BAT DANG THUC SCHUR VA PHUGNG BIEN P,Q,R Vo Thanh Lớp PHAP DOI Van 11 Toán-Khối chuyên THPT-DĐHEKH Huế Như bạn biết, bất đăng thức Schur bất đẳng thức mạnh có nhiều ứng dụng, nhiên cịn xa lạ với nhiều bạn học sinh THCS THPT Qua viết này, muốn cấp thêm cho bạn kĩ thuật đề sử dụng tốt BDT Schur, kết hợp với phương pháp đổi biến p, g,r Trước hết, xin nhac lai vé bat dang thức Schur phương pháp đổi biến p, g, r Bất đẳng thức Schur Định lý (Bất đăng thức Schur) Với số thực không âm a, b,c, k, ta có đ*(øœ — b)(a — e) + b°*(b— e)(b— a) + c°(e— a)(e— b) > Hai trường hợp quen thuộc sử dụng nhiều k = k = 2 a(œ — b)(œ — e) + b(b — c)(b — a) + c(c— a)(ce—b) >0 (i) a2(a — b)(œ — e) + bŸ(b — e)(b— a) + e?(e— a)(e— b) >0 (ii) Phuong pháp đổi biến p,q,r Đối với số bất đăng thức đối xứng có biến khơng âm ta có thê đổi biến lại sau Đặt p = a + ồ+c,qg= ab + be + ca,r — abc Và ta thu sô đăng thức sau ab(a + b) + bc(b+¢)+ca(e+a) = pq-3r (a+ b)(b+c)\(c+ta) ab(a? + 6) + bcb? +c?) +ca(P +07) = = pq-r p?qạ— 242 — pr a+h+ec = pˆ—9q (a+ d)(ate)+(b+o(b+a)+(ctal(e+b) a+? = p+ +3 = p*?—3pq+3r at++b+4+c4 = p*—Ap2q4+ a2b` + b2c2 +c?a?” = g—2pr a5bÖ + bŠc3 + a3 = qg)— 3pạr + 3r? a*b* + b4ce8 + hat = q`— 4pdˆr + 2pˆrŸ + 4qr? Dat L = p*q? + 18pqr — 27r? — 4q? — 4p*r, ab+bet+ ja pr = (a—b)(b—c)(c—a) = +VL vi 2q7 + 4pr CAC VI DU MINH HOA Có thê thấy lợi ích phương phap 1a méi rang budc giita cac bién p,g,r ma cac bién a, b,c ban dau khong co nhu p 3q p° > ir g > 3pr pq = Or 2p° +9r > Tpq peqt3pr p +4q°+6pr > > Aq? 5p2q Những kết chắn chưa đủ, bạn có thê phát triển thêm nhiều đăng thức, bất đăng thức liên hệ biên p, g,7 Và điêu quan trọng mà tơi mn nói đên từ bât đăng thức (1) (1), ta có > "= p(4q — p°) (từ ()) p*)(p? =D — p> EGAq — PVP" rie Gin) 6p Tuy nhiên số trường hợp đại lượng 4g — p nhận giá trị âm lẫn giá trị dương nên ta thường sử dụng c> ma fo, =) Có lẽ đến bạn hiểu phần bất đăng thức Schur phương pháp đổi biến p, g, r Sau sơ ví dụ minh họa, trước hết, bạn tập làm thử rôi xem đáp án sau 3.1 Cac vi du minh họa Bất đẳng thức Schur Ví dụ I Cho số dương a, b,c Chứng +o fre 8ab(4a + 46 + c) 8bc(4b + 4c + a) a 8ca(4c + da +b) ~ ` (V6 Thanh Van) LỜI GIẢI Đặt _ Q (a + 6)3 Vi 8ab(4a + 4b + c) = =_ (b+c)3 8bc(4b + 4c + a) (c+ a)? Sca(4e + 4a + 6) 840(41a+ 4b+ c) + 8bc(4b + 4c + a) + 8ca(de + 4a + b) 32(a+ + c)(ab + be + ca) — 72abc Áp dụng bất đăng thức Holder, ta có Pˆ.Q>8(a+b+e)? (@VõÕ 'THÀNH VĂN 