Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 31 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
31
Dung lượng
7,3 MB
Nội dung
1
Lời nói đầu.
Bấtđẳngthức là một lĩnh vực khá hay và khó đối với mỗi chúng ta. Hiện này có
khá nhiều người quan tâm đến nó bởi vì nó thực sư rất đơn giản, quyến rũ và bạn không
cần phải “học vẹt” nhiều định lý để có thể giải được chúng. Mỗi người trong chúng ta,
đặc biệt là các bạn yêu toán, dù ít hay nhiều thì cũng đã từng đau đầu trước một bấtđẳng
thức khó và cũng đã từng có được một cảm giác tự hào khi mà mình chứng minh được bất
đẳng thức đó.Không biết các bạn nghĩ thế nào nhưng theo quan điểm của chúng tôi, thì
nếu ta học tốt bấtđẳngthức thì cũng có thể học tốt các lĩnh vực khác của toán học vì như
đã nói, bấtđẳngthức đòi hỏi chúng ta phải có một kiến thức tổng hợp tương đối vững
vàng.Có lẽ nhiều bạn không tin nhưng chắc hạn bạn cũng biết đến anh Phạm Kim Hùng,
sinh viên hệ CNTN khoa toán, trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, người đã từng tham dự
hai kì thi IMO và đều đoạt kết quả cao nhất trong đội tuyển Việt Nam. Trong thời học phổ
thông, anh ấy chỉ chuyên tâm rèn luyện bấtđẳngthức thôi.
Có thể nói hiện nay có rất nhiều phương pháp hiện đại chẳng hạn như SOS; hay
dồn biến, hay EV…. Để chứng minh bấtđẳngthức nếu sử dụng chúng thì hầu như bài nào
cũng giải được. Thời gian để giải theo cách đó cũng khá tốn. Bởi vậy, vấn đề tìm ra lời
giải theo các cách cổ điển luôn được đánh giá cao. Trong bài viết này, chúng tôi xin giới
thiệu về một bấtđẳngthức kinh điển là AM-GM
Trong bài viết còn nhiều thiếu sót. Mọi thắc mắc xin liên hệ email:
bokinhvan3@yahoo.com
Người viết: Phạm Tiến Giang.
2
I) BấtđẳngthứcAM-GM là gì ?
BấtđẳngthứcAM-GM được 3 nhà toán học Schwar, Bunhiacopxki và Cauchy
phát minh ra. Tuy nhiên, mọi người vẫn thường gọi đây là bấtđẳngthức Cauchy nhiều
hơn và cũng thường nhầm lẫn rằng Cauchy tìm ra bấtđẳngthức này. Có lẽ do ông là
người đã đưa ra cách chứng minh bấtđẳngthứcAM-GM rất hay và độc đáo.
BấtđẳngthứcAM-GM là tên chuẩn quốc tế được viết tắt từ Arithmetic Means-
Geometric Means.
Trước hết, chúng tôi xin được giới thiệu bấtđẳngthứcAM-GM được phát biểu
như sau:
Với n số không âm a
1
, a
2
, a
3
,…
,
a
n
, ta luôn có:
1 2
1 2
.
n
n
n
a a a
a a a
n
Dấu “=” xảy ra khi: a
1
= a
2
= a
3
=…= a
n
Bất đẳngthức này có hơn 20 cách chứng minh. Trong đó, cách chứng minh bằng
quy nạp bất không tuần tự(hay còn gọi là quy nạp kiểu Cauchy ) được coi là hay nhất.
Ý tưởng: chúng ta chứng minh qua 3 bước cơ bản sau:
Bước 1: Chứng minh bấtđẳngthức đúng với n = 2.
Bước 2: Giả thiết rằng bấtđẳngthức đúng với n,trên cơ sở đó chứng minh bất
đẳng thức đúng với 2n.
(Nhận xét: với kết luận ở bước 1 và kết quả ở bước 2, ta thấy bấtđẳngthức đúng
với n = 2, 4, 8, 16,…)
Bước 3: Giả thiết rằng bấtđẳngthức đã đúng với n (n > 2),trên cơ sở đó chứng
minh bấtđẳngthức đúng với n – 1.
(Nhận xét: sau bước 2, ta biết bấtđẳngthức đúng với mọi n = 2
k
(k tùy ý), thì ta
bước 3 cho hay bấtđẳngthức đúng với mọi
2
k
n
, mà k tùy ý, nên bấtđẳngthức đúng
với mọi số tự nhiên
2
n
.)
3
Chứng minh:
*) Với n = 2, bấtđẳngthức ở dang:
.
2
a b
a b
; 0
a b
(1)
Khi đó:
2
2 2
(1) 2 4
4
a b
ab a b ab ab
2
2 2
2 0 0
a b ab a b
hiển nhiên đúng.
Dấu “=” xảy ra khi : a = b
*) Giả sử bấtđẳngthức đúng với n số không âm. Xét 2n số không âm. a
1
, a
2
, a
3
,…
,
a
n
, a
n+1
,…
,
a
2n
,
Ta có:
1 2 1 2 2
1 2 2
1 1
2 2
n n n n
n
a a a a a a
a a a
n n n
1 2 1 2 2 1 2 1 2 2
1
. . . . .
2
n n n n
n n n n n n n n
a a a a a a a a a a a a
2
1 2 1 2
. .
n
n n n
a a a a a
Dấu “=” xảy ra khi:
1 2
1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2 2
. .
n
n n n n n n
n n
a a a
a a a a a a a a
a a a a a a
*) Giả sử bấtđẳngthức đã đúng cho n số không âm. Lấy n – 1 số không âm: a
1
, a
2
,
a
3
,…
,
a
n-1
. Đặt
1 2 1
1
n
n
a a a
a
n
0
a
Ta có:
1 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1
1
. .
1 1
n n
n
n n
a a a a a a
a a a a a a
n n n
hay
1 2 1 1 2 1
1 2 1
. .
1 1
n n
n
n
a a a a a a
a a a
n n
4
Nâng cả hai vế lên lũy thừa bậc n, ta được:
1 2 1 1 2 1
1 2 1
. .
1 1
n
n n
n
a a a a a a
a a a
n n
Vì chỉ cần xét trường hợp a
1
+ a
2
+ a
3
+…+
a
n-1
> 0, nên suy ra:
1
1 2 1
1 2 1
.
1
n
n
n
a a a
a a a
n
Lấy căn bậc n – 1 của hai vế, thì được:
1 2 1
1
1 2 1
.
1
n
n
n
a a a
a a a
n
Hiển nhiên dấu “=” xảy ra khi:
1 2 1
1 2 1 1 2 1
1
n
n n
a a a
a a a a a a
n
Ghi chú: Ở đoạn này, ta có thẻ lùi từ 2n xuống n + 1.
Ví dụ 1.Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
1 1 1 9
a b c a b c
Lời giải: Sử dụng bấtđẳngthứcAM-GM cho 3 số, ta có:
3
3
1 1 1 3
3 9
a b c abc
a b c
abc
Bất đẳngthức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Ví dụ 2.(Bất đẳngthức Nesbitt) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
3
2
a b c
b c c a a b
Lời giải: Đây là rất quen thuộc và có rất nhiều cách chứng minh.
Cách 1. Áp dụng kết quả của ví dụ 1 , ta được:
1 1 1 3
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
1 1 1
3
a b c
b c c a a b
5
1 1 1 1
3
2
a b b c c a
b c c a a b
1 3
.9 3
2 2
.
Chứng minh hoàn tất. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Cách 2. Xét biểu thức sau:
a b c
S
b c c a a b
b c a
M
b c c a a b
c a b
N
b c c a a b
Ta có: M + N = 3. Mặt khác, theo bấtđẳngthứcAM-GM thì
3
a b b c c a
M S
b c c a a b
3
a c a b b c
N S
b c c a a b
Vậy
2 3 2 3
M N S S
. Bấtđẳngthức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Đối với bấtđẳngthức Nesbitt cho 4 số thì chứng minh tương tự như các này.
Sau đây là một số kĩ thuật đơn giản nhưng cũng thường được sử dụng để áp dụng
bất đẳngthứcAM-GM cùng với đó một số bấtđẳngthức liên quan tới AM-GM.
