Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) D NG BDT- GTLN - NN NG C P B C TÀI LI U BÀI GI NG Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng D ng đ ng c p b c thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Cho a , b, c, d s th c d M có th n m v ng ki n th c ph n này, b n ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a3 b3 c3 d3 a 3bcd b3 3cda c3 3dab d 3abc Gi i: S d ng B t đ ng th c AM – GM d ng : 3xyz x3 y3 z3 , ta đ c: a3 b3 c3 d3 a b3 c d 1 a b3 c d b3 c d a c d a b d a b c a b c d D u “=” x y a b c V y M đ t giá tr nh nh t b ng a b c M Bài Cho a , b, c s th c d ng Ch ng minh r ng: 1 1 3 3 a b abc b c abc c a abc abc Gi i: 3 Ta có (a b) (a b) a b ab(a b) Suy 1 c a b abc a b(a b) abc ab(a b c) abc(a b c) a b b c abc abc(a b c) c a abc abc(a b c) Khi c ng v b t đ ng th c ta đ c: 1 a bc 3 3 a b abc b c abc c a abc abc(a b c) abc D u “=” x y a b c Bài Cho a , b, c s th c d ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : T ng t ta đ c: P 8abc a b c 2 (a b)(b c)(c a ) b c a Gi i: x y z Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng xyz , ta đ c: 8abc 27 216 3 (a b)(b c)(c a ) a b c b c a a b c 1 1 3 b c a c a b b c a Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN a b c a b c 216 3 Khi P t f (t ) b c a b c a t 216 Xét hàm s f (t ) t v i t t t t 646 t 1296 t v i t t 5 t 2t t Suy f (t ) đ ng bi n v i t P f (t ) f (6) Ta có f '(t ) Khi a b c P V y giá tr nh nh t c a P Bài (D – 2005) Cho s th c d ng x, y, z th a mãn xyz Ch ng minh r ng: x3 y3 y3 z3 z3 x3 3 xy yz zx Gi i: 3 Áp d ng b t đ ng th c d ng a b c 3abc , ta đ c: x3 y3 3xy xy xy T y3 z3 yz ng t ta có: yz xy z3 x3 zx Áp d ng b t đ ng th c d ng a b c 3 abc , ta đ x3 y3 y3 z3 z3 x3 zx xy yz xy zx c: 3 33 yz zx 3 3 xy yz zx D u “=” x y x y z Bài Cho x, y, z s th c d ng th a mãn u ki n 1 1 x 1 y 1 z 1 2 1 1 x 2 y 2 z 2 Gi i: Áp d ng b t đ ng AM – GM d ng a b3 c3 3abc , ta đ c: 2 2 3 x 2 x ( x x 1) 3x 3 x Ch ng minh r ng: T ng t ta có Suy 1 z z 1 y y 1 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 3 x y z D u “=” x y 1 1 (h vô nghi m) 2 x 1 y 1 z 1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Suy đ ng th c không x y V y 1 1 (đpcm) x 2 y 2 z 2 Bài Cho x, y, z s th c d ng th a mãn x2 y2 z2 BDT- GTLN - NN Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P x y z xyz Gi i: a bc Áp d ng chu i b t đ ng th c AM – GM d ng abc ; a b c d abcd 3(a b2 c2 ) (a b c)2 ta đ P x y z c: 1 27 x y z x y z M xyz ( x y z)3 x y z 9 9 93 ( x y z) 4 M ( x y z) =N 3 ( x y z)3 ( x y z)3 ( x y z)3 ( x y z)8 ( x y z) N 4 36 4 36 4 36 4 ( x y z)2 3( x2 y2 z2 ) P Suy P D th y x y z V y giá tr nh nh t c a P b ng Nh n xét: Th c toán ta d đoán đ c m r i (giá tr c a a , b, c d u “=” x y 27 Nên ta nh n th y 3 3( x y z) x y z ( x y z) ( x y z)3 i u g i ý ta s d ng AM - GM cho s nh cách gi i Các b n s có đ c nhìn đ y đ h n v “K thu t ch n m r i” tìm hiêu h c ti p theo c a th y ra) x y z Bài Cho x, y, z s th c không âm th a mãn x y z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P 16 x3 y3 z3 ( x y z)3 Gi i: ( a b)3 t k a b c Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng a b , ta đ P 16 x y z ( x y z)3 3 Xét hàm s c: ( y z)3 (k x)3 3 16 x3 (1 t )3 x x 1 x 4 v i t 0;1 t 16 16 3 ( x y z) k k k 4 k 16 x3 f (t ) 16t Hocmai.vn – Ngôi tr (1 t )3 v i t 0;1 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Ta có f '(t ) 48t BDT- GTLN - NN 3(1 t )2 3(9t 1)(7t 1) ; f '(t ) t t 0;1 4 B ng bi n thiên T b ng bi n thiên, suy P f (t ) 16 D u “=” x y 81 y z x x 4x y z t x y z k V y P đ t giá tr nh nh t b ng 16 x y z 81 Bài Cho x, y, z s th c d ng th a mãn x y z xyz Ch ng minh r ng : x2 y2 z2 3xyz Gi i: Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng a b2 c x y z 2 ( a b c) (a b c)3 27abc , ta đ c: ( x y z)2 x y z xyz ( x y z)3 27 xyz 3( xyz) (do 9 x y z xyz ) Do x2 y2 z2 3xyz D u “=” x y x y z 11 12 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P 6(3xy xz yz) 6x y 4z 72 xyz Gi i: Bài Cho x, y, z s th c d ng th a mãn u ki n x y 3z a bc Phân tích P áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng abc , ta đ P (6 x 1)(3 y 1)(4 z 1) x y 3z 6 2 3 3 4 3 x y z 3 1= 12 x y 3z 12 3 4 3 c: 19 11 19 x y 3z 107 12 12 12 12 12 1 27 27 18 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN 1 107 107 Khi x , y , z P V y giá giá tr l n nh t c a P 12 36 18 18 Bài 10 Cho a , b, c, d , e, f s th c d ng có t ng b ng th a mãn ace bdf Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P abc bcd cde def efa fab Gi i: a bc Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng abc , ta đ P ace bdf abc bcd cde def efa fab ace bdf 108 c: a d bec f (a d )(b e)(c f ) 1 1 Suy P ace bdf 27 27 108 36 1 Khi a b c d e f P V y giá tr l n nh t c a P b ng 36 36 Bài 11 G i a , b, c đ dài ba c nh c a tam giác có chu vi b ng Ch ng minh r ng: 52 a b2 c 2abc 27 Gi i: a bc T gi thi t ta có n a chu vi p p a a; p b b; p c c s th c d ng a bc Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng abc , ta đ c: a b c ( a b c) (1 a )(1 b)(1 c) 3 27 28 ab bc ca abc (*) 27 (a b c ) M t khác: (a b c)2 a b c 2(ab bc ca ) ab bc ca 2 2 (a b c ) 28 abc Khi (*) 27 52 a b2 c 2abc (đpcm) 27 3 Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -