bất đẳng thức côsi và phương pháp giải

tài liệu cung cấp cho học sinh lớp 8 ;lớp 9 ,giúp hs biêt cách giải bài toán tốt hơn và có phương pháp phù hợp ....................................................................................................................................................................................................................... Xem nội dung đầy đủ tại: http:123doc.orgdocument3596351chuyendegiaibaitoanbangcachlapphuongtrinhhephuongtrinh.htm

Trang 1

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!

Bài 1: [ĐVH] Cho các số thực , ,a b c>0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a( +b b)( +c c)( + ≥a) 8abc b) a( + +b c a)( 2+b2+c2) 9≥ abc

(1+a)(1+b)(1+ ≥ +c) 1 abc b) bc+ca+ab ≥ + +a b c

a) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)≥6abc b)

2

+ +

2

3 3 3 1 1 1 2

a) 3(a3+ +b3 c3)≥ + +(a b c a)( 2+b2+c2) b) 9(a3+b3+c3) (≥ + +a b c)3

Bài 6: [ĐVH] Cho a, b > 0 Chứng minh 1+ ≥1 4

+

a b a b (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a b c a b b c c a ; với a, b, c > 0

Bài 7: [ĐVH] Chứng minh các BĐT sau:

a) Cho x, y, z > 0 thoả x+2y+4z=12 Chứng minh: 2 8 4 6

b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi

Bài 8: [ĐVH] Cho a, b, c > 0 Chứng minh 1+ + ≥1 1 9

+ +

a b c a b c (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

2

b) Cho x, y, z > 0 thoả x+ + =y z 1 Tìm GTLN của biểu thức:

P

a) Cho a, b, c > 0 thoả a+ + ≤b c 1

02 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI – P1

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

Trang 2

Tìm GTNN của biểu thức

P

b) Cho a, b, c > 0 thoả a+ + =b c 1 Chứng minh rằng

2 2 2

30

Bài 10: [ĐVH] Cho 2 số thực dương a và b thỏa mãn a2+b2 =2

Chứng minh a 3a a( +2b)+b 3b b( +2a)≤6

Bài 11: [ĐVH] Cho a b; ≥0 : a+ b=1 Chứng minh rằng ( )2 1

4

Bài 12: [ĐVH] Cho ba số thực a≥c b; ≥c c; >0 Chứng minh rằng c a c( − +) c b c( − ≤) ab

Bài 13: [ĐVH] Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn x+ ≤y 1 Chứng minh ( 4 4) 1

8 x +y + ≥5

Bài 14: [ĐVH] Cho ba số thực dương ; ;x y zthỏa mãn x3+y3+z3 =1

Chứng minh

Bài 15: [ĐVH] Cho ba số thực dương ; ;x y z thỏa mãn xyz 16

= + + Chứng minh (x+z)(x+y)≥8

Bài 16: [ĐVH] Cho ba số thực dương ; ;a b c>0sao cho a b c+ + =3

Chứng minh rằng a+ b+ c≥ab bc+ +ca

Bài 17: [ĐVH] Cho ba số thực dương ; ;a b c

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

17 6

P

abc

+ +

LỜI GIẢI BÀI TẬP

a) a( +b b)( +c c)( + ≥a) 8abc b) a( + +b c a)( 2+b2+c2) 9≥ abc

Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có (a b b c c+ )( + )( + ≥a) 2 ab.2 bc.2 ca =8abc Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có (a b c a+ + )( 2+b2+c2)≥33abc.33a b c2 2 2 =9abc

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau

(1+a)(1+b)(1+ ≥ +c) 1 abc b) bc+ca+ab ≥ + +a b c

Lời giải:

Trang 3

3 3

3

3 2 2 2

(1 )(1 )(1 ) 1 1

a b c abc a b c ab bc ca abc abc a b c abc abc

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

1 2 1

2

bc ca ab bc ca ca ab bc ab

bc ca ca ab bc ab

a b c

a b b c a c

a) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)≥6abc b)

2

+ +

Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

2

3 3 3 1 1 1 2

Lời giải:

a) Biến đổi tương đương

9 2

b c c a a b b c c a a b

a b c a b c a b c

b c c a a b

a b c

a b b c c a

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Trang 4

( )( )( )

