tài liệu cung cấp cho học sinh lớp 8 ;lớp 9 ,giúp hs biêt cách giải bài toán tốt hơn và có phương pháp phù hợp ....................................................................................................................................................................................................................... Xem nội dung đầy đủ tại: http:123doc.orgdocument3596351chuyendegiaibaitoanbangcachlapphuongtrinhhephuongtrinh.htm
Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Bài 1: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: b) (a + b + c)(a2 + b2 + c ) ≥ 9abc a) (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc Bài 2: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (1 + a )(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + abc ) b) bc ca ab + + ≥ a+b+c a b c Bài 3: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ≥ 6abc b) ab bc ca a+b+c + + ≤ a+b b+c c+a Bài 4: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 1 1 b) (a3 + b3 + c3 ) + + ≥ (a + b + c)2 a b c a b c + + ≥ b+c c+a a+b Bài 5: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 3(a3 + b3 + c3 ) ≥ (a + b + c)(a + b + c ) Bài 6: [ĐVH] Cho a, b > Chứng minh b) 9(a3 + b3 + c3 ) ≥ (a + b + c)3 1 + ≥ (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b a+b a) 1 1 + + ≥ 2 + + ; với a, b, c > a b c a+b b+c c+a b) 1 1 1 + + ≥ 2 + + ; với a, b, c > a+b b+c c+a 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Bài 7: [ĐVH] Chứng minh BĐT sau: a) Cho x, y, z > thoả x + y + z = 12 Chứng minh: xy yz xz + + ≤ x + y y + 4z 4z + x b) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ 2 + + p −a p −b p −c a b c Bài 8: [ĐVH] Cho a, b, c > Chứng minh 1 + + ≥ (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b c a+b+c 1 a) (a + b + c ) + + ≥ (a + b + c ) a+b b+c c+a b) Cho x, y, z > thoả x + y + z = Tìm GTLN biểu thức: P = x y z + + x +1 y +1 z +1 Bài 9: [ĐVH] Chứng minh BĐT sau: a) Cho a, b, c > thoả a + b + c ≤ Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Tìm GTNN biểu thức P = a + 2bc + b + 2ac + c + 2ab b) Cho a, b, c > thoả a + b + c = Chứng minh Facebook: LyHung95 a +b +c 2 + 1 + + ≥ 30 ab bc ca Bài 10: [ĐVH] Cho số thực dương a b thỏa mãn a + b = Chứng minh a 3a ( a + 2b ) + b 3b ( b + 2a ) ≤ Bài 11: [ĐVH] Cho a; b ≥ : a + b = Chứng minh ab ( a + b ) ≤ Bài 12: [ĐVH] Cho ba số thực a ≥ c; b ≥ c; c > Chứng minh c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab ( ) Bài 13: [ĐVH] Cho hai số thực dương x y thỏa mãn x + y ≤ Chứng minh x + y + ≥5 xy Bài 14: [ĐVH] Cho ba số thực dương x; y; z thỏa mãn x3 + y + z = Chứng minh x2 1− x + y2 1− y z2 + 1− z >2 Bài 15: [ĐVH] Cho ba số thực dương x; y; z thỏa mãn xyz = 16 Chứng minh ( x + z )( x + y ) ≥ x+ y+ z Bài 16: [ĐVH] Cho ba số thực dương a; b; c > cho a + b + c = Chứng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca Bài 17: [ĐVH] Cho ba số thực dương a; b; c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 17 a + b + c abc + a+b+c abc LỜI GIẢI BÀI TẬP Bài 1: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: b) (a + b + c)(a2 + b2 + c ) ≥ 9abc a) (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có (a + b)(b + c)(c + a ) ≥ ab bc ca = 8abc Dấu đẳng thức xảy ba số b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có (a + b + c)(a + b + c ) ≥ 3 abc a 2b c = 9abc Dấu đẳng thức xảy ba số Bài 2: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (1 + a )(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + abc ) b) bc ca ab + + ≥ a+b+c