BAT DANG THUC SCHUR VA PHUGNG PHAP DOI BIEN P,Q,R
Vo Thanh Van
Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-DĐHEKH Huế
Như các bạn đã biết, bất đăng thức Schur là một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứng dụng, tuy nhiên nó vẫn còn khá xa lạ với nhiều bạn học sinh THCS cũng như THPT Qua bài viết này, tôi muốn cũng cấp thêm cho các bạn một kĩ thuật đề sử dụng tốt BDT Schur, đó là kết hợp với phương pháp đổi biến p, g,r
Trước hết, tôi xin nhac lai vé bat dang thức Schur và phương pháp đổi biến p, g, r 1 Bất đẳng thức Schur
Định lý 1 (Bất đăng thức Schur) Với mọi số thực không âm a, b,c, k, ta luôn có
đ*(øœ — b)(a — e) + b°*(b— e)(b— a) + c°(e— a)(e— b) > 0
Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k = 1 và k = 2
a(œ — b)(œ — e) + b(b — c)(b — a) + c(c— a)(ce—b) >0 (i) a2(a — b)(œ — e) + bŸ(b — e)(b— a) + e?(e— a)(e— b) >0 (ii)
2 Phuong pháp đổi biến p,q,r
Trang 23 CAC VI DU MINH HOA
Có thê thấy ngay lợi ích của phương phap nay 1a méi rang budc giita cac bién p,g,r ma cac bién a, b,c ban dau khong co nhu p 2 3q p° > ir g > 3pr pq = Or 2p° +9r > Tpq peqt3pr > Aq? p +4q°+6pr > 5p2q
Những kết quả trên đây chắc chắn là chưa đủ, các bạn có thê phát triển thêm nhiều đăng thức, bất đăng thức liên hệ giữa 3 biên p, g,7 Và điêu quan trọng mà tôi muôn nói đên là từ bât đăng thức (1) và (1), ta có p(4q — p°) > "= 9 (từ ()) Aq — p*)(p? — p> EG PVP" =D rie Gin) 6p Tuy nhiên trong một số trường hợp thì có thể các đại lượng 4g — p có thể nhận giá trị âm lẫn giá trị dương nên ta thường sử dụng c> ma fo, =)
Có lẽ đến đây các bạn đã hiểu được phần nào về bất đăng thức Schur và phương pháp đổi biến p, g, r Sau đây là một sô ví dụ minh họa, nhưng trước hết, các bạn hãy tập làm thử rôi xem đáp án sau
Trang 33.1 Bat dang thitc Schur 3 CAC VI DU MINH HOA
Ta can chimg minh
8(a+b+ c)? >Q
& 8(a+ 6+)? > 32(a + b+ e)(ab + be + ca) — 72abe
© (a+b+e)> 4(a+ b+ e)(ab + be + ca) — 9abe (đúng theo bất đăng thức Schur)
Vay ta co dpcm L]
Ví dụ 2 Cho các số dương a, b,c Chứng mình rằng
(a? + 2)(b? + 2)(c? + 2) > 9(ab + be + ca)
(APMO 2004) LOI GIAI Khai trién bất đẳng thức trên, ta cần chứng minh
a*b?c? + 2(a7b? + Be? + a?) + 4(a? + 0? +c?) +8 > 9(ab + be + ca) Ta co g2 -E b + c2 > ab + be + ca (ab? + 1) + (b?c? +1) + (ca? +1) > 2(ab + be + ca) 9ab a2b2c2+ 1+1 > 3Wa2i2c2 > — — ø-+b+ec 4(ab + be + ca) — (a +6 +c)? (theo bat dang thire Schur) V Áp dụng các bất đẳng thức trên, ta có
Trang 43.1 Bat dang thitc Schur 3 CAC VI DU MINH HOA Do do 2 p24 2 27 T(a* + b* + c*) + ——— — 10(ab+ bc + ca) a+tb+e > 7(a* +b? +c?) 4+ 6(ab + bc + ca) — 3(a? + 6? +c?) — 10(ab + bc + ca) = 4(a° +6? + —ab—be—ca) > 0
Bất đăng thức được chứng minh Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b = c = 1 L] Ví dụ 4 Cho các số không âm a b,e, không có 2 số nào động thời bằng 0 Chứng minh rằng a + b + C— 18 Bb+38 a+ a3+b3 — 5(a2+2+c?)T— ab— bc— ca (Michael Rozenberg) LỜI GIẢI Bất đăng thức cần chứng minh tương đương với >_ re) 18(ø+b+c) b3+c3 — — 5(a? + b? +c?) — ab — bc — ca cục a? a 18(a+b+c) => =F > eat Lipp aah ~ 5(a? + 6? +c?) — ab — be — ca Áp dụng bất đăng thức Cauchy-Schwarz, ta có b3+c3 “ ` Sa2(bŠ + c3) cục cục ` a ` (a+b+c)? a b? +c? —bc ~ Soa(b? + c? — bc) cyc
Ta can chimg minh
(a2 + b2 + c2)? (a+b+c) ` 18(a+b+c)
53a2(b3+c3) — 3)a(b2+c7T—bc) — 5(a2+b2+c2)T— ab— be— ca cục cục Giả sita + b + ø — 1 và dat ab + be + ed — q,abe — r => r > max {0, Ó4=11Œ1=#) Ì, Ta cần chứng minh (1 — 2q) 1 18 5 + = gq? —(q+2)r q—6r — 5— ll1q
Bất đăng thức cuối dễ dàng chứng minh bằng cách xét 2 trường hợp 1 > 4g và 4g > 1
Đăng thức xảy ra khi a = 6b = c hoặc ø = 6, c = 0 hoặc các hoán vị tương ứng LÌ
Trang 53.1 Bat dang thitc Schur 3 CAC VI DU MINH HOA
LỜI GIẢI Quy đồng mẫu số rồi khai trién, ta cần chứng minh
49 — 8(ab + bc + ca) + (a +b + e)abe < 64 — 16(ab + be + ca) + 4(ø + b+ e)abe — a bŸc? & 164 3(a+b+ c)abe > a?b?c? + 8(ab + be + ca)
Áp dụng bất đăng thức Schur và giả thiét a+ + b* + c* = 3, ta có
(øŠ + b3 + cŸ) + 3abe)(œ + b + e) > [ab(ø + b) + be(b + e) + ca(e + a)] (a-+b~+ ) & 34 3abc(a + b+ ¢) > (ab + bc)? + (be + ca)? + (ca + ab)?
Áp dụng bất đăng thức AM-GM, ta có
(ab + be)? + (be + ca)? + (ca + ab)? + 12 > 8(ab+ be + ca) = 15+ 3abc(a + b + e) > 8(ab + be + ca)
Mặt khác ta lại có
1> a?b?c?
Vậy ta có đpcm Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b = c = I L] Ví dụ 6 Cho các số không âm a b,c thỏa mãn ab + be + ca —= 3 Chứng mình rằng a® + 6? +c? + Tabc > 10 (Vasile Cirtoaje) Ap dung bat dang thitc Schur, ta có — m2 —_ „2 r> may (0, FC) P ì = max 0, P=) P ì Ta cần chứng minh p”— 9p-+ 10r > 10 Néu p > 2⁄3 thì ta có pỶ — 9p + 10r — 10 > p3 — 9p — 10 > 12p — 9p — 10 = 3p — 10 >0 Nếu p < 2/3 < 4 thi 3 3 10 2 1 2 p? —9p + 10r —10>p ~ 9p + | p(l2 — p*) — 10 = 9 (p — 8)[(16 — øˆ) + 34 — p) + 2] 2 0
Vậy ta có đpcm Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b = c = 1
Trang 63.1 Bat dang thitc Schur 3 CAC VI DU MINH HOA LOI GIAI Déi bién theo p, g,r, bat dang thitc can chimg minh được viết lại như sau 3r +12 > 5g Mat khac,theo bat dang thức Schur, ta có 4q — 2 ar > Sea P) _ 4g g Ta can chimg minh Aq -—9+12 > 5q <= q < 3 (ding)
Vậy ta có đpcm Dang thitc xay ra khi va chi khi a = b = c = 1 L] Ví dụ § Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + bˆ + c2 —= 3 Chứng minh rằng (Phạm Kim Hùng) Quy đồng, rút gọn và đôi biện theo p, q,r, bat đăng thức cân chứng minh tương đương với 8p+ 3r > 12+ 5q Áp dụng bất đăng thức Schur, ta có p(4qg—p*) _ p@4~ 3) 3r > "= 3 3 Từ giả thiết p`—2q=3 2 ,ˆ.—Š => => 12 Thay 2 điều trên vào bất đăng thức cần chứng minh, ta có “—6 5(p? — 3 gp + Pe ape ve ) = (2p — 3)(p — 3)” > 0
Trang 73.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA © 243 — 99g + 57r — 3r? > 0 Theo bát đăng thức AM-GM thì 6 3=3 (2) > 3(abe)? = r? Theo bat dang thire Schur, ta có _ 2 — „> Pdq—P”) _ 1ạ— 9 — 3 3 => 57r > 19(4q — 9) Nên ta cần chứng minh 72 — 23q — 3r? > 0 ©3—r”)+23(3 — ạ) > 0 (đúng)
Vậy bất đăng thức được chứng minh Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b = c = I L]
3.2 Phương pháp đổi biến p,g,r
Ví dụ 10 Cho các số không dm a,b,c thoa man a +b + ¢ = 3 Ching minh rằng a2b + be + ca <1
4—be 4-ca 4-ab—`
(Pham Kim Hung) LỜI GIẢI Quy đồng mẫu số rồi khai trién, ta cần chứng minh a2bŠc 4— a0 b> Tự cục 2b > cục Sử dụng bất đăng thức quen thuộc 4 — ^ø2b > ae, ta cần chứng minh cục a2bŠc be > w= LIT be cục ab ©l1> 2.1 — be cục < 64 — 32) 0ab + 8S (arbe + 45076 > abc (so + cr) cục cục cục cục
Tiếp tục sử dụng bất đăng thức trên,ta cần chứng minh
64 — 32S "ab + 8Ề a2be + 49 (076? > dabe
cục cục cục
©16—8g+g '—=r>0 vol g = ab+bc+ca,r = abc
Ap dung bất đăng thức AM-GM, ta có g2 > 9z nên cần chứng minh q2 16— 8g + đˆ — >0
= (q— 3)(q— 6) 2 0 Bất đăng thức cuối hiển nhiên đúng nên ta có đpem
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = 6 = c= 1 hodc a = 2,6 = 1,c = 0 hoac cac hoan vi tuong ung LÌ
Trang 8
3.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ I1 Cho các số dương a,b,c Ching minh rang
Pits 3a + 30 + 3c
a b c ` øa2+2bc b)+92ca c+2ab
Đặt a :— ¬ b:= mì C:= 4, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 220 > 300C cục CỤC 5+ pc a(a? — bc) 2a? + bc cyc 3 a 7 32 sp + be = 2 Áp dụng bất đăng thức Cauchy-Schwarz, ta có — 25343 + 3abe cục 2 ( 2) a? cyc » = 2a + be > Đến đây, ta cần chứng minh 3 33) > (> (de 4 te) Giả sử ø + b+ c = 1, chuyên về dạng p, g, r, bất đẳng thức trở thành 3(1 — 2q)? > 2-—6q + 9r Str dung bat dang thire g? > 3r, ta cần chứng minh 3(1 — 2a)Ÿ > 2— 6q + 3a? © 3_— 12g + 12g” > 2— 6g + 3qˆ & (1 — 3q)? > 0 (đúng)
Vậy ta có đpcm Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b = c Ví dụ 12 Cho các số không âm a,b, c Ching minh rang
1
a*{(b + e) + b'(e + a) + c`(a +b) < 79 (@ +b+c)°
Trang 93.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA k La: , Nêu g < 5 thì ta có 1 1 /1—3q¢+3q\7 1 (1 3q)a + Ga Ir < (= 3q)q= 30 ~ 3) 3g < 5 (A) =— Nếu q > ‡, ta có 1 1 (1 — 3q)q + (5q — 1)r < (1— 3g)g + (5q — 1)- 5 = 3g (880° + 324 — 3) + —< 12 12° Vậy bất đăng thức được chứng minh 3+v3 3-V3 6
Dang thitc xay ra khi a = 0,0 = ,C = ““g"~và các hoán vị L] Với kĩ thuật xét trường hợp để giải, chúng ta có thể dễ dàng giải quyết các bài toán sau
Bài toán 1 Cho các số không âm a,Ù,c thỏa mãn a + b + c —= 1 Chứng minh rằng (a2 + b2)(bŸ + c?)(c2+a?) < s HƯỚNG DÃN Nhân vào rồi rút gọn, chuyển bất đăng thức về dạng ø, g, 7, ta cần chứng minh 1 2—9qg”—r(2+r_— 4q) < — q qg”—r(+r DS 35 Đến đây chúng ta xét 2 trường hợp g < 4 và q> i: L] Bài toán 2_ Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc — 1 Chứng mình rằng a + b + C <3 az7+3 B43 24374
(Duong Duc Lam) HƯỚNG DÂN Đưa bất đẳng thức về một hàm theo p
ƒ(p) = 27p — (54 + 12q)p + 9g? — 58q + 120 > 0
Trang 103.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 14 Cho các số dương a, b,c thỏa mãn a + b + c — 1 Chứng minh rằng
Vaz +tabe Vb2 + abc ve? + abe _ 1
b+ca c+ab a+tbe ~ %/abe
LỜI GIẢI Đồi biến thành p, g, z„ ta có bộ để g (1— 4) "59039 Ap dung BDT Cauchy-Schwarz, ta có 2 ST) Jaz + abc Z(b+e)(b+ a) a a+e email) S342 + Scab cục cục a+ 3 (a+ b)(b+e)(c +a) \Kvb+e Ta co 2 => 1 _` b < l _ (atb+c) b+c b+C eo te eo te Sa? + Soab cực cục cục Nên ta cân chứng minh Soa? + Sab | ' | ' cục cục > < (a+ 6)(b+ c)(c +a) l% =a tà — đabec cục cục (TH 1 )<t q—-r\q-r l-q/” 4r — q2 — ¿ 1 —4 )_4e q—T q—T + A(1 — q° & 1 Œ) Ges q—T + Sử dụng bổ đề, ta có 4(1 — q? 1— — v?< Os - ate =3- _ TT = = A fr š rv 2 1 5 1 1 — — = i
Vay ta co đpcm Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c= 3
Nhận xét Í Với bài toán này, chúng tôi có 2 câu hỏi thú vị xin dành cho các bạn 1 Chứng minh bô đề mà chúng tôi đã nêu ở trên
2 Hãy chỉ ra con đường để tìm bồ đề này
Trang 11
3.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 15 Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng 4 5 ————————+„abe>- SI(ab+be+cd) = OF (V6 Thanh Van) LỜI GIẢI Áp dụng bất đăng thức Schur, ta có 9 9 _ m2 _ „ > Pu ”) 4q—1 Bất đăng thức cần chứng minh tương đương với 4 " 5 — r — Slg — 27 Sử dụng bất đẳng thức Schur, ta cần chứng minh 4 4g — 1 5 — + — 1q 9 27 4 Aq 8 —— + —>_— 8lq 9 ~ 27 Bất đăng thức trên hiên nhiên đúng theo bất đẳng thức AM-GM nên ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiøa—=b=ec=`$ 3 L] Ví dụ 16 Cho các số không âm a,b,c thoa man ab + be + ca — 1 Chứng mình rằng ab+1 be +1 cat 1 >3 a+b b+e cta”~ (Nguyễn Mạnh Dũng) LỜI GIẢI Ta có œb + 1 be +1 catl i a+b b+e c+qa —
œ À (ab+ 1)(6+ a)(e + b) > 3(ø + b)(b + (e+)
cục
= S (ab + 1)(c? +1) > 3[(a+6+ )(ab + bc + ca) — abe]
cục
© (ø2+b?+c?)+ ab+ be+ ca + abe(ø + b+ e) + 3 + 3abe > 3(ø + b+ e)
& (atb+c)? +abc(a+b+e+3)+2>3(a+b+c)
Đặt p = a + b + e,qg = ab + be + ca = 1,r = abc Bắt đẳng thức cần chứng minh trở thành pˆ+r(p+3)—3p+2>0
= (p—1)(p— 2) +r(p+3) 20 Nếu p > 2 thì bất đăng thức hiển nhiên đúng
Néu 2 > p > V3, ap dung bat dang thirc Schur, ta có
p + 9z > dpq
Trang 12
3.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA An — 3 Sree a7 Ta can chimg minh — pŠ >0 9 = 4 3 2 = p° + 3p° — 13p* + lop — 18 < 0 & (p — 2)(p? + 5p? — 3p +9) <0 4 py? —3p+2+(p+3)-— Bất đăng thức cuối hiển nhiên đúng vì p < 2 và 3\ˆ 37 øŠ+ 5p = 3p 9 = g1 để + [ -5) +7 > 0
Trang 143.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 20 Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn a -} b + c — 3 Ching minh rằng 1 + 1 + 1 6—ab 6-—be 6- ca 3 <= ~ 5 (Vasile Cirtoaje) LờI GIẢI Chuyên đổi bất đăng thức về như sau 108 — 48g + 13pr — 3r? > 0 © 4(9 — 4g + 3) +r(1—zr)>0 Ta thấy bất đẳng thức trên đúng do b 3 + = đc < (**) = 1 va theo bat dang thức Schur thì => 3r+9— 4q > 0 3r >
Vậy bất đăng thức được chứng minh
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø — ö = c = l1 hoặc ø = 0,b=—=c= 3 hoặc các hoán vị tương ứng L] Ví dụ 21 Cho các số không âm a,b, c, không có 2 số nào động thời bằng 0 Chứng minh rằng da (b+c) b2(c+a) , c1(a+b) > b b2 -L c2 cŸ + a? a? + b2 Fat +e (Darij Grinberg) LỜI GIẢI Áp dụng bất đăng thức Cauchy-Schwarz, ta cần chứng minh S4 (b+e)2| > (>>| 3S (b+ c)(b? +c’) Cục Cục cục Đổi biến theo p, g, r, khi đó bất đăng thức viết thành (2p + 9r — 7pq) > 0
Áp dụng BDT Schur, ta c6 p* + 9r > 4pg và bất đẳng thức quen thuộc ø2 — 3g > 0, ta có đpem Đăng thức
xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = ö,c = 0 L]
Ví dụ 22 Cho các số không âm a,b, c thỏa mãn a -} b + c — 1 Ching minh rằng 5(aˆ + bŠ + c?) < 6(øŠ + b3 + c?) +1 LỜI GIẢI Đỗi biến về p, g, r, ta cần chứng minh
5 — 10g < 6(I1 — 3q + 3r) + 1 — 18r —8¢+2>0
Mac khac, bat dang thitc trén ding theo bat dang thirc Schur nén ta co dpem L] Và một ví dụ điên hình cho phương pháp này là bât đăng thức lran 1996
Trang 153.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Vi du 23 Cho cde s6 khéng dm x,y,z, không có 2 số nào động thời bằng Ú Chứng minh rằng 1 1 1 0 utube (Tet gage eae) eT (Iran MO 1996, Ji Chen) LỜI GIẢI Sử dụng phương pháp đổi biến p, g, r, ta chuyên bất đẳng thức về dạng như sau (pˆ + g)Ÿ — 4p(pq—r)| 9 (pq — r)Ÿ | R1 Biến đổi tương đương, rút gọn, ta cần chứng minh ApÊq — 17p ”4” + 1q” + 34pgr — 9r? > 0 © pq(p` — Apgr + 9r) + q(p* — 5p?q + 44” + 6pr) + r(pg — 9r) > 0 Bất đăng thức cuối đúng nên ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = ¿ = z hoặc # = ÿ, z = 0 hoặc các hoán vị tương ứng L]
Qua các ví dụ trên, có lẽ các bạn cũng đã được hình dung ít nhiêu về bât đăng thức Schur và những ứng dụng của nó trong phương pháp đôi biên ø, g, r Đê kêt thúc bài viết này, mời các bạn cùng giải một sơ bài tập sau Bài tốn 5 Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn aŠ + bŸ + c3 — 3 Chứng minh rằng
a*b* + b*c4 + cta* < 3
(Vasile Cirtoaje) Bài toán 6 Cho các số không âm a,b,c Chứng mình rằng
a2 -} b + e2 + 2abe + 1 > 2(ab + be + ca)
(Darij Grinberg) Bài toán 7 Cho các số không âm a,b, c thỏa mãn a2 + bˆ + c2 — 3 Chứng minh rằng
12+ 9aöbe 3 7(ab + be + ca) (Vasile Cirtoaje) Bai toan 8 Cho các số dương a,b,c tha man abc = 1 Ching minh rang 1 1 1 < 3 d2 a1 T1 0D bp+I 2 ca
(Vii Dinh Quy) Bài toán 9 Cho các số thực a, b,c thỏa mãn a2 -+} b2 + c2 — 9 Chứng mình rằng
2(a+b+c)— abe < 10
Trang 163.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Bài toán 11 Cho cde sé duong a,b,c thoa man abc = 1 Chitng minh rang
2(aŸ + bˆ + c2) + 12 > 3(a +b +c) +3(ab+4 bc 4 ca) (Balkan MO) Bài toán 12 Cho các số không âm a,b,e, không có 2 số nào đồng thời bằng U Chứng minh rằng với mọi k > 3, ta 1 1 1 k 2Vk+1 + + + > a+b b+c¢e¢ cta atbt+e7™ vab+bc+ca
(Pham Kim Hung) Bài toán 13 Cho các số không âm a, b, e thỏa mãn ab + be - ca 6abc — 9 Chứng mình rằng
ø-Fb+ c+ 3abc > 6
(Lê Trung Kiên, Võ Quốc Bá Cần) Bài toán 14 Cho các số không âm x,y,z, không có 2 số nào động thời bằng 0 Tìm hằng số a nhỏ nhất đề bat đăng thức sau đúng
3
(HH) =.= „ + yy t+ Det)
3 3 7 8
(Ivan Borsenco, Irurie Boreico) Bài toán l5 Cho các số đương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Ching minh rang atbte ` 1o/ 03 + b3 + cỷ 3 — 3 : Bài toán 16 Cho các số không âm a, b,e thỏa mãn a + b + c — 1 Chứng minh rằng 1 + 1 + 1 + 9b „ Z1 œbc > —— a+b b+c ct+a — D4 Bai toan 17 Cho a,b,c € [1, 2] Chứng mình rằng a*(b+c)+b*(e+a)+c?(at+6b) < Tabe
Bài toán 1§ Cho các số khơng âm a, b,e thỏa mãn a + b + c = 3 Chitng minh rang