II) Kĩ thuật chọn điểm rơi:
Bất đẳngthứcAM-GM là một bấtđẳngthức thuần nhất. Vì thế, chúng rất hữu hiệu
trong việc chứng minh các bấtđẳngthức thuần nhất. Tuy nhiên, do điều kiện xảy ra dấu
bằng của các bấtđẳngthức này rất nghiêm ngặt nên việc áp dụng một cách trực tiếp và
6
máy móc đôi khi khó đem lại kết quả. Để áp dụng tốt các bấtđẳngthức này, chúng ta phải
nghiên cứu kỹ điều kiện xảy ra dấu bằng và áp dụng kĩ thuật chọn điểm rơi này.
.Chúng ta hãy xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho . Tìm GTNN của :
Lời giải
Cộng 2 bấtđẳngthức trên, ta có
. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
*)Tuy nhiên vấn đề đặt ra là tại sao nghĩ ra được số để thêm vào bấtđẳng thức?
Để giải quyết vấn đề này, sử dụng ý tưởng dùng bấtđẳngthức như trên, nhưng ta sẽ thêm
vào 1 số nào đó:
Cộng hai bấtđẳngthức trên ta có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
Giả sử đã tồn tại để dấu "=" xảy ra, khi đó
Thay vào F được GTNN của F là đạt được khi .
Như vậy việc đưa số vào áp dụng BĐT là hoàn toàn có cơ sở. Từ đó ta nâng bài
toán lên với hệ số các số hạng là các số dương như sau:
Ví dụ 2: Cho .
Tìm GTNN của
7
Lời giải:
Mục tiêu của chúng ta là dùng bấtđẳngthứcAM-GM sao cho khi cộng 2 bấtđẳng
thức vào, ta có vế trái là 2F cộng với 1 số hạng nào đó, còn vế phải chứa biểu thức đã cho
trong giả thiết. Rõ ràng việc đặt số đơn lẻ sẽ không đưa đến kết quả mà phải biến đổi
số hạng cộng vào mỗi bấtđẳng thức.
Cách đặt số hạng cộng vào này giúp ta triệt tiêu được c bên vế trái, nhân thêm
được hệ số a vào vế phải. Ta tiếp tục cộng 2 bấtđẳngthức :
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
.
Khi đó . Giả sử đã có
thỏa mãn dấu "=", tức là:
(1)
Khi đó theo (1) tìm được GTNN của F là
Lần này, ta sẽ phát triển bài toán theo hướng tăng dần số mũ. Để tránh phức tạp, ta
cho các hệ số bằng 1.
Ví dụ 3: Cho . Tìm GTNN của
Lời giải
Áp dụng bấtđẳngthứcAM-GM cho 4 số dương:
;
8
Ở đây, ta cộng 3 số hạng bậc 4 của x với 1 số hạng tự do. Mục đích là để khi ta áp
dụng BĐT AM-GM, ta thu được một số hạng bậc 3 của x.
Cộng 2 bấtđẳng thức, ta được :
.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: .
Khi đó (2). Giả sử tồn tại để dấu bằng xảy ra, vậy thì:
.
Thay vào (2) ta có , đạt được khi x = y = .
Qua các ví dụ trên, có lẽ các bạn đã phần nào hiểu được kĩ thuật này. Tuy nhiên,
các ví dụ này vẫn còn rất đơn giản và mang tính chất tương tự nhau. Chúng ta hãy xét một
trường hợp khác với các ví dụ trên xem thế nào?
Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số thực không âm thì
3
2 2 2 2 2 2
2
6 27 10
x y z x y z xyz x y z
Lời giải:
Sử dung nguyên lý cơ bản “dấu bằng xảy ra khi một cặp biến số nào đó bằng
nhau”, ta có thể tìm được dấu bằng của bấtđẳngthức trên xảy ra khi y = z = 2x. Điều này
cho phép chúng ta mạnh dạn đánh giá như sau:
3
2 2 2 2 2 2
2
10 6
VP VT x y z x y z x y z
1
2 2 2 2 2 2
2
10 6
x y z x y z x y z
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
10
. 1 2 2 6
3
x y z x y z x y z
2 2 2
10
. 2 2 6
3
x y z x y z x y z
9
2 2 2
28 2 2
3
x y z x y z
(1)
Áp dụng bấtđẳngthức AM-GM, ta có:
4 4
2 2 2 2 2 8 8
2 2 2 2 2
9
9
8
4 4 9 9
4 4 4 4 4
y z y z x y z
x y z x x
8 7
9
28 2 2 7.4 2 2 9 4
x y z x y z x yz
Nhân hai bấtđẳngthức trên vế theo vế, ta được:
2 8 8
2 2 2 8 7
9
9
8
28 2 2 9 4 .9 81
4
x y z
x y z x y z x yz xyz
(2)
Từ (1) và (2), ta suy ra bấtđẳngthức cần chứng minh.
Trong ví dụ này, chúng ta đã sử dụng bấtđẳngthứcAM-GM cùng với kĩ thuật
chọn điểm rơi. Lời giải rất hiệu quả và ấn tượng. Tuy nhiên sự thành công của lời giải trên
nằm ở ba dòng ngắn ngủi ở đầu. Không có được “dự đoán” đó, khó có thể thu được kết
quả mong muốn.
Chúng ta hãy xét tiếp một ví dụ khác:
Ví dụ 5. Cho a;b;c>0. Chứng minh rằng :
3 3 3
3 3 3
3 3 3
1
a b c
a b c b a c c b a
Ý tưởng: Đây là một bấtđẳngthức hay và khó.Chúng ta có khá nhiều cách giải bài
này, ví dụ như :
Sử dụng bấtđẳngthức AM-GM, ta có:
2
2
3 2
1 1
1 1 1 1
2 2
x x x
x
x x x x
Vì vậy, ta có:
3
3 2 2 2
3
3
2
1 1 1
1
1
1
1
1
2
cyc cyc cyc cyc
a
c b
a b c b c
b c
a
a
a
10
Tuy nhiên, ở đây, chúng tôi xin giới thiệu 1 cách giải khác khá độc đáo và có sử
dụng kĩ thuật chọn điểm rơi như sau:
Nhận xét rằng dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ta sẽ tìm p sao cho bấtđẳngthức sau đúng:
3
3
3
p
p p p
a a
a b c
a b c
Thay a = b = c vào bấtđẳngthức trên, ta suy ra được p = 2.
Vậy, vấn đề của ta bây giờ là chứng minh bấtđẳngthức sau đúng.
3 2
3
2 2 2
3
a a
a b c
a b c
Từ những dự đoán và suy luận như trên, ta có lời giải bài toán trên như sau:
Lời giải:
Ta sẽ chứng minh :
3 2
3
2 2 2
3
a a
a b c
a b c
(*)
Thật vậy:
2 2 2
3
3
1
(*)
a
a b c
a b c
2
3
2 2 2 3
a b c a a b c
2
3
2 2 2 2 2
2
a b c b c a b c
3
2 2 2 2 2 2
b c a b a c a b c
2 2 3
2 2 2 2
2
b c a b a c b c a b c a b c
2 2 2
2 2
0
b c a b a c a b c b c
(Đúng)
Vậy (*) đúng. Chứng minh tương tự, ta có:
3 2
3
2 2 2
3
b b
a b c
b a c
[...]... tìm max min của V) Bấtđẳngthức holder Bấtđẳngthức Holder là một bấtđẳngthức khá mạnh và có nhiều ứng dụng, nhưng rất tiếc nó không được phổ biến ở phổ thông hiện nay Đặc biệt, bấtđẳngthức holder còn được coi là dạng tổng quát của bấtđẳngthứcAM-GM (với m = 2 ) và cách chứng minh bấtđẳngthức này có sử dụng đến bấtđẳngthứcAM-GM Vì thế, chúng tôi xin giới thiệu bấtđẳngthức này trong chuyên... lại kĩ thuật Cauchy ngược dấu rất có lợi trong các bấtđẳngthức hoán vị IV) Bấtđẳngthức Cauchy-Schwarz: Đã nhắc đến các bấtđẳngthức cổ điển, đặc biệt là bấtđẳngthức AM-GM, chúng không thể không nhắc đến bấtđẳngthức Cauchy-Schwar Đây là bấtđẳngthức cũng rất quen thuộc với các bạn học sinh phổ thông và việc nắm chắc sử dụng thành thạo bấtđẳngthức này là rất cần thiết cho tất cả bạn đọc, không... bấtđẳngthức trên ta có điều phải chứng minh Đây là 2 hệ quả khá quan trọng và sẽ dung nhiều trong công cuộc chinh phục đỉnh cao bấtđẳng thức, vì vậy chúng ta cần nhớ kĩ và vận dung cho thật linh hoạt Do chuyên đề tập trung chủ yếu vào hiệu quả của AM-GM nên chúng ta nên dừng các vấn đề về bấtđẳngthức holder tại đây Tiếp theo là một số ví dụ có sử dụng bấtđẳngthứcAM-GM này VI) Ứng dụng của bất. .. b ca a c 2b 2 b c a c a b 2 2 Nhân các bấtđẳngthức này với nhau rồi lấy căn, ta được bất đẳngthức cần chứng minh Đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c Cách 2 Ta cần chứng minh bất đẳng thức: 2 2 b c a c a b 2 abc b c 2 a a c 2b a b 2c Theo bất đẳngthức AM-GM, ta có: abc b c 2a a c 2b a b 2c 64 3... c 2 b a c 2b a b 2 c a b 2c 3 Lời giải: Cách 1 Sau khi sử dụng bất đẳngthức AM-GM, ta có được bất đẳngthức cần chứng minh tương đương với: 2 2 b c a c a b 2 abc b c 2a a c 2b a b 2c Tiếp tục, áp dụng bấtđẳngthức Cauchy-Schwar và bấtđẳngthức AM-GM, ta có: 2 b c a c a b b c 2 a bc 2 2 a b c ... SÁCH TÀILIỆU THAM KHẢO maths.vn mathscope.org Old and New Inequality, Gil publishing House Tác giả: Titu Andresscu, Vasile Cirtoajc (Vasc), Gabricl Dospinescu, Mircca Lascu Bấtđẳngthức GS.Phan Đức Chính Chuyên đề: Nhìn bài toán dưới con mắt kinh điển Võ Quốc Bá Cẩn Chuyên đề bấtđẳngthức Võ Quốc Bá Cẩn Sáng tạo bấtđẳngthức Phạm Kim Hùng Những viên kim cương trong bấtđẳng thức. .. b Đẳngthức xảy ra khi nào? Lời giải: Áp dụng bấtđẳngthức Cauchy-Schwar, ta được: 3 a 3 b3 c 3 a b c 2 2 2 Và a b c 2 2 a b c a 3 b3 c3 Kết hợp hai bấtđẳngthức này lại, ta được: 3 3 a b c a 2 3 a 2 b2 c 2 a b c 3 b 2 c 2 a b b c c a 6 27 a bc b a c c a b 2 (1) 6 Sử dụng bấtđẳngthức AM-GM, ... 1 m n n m m Bấtđẳngthức được chứng minh Từ bấtđẳngthức holder này, ta có một số hệ quả khá quan trọng sau: Hệ quả 1 Với a, b, c, x, y, z, m, n, p, là các số thực dương, khi đó, ta có: a 3 b 3 c 3 x 3 y 3 z 3 m 3 n 3 p 3 axm byn czp 3 Chứng minh Thực ra đây chính là hệ quả trực tiếp của bấtđẳngthức Holder với m = n = 3 Sử dụng bấtđẳngthức Holder, ta có:... dụng của bấtđẳngthức AM-GM: Bài 1 Cho a, b, c, là các số thực dương Chứng minh rằng: 2 bc ca ab 1 1 1 4 ab bc ca 2 2 2 b c a a b c Lời giải: Cách 1: Chúng ta có thể viết lại bấtđẳngthức cần chứng minh như sau: 2 2 2 2 2 2 2 ab a b 4 ab bc ca a b b c c a cyc Giả sử a b c Khi đó, áp dụng bấtđẳngthức AM-GM, ta có:... zx 4 xy yz zx 3 Sử dụng bấtđẳngthức AM-GM, ta có: 3 xyz xy yz zx 3 xyz x y z xy yz zx Bây giờ, ta cần chứng minh: 2 x y z xy yz zx 3xyz x y z 4 xy yz zx 2 Sau khi chuyển vế, phân tích ra, ta được 1 bấtđẳngthức đơn giản sau: 2 2 2 xy x y yz y z zx z x 0 Bấtđẳngthức này hiển nhiên đúng Dấu “=” xảy . dụng
bất đẳng thức AM-GM cùng với đó một số bất đẳng thức liên quan tới AM-GM.
II) Kĩ thuật chọn điểm rơi:
Bất đẳng thức AM-GM là một bất đẳng thức. lợi trong các bất đẳng thức hoán vị
IV) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
Đã nhắc đến các bất đẳng thức cổ điển, đặc biệt là bất đẳng thức AM-GM, chúng