a b c Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + abc ) = + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ + 33 abc + a 2b2c + abc = (1 + abc ) 3 Dấu đẳng thức xảy ba số b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có bc ca ab bc ca ca ab bc ab + + = + + + + + a b c a b b c a c bc ca ca ab bc ab ≥ 2 +2 +2 = a+b+c 2 a b b c a c Dấu đẳng thức xảy ba số Bài 3: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ≥ 6abc b) ab bc ca a+b+c + + ≤ a+b b+c c+a Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) = a 2b + b 2c + c a + a + b + c ≥ a 6b6b6 = 6abc Dấu đẳng thức xảy ba số b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ab bc ca ab bc ca + + ≤ + + a + b b + c c + a ab bc ca a+b b+c c+a + + ab + bc + ca 2 = a+b+c = ≤ 2 Dấu đẳng thức xảy ba số Bài 4: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 1 1 b) (a3 + b3 + c3 ) + + ≥ (a + b + c)2 a b c a b c + + ≥ b+c c+a a+b Lời giải: a) Biến đổi tương đương a b c a b c + + ≥ ⇔ +1+ +1+ +1 ≥ b+c c+a a+b b+c c+a a+b a+b+c a+b+c a+b+c ⇔ + + ≥ b+c c+a a+b 1 ⇔ ( 2a + 2b + 2c ) + + ≥9 a+b b+c c+a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2a + 2b + 2c = a + b + b + c + c + a ≥ 3 ( a + b )( b + c )( c + a ) 1 + + ≥ a + b b + c c + a ( a + b )( b + c )( c + a ) 1 Nhân vế ta có ( 2a + 2b + 2c ) + + ≥ , bất đẳng thức cuối a+b b+c c+a Dấu đẳng thức xảy ba số b) Biến đổi tương đương 1 1 1 1 1 1 1 1 ( a + b3 + c ) + + ≥ ( a + b + c ) ⇔ a + b + c + a + + b3 + + c + a b c b c a c a b 3 3 3 a b a c b c ≥ a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac ⇔ + + + + + ≥ 2ab + 2bc + 2ca b a c a c b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a b3 a c b3 c a b3 a c3 b3 c + + + + + ≥2 +2 +2 = 2ab + 2bc + 2ca b a c a c b b a c a c b Bất đẳng thức cuối Dấu xảy ba số Bài 5: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 3(a3 + b3 + c3 ) ≥ (a + b + c)(a + b + c ) b) 9(a3 + b3 + c3 ) ≥ (a + b + c)3 Hướng dẫn giải: a) BĐT ⇔ 2(a3 + b3 + c3 ) ≥ ( a2 b + b2 a ) + ( b2 c + bc2 ) + ( c a + ca2 ) Chú ý: a3 + b3 ≥ ab(a + b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm b) Áp dụng b) ta có: 9(a3 + b3 + c3 ) ≥ 3(a + b + c)(a2 + b2 + c ) Dễ chứng minh được: 3(a2 + b2 + c2 ) ≥ (a + b + c)2 ⇒ đpcm Bài 6: [ĐVH] Cho a, b > Chứng minh 1 + ≥ (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b a+b a) 1 1 + + ≥ 2 + + ; với a, b, c > a b c a+b b+c c+a b) 1 1 1 + + ≥ 2 + + ; với a, b, c > a+b b+c c+a 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Lời giải: 1 1 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có ( a + b ) + ≥ ab =4 ab a b Do a, b > ⇒ 1 + ≥ Dấu " = " xảy ⇔ a = b Vậy (1) chứng minh a b a+b a) Áp dụng (1) với a, b, c > ta có Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 1 1 + ≥ ; + ≥ ; + ≥ a b a+b b c b+c c a c+a ⇒ 2 4 1 1 + + ≥ + + ⇒ + + ≥ 2 + + a b c a+b b+c c+a a b c a+b b+c c+a BĐT chứng minh, dấu " = " xảy ⇔ a = b = c b) Áp dụng (1) với a, b, c > ta có Tương tự 1 4 + ≥ = a + b b + c ( a + b ) + ( b + c ) a + 2b + c 1 1 + ≥ ; + ≥ b + c c + a a + b + 2c c + a a + b a + b + c ⇒ 2 4 + + ≥ + + a + b b + c c + a 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c ⇒ 1 1 1 + + ≥ 2 + + a+b b+c c+a 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c BĐT chứng minh, dấu " = " xảy ⇔ a = b = c Bài 7: [ĐVH] Chứng minh BĐT sau: a) Cho x, y, z > thoả x + y + z = 12 Chứng minh: xy yz xz + + ≤ x + y y + 4z 4z + x b) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ 2 + + p −a p −b p −c a b c Lời giải: a) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có x + y ≥ x.2 y ⇒ ( x + y ) ( x + 2y) ≥ xy ⇒ xy ≤ y + z ≥ 2 y.4 z ⇒ ( y + z ) , dấu " = " xảy ⇔ x = y ( y + 4z ) ≥ 32 yz ⇒ yz ≤ 4 z + x ≥ z.x ⇒ ( z + x ) ≥ 16 zx ⇒ zx ≤ ( x + 2y) , dấu " = " xảy ⇔ y = z ( y + 4z ) 2 ( z + x ) , dấu " = " xảy ⇒P= xy yz xz + + ≤ x + y y + 4z 4z + x ⇒P≤ ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x ) = x + y + z = 12 = (4z + x) ⇔ z = x 4 + + x + 2y y + 4z 4z + x 2 x = x = y = 4z BĐT chứng minh, dấu " = " xảy ⇔ ⇔ y = x + y + z = 12 z = b) Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác p nửa chu vi ta có Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG p−a = Facebook: LyHung95 a+b+c b+c−a a+b+c a +c−b −a = > 0; p − b = −b = > 2 2 Khi áp dụng BĐT (1) ta có 1 4 4 + ≥ = = = p − a p − b ( p − a) + ( p − b) p − a − b a + b + c − a − b c 1 1 + ≥ ; + ≥ p −b p−c a p−c p−a a Tương tự ⇒ 2 4 1 1 1 + + ≥ + + ⇒ + + ≥ + + p −a p −b p −c a b c p −a p −b p−c a b c BĐT chứng minh, dấu " = " xảy ⇔ a = b = c ⇔ ∆ABC Bài 8: [ĐVH] Cho a, b, c > Chứng minh 1 + + ≥ (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b c a+b+c 1 a) (a + b + c ) + + ≥ (a + b + c ) a+b b+c c+a b) Cho x, y, z > thoả x + y + z = Tìm GTLN biểu thức: P = x y z + + x +1 y +1 z +1 Lời giải: 1 1 Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có ( a + b + c ) + + ≥ 3 abc 3 = abc a b c 1 + + ≥ Dấu " = " xảy ⇔ a = b = c a b c a+b+c Do a, b, c > ⇒ Như BĐT (1) chứng minh a) Áp dụng (1) với a, b, c > ta có (a 1 9 2 + b2 + c2 ) + + = ≥ ( a + b + c ) ( a + b) + (b + c) + (c + a ) ( a + b + c) a+b b+c c+a Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có (1 +1 +1 2 )( a +b +c 2 ) ≥ (a + b + c) ⇒ a +b +c 2 (a + b + c) ≥ 1 (a + b + c) ⇒ (a + b + c ) + + = ( a + b + c) ≥ (a + b + c) a+b b+c c+a 2 2 BĐT chứng minh, dấu " = " xảy ⇔ a = b = c b) Cho x, y, z > thoả x + y + z = Tìm GTLN biểu thức: P = Có P = x y z + + x +1 y +1 z +1 x y z 1 1 + + = 1− +1− +1− = 3− + + x +1 y +1 z +1 x +1 y +1 z +1 x +1 y +1 z +1 Áp dụng (1) với x, y, z > ta có Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 9 9 + + ≥ = = = x + y + z + ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) x + y + z + + 1 9 ⇒ − + + ≤ ⇒ P ≤ − = Dấu " = " xảy ⇔ x = y = z = 4 x +1 y +1 z +1 Vậy Pmax = đạt x = y = z = Bài 9: [ĐVH] Chứng minh BĐT sau: a) Cho a, b, c > thoả a + b + c ≤ Tìm GTNN biểu thức P = a + 2bc + b + 2ac + c + 2ab b) Cho a, b, c > thoả a + b + c = Chứng minh a +b +c 2 + 1 + + ≥ 30 ab bc ca Lời giải: a) Áp dụng BĐT (1) với a, b, c > ta có P≥ 9 = ( a + 2bc ) + ( b + 2ca ) + ( c + 2ab ) ( a + b + c )2 2 Bài < a + b + c ≤ ⇒ P ≥ = Dấu " = " xảy ⇔ a = b = c = Vậy Pmin = đạt a = b = c = b) Áp dụng BĐT (1) với a, b, c > ta có Với a + b + c = có 1 + + ≥ ab bc ca ab + bc + ca 1 = = 2 a +b +c ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) − ( ab + bc + ca ) Từ (1) (2) ta (1) (2) 1 1 + + + ≥ + 2 a + b + c ab bc ca − ( ab + bc + ca ) ab + bc + ca Lại có ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ ⇔ ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) 2 ⇔ a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇔ ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) 1 Bài a + b + c = ⇒ ( ab + bc + ca ) ≤ ⇒ ab + bc + ca ≤ Dấu " = " xảy ⇔ a = b = c = 3 1 Đặt ab + bc + ca = t ⇒ t ∈ 0; P ≥ + − 2t t 3 Ta chứng minh 1 1 + ≥ 30 (*), ∀t ∈ 0; Thật vậy, với t ∈ 0; có − 2t t 3 3 (*) ⇔ t + (1 − 2t ) ≥ 30t (1 − 2t ) ⇔ 60t − 47t + ≥ ⇔ ( 3t − 1)( 20t − ) ≥ Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia!