Chuyên Đề: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ I.. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU Bài toán 1.. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các
Trang 1Chuyên Đề:
KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ
I BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Bài toán 1 Cho , 0
1
a b
a b
2
P
ab
Giải
4
Dấu “=” xảy ra
1
1 2
Min 4 khi
2
a
a b
b
Bài toán 2 Cho , 0
1
a b
a b
2 1
P
ab
Giải
P
ab
Dấu “=” xảy ra
Min ? ?P
Lời giải 2 Ta có:
P
Mặt khác
2 1
a b
ab
3
P
Dấu “=” xảy ra
2 2
1 2 1
a b
Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức
a b a b
Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách
2ab 6ab3ab? ? Làm sao
nhận biết được điều đó…? Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị
II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trang 2Cĩ thể nĩi tằng bài tốn bất đằng thức nĩi chung và bài tốn tìm GTNN, GTLN nĩi riêng là một trong nhửng bài tốn được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài tốn bất đẳng thức là bài tốn khĩ nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một
số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khĩ khăn do một
số sai lầm do thĩi quen như lời giải 1 trong bài tốn mở đầu là một ví dụ Để giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài tốn cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tơi viết chuyên đề
“Chọn điểm rơi trong giải tốn bất đẳng thức”
III NỘI DUNG
1 Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức
a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Định nghĩa: a b a b 0
a b a c
b c
a b a c b c
a b a c b d
c d
a b 0 1 1
b) Một số bất đẳng thức cơ bản
Bất đẳng thức Cauchy
Cho n số thực khơng âm a a1, 2, ,a n n( 2) ta luơn cĩ
1 2
1 2
n n
n
a a a n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1a2a n
Một vài hệ quả quan trọng:
1 2
1 2
n
với i 0, 1,
n
Cho 2n số dương ( nZ n, 2): a a1, 2, ,a b b n, , , ,1 2 b ta cĩ: n
n( 1 1)( 2 2) ( ) n 1 2 n 1 2
a b a b a b a a a b b b
Bất đẳng thức BCS
Cho 2n số dương ( nZ n, 2): a a1, 2, ,a b b n, , , ,1 2 b ta cĩ: n
(a b1 1a b2 2 a b n n)2(a12a22 a n2)(b12b22 b n2)
Dấu “=’ xảy ra 1 2
1 2
(quy ước nếu 0 0)
n
n
a
Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ)
Cho hai dãy số a a, , , vàa , , , với b b b b 0 i 1,n ta luơn cĩ:
Trang 3Dấu “=’ xảy ra 1 2
1 2
n
n
a
2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho f x x( ,1 2, ,x là một hàm n biến thực trên n) Dn : f D: n
( , , , ) ( , , , ) Max
( , , , ) : ( , , , )
D
( , , , ) ( , , , ) Min
( , , , ) : ( , , , )
D
3 Phương pháp chọn điểm rơi
Nhận xét: Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến, và
ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên
a) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
Sử dụng hệ quả (1) và (2)
Bài 1 Cho , 0
1
a b
a b
, tìm GTNN của biểu thức 2 2
4
ab
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
2ab ab 2ab ab Vậy P 4 2 2 nên MinP2(2 2)
Sai lầm 2:
Dấu bằng xảy ra
2 2
2 2
2
1
a b
2
a b vào ta được P7
7
MinP
2
a b
Nguyên nhân sai lầm:
Trang 4Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách 1 1 1
ab ab ab là do thói quen để
2
1
a b
ab
a b
Dấu “=” bất
đẳng thức không xảy ra không kết luận được MinP 4 2 2
Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi 1
2
a b nên đã tách
các số hạng và MinP7 khi 1
2
a b là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ như 2
(1x) x x, dấu bằng xảy ra khi x1 2
Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với , a b , ta dự đoán MinP đạt tại 1
2
a b , ta có:
4 2
Dấu bằng xảy ra
2 2
2 2
2
1
a b
Bài 2 Cho , 0
1
a b
a b
S
Sai lầm thường gặp:
Ta có:
3
S
3
2
59
3
MinS
Nguyên nhân sai lầm:
3 59
( ) 3
1
a b
Trang 5Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi 1
2
a b a b ab a b vì thế ta muốn xuất hiện 3
(ab) ; ta áp dụng bất đẳng thức 31 3 12 12
a b a b ab
, ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp
dụng bất đẳng thức cho 5 số:
3
20
4
S
a b
Dấu bằng xảy ra khi 1
2
a b
Bài 3 Cho
, , 0
4
x y z
P
Sai lầm thường gặp:
P
10
9
MaxP
Sai lầm 2:
P
Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm
rơi
2 2 10
( ) 2
9
4
, tức là không tồn tại ( , , ) : 10
9
x y z D P
Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán MaxP đạt được tại 4
3
x y z nên tách các số
2x x xra cho dấu bằng xẩy ra
1 16
P
4 3
x y z
2 4
Trang 64 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
16
P
Dấu “=” xảy ra khi
1 4
x y z , suy ra:
1
4
x y z
Nhận xét: Ta cĩ thể mở rộng bài 3:
Cho
, , 0
4
x y z
P
Với , , N: Cách làm tương tự như bài 3, ta tách
số
,
Nếu , , R, thì bài tốn cĩ cịn giải quyết được khơng? Câu trả lời dành cho độc giả trong phần sau” Kỹ thuật chọn điểm rơi trong BCS”
Bài 4 Cho , , 0
3
a b c
Chứng minh rằng:
3a2b3b2c3c2a 3 33
Sai lầm thương gặp:
1.1( 2 )
, tương tự ta cĩ:
,
mà 5 3 3 3 đề ra sai ? ?