3.1 Bat dang thitc Schur Ta can chimg minh CAC VI DU MINH HOA 8(a+b+ c)? >Q & 8(a+ 6+)? © (a+b+e)> > 32(a + b+ e)(ab + be + ca) — 72abe 4(a+ b+ e)(ab + be + ca) — 9abe (đúng theo bất đăng thức Schur) Vay ta co dpcm L] Ví dụ Cho số dương a, b,c Chứng (a? + 2)(b? + 2)(c? + 2) > 9(ab + be + ca) (APMO 2004) LOI GIAI Khai trién bất đẳng thức trên, ta cần chứng minh a*b?c? + 2(a7b? + Be? + a?) + 4(a? + 0? +c?) +8 > 9(ab + be + ca) Ta co g2 -E b + c2 > ab + be + ca (ab? + 1) + (b?c? +1) + (ca? +1) > 2(ab + be + ca) > 9ab — 3Wa2i2c2 > — ø-+b+ec V a2b2c2+ 1+1 4(ab + be + ca) — (a +6 +c)? (theo bat dang thire Schur) Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có (a be? + 9) + 2(aˆbŠ + bÊc? + c?aˆ + 3) + 4(a2 + bŠ + cŸ) > 2(ab+ be + ca) + 4(ab + be + ca) + 3(a? + 6? +c’) > 9(ab+ be + ca) Bất đăng thức chứng minh Đăng thức xảy ø = b = c = L] Ví dụ Cho số dương a, b,c Chứng 2(a? + 0° +c?) + abe + > 5(a+b+ c) (Trần Nam Dũng) LờI GIẢI Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 6VT = 12(a2 +6? +c?) + 3(2abe + 1) + 45 —5-2-3(a+b+c) > 12° +0 +?) +9Va2b2c? + 45 —5 [(a+b+c)? +9] — r(œ?+b?+c7)+ > ( T(a* 9.42, +b" +c) Qabc tư 19 — 10(ab + be + ca 27abe + —— at+b+e ) — 10(ab + bc + ca) Mặt khác, sử dụng bat dang thức Schur, a+b+e > A(ab + bc + ca) — (a+b +c)? = 2(ab + be + ca) — (a2 + bŸ + cŸ) (VO THANH VAN 3.1 Bat dang thitc Schur CAC VI DU MINH HOA Do 27 T(a* + b*p24 + c*)2 + ——— — 10(ab+ bc + ca) a+tb+e > 7(a* +b? +c?) 4+ 6(ab + bc + ca) — 3(a? + 6? +c?) — 10(ab + bc + ca) = 4(a° +6? + —ab—be—ca) > Bất đăng thức chứng minh Đăng thức xảy ø = b = c = L] Ví dụ Cho số không âm a b,e, số động thời Chứng minh a + Bb+38 b + a+ C— 18 a3+b3 — 5(a2+2+c?)T— ab— bc— ca (Michael Rozenberg) LỜI GIẢI Bất đăng thức cần chứng minh tương đương với >_ cục => a? =F eat re) 18(ø+b+c) b3+c3 — — 5(a? + b? +c?) — ab — bc — ca a Lipp aah 18(a+b+c) ~ 5(a? + 6? +c?) — ab — be — ca > Áp dụng bất đăng thức Cauchy-Schwarz, ta có b3+c3 cục “ ` Sa2(bŠ + c3) cục ` a ` (a+b+c)? a b? +c? —bc ~ Soa(b? + c? — bc) cyc Ta can chimg minh (a2 + b2 + c2)? 53a2(b3+c3) — cục (a+b+c) 3)a(b2+c7T—bc) cục ` 18(a+b+c) — 5(a2+b2+c2)T— ab— be— ca Giả sita + b + ø — dat ab + be + ed — q,abe — r => r > max {0, (1 — 2q) gq? —(q+2)r + = q—6r — Ĩ4=11Œ1=#) Ì, Ta cần chứng minh 18 5— ll1q Bất đăng thức cuối dễ dàng chứng minh cách xét trường hợp > 4g 4g > Đăng thức xảy a = 6b = c ø = 6, c = hốn vị tương ứng LÌ Ví dụ Cho số đương a, b, c thỏa mãn a* + b* + cŠ = Chứng 4—ab + + 4—be a?b?c? + 8(ab + be + ca) Áp dụng bất đăng thức Schur giả thiét a+ + b* + c* = 3, ta có (øŠ + b3 + cŸ) + 3abe)(œ + b + e) > [ab(ø + b) + be(b + e) + ca(e + a)] (a-+b~+) & 34 3abc(a + b+ ¢) > (ab + bc)? + (be + ca)? + (ca + ab)? Áp dụng bất đăng thức AM-GM, ta có (ab + be)? + (be + ca)? + (ca + ab)? + 12 > 8(ab+ be + ca) = 15+ 3abc(a + b +e) > 8(ab+ be + ca) Mặt khác ta lại có 1> a?b?c? Vậy ta có đpcm Đăng thức xảy ø = b = c = I L] Ví dụ Cho số khơng âm a b,c thỏa mãn ab + be + ca —= Chứng a® + 6? +c? + Tabc > 10 (Vasile Cirtoaje) Ap dung bat dang thitc Schur, ta có r> may — m2 (0, FC)P ì = max —_ „2 0, P=)P ì Ta cần chứng minh p”— 9p-+ 10r > 10 Néu p > 2⁄3 ta có pỶ — 9p + 10r — 10 > p3 — 9p — 10 > 12p — 9p — 10 = 3p — 10 >0 Nếu p < 2/3 < thi p? —9p + 10r —10>p ~ 9p + |10 p(l2 — p*)2 — 10 = 91 (p — 8)[(16 — øˆ)2 + 34 — p) + 2] Vậy ta có đpcm Đăng thức xảy ø = b = c = Ví dụ Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c —= Chứng minh 12 1 3+ —>ö|-+tx++-] abc a be (V6 Thanh Van) (VO THANH VAN 3.1 Bat dang thitc Schur CAC VI DU MINH HOA LOI GIAI Déi bién theo p, g,r, bat dang thitc can chimg minh viết lại sau 3r +12 > 5g Mat khac,theo bat dang thức Schur, ta có ar > Sea4q Ta can chimg minh — P)2 _ 4g g Aq -—9+12 > 5q (Phạm Kim Hùng) 12+ 5q Áp dụng bất đăng thức Schur, ta có 3r > "= p(4qg—p*) _ p@4~ 3) 3 Từ giả thiết p`—2q=3 ,ˆ.—Š 12 => => Thay điều vào bất đăng thức cần chứng minh, ta có gp + Pe ape “—6 5(p? ve — ) = (2p — 3)(p — 3)” > Bất đăng thức cuối nên ta có đpcm Đăng thức xảy ø = b = c = I Ví dụ Cho số không âm a, b, c thỏa mãn a -+ b + c —= Chứng minh Q—ab 1 9-—be 9-ca < —8 =, (Crux mathematicorum) LỜI GIẢI Bài anh Hùng sử dụng cho phần bất đẳng thức Chebyshev "Sang tao bat đăng thức” Bây bạn thây lời giải khác với bât đăng thức Schur phương pháp đôi biên p,q,r rât tự nhiên Biến đổi bất đăng thức cần chứng minh chuyên dạng p, g, r„ ta có 8(243 — 18p + 3r) < 3(729 — 81q + 27r — r?) (VO THANH VAN 3.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA © 243 — 99g + 57r — 3r? > Theo bát đăng thức AM-GM 3=3 Theo bat dang thire Schur, ta có (2) > 3(abe)? = r? _ „> Pdq—P”) _ 1ạ— — — 3 => 57r > 19(4q — 9) Nên ta cần chứng minh 72 — 23q — 3r? > ©3—r”)+23(3 — ạ) > (đúng) Vậy bất đăng thức chứng minh Đăng thức xảy ø = b = c = I 3.2 L] Phương pháp đổi biến p,g,r Ví dụ 10 Cho số không dm a,b,c thoa man a +b + ¢ = Ching minh a2b + be 4—be + ca 4-ca Tự 2b > cục cục Sử dụng bất đăng thức quen thuộc — ^ø2b > ae, ta cần chứng minh cục be > w= LIT cục ©l1> a2bŠc 2.1 cục be ab — be < 64 — 32) 0ab + 8S (arbe + 45076 > abc (so cục cục cục + cr) cục Tiếp tục sử dụng bất đăng thức trên,ta cần chứng minh 64 — 32S"ab + 8Ề a2be + 49(076? > dabe cục cục cục ©16—8g+g '—=r>0 vol g = ab+bc+ca,r = abc Ap dung bất đăng thức AM-GM, ta có g2 > 9z nên cần chứng minh 16— 8g + đˆ — q2 >0 = (q— 3)(q— 6) Bất đăng thức cuối hiển nhiên nên ta có đpem Đăng thức xảy ø = = c= hodc a = 2,6 = 1,c = hoac cac hoan vi tuong ung (@VõÕ 'THÀNH VĂN LÌ 3.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ I1 Cho số dương a,b,c Ching minh rang Pits a b 3a + 30 c ` øa2+2bc + b)+92ca 3c c+2ab (Dương Đức Lám) Đặt a :— ¬ b:= mì C:= 4, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 220 > 300C 5+ pc cục CỤC cyc a(a? — bc) 2a? + bc a3 32 sp + be = Áp dụng bất đăng thức Cauchy-Schwarz, ta có a? ( cyc 2) = 2a + be — 25343 + 3abe » > cục Đến đây, ta cần chứng minh 33) > (> (de te) Giả sử ø + b+ c = 1, chuyên dạng p, g, r, bất đẳng thức trở thành 3(1 — 2q)? > 2-—6q + 9r Str dung bat dang thire g? > 3r, ta cần chứng minh 3(1 — 2a)Ÿ > 2— 6q + 3a? © 3_— 12g + 12g” > 2— 6g + 3qˆ & (1 — 3q)? > (đúng) Vậy ta có đpcm Đăng thức xảy ø = b = c Ví dụ 12 Cho số khơng âm a,b, c Ching minh rang a*{(b + e) + b'(e + a) + c`(a +b) < 79 (@ +b+c)° (Vasile Cirtoaje) LỜI GIẢI Chuẩn hóa cho p = 1, bất đẳng thức trở thành (1 — 3q)q+ l (5q — l)r < 13 Đến ta sử dụng thủ thuật dùng bất đăng thức Schur, chia trường hợp để giải (@VõÕ 'THÀNH VĂN 3.2 k Phương pháp đổi biến p,q,r La: Nêu g < ta có CÁC VÍ DỤ MINH HỌA , 3q)a + Ga (1 3_ 1 /1—3q¢+3q\7 =— Ir < (= 3q)q= 30 ~ 3) 3g < (A) Nếu q > ‡, ta có (1 — 3q)q+ (5q — 1)r < (1— 3g)g+ (5q — 1)- = 3g (880° + 324 — 3) + —< 12 Vậy bất đăng thức chứng minh 3-V3 Dang thitc xay a = 0,0 = 3+v3 ,C = ““g"~và hoán vị Với kĩ thuật xét trường hợp để giải, dễ dàng giải toán sau 12° L] Bài toán Cho số không âm a,Ù,c thỏa mãn a + b + c —= Chứng minh (a2 + b2)(bŸ + c?)(c2+a?) < s HƯỚNG DÃN Nhân vào rút gọn, chuyển bất đăng thức dạng ø, g, 7, ta cần chứng minh q 2—9qg”—r(2+r_— qg”—r(+r 4q) DS< 35— Đến xét trường hợp g < q> i: L] Bài toán 2_ Cho số dương a,b,c thỏa mãn abc — Chứng a + az7+3 b + B43 C Đến chia thành trường hợp 18g > 58 + 12p 18g < 58 + 12p L] Ví dụ 13 Cho số khơng âm a,b,c thoa man a? + bÊ +} c2 — Chứng minh 4(a+b+c— 4) < abc (Nguyên Phi Hùng) LỜI GIẢI Theo giả thiết, ta có p? — 2g = Mặt khác, theo bất đẳng thức Schur bậc 4, ta có „> (ú=p))Š=4) _ (pˆ= 16)0` + 8) ¬ Vì vậy, ta cần chứng minh 6p 12p (p* — 16)(p* + 8) 12p > A(p— 4) (p — 4)*(p? + p — 8) > (dung) 12p Dang thire xay va chi a = b = 2,c = hodac cac hoan vi tuong tng (@VõÕ 'THÀNH VĂN L] 3.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 14 Cho số dương a, b,c thỏa mãn a + b + c — Chứng minh Vaz +tabe Vb2 + abc b+ca ve? + abe c+ab _ a+tbe ~ %/abe LỜI GIẢI Đồi biến thành p, g, z„ ta có để g (1—4) "59039 Ap dung BDT Cauchy-Schwarz, ta có ST) Jaz + abc email) a Z(b+e)(b+ a) a+e S342 + Scab cục cục a+ (a+ b)(b+e)(c +a) \Kvb+e Ta co => cực b+c _` b+C b < l eo te _ eo te (atb+c) Sa? + Soab cục cục Nên ta cân chứng minh Soa? + Sab cục | cục (a+ 6)(b+ c)(c +a) ' > l% =a (TH ¿1 — q—T tà cục q—-r\q-r | < ' — đabec cục )0 = = p°4 + 3p° — 13p* + lop — 18 < & (p — 2)(p? + 5p? — 3p +9) 0 Ta co dpcm Dang thitc xay va chi a = b = 1,¢ = hoac cac hoan vi L] Ví dụ 17 Cho số dương a, b,c thỏa mãn abc — Chứng at 1 ptat322atore) (Vietnam MO 2006, B) LỜI GIẢI Đặt ø = ay thành = z= 4, ta cd xyz — 1, đồng thời đổi biến thành p, g,r„ ta có bất đẳng thức trở L] p`— 9q + > 2q = 4q—p? 1, ta ln co a b+c b ca C (z+b+ e)(ab + be + ca) ca a® + 63 + c3 > 2vk +1 (Phạm Sinh Tán) LỜI GIẢI Đổi biến bất đẳng thức theo p, g,r chuẩn hóa cho p = Ta cần chứng minh bất đẳng thức 1-2 141” đ q—T —3q+ 3r s2VE+I Ta có 1—2qg+3r q—T q 1—3q+3r — - l=ðg+3r q—T I-3g+3 qa q Đăng thức xảy (a, b,c) = (Aes, x,0) q — 3q + 3r — 3q + 3r +1>2V*k+1 hoán vị tương ứng L] Một số tập tương tự (@VõÕ 'THÀNH VĂN l9 3.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Bài tốn Cho số khơng âm a,b,c Chứng với k > 1, ta ln có a b+c b + —£ c+a „ta +90 + 2(e + 4) a+b a® + 63 + c3 >2Vk+T — vk+ (Phạm Sinh Tán) Bài toán Cho số khơng âm a, b, c, khơng có số đồng thời Chứng minh ay b+e b C 9(ab eta atb b+b + ct ea) VU g2 + b3 + c2 (Phạm Sinh Tán) Ví dụ 19 Cho số khơng âm a,b, c, khơng có số động thời Chứng minh a \* + b b+c + c c+a NỂ + 10abe a+b ` (z+b)(b+c)(c+a)— (Duong Duc Lam) A 2a — LOI` GIẢI Đặtx # = FF5,Y = 26 Gg % —= 2e Fp taco r + Bất đăng thức trở thành 2z + zz + 0z = z2 +? -+z2+5xuz Đưa bất đẳng thức dạng p, g, r„ từ giả thiết, ta có g + >8 = bất đẳng thức trở thành pˆ—2q+5r>8 & p*? —7q+12>0 Néu > p, su dungbat dang thức Schur, ta có „ P4 —— P)„2 — +4> „+0 egq< 4> dq — = ?+ 36 4p+9 7(p + 36) => Uˆ2 — Ï 12>pˆ—-————_-+]2 P q+ ie p > \/3q>3 2_ TÚ +36) 4p +9 12s g (p — 3)(p? — 16) 4, ta có p2 > 16 > 4g nên p p—2g+5r >p— 2g >> 28 Vay bat dang thire dugc chimg minh Dang thitc xay x = y = z = hodc x = hoan vi tuong tng (@VõÕ 'THÀNH VĂN = 2,z = L] l3 3.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 20 Cho số khơng âm a, b, c thỏa mãn a -} b + c — Ching minh + 6—ab + ~ 6-—be © 4(9 — 4g + 3) +r(1—zr)>0 Ta thấy bất đẳng thức b + = đc va theo bat dang thức Schur < (**) =1 3r > => 3r+9— 4q > Vậy bất đăng thức chứng minh Đăng thức xảy ø — ö = c = l1 ø = 0,b=—=c= hoán vị tương ứng Ví dụ 21 L] Cho số khơng âm a,b, c, khơng có số động thời Chứng minh da (b+c) b2 -L b2(c+a) , c1(a+b) c2 cŸ + a? a? + > b2 Fat b +e (Darij Grinberg) LỜI GIẢI Áp dụng bất đăng thức Cauchy-Schwarz, ta cần chứng minh S4 (b+e)2| > (>>| Cục Cục 3S (b+ c)(b? +c’) cục Đổi biến theo p, g, r, bất đăng thức viết thành (2p + 9r — 7pq) > Áp dụng BDT Schur, ta c6 p* + 9r > 4pg bất đẳng thức quen thuộc ø2 — 3g > 0, ta có đpem Đăng thức xảy a = b = c a = ö,c = L] Ví dụ 22 Cho số khơng âm a,b, c thỏa mãn a -} b + c — Ching minh 5(aˆ + bŠ + c?) < 6(øŠ + b3 + c?) +1 LỜI GIẢI Đỗi biến p, g, r, ta cần chứng minh — 10g< 6(I1 — 3q + 3r) + — 18r —8¢+2>0 Mac khac, bat dang thitc trén ding theo bat dang thirc Schur nén ta co dpem Và ví dụ điên hình cho phương pháp bât đăng thức lran 1996 (@VõÕ 'THÀNH VĂN L] T 3.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Vi du 23 Cho cde s6 khéng dm x,y,z, số động thời Ú Chứng minh 1 utube (Tet gage eae) eT (Iran MO 1996, Ji Chen) LỜI GIẢI Sử dụng phương pháp đổi biến p, g, r, ta chuyên bất đẳng thức dạng sau (pˆ + g)Ÿ — 4p(pq—r)| (pq — r)Ÿ | R1 Biến đổi tương đương, rút gọn, ta cần chứng minh ApÊq — 17p ”4” + 1q” + 34pgr — 9r? > © pq(p` — Apgr + 9r) + q(p* — 5p?q + 44” + 6pr) + r(pg — 9r) > Bất Qua đăng thức cuối nên ta có đpcm Đẳng thức xảy z = ¿ = z # = ÿ, z = hốn vị tương ứng L] ví dụ trên, có lẽ bạn hình dung nhiêu bât đăng thức Schur ứng dụng phương pháp đơi biên ø, g, r Đê kêt thúc viết này, mời bạn giải sơ tập sau Bài tốn Cho số không âm a,b,c thỏa mãn aŠ + bŸ + c3 — Chứng minh a*b* + b*c4 + cta* < (Vasile Cirtoaje) Bài toán Cho số khơng âm a,b,c Chứng a2 -} b + e2 + 2abe+ > 2(ab + be + ca) (Darij Grinberg) Bài tốn Cho số khơng âm a,b, c thỏa mãn a2 + bˆ + c2 — Chứng minh 12+ 9aöbe 7(ab + be + ca) (Vasile Cirtoaje) Bai toan Cho số dương a,b,c tha man abc = Ching minh rang 1 d2 a1 T1 0D bp+I < ca (Vii Dinh Quy) Bài toán Cho số thực a, b,c thỏa mãn a2 -+} b2 + c2 — Chứng 2(a+b+c)— abe< 10 (Vietnam MO 2002, Tran Nam Dũng) Bai toan 10 Cho số đương a, b, c thỏa mãn abc — Chứng minh Tarbae > — bồ + bc + ca (Vasile Cirtoaje) (VO THANH VAN I5 3.2 Phương pháp đổi biến p,q,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Bài tốn 11 Cho cde sé duong a,b,c thoa man abc = Chitng minh rang 2(aŸ + bˆ + c2) + 12 > 3(a +b +c) +3(ab+4 bc ca) (Balkan MO) Bài toán 12 Cho số khơng âm a,b,e, khơng có số đồng thời U Chứng minh với k > 3, ta a+b + + b+c¢e¢ cta + k > atbt+e7™ 2Vk+1 vab+bc+ca (Pham Kim Hung) Bài tốn 13 Cho số khơng âm a, b, e thỏa mãn ab + be - ca 6abc — Chứng ø-Fb+ c+ 3abc > (Lê Trung Kiên, Võ Quốc Bá Cần) Bài tốn 14 Cho số khơng âm x,y,z, khơng có số động thời Tìm số a nhỏ đề bat đăng thức sau (HH) =.= 3 „ + yy t+ Det) (Ivan Borsenco, Irurie Boreico) Bài toán l5 Cho số đương a, b, c thỏa mãn abc = Ching minh rang atbte ` — 1o/ 03 + b3 + cỷ : Bài toán 16 Cho số không âm a, b,e thỏa mãn a + b + c — Chứng minh + a+b b+c + ct+a + 9b „ Z1 œbc > —— — D4 Bai toan 17 Cho a,b,c € [1, 2] Chứng a*(b+c)+b*(e+a)+c?(at+6b) < Tabe Bài tốn 1§ Cho số khơng âm a, b,e thỏa mãn a + b + c = Chitng minh rang 5-ab l+e + 5-—be 5-ca l+a 1+6 > ab+be+ ca (Vasile Cirtoaje) CHUC CAC BAN THANH CONG!!! (VO THANH VAN lồ porns “z iy, Gh PegC44 Om LILLE nthe “adh ing $Ỷ UEEE, g5 ‘ : pod, 2z é S3 la ”ựzt & 212 CLE“ wo, : “espe %, £ ene a iin, %2 ‘ens A at y2 we, 12 e 224 #⁄ herent xá” ‘candi #rss : Ỳ - ts de om„⁄ #12994 ? % “gu a) ‘hat As ie LLL ALLE 4 "Me Tel yon 2% genres “ened “ướt Ki ⁄244674 cl ‘ent ~“na % fre, Nà LILLIEAg £22222% “ a : “t2 # 1021024, he # # 2222 “9 Xu„Z LUO: g5 “sheeted inne “t2 wns? “ on ... Cirtoaje) LờI GIẢI Chuyên đổi bất đăng thức sau 108 — 48g + 13pr — 3r? > © 4(9 — 4g + 3) +r( 1—zr)>0 Ta thấy bất đẳng thức b + = đc va theo bat dang thức Schur < (**) =1 3r > => 3r+ 9— 4q > Vậy bất. .. dụng phương pháp đổi biến p, g, r, ta chuyên bất đẳng thức dạng sau (pˆ + g)Ÿ — 4p(pq? ?r) | (pq — r) Ÿ | R1 Biến đổi tương đương, r? ?t gọn, ta cần chứng minh ApÊq — 17p ”4” + 1q” + 34pgr — 9r? >... p,q ,r rât tự nhiên Biến đổi bất đăng thức cần chứng minh chuyên dạng p, g, r? ?? ta có 8(243 — 18p + 3r) < 3(729 — 81q + 2 7r — r? ) (VO THANH VAN 3.2 Phương pháp đổi biến p,q ,r 3_ CÁC VÍ DỤ MINH
