Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 11 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
11
Dung lượng
316,5 KB
Nội dung
Bấtđẳngthứctamgiác Trong toán học, bấtđẳngthứctamgiác là một định lý phát biểu rằng trong một tamgiác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu, của hai cạnh còn lại. Bấtđẳngthức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không gian Euclide, các không gian L p (p≥1) và mọi không gian tích trong. Bấtđẳngthức cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán học và giải tích hàm, chẳng hạn trong các không gian vectơ định chuẩn và các không gian metric . Không gian vectơ định chuẩn Trong không gian vectơ định chuẩn V, bấtđẳngthứctamgiác được phát biểu như sau: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y thuộc V tức là, chuẩn của tổng hai vectơ không thể lớn hơn tổng chuẩn của hai vectơ đó. Đường thẳng thực là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn là giá trị tuyệt đối, vì thế có thể phát biểu bấtđẳngthứctamgiác cho hai số thựcbất kỳ x và y như sau: Trong giải tích toán học, bấtđẳngthứctamgiác thường được dùng để ước lượng chặn trên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị của từng số trong hai số đó. Cũng có một ước lượng chặn dưới mà có thể tìm được bằng cách dùng bấtđẳngthứctamgiác đảo chiều, mà phát biểu rằng với bất kỳ hai số thực x và y: [Không gian metric Trong không gian metric M với metric là d, bấtđẳngthứctamgiác có dạng d(x, z) ≤ d(x,y) + d(y,z) với mọi x, y, z thuộc M tức là, khoảng cách từ x đến z không thể lớn hơn tổng các khoảng cách từ x đến y với khoảng cách từ y đến z. Hệ quả Người ta thường sử dụng một hệ quả sau đây của bấtđẳngthứctam giác, thay vì cho cận trên hệ quả này cho cận dưới: | ||x|| - ||y|| | ≤ ||x - y|| hay phát biểu theo metric | d(x, y) - d(x, z) | ≤ d(y, z) điều này cho thấy chuẩn ||–|| cũng như hàm khoảng cách d(x, –) là 1-Lipschitz và do đó là hàm liên tục. Sự đảo chiều trong không gian Minkowski Trong không gian Minkowski thông thường hay trong các không gian Minkowski mở rộng với số chiều tùy ý, giả sử các vectơ không và các vectơ giống-thời-gian có cùng chiều thời gian, bấtđẳngthứctamgiác bị đảo chiều: ||x + y|| ≥ ||x|| + ||y|| với mọi x, y thuộc V sao cho ||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 và t x t y ≥ 0 Bấtđẳngthức Cauchy Bài này viết về bấtđẳngthức trung bình cộng và trung bình nhân. Để xem bài viết về bấtđẳngthức trong tích vectơ, xem Bấtđẳngthức Cauchy-Schwarz. Trong toán học, bấtđẳngthức Cauchy, bấtđẳng so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau. • Với 2 số: Đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi a = b • Với n số: Đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi Tổng quát hóa Trung bình có hệ số Cho n số x 1 , x 2 , ., x n ≥ 0 và các hệ số α 1 , α 2 , ., α n > 0. Đặt . Bấtđẳngthức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có hệ số, như sau: Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi Với các loại trung bình khác Trung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng Đẳngthức khi và chỉ khi Ứng dụng trong lý thuyết toán batdangthuc nay rat phu hop voi viec danh gia tu trung binh cong sang tb nhan Ứng dụng trong các lĩnh vực khác Việc sử dụng bấtđẳngthức giúp chúng ta rất nhiều trong việc giải các phương trình vô tỉ. Bấtđẳngthức Bunyakovsky Bấtđẳngthức Bunhia hay còn gọi là Bấtđẳngthức Bunyakovsky được Victor Yakovlevich Bunyakovsky đưa ra để chứng minh các bấtđẳngthức trong toán học. Một số dạng cơ bản Bấtđẳngthức Bunyakovsky dạng thông thường • (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² • Bấtđẳngthức này dễ dàng chứng minh bằng cách khai triển, rút gọn và biến đổi thành: (ad - bc)² ≥ 0 • Dấu " = " xảy ra khi Bấtđẳngthức Bunyakovsky cho 2 bộ số • Với hai bộ số (a ;a ; .;a ) 1 2 n và (b ;b ; .;b ) 1 2 n ta có : • Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi với quy ước nếu một số b i nào đó (i = 1, 2, 3, ., n) bằng 0 thì a i tương ứng bằng 0. Bấtđẳngthức Bernoulli Trong toán học, bấtđẳngthức Bernoulli là một bấtđẳngthức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x. Bấtđẳngthức này được phát biểu như sau: với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1. Nếu số mũ r là chẵn, thì bấtđẳngthức này đúng với mọi số thực x. Bấtđẳngthức này trở thành bấtđẳngthức nghiêm ngặt như sau: với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0. Bấtđẳngthức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bấtđẳngthức khác. Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học: Chứng minh: Khi r=0, bấtđẳngthức trở thành tức là mà rõ ràng đúng. Bây giờ giả sử bấtđẳngthức đúng với r=k: Cần chứng minh: Thật vậy, (vì theo giả thiết ) (vì ) => Bấtđẳngthức đúng với r=k+1. Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bấtđẳngthức đúng với mọi Số mũ r có thể tổng quát hoá thành số thựcbất kỳ như sau: nếu x > −1, thì với r ≤ 0 or r ≥ 1, và với 0 ≤ r ≤ 1. Có thể chứng minh bấtđẳngthức tổng quát hoá nói trên bằng cách so sánh các đạo hàm. Một lần nữa, bấtđẳngthức này trở thành bấtđẳngthức nghiêm ngặt nếu x ≥ -1 và 1 ≤ r thuộc tập số tự nhiên. Các bấtđẳngthức liên quan Bấtđẳngthức dưới đây ước lượng lũy thừa bậc r của 1 + x theo chiều khác. Với số thực x bất kỳ, r > 0, chúng ta có với e = 2.718 Bấtđẳngthức này có thể chứng minh bằng cách dùng bấtđẳngthức (1 + 1/k) k < e. Bấtđẳngthức cộng Chebyshev Trong toán học, Bấtđẳngthức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho và thì Tương tự, nếu và thì Chứng minh Bấtđẳngthức cộng Chebyshev được chứng minh bằng cách dùng bấtđẳngthức hoán vị. Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau và Vậy thì, theo bấtđẳngthức hoán vị, ta có là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên. Cộng vế theo vế, ta có: chia cả hai vế cho n 2 , ta nhận được: (điều phải chứng minh) Bấtđẳngthức Holder Trong giải tích toán học, bấtđẳngthức Holder, đặt theo tên của nhà toán học Đức Otto Hölder, là một bấtđẳngthức cơ bản liên quan đến các không gian L p : giả sử S là một không gian đo, với 1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa 1/p + 1/q = 1, đồng thời f thuộc L p (S) và g thuộc L q (S). Khi đó fg thuộc L 1 (S) và Các số p và q nói trên được gọi là liên hợp Holder của lẫn nhau. Bấtđẳngthức Holder được dùng để chứng minh bấtđẳngthứctamgiác tổng quát trong không gian L p , bấtđẳngthức Minkowski và cũng dùng để chứng minh L p là đối ngẫu với L q . Các trường hợp đặc biệt đáng chú ý • Với p = q = 2 bấtđẳngthức Holder trở thành bấtđẳngthức Cauchy-Schwarz. • Trong trường hợp không gian Euclide, khi tập S là {1, .,n} với một độ đo kiểu đếm, chúng ta có kết quả là với mọi x, y trong R n (C n ) • Nếu S=N với một độ đo kiểu đếm, khi đó chúng ta có được bấtđẳngthức Holder cho các dãy từ không gian lp . • Trong trường hợp không gian của các hàm giá trị phức khả tích, chúng ta có • Trong trường hợp không gian xác suất , là các ký hiệu để chỉ không gian của các biến ngẫu nhiên với momentphữu hạn, , trong đó là ký hiệu chỉ giá trị kỳ vọng. Bấtđẳngthức Holder trở thành . Trường hợp tổng quát Có thể chứng minh trường hợp tổng quát sau bằng phương pháp quy nạp Giả sử sao cho Giả sử . Khi đó ta có và Bấtđẳngthức Jensen Với mọi hàm lồi f trên và mọi ta có . [...]... của Lp(S) Khi đó f + g cũng thuộc Lp(S), và chúng ta có dấu đẳngthức xảy ra chỉ khi f và g phụ thuộc tuyến tính Bất đẳngthức Minkowski chính là bất đẳngthứctamgiác trong Lp(S) Có thể chứng minh nó bằng cách dùng bất đẳngthức Holder Cũng như bất đẳngthức Holder, có thể đưa bất đẳngthức Minkowski về các trường hợp đặc biệt cho các dãy và các vector bẳng cách dùng khái niệm độ đo kiểu đếm được:... có f''(x)< 0 trên Bấtđẳngthức Jensen là trường hợp đặc biệt của bấtđẳngthức Karamata Bấtđẳngthức Minkowski Trong giải tích toán học, bấtđẳngthức Minkowski dẫn đến kết luận rằng các không gian Lp là các không gian vector định chuẩn Giả sử S là một không gian đo, giả sử 1 ≤ p ≤ ∞, đồng thời f và g là các phần tử của Lp(S) Khi đó f + g cũng thuộc Lp(S), và chúng ta có dấu đẳngthức xảy ra chỉ khi . Bất đẳng thức tam giác Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác chiều dài của một. dụng bất đẳng thức giúp chúng ta rất nhiều trong việc giải các phương trình vô tỉ. Bất đẳng thức Bunyakovsky Bất đẳng thức Bunhia hay còn gọi là Bất đẳng thức