Tài liệu Bất đẳng thức Schur và phương pháp biến đổi PQR pdf

Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi

biến p,q,r

Võ Thành Văn

Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-ĐHKH Huế

Νη χϒχ β⁄ν ′ βι÷τ, β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ λ€ µτ β♣τ ↓νγ τηχ µ⁄νη ϖ€ χ νηι•υ νγ δνγ, τυψ νηι∂ν ν ϖ♦ν χ〈ν κηϒ ξα λ⁄ ϖι νηι•υ β⁄ν η∑χ σινη ΤΗΧΣ χνγ νη ΤΗΠΤ Θυα β€ι ϖι÷τ ν€ψ, τι µυν χνγ χ♣π τη∂µ χηο χϒχ β⁄ν µτ κ τηυ♠τ ≡ σ δνγ ττ Β∆Τ Σχηυρ,  λ€ κ÷τ η〉π ϖι πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ

Τρχ η÷τ, τι ξιν νη↑χ λ⁄ι ϖ• β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ

◊νη λ 1 (Β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ) ςι µ∑ι σ τηχ κηνγ ∞µ α; β; χ; κ; τα λυν χ

ακ(α β)(α χ) + βκ(β χ)(β α) + χκ(χ α)(χ β)  0:

Ηαι τρνγ η〉π θυεν τηυχ 〉χ σ δνγ νηι•υ λ€ κ = 1 ϖ€ κ = 2

α(α β)(α χ) + β(β χ)(β α) + χ(χ α)(χ β)  0 (i)

α2(α β)(α χ) + β2(β χ)(β α) + χ2(χ α)(χ β)  0 (ii)

ι ϖι µτ σ β€ι β♣τ ↓νγ τηχ τηυƒν νη♣τ ι ξνγ χ χϒχ βι÷ν κηνγ ∞µ τη… τα χ τη≡ ι βι÷ν λ⁄ι νη σαυ

°τ π = α + β + χ; θ = αβ + βχ + χα; ρ = αβχ: ς€ τα τηυ 〉χ µτ σ ↓νγ τηχ σαυ

αβ(α + β) + βχ(β + χ) + χα(χ + α) = πθ 3ρ

(α + β)(β + χ)(χ + α) = πθ ρ αβ(α2+ β2) + βχ(β2+ χ2) + χα(χ2+ α2) = π2θ 2θ2 πρ (α + β)(α + χ) + (β + χ)(β + α) + (χ + α)(χ + β) = π2+ θ

α2+ β2+ χ2 = π2 2θ

α3+ β3+ χ3 = π3 3πθ + 3ρ

α4+ β4+ χ4 = π4 4π2θ+ 2θ2+ 4πρ

α2β2+ β2χ2+ χ2α2 = θ2 2πρ

α3β3+ β3χ3+ χ3α3 = θ3 3πθρ + 3ρ2

α4β4+ β4χ4+ χ4α4 = θ4 4πθ2ρ+ 2π2ρ2+ 4θρ2

°τ Λ = π2θ2+ 18πθρ 27ρ2 4θ3 4π3ρ;κηι 

α2β+ β2χ+ χ2α = πθ 3ρ πΛ

2 (α β)(β χ)(χ α) = πΛ

3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Χ τη≡ τη♣ψ νγαψ λ〉ι χη χ⌡α πηνγ πηϒπ ν€ψ λ€ µι ρ€νγ βυχ για χϒχ βι÷ν π; θ; ρ µ€ χϒχ βι÷ν α; β; χ βαν

ƒυ κηνγ χ νη

π2  3θ

π3  27ρ

θ2  3πρ

πθ  9ρ 2π3+ 9ρ  7πθ

π2θ+ 3πρ  4θ2

π4+ 4θ2+ 6πρ  5π2θ Νηνγ κ÷τ θυ≤ τρ∂ν ∞ψ χη↑χ χη↑ν λ€ χηα ⌡, χϒχ β⁄ν χ τη≡ πηϒτ τρι≡ν τη∂µ νηι•υ ↓νγ τηχ, β♣τ ↓νγ τηχ λι∂ν η≈ για 3 βι÷ν π; θ; ρ ς€ ι•υ θυαν τρ∑νγ µ€ τι µυν νι ÷ν λ€ τ β♣τ ↓νγ τηχ (ι) ϖ€ (ιι), τα χ

ρ  π(4θ π

2)

9 (τ (ι))

ρ  (4θ π

2)(π2 θ) 6π (τ (ιι)) Τυψ νηι∂ν τρονγ µτ σ τρνγ η〉π τη… χ τη≡ χϒχ ⁄ι λ〉νγ 4θ π2χ τη≡ νη♠ν γιϒ τρ◊ ∞µ λ♦ν γιϒ τρ◊ δνγ ν∂ν τα τηνγ σ δνγ

ρ  µαξ

 0;π(4θ π

2) 4



ρ  µαξ

 0;(4θ π

2)(π2 θ) 6π



Χ λ≥ ÷ν ∞ψ χϒχ β⁄ν ′ ηι≡υ 〉χ πηƒν ν€ο ϖ• β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ Σαυ ∞ψ λ€ µτ σ ϖ δ µινη η∑α, νηνγ τρχ η÷τ, χϒχ β⁄ν η′ψ τ♠π λ€µ τη ρι ξεµ ϒπ ϒν σαυ

3.1 Bất đẳng thức Schur

ς δ 1 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ

σ (α + β)3

8αβ(4α + 4β + χ)+

σ (β + χ)3

8βχ(4β + 4χ + α)+

σ (χ + α)3

8χα(4χ + 4α + β) 1:

(ς Τη€νη ς↔ν)

Λ⊆Ι ΓΙƒΙ.°τ

Π =

σ (α + β)3

8αβ(4α + 4β + χ)+

σ (β + χ)3

8βχ(4β + 4χ + α)+

σ (χ + α)3

8χα(4χ + 4α + β)

Θ = 8αβ(4α + 4β + χ) + 8βχ(4β + 4χ + α) + 8χα(4χ + 4α + β)

= 32(α + β + χ)(αβ + βχ + χα) 72αβχ

π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Ηολδερ, τα χ

Π2
Θ  8(α + β + χ)3

3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Τα χƒν χηνγ µινη

8(α + β + χ)3 Θ , 8(α + β + χ)3 32(α + β + χ)(αβ + βχ + χα) 72αβχ , (α + β + χ)3 4(α + β + χ)(αβ + βχ + χα) 9αβχ (⌠νγ τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ)

ς δ 2 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ

(α2+ 2)(β2+ 2)(χ2+ 2)  9(αβ + βχ + χα):

(ΑΠΜΟ 2004)

Λ⊆Ι ΓΙƒΙ.Κηαι τρι≡ν β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν, τα χƒν χηνγ µινη

α2β2χ2+ 2(α2β2+ β2χ2+ χ2α2) + 4(α2+ β2+ χ2) + 8  9(αβ + βχ + χα)

Τα χ

α2+ β2+ χ2 αβ + βχ + χα (α2β2+ 1) + (β2χ2+ 1) + (χ2α2+ 1)  2(αβ + βχ + χα)

α2β2χ2+ 1 + 1  3π3

α2β2χ2 9αβχ

α+ β + χ

 4(αβ + βχ + χα) (α + β + χ)2(τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ)

π δνγ χϒχ β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν, τα χ

(α2β2χ2+ 2) + 2(α2β2+ β2χ2+ χ2α2+ 3) + 4(α2+ β2+ χ2)

 2(αβ + βχ + χα) + 4(αβ + βχ + χα) + 3(α2+ β2+ χ2)

 9(αβ + βχ + χα):

Β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ µινη ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1: 

ς δ 3 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ

2(α2+ β2+ χ2) + αβχ + 8  5(α + β + χ):

(Τρƒν Ναµ ∆νγ)

Λ⊆Ι ΓΙƒΙ.Σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ, τα χ

6ς Τ = 12(α2+ β2+ χ2) + 3(2αβχ + 1) + 45 5
2
3(α + β + χ)

 12(α2+ β2+ χ2) + 9π3

α2β2χ2+ 45 5(α + β + χ)2+ 9

= 7(α2+ β2+ χ2) + π9αβχ3

αβχ 10(αβ + βχ + χα)

 7(α2+ β2+ χ2) + 27αβχ

α+ β + χ 10(αβ + βχ + χα) Μ°τ κηϒχ, σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ,

9

α+ β + χ  4(αβ + βχ + χα) (α + β + χ)2= 2(αβ + βχ + χα) (α2+ β2+ χ2)

3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

∆ο 

7(α2+ β2+ χ2) + 27

α+ β + χ 10(αβ + βχ + χα)

 7(α2+ β2+ χ2) + 6(αβ + βχ + χα) 3(α2+ β2+ χ2) 10(αβ + βχ + χα)

= 4(α2+ β2+ χ2 αβ βχ χα)  0:

Β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ µινη ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1: 

ς δ 4 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ; κηνγ χ 2 σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ µινη ρ←νγ

α

β3+ χ3 + β

α3+ χ3 + χ

α3+ β3 5(α2+ β2+ χ218)

αβ βχ χα:

(Μιχηαελ Ροζενβεργ)

Λ⊆Ι ΓΙƒΙ.Β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη τνγ νγ ϖι

Ξ

χψχ

α(α + β + χ)

β3+ χ3  5(α2+ β218(α + β + χ)+ χ2) αβ βχ χα

χψχ

α2

β3+ χ3 +Ξ

χψχ

α

β2+ χ2 βχ  5(α2+ β218(α + β + χ)+ χ2)

αβ βχ χα

π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Χαυχηψ−Σχηωαρζ, τα χ

Ξ

χψχ

α2

β3+ χ3  (α

2+ β2+ χ2)2

Π

χψχ

α2(β3+ χ3) Ξ

χψχ

α

β2+ χ2 βχ  (α + β + χ)

2

Π

χψχ

α(β2+ χ2 βχ)

Τα χƒν χηνγ µινη

(α2+ β2+ χ2)2

Π

χψχ

α2(β3+ χ3) +

(α + β + χ)2

Π

χψχ

α(β2+ χ2 βχ) 5(α2+ β218(α + β + χ)+ χ2) αβ βχ χα Γι≤ σ α + β + χ = 1 ϖ€ °τ αβ + βχ + χα = θ; αβχ = ρ ) ρ  µαξν0;(4θ 1)(1 θ)6 ο Τα χƒν χηνγ µινη

(1 2θ)2

θ2 (θ + 2)ρ+

1

θ 6ρ  5 1811θ Β♣τ ↓νγ τηχ χυι δ≠ δ€νγ χηνγ µινη β←νγ χϒχη ξ″τ 2 τρνγ η〉π 1  4θ ϖ€ 4θ  1

↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι α = β = χ ηο°χ α = β; χ = 0 ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ 

ς δ 5 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν α4+ β4+ χ4= 3 Χηνγ µινη ρ←νγ

1

4 αβ+ 1

4 βχ+ 1

4 χα  1:

(Μολδοϖα ΤΣΤ 2005)

3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Λ⊆Ι ΓΙƒΙ.Θυψ νγ µ♦υ σ ρι κηαι τρι≡ν, τα χƒν χηνγ µινη

49 8(αβ + βχ + χα) + (α + β + χ)αβχ  64 16(αβ + βχ + χα) + 4(α + β + χ)αβχ α2β2χ2

, 16 + 3(α + β + χ)αβχ  α2β2χ2+ 8(αβ + βχ + χα)

π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ γι≤ τηι÷τ α4+ β4+ χ4= 3, τα χ

(α3+ β3+ χ3+ 3αβχ)(α + β + χ)  [αβ(α + β) + βχ(β + χ) + χα(χ + α)] (α + β + χ)

, 3 + 3αβχ(α + β + χ)  (αβ + βχ)2+ (βχ + χα)2+ (χα + αβ)2

π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ, τα χ

(αβ + βχ)2+ (βχ + χα)2+ (χα + αβ)2+ 12  8(αβ + βχ + χα)

) 15 + 3αβχ(α + β + χ)  8(αβ + βχ + χα) Μ°τ κηϒχ τα λ⁄ι χ

1  α2β2χ2: ς♠ψ τα χ πχµ ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1: 

ς δ 6 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν αβ + βχ + χα = 3: Χηνγ µινη ρ←νγ

α3+ β3+ χ3+ 7αβχ  10:

(ςασιλε Χιρτοαϕε)

π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ

ρ  µαξ

 0;π(4θ π

2) 9



= µαξ

 0;π(12 π

2) 9



Τα χƒν χηνγ µινη

π3 9π + 10ρ  10 Ν÷υ π  2π3 τη… τα χ

π3 9π + 10ρ 10  π3 9π 10  12π 9π 10 = 3π 10 > 0 Ν÷υ π  2π3 < 4 τη…

π3 9π + 10ρ 10  π3 9π +10

9 π(12 π

2) 10 = 1

9(π 3)[(16 π

2) + 3(4 π) + 2]  0: ς♠ψ τα χ πχµ ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1

ς δ 7 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 3: Χηνγ µινη ρ←νγ

3 + 12 αβχ  5 1α+1

β +1 χ

 :

(ς Τη€νη ς↔ν)

3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Λ⊆Ι ΓΙƒΙ.ι βι÷ν τηεο π; θ; ρ, β∞τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη 〉χ ϖι÷τ λ⁄ι νη σαυ

3ρ + 12  5θ Μ°τ κηϒχ,τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ

3ρ  3π(4θ π

2)

9 = 4θ 9

Τα χƒν χηνγ µινη

4θ 9 + 12  5θ , θ  3 (⌠νγ)

ς♠ψ τα χ πχµ ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1: 

ς δ 8 Χηο α; β; χ λ€ χϒχ σ τηχ δνγ τηα µ′ν α2+ β2+ χ2= 3 Χηνγ µινη ρ←νγ

1

2 α+ 1

2 β+ 1

2 χ  3:

(Πη⁄µ Κιµ Η∫νγ) Θυψ νγ, ρ⌠τ γ∑ν ϖ€ ι βι÷ν τηεο π; θ; ρ, β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη τνγ νγ ϖι

8π + 3ρ  12 + 5θ

π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ

3ρ  π(4θ π

2)

π(2θ 3) 3 Τ γι≤ τηι÷τ

π2 2θ = 3 ) θ = π

2 3 2 Τηαψ 2 ι•υ τρ∂ν ϖ€ο β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη, τα χ

8π +π(π

2 6)

3  12 +5(π

2 3) 2 , (2π 3)(π 3)2 0 Β♣τ ↓νγ τηχ χυι ⌠νγ ν∂ν τα χ πχµ ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1:

ς δ 9 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 3: Χηνγ µινη ρ←νγ

1

9 αβ+ 1

9 βχ+ 1

9 χα 38:

(Χρυξ µατηεµατιχορυµ)

Λ⊆Ι ΓΙƒΙ.Β€ι ν€ψ ′ 〉χ ανη Η∫νγ σ δνγ χηο πηƒν β♣τ ↓νγ τηχ Χηεβψσηεϖ τρονγ χυν ∀Σϒνγ τ⁄ο β♣τ

↓νγ τηχ∀ Β∞ψ γι χϒχ β⁄ν σ≥ 〉χ τη♣ψ µτ λι γι≤ι κηϒχ ϖι β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρρ♣τ τ νηι∂ν

Βι÷ν ι β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη ϖ€ χηυψ≡ν ϖ• δ⁄νγ π; θ; ρ, τα χ

8(243 18π + 3ρ)  3(729 81θ + 27ρ ρ2)

3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

, 243 99θ + 57ρ 3ρ2 0 Τηεο β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ τη…

3 = 3 α + β + χ

3

6

 3(αβχ)2= ρ2

Τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ

ρ π(4θ π

2)

4θ 9 3 ) 57ρ  19(4θ 9) Ν∂ν τα χƒν χηνγ µινη

72 23θ 3ρ2 0 , 3(1 ρ2) + 23(3 θ)  0 (⌠νγ)

ς♠ψ β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ µινη ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χηι κηι α = β = χ = 1: 

3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ

ς δ 10 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 3: Χηνγ µινη ρ←νγ

α2β

4 βχ+ β

2χ

4 χα + χ

2α

4 αβ  1:

(Πη⁄µ Κιµ Η∫νγ)

Λ⊆Ι ΓΙƒΙ.Θυψ νγ µ♦υ σ ρι κηαι τρι≡ν, τα χƒν χηνγ µινη

χψχ

α2β Ξ

χψχ

α2β2χ

4 βχ Σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ θυεν τηυχ 4 Π

χψχ

α2β  αβχ, τα χƒν χηνγ µινη

αβχ Ξ

χψχ

α2β2χ

4 βχ

, 1 Ξ

χψχ

αβ

4 βχ

, 64 32Ξ

χψχ

αβ+ 8Ξ

χψχ

α2βχ+ 4Ξ

χψχ

α2β2 αβχ Ξ

χψχ

α2β+ αβχ

!

Τι÷π τχ σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν,τα χƒν χηνγ µινη

64 32Ξ

χψχ

αβ+ 8Ξ

χψχ

α2βχ+ 4Ξ

χψχ

α2β2 4αβχ , 16 8θ + θ2

ρ  0 ϖι θ = αβ + βχ + χα; ρ = αβχ

π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ, τα χ θ2

 9ρ ν∂ν χƒν χηνγ µινη

16 8θ + θ2 θ

2

9  0 , (θ 3)(θ 6)  0:

Β♣τ ↓νγ τηχ χυι ηι≡ν νηι∂ν ⌠νγ ν∂ν τα χ πχµ

↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1 ηο°χ α = 2; β = 1; χ = 0 ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ 

3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

ς δ 11 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ

1

α+1

β +1

χ  3α

α2+ 2βχ +

3β

β2+ 2χα+

3χ

χ2+ 2αβ:

(∆νγ χ Λ∞µ)

°τ α :=1

α; β:= 1β; χ:= 1χ;β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη τνγ νγ ϖι

Ξ

χψχ

α  3αβχΞ

χψχ

1 2α2+ βχ

χψχ

α(α2 βχ) 2α2+ βχ  0

, 3Ξ

χψχ

α3 2α2+ βχ Ξ

χψχ

α

π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Χαυχηψ−Σχηωαρζ, τα χ

Ξ

χψχ

α3

2α2+ βχ 

Π

χψχ

α2

!2

2Π

χψχ

α3+ 3αβχ

÷ν ∞ψ, τα χƒν χηνγ µινη

χψχ

α2

!2

χψχ

α

!

2Ξ

χψχ

α3+ 3αβχ

!

Γι≤ σ α + β + χ = 1; χηυψ≡ν ϖ• δ⁄νγ π; θ; ρ, β♣τ ↓νγ τηχ τρð τη€νη

3(1 2θ)2 2 6θ + 9ρ Σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ θ2

 3ρ; τα χƒν χηνγ µινη

3(1 2θ)2 2 6θ + 3θ2 , 3 12θ + 12θ2 2 6θ + 3θ2 , (1 3θ)2 0 (⌠νγ):

ς♠ψ τα χ πχµ ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ:

ς δ 12 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ: Χηνγ µινη ρ←νγ

α4(β + χ) + β4(χ + α) + χ4(α + β)  121 (α + β + χ)5:

(ςασιλε Χιρτοαϕε)

Λ⊆Ι ΓΙƒΙ.Χηυ♥ν ηα χηο π = 1, β♣τ ↓νγ τηχ τρð τη€νη

(1 3θ)θ + (5θ 1)ρ  121

÷ν ∞ψ τα σ δνγ µτ τη⌡ τηυ♠τ κηι δ∫νγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ,  λ€ χηια τρνγ η〉π ≡ γι≤ι θυψ÷τ

3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ν÷υ θ  1

5τη… τα χ

(1 3θ)θ + (5θ 1)ρ  (1 3θ)θ = 1

3(1 3θ)
3θ  13 1 3θ + 3θ2

2

= 1 12 Ν÷υ θ > 1

5;τα χ

(1 3θ)θ + (5θ 1)ρ  (1 3θ)θ + (5θ 1)
θ9 = 1

36( 88θ

2+ 32θ 3) + 1

12 <

1

12: ς♠ψ β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ µινη

↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι α = 0; β =3+ π

3

6 ; χ= 3 π

3

ςι κ τηυ♠τ ξ″τ τρνγ η〉π ≡ γι≤ι, χη⌠νγ τα χ τη≡ δ≠ δ€νγ γι≤ι θυψ÷τ χϒχ β€ι τοϒν σαυ

Β€ι τοϒν 1 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ

(α2+ β2)(β2+ χ2)(χ2+ α2)  1

32:

Η⋅∈ΝΓ ∆ˆΝ Νη∞ν ϖ€ο ρι ρ⌠τ γ∑ν, χηυψ≡ν β♣τ ↓νγ τηχ ϖ• δ⁄νγ π; θ; ρ, τα χƒν χηνγ µινη

θ2 2θ3 ρ(2 + ρ 4θ)  321

÷ν ∞ψ χη⌠νγ τα ξ″τ 2 τρνγ η〉π θ  1

4 ϖ€ θ > 1

Β€ι τοϒν 2 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν αβχ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ

α

α2+ 3 +

β

β2+ 3 +

χ

χ2+ 3  34:

(∆νγ χ Λ∞µ)

Η⋅∈ΝΓ ∆ˆΝ α β♣τ ↓νγ τηχ ϖ• µτ η€µ τηεο π

φ(π) = 27π2 (54 + 12θ)π + 9θ2 58θ + 120  0

÷ν ∞ψ χη⌠νγ τα χηια τη€νη 2 τρνγ η〉π 18θ  58 + 12π ϖ€ 18θ  58 + 12π 

ς δ 13 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν α2+ β2+ χ2= 8 Χηνγ µινη ρ←νγ

4(α + β + χ 4)  αβχ:

(Νγυψ≠ν Πηι Η∫νγ)

Λ⊆Ι ΓΙƒΙ.Τηεο γι≤ τηι÷τ, τα χ π2 2θ = 8: Μ°τ κηϒχ, τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ β♠χ 4, τα χ

ρ (4θ π

2)(π2 θ)

(π2 16)(π2+ 8) 12π ς… ϖ♠ψ, τα χƒν χηνγ µινη

(π2 16)(π2+ 8) 12π  4(π 4) , (π 4)

2(π2+ π 8) 12π  0 (⌠νγ):

↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = 2; χ = 0 ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ 

3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

ς δ 14 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ

π

α2+ αβχ

β+ χα +

π

β2+ αβχ

χ+ αβ +

π

χ2+ αβχ

α+ βχ  1

2π αβχ:

Λ⊆Ι ΓΙƒΙ.ι βι÷ν τη€νη π; θ; ρ, τα χ β •

ρ  θ

2(1 θ) 2(2 3θ)

π δνγ Β∆Τ Χαυχηψ−Σχηωαρζ, τα χ

∀ Ξ

χψχ

π

α2+ αβχ (β + χ)(β + α)

#2



∀ Ξ

χψχ

α (α + β)(β + χ)

# Ξ

χψχ

α+ χ

β+ χ

!

=

Π

χψχ

α2+Π

χψχ

αβ (α + β)(β + χ)(χ + α)

Ξ

χψχ

α+ χ

β+ χ

!

Τα χ

Ξ

χψχ

α+ χ

β+ χ =

Ξ

χψχ

1

β+ χ

Ξ

χψχ

β

β+ χ Ξ

χψχ

1

β+ χ

(α + β + χ)2

Π

χψχ

α2+Π

χψχ

αβ Ν∂ν τα χƒν χηνγ µινη

Π

χψχ

α2+Π

χψχ

αβ (α + β)(β + χ)(χ + α)

2

6 4 Ξ

χψχ

1

β+ χ

1 Π

χψχ

α2+Π

χψχ

αβ

3

7

5 

1 4αβχ

, 1 θ

θ ρ

 1 + θ

θ ρ

1

1 θ



4ρ1 , 4(1 θ

2)

θ ρ 4  θ ρ

ρ , 4(1 θ

2)

θ ρ

θ

ρ  3 Σ δνγ β •, τα χ

ς Τ  4(1 θ

2)

θ θ2(2 3θ)2(1 θ)

θ

θ 2 (1 θ) 2(2 3θ)

= 3 θ(1 3θ)(5 7θ) (1 θ)(4 7θ + θ2)  3:

ς♠ψ τα χ πχµ ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1

3:

Νη♠ν ξ″τ 1 ςι β€ι τοϒν ν€ψ, χη⌠νγ τι χ 2 χ∞υ ηι τη⌠ ϖ◊ ξιν δ€νη χηο χϒχ β⁄ν

1 Χηνγ µινη β • µ€ χη⌠νγ τι ′ ν∂υ ð τρ∂ν.

2 Η′ψ χη↵ ρα χον νγ ≡ τ…µ β • ν€ψ.



3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

ς δ 15 Χηο χϒχ σ τηχ δνγ α; β; χ τηα µ′ν α + β + χ = 1 Χηνγ µινη ρ←νγ

4 81(αβ + βχ + χα)+ αβχ 275 :

(ς Τη€νη ς↔ν)

Λ⊆Ι ΓΙƒΙ.π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ

ρ π(4θ π

2)

4θ 1 9 Β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη τνγ νγ ϖι

4 81θ+ ρ  275 Σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χƒν χηνγ µινη

4 81θ+

4θ 1

9 275 , 81θ4 +4θ

9 278 Β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν ηι≡ν νηι∂ν ⌠νγ τηεο β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ ν∂ν τα χ πχµ ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ =1

ς δ 16 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ τηα µ′ν αβ + βχ + χα = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ

αβ+ 1

α+ β +

βχ+ 1

β+ χ +

χα+ 1

χ+ α  3:

(Νγυψ≠ν Μ⁄νη ∆νγ)

Λ⊆Ι ΓΙƒΙ.Τα χ

αβ+ 1

α+ β +

βχ+ 1

β+ χ +

χα+ 1

χ+ α  3

χψχ

(αβ + 1)(χ + α)(χ + β)  3(α + β)(β + χ)(χ + α)

χψχ

(αβ + 1)(χ2+ 1)  3[(α + β + χ)(αβ + βχ + χα) αβχ]

, (α2+ β2+ χ2) + αβ + βχ + χα + αβχ(α + β + χ) + 3 + 3αβχ  3(α + β + χ)

, (α + β + χ)2+ αβχ(α + β + χ + 3) + 2  3(α + β + χ)

°τ π = α + β + χ; θ = αβ + βχ + χα = 1; ρ = αβχ: Β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ µινη τρð τη€νη

π2+ ρ(π + 3) 3π + 2  0 , (π 1)(π 2) + ρ(π + 3)  0 Ν÷υ π  2 τη… β♣τ ↓νγ τηχ ηι≡ν νηι∂ν ⌠νγ

Ν÷υ 2  π π3; ϒπ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ

π3+ 9ρ  4πθ

3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

, ρ  4π π

3

9

Τα χƒν χηνγ µινη

π2 3π + 2 + (π + 3)
4π π

3

9  0 , π4+ 3π3 13π2+ 15π 18  0 , (π 2)(π3+ 5π2 3π + 9)  0 Β♣τ ↓νγ τηχ χυι ηι≡ν νηι∂ν ⌠νγ ϖ… π  2 ϖ€

π3+ 5π2 3π + 9 = π3+ 4π2+



π 3 2

2

+27

4 >0

Τα χ πχµ ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = 1; χ = 0 ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ 

ς δ 17 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα µ′ν αβχ = 1: Χηνγ µινη ρ←νγ

1

α2 + 1

β2 + 1

χ2 + 3  2(α + β + χ):

(ςιετναµ ΜΟ 2006, Β)

Λ⊆Ι ΓΙƒΙ.°τ ξ = 1

α; ψ = 1β; ζ= 1χ, τα χ ξψζ = 1, νγ τηι ι βι÷ν τη€νη π; θ; ρ, τα χ β♣τ ↓νγ τηχ τρð

π2 2θ + 3  2θ , 4θ π2 3 Μ€ β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν ⌠νγ τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ν∂ν τα χ πχµ ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι

α= β = χ = 1:

ς δ 18 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞µ α; β; χ; κηνγ χ 2 σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ µινη ρ←νγ ϖι µ∑ι κ  1;

τα λυν χ

α

β+ χ +

β

χ+ α+

χ

α+ β + κ

(α + β + χ)(αβ + βχ + χα)

α3+ β3+ χ3  2πκ+ 1:

(Πη⁄µ Σινη Τ∞ν)

Λ⊆Ι ΓΙƒΙ.ι βι÷ν β♣τ ↓νγ τηχ τηεο π; θ; ρ ϖ€ χηυ♥ν ηα χηο π = 1 Τα χƒν χηνγ µινη β♣τ ↓νγ τηχ

1 2θ + 3ρ

1 3θ + 3ρ  2πκ+ 1

Τα χ

1 2θ + 3ρ

1 3θ + 3ρ =

1 3θ + 3ρ

1 3θ + 3ρ + 1

 1 3θ + 3ρ

1 3θ + 3ρ + 1  2πκ+ 1:

↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι (α; β; χ) =

π

κ+2 π

κ 3+ π κ+1

2 ξ; ξ;0

 ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ  Μτ σ β€ι τ♠π τνγ τ