3

b) Biến đổi tương đương

3 3 3 3 3 3

2 2 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

a b a c b c a b a c b c

ab bc ca

b + a + c + a + c + b ≥ b a + c a + c b = + + Bất đẳng thức cuối cùng đúng Dấu bằng xảy ra khi ba số bằng nhau

a) 3(a3+ +b3 c3)≥ + +(a b c a)( 2+b2+c2) b) 9(a3+b3+c3) (≥ + +a b c)3

Hướng dẫn giải:

a) BĐT ⇔ 2(a3+b3+c3)≥(a b2 +b a2 ) (+ b c2 +bc2) (+ c a2 +ca2)

Chú ý: a3+b3≥ab a( +b) Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm

b) Áp dụng b) ta có: 9(a3+b3+c3) 3(≥ a+ +b c a)( 2+b2+c2)

Dễ chứng minh được: 3(a2+b2+c2) (≥ + +a b c)2 ⇒ đpcm

Bài 6: [ĐVH] Cho a, b > 0 Chứng minh 1+ ≥1 4

+

a b a b (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a b c a b b c c a ; với a, b, c > 0

Lời giải:

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có ( ) 1 1 1

Do a b, 0 1 1 4

> ⇒ + ≥

+ Dấu " "= xảy ra ⇔ =a b. Vậy (1) được chứng minh

a) Áp dụng (1) với , , a b c>0 ta có

Trang 5

BĐT được chứng minh, dấu " "= xảy ra ⇔ = =a b c

b) Áp dụng (1) với , , a b c>0 ta có

2

a b+b c≥ a b b c =a b c

2

a) Cho x, y, z > 0 thoả x+2y+4z=12 Chứng minh: 2 8 4 6

b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có

4

+ ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≤ dấu " "= xảy ra ⇔ =x 2 y

4

+ ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≤ dấu " "= xảy ra ⇔4z=x

P

6

BĐT được chứng minh, dấu " "= xảy ra

4

2 4

2

2 4 12

1

x

x y z

y

x y z

z

=



=



b) Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi ta có

Trang 6

0; 0.

Khi đó áp dụng BĐT (1) trong bài 6 ta có

2

p a+ p b≥ p a p b = p a b=a b c a b = c

BĐT được chứng minh, dấu " "= xảy ra ⇔ = = ⇔ ∆a b c ABC đều

Bài 8: [ĐVH] Cho a, b, c > 0 Chứng minh 1+ + ≥1 1 9

+ +

a b c a b c (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

2

P

Lời giải:

Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có ( ) 1 1 1 3 3 1

> ⇒ + + ≥

+ + Dấu " "= xảy ra ⇔ = =a b c.

Như vậy BĐT (1) được chứng minh

a) Áp dụng (1) với , , a b c>0 ta có

2

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có

3

a b c

+ +

P

Áp dụng (1) với , , x y z>0 ta có

Trang 7

x + y + z ≥ x y z = x y z = =

3

⇔ = = =

Vậy max 3

4

3

x= = =y z

a) Cho a, b, c > 0 thoả a+ + ≤b c 1

Tìm GTNN của biểu thức

P

b) Cho a, b, c > 0 thoả a+ + =b c 1 Chứng minh rằng

2 2 2

30

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT (1) trong bài 8 với , , a b c>0 ta có

P

1

< + + ≤ ⇒ ≥ = Dấu " "= xảy ra 1

3

⇔ = = =

Vậy Pmin =9 đạt được khi 1

3

a= = =b c

b) Áp dụng BĐT (1) trong bài 8 với , , a b c>0 ta có 1 1 1 9

Với a+ + =b c 1 có

1 2 2

Từ (1) và (2) ta được

1 2

a b c +ab+bc+ca≥ ab bc ca +ab bc ca

a b− + −b c + −c a ≥ ⇔ a + +b c ≥ ab bc ca+ +

3

⇔ = = =

3

  và

1 2

P

Ta sẽ chứng minh 1 9 30 (*), 0;1

 

1 0;

3

  có

(*)⇔ +t 9 1 2− t ≥30 1 2t − t ⇔60t −47t+ ≥ ⇔9 0 3t−1 20t− ≥9 0

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	136,08 KB