Cách sử dụng bất đẳng thức AM – GM dưới dạng cộng mẫu (dạng cơ bản)

Bài 1 Cho a b c, , là các s th c l n h n 1

4

 th a mãn: 1 1 1 2

a b c 

   Tìm giá tr nh nh t c a

4 1 4 1 4 1

P

Gi i

Áp d ng b t đ ng th c d ng 1 1 4

x y x y

 , ta có:

2

a  b c thì P 1 V y giá tr nh nh t c a P là 1

Bài 2 Cho a b c, , là các s th c d ng và 2 2 2

1

a b c  Ch ng minh r ng: 1 1 1  

2 3

a b c

Gi i

Áp d ng b t đ ng th c d ng 1 1 1 9

x  y z x y z

  , ta đ c:

a  b c a b c

 

t t    a b c 0

Áp d ng b t đ ng th c d ng 2 2 2 2

3(a b c )(a b c) hay a  b c 3(a2b2c2), ta đ c:

 2 2 2

t   a b c a  b c   t

a b c t f t

a  b c     t

V y hàm s ngh ch bi n trên 0; 3 f t  f 3 2 3, t 0; 3

Suy ra 1 1 1  

2 3

a b c

3

a   b c (đpcm)

ÁP ÁN BÀI T P T LUYÊN

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng D ng c ng m u thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia

k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 3. Cho x y, là các s th c d ng th a mãn đi u ki n 4

3

x y Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

3 1

3

P

 

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c d ng 1 1 1 1 16

a    b c d a b c d

   , ta đ c:

4

3

1

P

Khi 1, 1

3

x y thì P4 V y giá tr nh nh t c a P là 4

Bài 4 Cho x y z là các s th, , c d ng th a mãn x  y z 3 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

x y y z z x

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c d ng 1 1 1 9

a   b c a b c

  và

2

3

a b c

2(

2

xy yz zx

Khi x  y z 1 thì 9

2

P V y giá tr l n nh t c a P là 9

2

Bài 5 (A – 2005) Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn 1 1 1 4

x   Ch ng minh r ng : y z

1 1 1 1

2x y z x 2y zx y 2z

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c d ng 1 1 1 1

4

2 16

2x y z x 2y z x y 2z 16 x y z

4

x   y z

Bài 6. Cho x y, là các s th c d ng th a mãn đi u ki n x y 1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

1

Gi i:

Ta có ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) 1 1

( 1) 1 ( 1) 1 1

2

1 x 1 y x y

Áp d ng b t đ ng th c d ng 1 1 1 9

a   b c a b c

  , ta có:

P



3

x y thì 5

2

P  V y giá tr nh nh t c a P là 5

2

Bài 7. Cho a b c, , là các s th c d ng th a mãn đi u ki n 1 1 1 1

a   b c Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)

P

Gi i:

T gi thi t ta có ab bc ca  abc, suy ra:





P

a b c abc a b c

Áp d ng b t đ ng th c d ng (x y z) 1 1 1 9

a

a b

b c

c      

  

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng x  y z 33 xyz, ta đ c:

2

3 ( ) ( )

abcab bc ca   ab bc ca  abc  abc  abc abc

9 1 2.27 9 1 4

D u “=” x y ra khi a   b c 3

Bài 8. Cho a b c, , là các s th c d ng Ch ng minh r ng:

9 2 1 1 1 1 1 1

a b c a b b c c a a b c

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng c b n 1 1 1 9

x  y z x y z

  , ta đ c:

a b

M t khác, c ng theo b t đ ng th c AM – GM d ng c b n 1 1 4

x y x y

 , ta đ c:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 1 1 1

a b c a b bc ca a b b c c a a b b c c a



T (1) và (2) suy ra : 9 2 1 1 1 1 1 1

a b c a b b c c a a b c

D th y đ ng th c trong c hai đ ng th c x y ra khi a b c 

Bài 9. Cho a b c, , là các s th c d ng th a mãn 2 2 2

3

a b c  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

1 1 1

P

ab bc ca

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c d ng 1 1 1 9

x  y z x y z

  và d ng

x y z xyyzzx, ta đ c:

Khi a   thì b c 1 3

2

P  V y giá tr nh nh t c a P b ng 3

2

Bài 10. Cho a b c, , là các s th c d ng th a mãn 2 2 2

3

a b c  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

P

a b c b c a c a b

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c d ng 1 1 1 1

4

2 4

b c a a b c a

1

2 4

c a b b c a b

C ng v các b t đ ng th c trên ta đ c: 1

ab ab bc bc ca ca a b c P

c a b c a b c a b c a b

 

M t khác, áp d ng b t đ ng th c d ng: 2 2 2 2

3(x y z )(x y z) , ta đ c:

93(a2b2c2)(abc)2abc3

a b c

P   

D u “=” x y ra khi a    V y giá tr l n nh t c a b c 1 P b ng 3

4

Bài 11. Cho x y z là các s th, , c d ng th a mãn xyz1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

P

xy x yz y zx z

Gi i:

Do xyz1 nên ta th c hi n phép đ t sau: x a;

b

c

a

 v i a b c, , 0

P

a b a b c b c a c ab ac bc ba ca cb

b c b c a c a b a

Áp d ng b t đ ng th c d ng 1 1 1 9

x  y z x y z

  ta đ c:

(

)

2

ab ca bc ab ca

Khi x  y z 1 thì 3

2

P V y giá tr nh nh t c a P là 3

2

Bài 12. Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn x  y z 3 Ch ng minh r ng:

1 1 1 1 1 1

x y y zz x x  y z

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng 1 1 4

a  b a b

 , ta đ c:

3

x yz  y

T ng t ta đ c 1 1 2

y z x  z

   (2) và

z x y  x

C ng theo v (1), (2) và (3) ta đ c: 1 1 1 1 1 1

x y y zz x x  y z

D u “=” x y ra khi x  y z 1

Bài 13. Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn xy yz zx xyz   Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

P

Gi i:

Ta có xy yz zx xyz 1 1 1 1

x y z

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng 1 1 1 1

4

9



P

Bài 14. Cho a b c d, , , là các s th c d ng th a mãn 1 1 1 1 4

a    b c d Ch ng minh r ng:

a b c d

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng 3 3 3

3

3

3

3 3

2

a b

a

a b a b







T ng t ta có: 3 3 3 2 2

2

b c

 ;

3 2

c d

3 2

d a



V y ta c n ch ng minh:

a b c d

4

a b b c c d d a 2

a b b c c d d a

2

1 1 1 1 1 1 1 1

a b b c c d d a

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng 1 1 4

x y x y

 , ta đ c:



4

1 1 1 1 4

a b c d

a   b c c d a

  



D u “=” x y ra khi a    b c d 1

Bài 15. Cho n * và n s th c d ng x x1, 2, ,xn th a mãn

n

n

x x  x  Tìm giá tr nh nh t

c a bi u th c:

3 2 3 2

2 3

n n

x

P x

n

Gi i:

V i m i n  , áp d ng b t đ ng th c AM – GM cho k s ta đ c: k 1

1

1 ( 1) 1 1 1

k

k





Áp d ng (*) cho k ch y t 1 đ n n ta thu đ c n đánh giá t ng t

C ng theo v các b t đ ng th c này l i, ta đ c:

3 2 3 2

n n

n



M t khác, áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng c b n: 1 2 2

2

2

1

n

n

n

n

x

n n











Suy ra 1 2 1 1 1 1 1

n

P n



Khi x1x2   xn 1 thì 1 1 1 1

2 3

P

n

     V y giá tr nh nh t c a P b ng 1 1 1 1

Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N

 Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng

 Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c

 H c m i lúc, m i n i

 Ti t ki m th i gian đi l i

 Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI

 Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t

 i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam

 Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên

 Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c

Là các khoá h c trang b toàn

b ki n th c c b n theo

ch ng trình sách giáo khoa

(l p 10, 11, 12) T p trung

vào m t s ki n th c tr ng

tâm c a kì thi THPT qu c gia

Là các khóa h c trang b toàn

di n ki n th c theo c u trúc c a

kì thi THPT qu c gia Phù h p

v i h c sinh c n ôn luy n bài

b n

Là các khóa h c t p trung vào

rèn ph ng pháp, luy n k

n ng tr c kì thi THPT qu c

gia cho các h c sinh đã tr i

qua quá trình ôn luy n t ng

th

Là nhóm các khóa h c t ng

ôn nh m t i u đi m s d a

trên h c l c t i th i đi m

tr c kì thi THPT qu c gia

1, 2 tháng