S
α
α α
=
=
⇒
α= Ûα=
=
Û
=
8 4
1 2 4
1
1
2
2
a
a
+Sai lầm :
Với a=2 thì
4
9
min S
4
9 8
2 7 2 8
2 8
7 8
2 8
7 1 8
2 8
7 1 8
1
2 2
2
a a
a a
a a
a
a a
a
S
+Nguyên nhân : Lời giải trên mắc sai lầm ở việc đánh giá mẫu số : “ Nếu a 2 thì
4
2 8
2
a
là đánh giá sai “
Ta phải làm sao để khi sử dụng BĐT Cauchy sẽ khử hết biến số a ở cả mẫu số và tử số
+Lời giải đúng :
Đẳng thức xãy ra a 2
4
9 S min 4
9 8
2 6 1 8
8
3 8
6 1 8 8
1
3
2 2
2
a
a a a
a
a a a
a
S
Bài 3:Cho a,b 0 a b 1 Tìm min của
ab ab
+Sai lầm :
+Nguyên nhân :
(vô lí )
2 S min 2
1
ab
ab
S
2
1 1 2
1 2 1
1 2
ab ab
Trang 3
+Lời giải đúng : Đặt
điều này dẫn đến một bài toán mới
Cho t 4.Tìm min của
t t
S 1 Với
Lời giải bài 3:
Do
4 2
1 1
1
2
b a ab
t ab t
16 4
1 4 4
1 1
4 4
t
t t
Ta có :
Với t 4 hay
2
1
b
4
17
min S
4
17 16
4 15 1 16
2 16
15 1 16
1
t
t t
t
t t t
S
nên
Đẳng thức xãy ra
2
1
b a
Bài 4:Cho a,b,c>0 thoả mãn
2
3
c b
2
1
t
4
17 min
4 17
2 16
15 16
1 2 16
15 16
1 1
b a ab
ab ab
ab
ab ab ab S
2 2 2 2 2
a
c c
b b
a S
+Sai lầm :
2 3 min 2
3 8 3
1 2
1 2
1 2 3
1
1
1
6
2 2 2
2 2
2 3
2 2 2 2 2 2
S a
c c
b b
a a
c c
b b a
S
+Nguyên nhân :
trái với giả thiết
+Xác định điểm rơi :
2
3 3 1
1 1 1 2
3
c b a c b a S
16 4
4
1 4 1 1 1
4 1 2
1
2 2 2
2 2 2
c b a
c b a c
b a
+Lời giải đúng :
2
17 3
3
2 2 2 2
17 3 )
2 2 2 ( 2
17 3 16
1
17
3
16 16
16
17 16
17 16
17 16
17
16
1
16
1 16
1
16
1 16
1
16 1
17
15
17
5 5 5 8
17
16 8 17
16 8 17
16 8 17
32 16
2 17
32 16
2 17
32 16 2
16
2 2
2
16
2 2
2
16
2 2
2
c b a c
b a c
b a
a
c c
b b
a b
a b
a b
a
a a
c c c
b b b
a
S
www.hongsontv.vn
www.hongsontv
Trang 4
Với
2
1
c b
2
17 3
Bài 5:Cho a,b,c>0 và a 2b 3c 20.Tìm min của
c b a c b
a
2
9 3
Lời giải : Ta dự đốn được S=1 tại điểm rơi a=2 , b=3 , c=4 Sử dụng BĐT Cauchy ta cĩ :
(1)
8 4 2
9 3 4 2 4 3
2 16 4
1
3 9 2 1
3 4 4 3
8
16 2
16
6
9 2
9
4
4 2
4
c b a
c b a
c c
b b
a a
c
c c
c
b
b b
b
a
a a
a
Mà
(2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế được
Đẳng thức xãy ra a 2,b 3,c 4
5 4
3 2 4 20 3
a
13 min
S
* Bài tập tương tự:
Bài 6: Cho
Chứng minh rằng:
Bài 7:Cho a,b,c>0 và a=max{a,b,c} Tìm min của
8
; 12
0 , ,
bc ab
c b a
2
121 8
1 1 1 2 ) (
abc ca
bc ab c
b a S
31 3 1
2
a
c c
b b
a S
Bài 8:Cho tam giác ABC Tìm min của
Bài 9:Cho tam giác ABC nhọn Tìm min của
C B
A C
B A
T
sin
1 sin
1 sin
1 sin
sin sin
A
C C
B B
A
cos
1 sin
cos
1 sin
cos
1 sin
Bài 10 Cho
, , 0
1 1 1 4
x y z
P
Lời giải
Sai lầm 1:
P
10 9
MaxP
www.hongsontv.vn
www.hongsontv
Trang 5Sai lầm 2:
P
Nguyên nhân sai lầm
: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rơi
2 2
2 9
1 1 1 4
, tức là không tồn tại ( , , ) : 10
9
Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán MaxP đạt được tại 4
3
x y z nên tách các số 2x x xra cho dấu bằngxẩy ra
Ỵ Û
2x y z x x y z 16 x x y z , tương tự và ta có:
16
P
3
2 4
x y z x yz , mặt khác:
1 .4 1 1 1 1
16
P
x y z Dấu “=” xảy ra khi 1
4
x y z , suy ra:
1
MaxP khi 1
4
Ta cĩ thể thể mở rộng bài tốn 10 Thành bài tốn tổng quát sau.
Cho
, , 0
1 1 1 4
x y z
Với , , N
www.hongsontv.vn
www.hongsontv