Nguyên nhân sai lầm:
3
, vậy P5
Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi a b c 1 Vậy ta áp dụng Cauchy cho ba số a2 ,3,3b ta cĩ:
3
, tương tự ta cĩ:
3
3 3
, dấu bằng xảy ra khi a b c 1
Bài 5 Cho , , 0
1
x y z xyz
, chứng minh rằng:
3
Sai lầm thường gặp:
1 y 2 y
Trang 7(1 y)(1z)(1 x) 8 xyz 8 Vậy 3
2
P , dấu “=” xảy ra khi x y z 1
Sai lầm 2: ta cĩ:
2
2
2
(1 ) 2 1
1
(1 ) 2 1
x
y y
z z
x
,
mặt khác x y z 33xyz 3 P 0
Nguyên nhân sai lầm:
Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất cơ bản của bất đẳng thức: a b 0 1 1
Ở sai lầm 2: Dấu “=” xảy ra 2 1 , 2 1 , 2 1 ( )
1
xyz
Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu “=” xảy ra khi x y z 1 Vì vậy khi áp dụng Cauchy cho 2
1
x
y
và
1 y
:
2
4
Ta cĩ:
2
2
2
1
1
x y
z
z x
Dấu “=” xảy ra khi x y z 1
Bài tập tương tự(trích dẫn trong các đề thi đại học)
Bài 1 Cho , , 0
1
x y z xyz
, chứng minh rằng
3 3
,
với mN: Nếu m1 là đề thi Đại học khối D năm 2005
Bài 2 Cho , , x y z là 3 số thỏa x y z 0, chứng minh rằng:
3 4 x 3 4 y 3 4 z 6(đề tham khảo 2005)
Bài 3 Cho a2,b3,c4, tìm GTLN: ab c 4 bc a 2 ca b 3
P
abc
Bài 4 Cho , , a b c là các số dương thỏa mãn 3
4
a b c
Trang 8Chứng minh rằng:3 3 3
a b b c c a (ĐTK 2005)
Bài 5 Cho , , 0
1
a b c
, tìm GTNN của các biểu thức sau:
2 2 2
P
ab bc ca
S
ab bc ca
Q
ab bc ca
Bài 6 Cho u2v2 1, chứng minh rằng:
2
Bài 7 Cho a b c là các số dương Tìm GTNN của: , ,
Q
(ĐHQGHN 2001-2002)
Bài 8 Cho , , a b c dương thỏa abc1, tìm GTNN của biểu thức:
Q
Bài 9 Cho , , 0
1
x y z
x y
P
(ĐHNT 2001 – 2002)
Bài 10 Cho , , x y z là ba số dương và x y z 1, chứng minh rằng:
82
b) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức BCS
Bài 1 Cho , , x y z là ba số dương và x y z 1, chứng minh rằng:
82
Nhận xét: chúng ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy như ở phần 1
2
Trang 9Nguyên nhân sai lầm:
1
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi 1
3
x y z ; và biểu thức trong căn gợi
2
1
y x
với , là những số thỏa mãn:
2
1
9
x x
, chọn 1, 9
82
82
Vậy P 82, dấu “=” xảy ra khi 1
3
x y z
Bài 2 Cho
, , 0
1
x y z
P
Giải
Áp dụng hệ qua (1) ta có:
z
, ta chọn sao cho x y z 3 và
2
2
2
2
2 2
y z
P
Bài tập áp dụng
Trang 10Bài 1 Cho , , 0
1
a b c abc
2
a b c b c a c a b
Bài 2 Cho , , 0
1
a b c abc
, tìm GTNN của
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
P
Bài 3 Cho a b c d, , , 0, tìm GTNN của
P
Bài 4 Cho
1
0, 1, 1
i n i i
x
, tìm GTNN của P 1x1 1x2 1x n
Bài 5 Cho , , a b c0, chứng minh rằng:
IV THAY CHO LỜI KẾT
Để làm rõ vai trò quan trọng của việc chọn điểm rơi trong việc định hướng giải quyết bài toán
và cũng là kết lại phần chuyên đề này, tôi xin nêu một phương pháp mới giải bài toán sau:
Bài toán: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có 3 3
sin sin sin
2
Phân tích để đi đến lời giải: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC là tam giác đều
3
A B C
Vì A B C ta giảm bớt số biến bằng sinCsin cosA Bsin cosB A
sin sin sin sin sin sin cos sin cos
P A B C A B A B B A, ta nghĩ đến:
; A B không còn quan hệ ràng buộc, làm thế nào để xuất hiện ,
sin A,cos A, ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức
2 2 2
ab
,
A B A B , Ta áp dụng Cauchy:
3
A B A B