Hướng dẫn học sinh kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức cauchy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG THPT LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI” TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY “ Người thực : PHAN QUỐC NAM Chức vụ : Giáo viên SKKN thuộc môn : Toán THANH HÓA NĂM 2016 MỤC LỤC A PHẦN MỞ ĐẦU TRANG I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lý luận: 2.Thực trạng vấn đề nghiên cứu: II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU III NHIỆM VỤ CỦA NGHIÊN CỨU IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU B PHẦN NỘI DUNG I GIẢI PHÁP THỰC HIỆN II BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN 1.Kiến thức toán có liên quan 2.Một số toán thường gặp phương pháp tiếp cận vấn đề Dạng 1:Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị 4 4 Xảy biên Dạng 2:Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị Xảy tâm 11 20 C KẾT LUẬN Kết đạt Bài học kinh nghiệm 20 20 Tài liệu tham khảo 20 A.PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lý luận: Bài toán tìm giá trị nhỏ (GTNN), giá trị lớn (GTLN) biểu thức toán bất đẳng thức dạng toán khó chương trình phổ thông Trong đề thi học sinh giỏi THPT hay tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hàng năm(nay Thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia), nội dung thường xuất dạng câu khó Qua trình giảng dạy lớp:Bồi dưỡng nâng cao kiến thức cho HS giỏi,bồi dưỡng thi HSG cấp,luyện thi Đại Học(Thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia) tích lũy số kinh nghiệm cho nội dung Các vấn đề trình bày sáng kiến kinh nghiệm chuyên đề ứng dụng giảng dạy lớp bồi dưỡng nâng cao kiến thức cho học sinh giỏi lớp 10,luyện thi học sinh giỏi tôt nghiệp THPT Quốc Gia cho học sinh lớp 12 đúc kết trình giảng dạy nhiều năm với góp ý sâu sắc thầy cô giáo tổ Toán trường THPT Lê Lợi 2.Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Khi dạy học sinh phần bất đẳng thức hay toán tìm GTLN,GTNN thực tế đa số học sinh bế tắc cách dùng kỹ thuật Một là: không định hướng cách dùng bất đẳng thức Cauchy trường hợp Hai là: biết cần dùng bất đẳng thức Cauchy cho toán ,xong vận dụng cho số số hợp lý,thỏa mãn yêu cầu toán Trong đó,hiện thị trường sách tham khảo có nhiều chủng loại sách với hàng trăm tác giả đa phần sách viết dạng trình bày lời giải phân tích,giải thích cặn kẽ làm cho học sinh đọc sách bị gò bó,áp đặt,không tự nhiên II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Rèn luyện cho học sinh biết cách khai thác kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy qua toán tìm cực trị hay chứng minh bất đẳng thức Phân loại tập thường gặp cách giải cho dạng III NHIỆM VỤ CỦA NGHIÊN CỨU : Trình bày kỹ thuật chọn điểm rơi thông qua hệ thống tập Hướng dẫn học sinh giải toán số tình cụ thể Từ bồi dưỡng cho học sinh kỹ giải toán khả tư sáng tạo IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa tập ,sách tài liệu đề thi HSG,thi Đại học,mạng internet Phương pháp điều tra thực tiễn : Dự ,quan sát việc dạy học phần tập Phương pháp thực nghiệm sư phạm Phương pháp thống kê B PHẦN NỘI DUNG I Các giải pháp thực Khi tiếp cận toán, giáo viên phải giúp học sinh biết nhận dạng toán để đưa dự đoán hợp lý Sau hướng dẫn học sinh phân tích ,xây dựng phương pháp giải phù hợp II Biện pháp tổ chức thực Để giúp học sinh sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy giải toán tìm Giá trị lớn (GTLN) ,giá trị nhỏ nhất(GTNN) hay chứng minh bất đẳng thức, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức cở bất đẳng thức Sau giáo viên phân dạng phù hợp,chọn số toán điển hình phù hợp cho dạng giúp HS hiểu nắm kỹ kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy Kiến thức toán có liên quan Tính chất bất đẳng thức: • + A>B ⇔ B < A + A>B B >C ⇔ A > C + A>B ⇒ A+C >B + C + A>B C > D ⇒ A+C > B + D + A>B C > ⇒ A.C > B.C + A>B C < ⇒ A.C < B.C + < A < B < C B > ⇒ A > B ∀n n n + A > B ⇒ A > B với n lẻ A B ⇒ A > B với n chẵn + > m n + m > n > A > ⇒ A > A m n + m > n > A B +A < B A.B > ⇒ Bất đẳng thức Cauchy dạng tương đương: • Bất đẳng thức Cauchy cho số: a+b ≥ ab Cho số không âm a,b ta có: Dấu xảy a=b Bất đẳng thức dạng tương đương: - a+b ) ( a + b) 2 a +b ≥ 2 (a+b) ≥ 4ab ab ≤ ( Bất đẳng thức cauchy cho số: a+b+c ≥ abc Cho số không âm a,b,c ta có: Dấu xảy a=b=c Bất đẳng thức dạng tương đương - a+b+c ) a + b3 + c ≥ abc abc ≤ ( - Bất đẳng thức cachy cho số: a+b+c+d ≥ abcd Cho số không âm a,b,c,d ta có: Dấu xảy a=b=c Bất dẳng thức dạng tương tự: - abcd ≤ ( a+b+c+d ) Tổng quát:Cho n số thực không âm a1 , a , , a n , n ∈ Z , n ≥ , ta có: a1 + a + + a n ≥ n n a1 a a n Dấu “=” xảy a1 = a = = a n • Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: * Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định tập hợp D Ì ¡ f x £ f ( x0 ) a) Nếu tồn điểm x0 Î D cho ( ) với x Î D số M = f ( x0 ) M = max f ( x ) xÎ D gọi giá trị lớn hàm số f D , kí hiệu f x ³ f ( x0 ) m = f ( x0 ) b) Nếu tồn điểm x0 Î D cho ( ) với x Î D số m = f ( x ) xÎ D gọi giá trị nhỏ hàm số f D , kí hiệu M m * Nhận xét Như vậy, muốn chứng tỏ số (hoặc ) giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) hàm số f tập hợp D cần rõ : a) f ( x) £ M (hoặc f ( x) ³ m ) với x Î D ; f x =M f x =m b) Tồn điểm x0 Î D cho ( ) (hoặc ( ) ) Một số toán thường gặp phương pháp tiếp cận vấn đề: Một vài khái niệm: Điểm rơi bất đẳng thức giá trị đạt biến dấu “=” bất đẳng thức xảy Trong bất đẳng thức dấu “=” thường xảy trường hợp sau: • Khi biến có giá trị biên Khi ta gọi toán có cực trị đạt biên • Khi biến có giá trị nhau(thường xảy với biểu thức đối xứng ) Khi ta gọi toán có cực trị đạt tâm Căn vào điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức ta xét kỹ thuật chọn điểm rơi trường hợp Dạng 1:Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị xảy biên BÀI TOÁN MỞ ĐẦU: Bài toán 1: Cho số thực a ≥ Tìm giá trị nhỏ (GTNN) A = 3a + 2a Sai lầm thường gặp là: Khi gặp toán học sinh thường áp dụng bất đẳng thức Cauchy: A = 3a + 1 ≥ 3a = 2a 2a Vậy GTNN A Nguyên nhân sai lầm: Chưa xét điều kiện dấu xảy ⇔ 3a = Ta thấy:GTNN A Lời giải đúng: A = 3a + 1 ⇔a= 2a 0.Tìm Sai lầm thường gặp là: S= a+b ab + S= a+b ab a+b ab ≥2 + ab a+b a +b ab ab a + b = ⇒ S = Nguyên nhân sai lầm :chưa xét điều kiện dấu “=” xảy a+b minS= ab = ab a+b ↔ ab = a + b ≥ ab → ≥ vô lý Phân tích: Do S biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a = b GTNN A= a + b ab , a + b không thỏa mãn ab Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a+b ab quy tắc dấu “=” Vì ta phải tách ab a + b để áp dụng bất đẳng thức Cauchy thỏa quy tắc dấu “=” Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số ( a+b ab a+b ab , ) = α ab a + b cho “Điểm rơi a = b ” α ab a + b , ta có sơ đồ sau: Sơ đồ điểm rơi:  a+b α ab = α  a =b⇒ ⇒ = ⇒α = α a2  ab  a + b = 2a = 13 a+b S= + ab ab a+b + 3( a + b ) ab a+b ≥2 ab ab a + b + 3(a + b) ab Giải đúng: ≥1+ 3(a + b) = a+b Dấu = xảy a=b Bài toán 2: Cho số thực dương a, b thỏa a + b ≤ Tìm GTNN A= a+b+ A= a+b+ Sai lầm thường gặp là: 1 + a b 1 1 + ≥ 44 a.b = a b a b Vậy GTNN A Nguyên nhân sai lầm: GTNN A ⇔a=b= 1 = ⇔ a = b =1 a b Khi a + b = ≥ trái giả thiết Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b= Sơ đồ điểm rơi: a b = =  1 α α 2α a=b= ⇒ ⇒ = 2⇒α = 2α 1 = =  a b Lời giải đúng: Dấu “=” xảy 1 1  A =  4a + 4b + +  − 3a − 3b ≥ 44 4a 4b − 3( a + b ) ≥ − = a b a b  ⇔a=b= Vậy GTNN A BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa a+b+c ≤ A= a+b+c+ Tìm GTNN 1 + + a b c 14 Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b=c= Sơ đồ điểm rơi: a b c = = =  1 α α α 2α a=b=c= ⇒ ⇒ = 2⇒α = 2α 1 = = =  a b c Giải: Ta phân tích biểu thức sau: 1 1  A =  4a + 4b + 4c + + +  − 3a − 3b − 3c a b c  1 ≥ 66 4a.4b.4c − 3( a + b + c ) a b c 13 ≥ 12 − = 2 Dấu “=” xảy ⇔a=b=c= 13 Vậy GTNN A Bài 2: Cho số thực dương a, b, c thỏa a+b+c ≤ A = a2 + b2 + c2 + Tìm GTNN 1 + + a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b=c= Sơ đồ điểm rơi:  2 a = b = c = 1  a=b=c= ⇒ ⇒ = ⇒α =8 α 1 = = = αa αb αc α Giải: 15 1 1 1 3  A =  a2 + b2 + c2 + + + + + + ÷+ + + 8a 8b 8c 8a 8b 8c  4a 4b 4c  Ta phân tích ≥ 9 a b c ≥ 1 1 1 3 1 1 +  + + ÷ 8a 8b 8c 8a 8b 8c  a b c  9 9 27 + ≥ + ≥ + = 4 abc 4 a + b + c 4 Dấu “=” xảy ⇔a=b=c= 27 Vậy GTNN A Bài 3: Cho số thực dương a, b, c Tìm GTNN A= a b c b+c c+a a+b + + + + + b+c c+a a+b a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b=c Sơ đồ điểm rơi: b c  a  b + c = c + a = a + b = 2 a=b=c⇒ ⇒ = ⇒α = α b + c = c + a = a + b =  αa αb αc α Giải: b c b+c c+a a+b 3b+c c+a a+b  a A= + + + + + + + +   4a 4b 4c   a b c  b+c c+a a+b ≥ 66 a b c b+c c+a a+b 3b c c a a b +  + + + + +  b + c c + a a + b 4a 4b 4c 4a a b b c c b c c a a b 15 ≥ + 6.6 = + = a a b b c c 2 Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c 15 Vậy GTNN A 16 Bài 4: Cho số thực dương a, b thỏa mãn a + b ≤ Tìm GTNN : 1 + 2ab a +b A= Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b= Sơ đồ điểm rơi:   a + b = a=b= ⇒ ⇒ 2α = ⇒ α =  α = 2α  2ab Giải: A= 1 + ≥2 2ab a +b ( 1 ≥ 2 = ≥4 2 a + b 2ab a + b + 2ab ( a + b ) 2 ) a + b = 2ab ⇔ ⇔a=b= a + b = Dấu “=” xảy Vậy GTNN A Bài 5: Cho số thực dương a, b thỏa a + b ≤ Tìm GTNN A= 1+ a + b 2 + 2ab Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b= Sơ đồ điểm rơi:  = 2  2  a = b = ⇒ 1 + a + b ⇒ = ⇒α =3 α  =  2αab α Giải: 17 A= 1+ a + b ≥2 ≥ ≥ + 1 + 6ab 3ab 1 + + a + b 6ab 3ab ( ) 1 + = + 2 + a + b + 6ab 3ab ( a + b ) + + 4ab 3ab 2 ( a + b ) + + 4 a + b    ≥ 4 + 2 2( a + b ) + 3( a + b ) ≥ 4 + = 2.1 + 3.1 Dấu “=” xảy +  a+b 3    2   Do ab ≤  a + b          1 + a + b = 6ab  ⇔ a = b ⇔a=b= a + b =  Vậy GTNN A Bài 6: Cho số thực dương a, b thỏa a + b ≤ Tìm GTNN A= 1 + + 4ab a +b ab Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b= Sơ đồ điểm rơi:   a + b = a=b= ⇒ ⇒ = ⇒α = 2 α  = αab α 4ab = 1  a=b= ⇒ ⇒1= ⇒ β = =  β  β ab β Giải: 18 1 1 + + 4ab + + 2ab 4ab 4ab a +b 1 ≥2 + 4ab + 2 4ab 4ab a + b 2ab A= ( ≥ ) a + b + 2ab 2 +2+ = +2+ 4ab ( a + b ) 4ab ≥ + 2+ ( a + b) a+b 4 ÷   ≥  ÷ ÷  5 +2=7 + 2≥ ( a + b) a + b = 2ab  4ab = 1 ⇔ ⇔a=b= 4ab a = b  a + b = Dấu “=” xảy Bài 7:  a+b  Do ab ≤  ÷    Vậy GTNN A Cho số thực dương a, b thỏa a + b ≤ Tìm GTNN A= 1 + + a +b a b ab Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b= Sơ đồ điểm rơi:   a + b = a=b= ⇒ ⇒ = ⇒α = 2 α  = = αa b αab α Giải: Ta có A= 1 1 1 1 1 + + + + ≥ 55 2 a +b 2a b 2ab 2a b 2ab a + b 2a b 2ab 2a b 2ab 19 ≥5 25 a + b + 2a b + 2ab + 2a 2b + 2ab ≥ ( a + b ) + ab(a + b) 3 25 ≥ ( a + b) ( a + b) +  a+b  Do ab ≤  ÷     25 ≥ = 20 ÷ ÷  1+ 1   a + b = 2a b = 2ab  ⇔ a = b ⇔a=b= a + b =   Dấu “=” xảy Vậy GTNN A 20 Bài 8: 1 + + =4 x , y , z x y z Cho ba số thực dương thỏa Tìm GTLN P= 1 + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Đề thi Đại học khối A năm 2005 Phân tích:Biểu thức P biểu t thức đối xứng nên dấu xảy x=y=z= nên 1 + + =4 GTLN P= 1.Do giả thiết cho điều kiện x y z nên ta cần đánh giá P xuất 1 + + x y z tổng Giải: Thật áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số x,x,y,z ta có 1 1 1 1 1 1 1 = ≤ = ≤  + + +  x + y + z x + x + y + z 44 x.x y.z x x y z 16  x x y z  dấu = xảy x=y=z Tương tự: 1 1 1 1 ≤  + + +  x + y + z 16  x y y z  20 1 1 1 1 ≤  + + +  x + y + z 16  x y z z  Cộng theo vế bất đẳng thức trên, ta có: P= 1 1  4 4 + + ≤  + +  = x + y + z x + y + z x + y + z 16  x y z  Dấu “=” xảy ⇔ 1 = = = ⇔x= y=z= x y z Vậy GTLN P PHẦN C :KẾT LUẬN I.KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC : Sáng kiến đạt số kết sau : + Nhắc lại cách tìm GTNN, GTLN hàm số + Hệ thống số tính chất bất đẳng thức + Hướng dẫn học sinh biết cách sử sụng kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy thông qua hệ thống tập + Sau vận dụng chuyên đề vào giảng dạy thấy học sinh không lúng túng vận dụng bất đẳng thức Cauchy.Tự tin xử lý ,vận dụng tốt kỹ thuật chọn điểm rơi,tranh sai làm thường gặp trước II.BÀI HỌC KINH NGHIỆM Qua thực tế giảng dạy thấy vấn đề dù khó mà giáo viên quan tâm truyền thụ cho học sinh lòng say mê nhiệt tình hút em vào đường nghiên cứu Sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi để tìm GTNN, GTLN biểu thức vấn đề mới, xong lại vấn đề « Khó « muôn thuở học sinh mà nhiều giáo viên ngại quan tâm đào sâu III.TÀI LIỆU THAM KHẢO : Các phương pháp chứng minh bất đăng thức tác giả Võ Quốc Bá Cẩn Một số sai làm thường gặp giải toán tác giả Trần Phương Một số trang mạng Internet:Vnmath.com,… 21 ... số tính chất bất đẳng thức + Hướng dẫn học sinh biết cách sử sụng kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy thông qua hệ thống tập + Sau vận dụng chuyên đề vào giảng dạy thấy học sinh không lúng... dự đoán hợp lý Sau hướng dẫn học sinh phân tích ,xây dựng phương pháp giải phù hợp II Biện pháp tổ chức thực Để giúp học sinh sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy giải toán tìm... dạy học sinh phần bất đẳng thức hay toán tìm GTLN,GTNN thực tế đa số học sinh bế tắc cách dùng kỹ thuật Một là: không định hướng cách dùng bất đẳng thức Cauchy trường hợp Hai là: biết cần dùng bất