Cách sử dụng bất đẳng thức AM – GM dưới dạng đồng cấp bậc 3

Bài 1 Cho a b c d, , , là các s th c d ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

M

Gi i:

S d ng B t đ ng th c AM – GM d ng : 3 3 3

3xyzx y z , ta đ c:

3 3a 3 3 3 3b 3 3 3 3c 3 3 3 3d 3 3 a3 b3 c3 d3 1 M

  

D u “=” x y ra khi a b c 

V y M đ t giá tr nh nh t b ng 1 khi a b c 

Bài 2 Cho a b c, , là các s th c d ng Ch ng minh r ng:

3 13 3 31 3 13 1

Gi i:

Ta luôn có (ab) (2 a  b) 0 a3b3ab a( b)

Suy ra 3 3

c

a

b c abc abc a b c

1

b

c a abc abc a b c

Khi đó c ng các v b t đ ng th c trên ta đ c:

3 31 3 31 3 13 1

a b c

a b abc b c abc c a abc abc a b c abc

 

D u “=” x y ra khi a b c 

Bài 3 Cho a b c, , là các s th c d ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :

2 8

P

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng

3

3

xyz    

6 8

abc

a c

a

c

c

b

    

  





TÀI LI U BÀI GI NG Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng D ng đ ng c p b c 3 thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c

c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

t a b c 3 33 a b c 3 6

t

   

Xét hàm s f t( ) t 5 2163

t

   v i t 6

Ta có

4

f t

t

Suy ra f t( ) đ ng bi n v i  t 6  P f t( ) f(6)2

Khi a  thì b c P2 V y giá tr nh nh t c a P là 2

Bài 4 (D – 2005) Cho các s th c d ng x y z, , th a mãn xyz1 Ch ng minh r ng:

3 3

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c d ng 3 3 3

3

3 3

 

3 3

Áp d ng b t đ ng th c d ng 3

3

a  b c abc , ta đ c:

3

3 x

D u “=” x y ra khi x  y z 1

Bài 5 Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn đi u ki n 21 21 21 1

Ch ng minh r ng: 31 31 31 1

Gi i:

Áp d ng b t đ ng AM – GM d ng 3 3 3

3

a   b c abc, ta đ c:

31 32 3 32 22 2 21

x   x       x   x 

Suy ra 31 31 31 2 21 21 21 2 1 1

D u “=” x y ra khi

1

x y z

  







(h vô nghi m)

Suy ra đ ng th c không x y ra V y 31 31 31 1

Bài 6 Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn 2 2 2

1

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P x y z 1

xyz

   

Gi i:

Áp d ng chu i các b t đ ng th c AM – GM d ng

3

3

a b c

   ; a   b c d 44abcd

và 3(a2b2c2)(a b c)2ta đ c:

3

x y z

 



 



M

M

3 4

3 4

8

9

4 3 3

)

Suy ra P4 3 D th y 1

3

x  y z thì P 4 3

V y giá tr nh nh t c a P b ng 4 3

Nh n xét: Th c ra bài toán trên do ta d đoán đ c đi m r i (giá tr c a a b c, , khi d u “=” x y

3

i u đó g i ý ta s d ng AM - GM cho 4 s nh cách gi i trên Các b n s có đ c cái nhìn đ y

đ h n v “K thu t ch n đi m r i” khi tìm hiêu bài h c ti p theo c a th y

Bài 7. Cho x y z, , là các s th c không âm th a mãn x  y z 0

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

3 3 3

3

16

P

x y z



Gi i:

4

3

3 3

3

3

3 3

3

(

4

)

y z







k

 

Xét hàm s

3

3 (1 ) ( ) 16

4

t

f t  t  

v i t 0;1

Ta có

2

2 3(1 ) 3(9 1)(7 1) '( ) 48

; '( ) 0 1

9

f t   t do t 0;1

B ng bi n thiên

T b ng bi n thiên, suy ra ( ) 16

81

1 9

y z

x y z

t

x y z k





  



V y P đ t giá tr nh nh t b ng 16

81 khi 4x  y z 0

Bài 8 Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn x y z xyz  

Ch ng minh r ng : 2 2 2

3

x y z  xyz

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng 2 2 2 ( )2

3

và (a b c)327abc, ta đ c:

2 2 2

2

3





x  y z xyz)

3

x y z  xyz D u “=” x y ra khi x  y z 3

Bài 9 Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn đi u ki n 2 3 11

12

x y z Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P6(3xy4xz2yz) 6 x3y4z72xyz

Gi i:

Phân tích P và áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng

3

3

a b c

P  x y z   x   y   z 

3

3 19

12

27

3

11 19

107

12 12

Khi 2, 1 , 1

x y z thì 107

18

P V y giá giá tr l n nh t c a P là 107

18

Bài 10 Cho a b c d e f, , , , , là các s th c d ng có t ng b ng 1 th a mãn 1

108 ace bdf 

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c Pabc bcd cde def efa fab

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng

3

3

a b c

Pace bdf abc bcd cde def efa fab ace bdf 

3

3

3

ad b e c  f       

6

a     b c d e f thì 1

36

P V y giá tr l n nh t c a P b ng 1

36

Bài 11 G i a b c, , là đ dài ba c nh c a tam giác có chu vi b ng 2 Ch ng minh r ng:

52 2 2 2 2 2

27a b  c abc

Gi i:

T gi thi t ta có n a chu vi 1

2

và p a  1 a p b;   1 b p c;   1 c là các s th c

d ng

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng

3

3

a b c

a b c            

27

      (*)

M t khác:

2 2 2

2

abc

52 2 2 2 2 2

Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng Ngu n : Hocmai.vn

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N

 Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng

 Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c

 H c m i lúc, m i n i

 Ti t ki m th i gian đi l i

 Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI

 Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t

 Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên

 Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c

Là các khoá h c trang b toàn

b ki n th c c b n theo

ch ng trình sách giáo khoa

(l p 10, 11, 12) T p trung

vào m t s ki n th c tr ng

tâm c a kì thi THPT qu c gia

Là các khóa h c trang b toàn

di n ki n th c theo c u trúc c a

kì thi THPT qu c gia Phù h p

v i h c sinh c n ôn luy n bài

b n

Là các khóa h c t p trung vào

rèn ph ng pháp, luy n k

n ng tr c kì thi THPT qu c

gia cho các h c sinh đã tr i

qua quá trình ôn luy n t ng

th

Là nhóm các khóa h c t ng

ôn nh m t i u đi m s d a

trên h c l c t i th i đi m

tr c kì thi THPT qu c gia

1, 2 tháng