Trường THPT chun Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải
Chun đề BĐT cauchy 1
KĨ THUẬTCHỌNĐIỂMRƠITRONGBẤTĐẲNGTHỨC
AM-GM (CAUCHY)
Kỹ thuậtchọnđiểmrơi hay còn được gọi kỹthuật điều chỉnh và lựa chọn tham số.
Đối với một số BĐT đồng dạng khơng đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy ra khi giá trị
của các biến tướng ứng khơng bằng nhau. Vì vậy, cần lựa chọnkỹthuật hợp lý để giải các bài
tốn BĐT (hay cực trị) dạng khơng đối xứng là rất cần thiết. Một trong những kỹthuật cơ bản
nhất chính là xây dựng thuật tốn sắp thứ tự gần đều. (kỹ thuậtđiểm rơi).
Kỹ thuật chủ yếu ở đây thường là các giá trị trung gian được xác định theo cách chọn đặc biệt để
tất cả các dấu đẳngthức đồng thời xảy ra. Tham số phụ đưa vào một cách hợp lý để phương trình
xác định chúng có nghiệm.
Một số bấtđẳngthức cơ bản
Bất đẳngthức Cauchy
Cho
n
số thực không âm
12
, , ., ( 2)
n
a a a n
ta luôn có
12
12
n
n
n
a a a
a a a
n
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
12 n
a a a
.
Một vài hệ quả quan trọng:
2
12
12
1 1 1
( ) với 0, 1,
ni
n
a a a n a i n
a a a
2
1 2 1 2
1 1 1
với 0, 1,
i
nn
n
a i n
a a a a a a
Cho
2n
số dương (
,2n Z n
):
1 2 1 2
, , , , , , ,
nn
a a a b b b
ta có:
1 1 2 2 1 2 1 2
( )( ) ( )
n n n
n n n n
a b a b a b a a a b b b
Bài tốn mở đầu:
VD1. Cho . Ta có . Khi đó ta có hệ quả với thì
Rõ ràng với bài tốn trên là kết quả của BĐT Cauchy.
Nếu thay điều kiện bởi hay hay … thì lời giải bài tốn như nào??
Bài 1: Cho
3a
. Tìm Min của
a
aS
1
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải
Chuyên đề BĐT cauchy 2
Bình luận và lời giải :
+Sai lầm :
+Nguyên nhân :
điều này mâu thuẫn với giả thiết
3a
+Xác định điểmrơi :
Ta thấy rằng khi a tăng thì S cũng càng lớn nên dẫn đến dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất . Và
3
3
10
min aS
. Do BĐT Cauchy xãy ra dấu đẳngthứctại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau
nên ta đưa tham số sao cho tạiđiểmrơi a = 3 thì cặp số
a
và
1
phải bằng nhau.
Với a=3 cho cặp số
+Lời giải đúng :
Đẳng thức xãy ra
3a
Bài 2: Cho
2a
.Tìm Min của
2
1
a
aS
+Xác định điểmrơi : a=2 cho cặp số
2min2
1
.2
1
S
a
a
a
aS
1
1
2min
a
aS
9
3
13
3
11
3
a
a
3
10
3
10
9
3.81
.
9
2
9
81
9
1
MinS
a
aa
a
a
a
aS
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải
Chuyên đề BĐT cauchy 3
+Sai lầm :
Với a=2 thì
4
9
minS
+Nguyên nhân : Lời giải trên mắc sai lầm ở việc đánh giá mẫu số : “ Nếu
2a
thì
4
2
8
2
a
là đánh giá
sai “
Ta phải làm sao để khi sử dụng BĐT Cauchy sẽ khử hết biến số a ở cả mẫu số và tử số
+Lời giải đúng :
Đẳng thức xãy ra
2a
Bài 3: Cho
1
0,
ba
ba
.Tìm min của
ab
abS
1
+Sai lầm :
8
4
12
4
11
2
2
a
a
4
9
8
2.7
2.8
2
8
7
8
2
8
71
.
8
2
8
71
8
1
222
a
a
a
a
aa
a
a
a
aS
4
9
Smin
4
9
8
2.61
.
8
.
8
3
8
61
88
1
3
222
a
aaa
a
aa
a
aS
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải
Chuyên đề BĐT cauchy 4
+Nguyên nhân :
(vô lí )
+Lời giải đúng :
Đặt
điều này dẫn đến một bài toán mới
Cho
4t
.Tìm min của
t
tS
1
Với
Ta có :
Với
4t
hay
2
1
ba
thì
4
17
minS
Lời giải bài 3:
Do
2Smin2
1
ab
abS
2
1
1
2
1
2
1
1
2min
ba
ab
ab
abS
4
2
111
2
ba
ab
t
ab
t
16
4
14
4
11
4
4
t
t
t
4
17
16
4.151
.
16
2
16
151
16
1
t
tt
t
t
t
tS
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải
Chuyên đề BĐT cauchy 5
nên
Đẳng thức xãy ra
2
1
ba
Bài 4: Cho a,b,c>0 thoả mãn
2
3
cba
.Tìm min
+Sai lầm :
+Nguyên nhân :
trái với giả thiết .
+Xác định điểmrơi :
2
1
4 bat
4
17
min
4
17
2
16
15
16
1
.2
16
15
16
11
2
S
ba
ab
ab
abab
ab
ab
abS
2
2
2
2
2
2
111
a
c
c
b
b
aS
23min238.3
1
.2
1
.2
1
.23
1
.
1
.
1
3
6
6
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
S
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
aS
2
3
31
111
23min cba
cba
cbaS
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải
Chuyên đề BĐT cauchy 6
+Lời giải đúng :
Với
2
1
cba
thì
2
173
min S
.
Bài 5: Cho a,b,c>0 và
2032 cba
.Tìm min của
16
4
4
1
4111
4
1
2
1
222
222
cba
cba
cba
2
173
3
222
2
173
)2.2.2(2
173
16
1
.173
161616
17
16
.17
16
.17
16
.17
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
17
15
17
5
17
5558
17
168
17
168
17
168
17
3216
2
17
3216
2
17
3216
2
16
22
2
16
22
2
16
22
2
cba
cba
cba
a
c
c
b
b
a
b
a
b
a
b
a
aa
c
cc
b
bb
aS
cba
cbaS
4
2
93
Trng THPT chuyờn Quang Trung GV: Nguyn Vit Hi
Chuyờn BT cauchy 7
Li gii : Ta d oỏn c S=1 ti im ri a=2 , b=3 , c=4 .S dng BT Cauchy ta cú :
(1)
M
(2)
Cng (1) v (2) v theo v c
ng thc xóy ra
4,3,2 cba
* Baứi taọp tửụng tửù:
Bi 6: Cho
Chng minh rng:
Bi 7: Cho a,b,c>0 v a=max{a,b,c} . Tỡm min ca
8
4
2
93
424
3
2
16
4
1
3
9
2
1
3
4
4
3
8
16
.2
16
6
9
.2
9
4
4
.2
4
cba
cba
c
c
b
b
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
a
a
5
4
3
24
2032
cba
cba
13min13 SS
8;12
0,,
bcab
cba
2
1218111
2)(
abccabcab
cbaS
3
1312
a
c
c
b
b
a
S
Trường THPT chun Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải
Chun đề BĐT cauchy 8
Bài 8: Cho tam giác ABC .Tìm min của
Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn .Tìm min của
Bài 10. Cho
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z
. Tìm GTLN của
111
2 2 2
P
x y z x y z x y z
.
Lời giải
Sai lầm 1:
Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 10
9 2 9 2 9 2 18 9
P
x y z x y z x y z x y z
10
9
MaxP
Sai lầm 2:
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
3 3 2 3 3 2 3 3 2 9
3 2 3 .2 3 2
P
x y z x y z x y z
xyz x yz xy z
Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọnđiểm
rơi.
2
2
10
()
2
9
1 1 1
4
x y z
y x z
MaxP vn
z x y
x y z
, tức là không tồn tại
10
( , , ) :
9
x y z D P
Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán
MaxP
đạt được tại
4
3
x y z
nên tách các
số
2x x x
ra cho dấu bằng xẩy ra.
CBA
CBAT
sin
1
sin
1
sin
1
sinsinsin
A
C
C
B
B
AT
2
2
2
2
2
2
cos
1
sin
cos
1
sin
cos
1
sin
Trường THPT chun Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải
Chun đề BĐT cauchy 9
Cách 1: Ta có
1 1 1 1 1 1 1
2 16x y z x x y z x x y z
, tương tự và ta có:
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
1
16
P
x y z x y z x y z
, vậy
1MaxP
khi
4
3
x y z
.
Cách 2: Ta có
4
2
4
11
2 4 . . .
2
4
x y z x x y z x x y z
x y z
x yz
, mặt khác:
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
. . .
4 2 16x x y z x x y z x y z x y z
, tương tự ta có:
1 1 1 1
.4 1
16
P
x y z
. Dấu “=” xảy ra khi
1
4
x y z
, suy ra:
1MaxP
khi
1
4
x y z
.
Ta có thể thể mở rộng bài tốn 10. Thành bài tốn tổng qt sau.
Cho
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z
. Tìm GTLN của
111
P
x y z x y z x y z
.
Với
,, N
. cauchy 1
KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
AM-GM (CAUCHY)
Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số là rất cần thiết. Một trong những kỹ thuật cơ bản
nhất chính là xây dựng thuật tốn sắp thứ tự gần đều. (kỹ thuật điểm rơi) .
Kỹ thuật chủ yếu ở đây thường