Cách sử dụng bất đẳng thức AM – GM dưới dạng cộng mẫu (dạng cơ bản)

Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) B T BDT- GTLN - NN NG TH C AM – GM D NG C NG M U ÁP ÁN BÀI T P T LUYÊN Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng D ng c ng m u thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Cho a , b, c s th c l n h n  bi u th c: P  1 1 th a mãn:    Tìm giá tr nh nh t c a a 1 b 1 c 1 1   4a  4b  4c  Gi i 1 Áp d ng b t đ ng th c d ng   , ta có: x y x y 1  1  1 4 1  P 1                P 1  4a    4b    4c   4a  4b  4c  a  b  c  Khi a  b  c  P  V y giá tr nh nh t c a P Bài Cho a , b, c s th c d ng a  b2  c2  Ch ng minh r ng: Gi i 1 Áp d ng b t đ ng th c d ng    , ta đ x y z x y z 1    a  b  c  a b c c: 1 1     a  b  c   a  b  c    a b c a bc a b c a bc t t  a bc  Áp d ng b t đ ng th c d ng 3(a  b2  c2 )  (a  b  c)2 hay a  b  c  3(a  b2  c ) , ta đ c: t  a  b  c   a  b2  c    t  1     a  b  c    t  f t  a b c t 9 Xét: f  t    t , t  0;   f   t      t t Khi      V y hàm s ngh ch bi n 0;   f  t   f  3, t  0;  1 1 Suy     a  b  c   D u “=” x y a  b  c  (đpcm) a b c Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Bài Cho x, y s th c d P ng th a mãn u ki n x  y  BDT- GTLN - NN Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 3  x 3y Gi i: 1 1 16 Áp d ng b t đ ng th c d ng     , ta đ c: a b c d a bcd 1 1 16 16 16 P        4  x y x x x y x  x  x  y 3( x  y) Khi x  1, y  P  V y giá tr nh nh t c a P Bài Cho x, y, z s th c d P ng th a mãn x  y  z  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: 1    xy  yz  zx x y y z z x Gi i: (a  b  c) 1 Áp d ng b t đ ng th c d ng    ab  bc  ca  , ta đ a b c a bc c: 1 ( x  y  z) 32    xy  yz  zx      x y y z z x 2( x  y  z) 2.3 3 9 Khi x  y  z  P  V y giá tr l n nh t c a P 2 1 Bài (A – 2005) Cho x, y, z s th c d ng th a mãn    Ch ng minh r ng : x y z 1   1 2x  y  z x  y  z x  y  2z Gi i: 11 1 Áp d ng b t đ ng th c d ng     , ta đ c: a b 4 a b  P 1 1 1    1   1   1                     x  y  z ( x  y)  ( x  z)  x  y x  z    x y   x z   16  x y z  T ng t ta có: Suy 1 1 1 1 1 2           x  y  z 16  x y z  x  y  z 16  x y z  1 1 1 1         x  y  z x  y  z x  y  z 16  x y z  Bài Cho x, y s th c d ng th a mãn u ki n x  y  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c D u “=” x y x  y  z  P x2 y2    x y 1 x 1 y x  y Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN Gi i: ( x  1)( x  1)  ( y  1)( y  1)  1 Ta có P     x y 1 x 1 y x y  ( x  1)  1 1 1  ( y  1)    x y    2 1 x 1 y x  y 1 x 1 y x  y 1 , ta có:    a b c a bc 1 9  P  2 2  2  1 x 1 y x  y 1 x 1 y  x  y 2 Áp d ng b t đ ng th c d ng 5 P  V y giá tr nh nh t c a P 2 1 Bài Cho a , b, c s th c d ng th a mãn u ki n    Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c a b c P  (a  1)(b  1)(c  1) (a  1)(b  1)(c  1) Gi i: T gi thi t ta có ab  bc  ca  abc , suy ra: (a  1)(b  1)(c  1)  abc  (ab  bc  ca )  a  b  c   a  b  c   (a  1)(b  1)(c  1)  abc  (ab  bc  ca )  a  b  c   2abc  a  b  c  1 Khi P   a  b  c  2abc  a  b  c  Khi x  y  1 1 Áp d ng b t đ ng th c d ng ( x  y  z)      , ta đ  x y z  1 1 c: a  b  c  (a  b  c)      a b c Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng x  y  z  3 xyz , ta đ c: abc  ab  bc  ca  3 ab.bc.ca  3 (abc)2  (abc)3  27(abc)2  abc  27    2.27   D u “=” x y a  b  c  Bài Cho a , b, c s th c d Suy P  ng Ch ng minh r ng: 1  1   2      a bc  a b bc ca  a b c Gi i: 1 Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng c b n    , ta đ x y z x y z c: 1 9 1         2    (1) a  b b  c c  a a  b  b  c  c  a 2(a  b  c) a bc  a b bc ca  M t khác, c ng theo b t đ ng th c AM – GM d ng c b n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t 1 , ta đ   x y x y T ng đài t v n: 1900 58-58-12 c: - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) BDT- GTLN - NN 1 11 1 1 1  4  1                     2  a b c 2 a b b c c a   a b bc c a   a b bc ca  T (1) (2) suy : (2) 1  1   2      a bc  a b bc ca  a b c D th y đ ng th c c hai đ ng th c x y a  b  c Bài Cho a , b, c s th c d ng th a mãn a  b2  c2  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 1    ab  bc  ca Gi i: 1 Áp d ng b t đ ng th c d ng    d ng x2  y2  z2  xy  yz  zx , ta đ x y z x y z P c: 1 9       2  ab  bc  ca  ab   bc   ca  ab  bc  ca  a  b  c 3 Khi a  b  c  P  V y giá tr nh nh t c a P b ng 2 2 Bài 10 Cho a , b, c s th c d ng th a mãn a  b  c  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P P Áp d ng b t đ ng th c d ng ab bc ca   a  b  2c b  c  2a c  a  2b Gi i: 11 1     , ta đ x y  x y  c: ab ab  1 1   ab   ab  ab      a cbc 4ca bc 4ca bc a  b  2c T ng t ta đ c: bc  bc bc  ca  ca ca          b  c  2a  a  b c  a  c  a  2b  b  c a  b  C ng v b t đ ng th c ta đ  ab ab bc bc ca ca  a  b  c c: P         4 c a bc a b c a bc a b  M t khác, áp d ng b t đ ng th c d ng: 3( x2  y2  z2 )  ( x  y  z)2 , ta đ c:  3(a  b2  c2 )  (a  b  c)2  a  b  c  3 a bc  D u “=” x y a  b  c  V y giá tr l n nh t c a P b ng 4 Bài 11 Cho x, y, z s th c d ng th a mãn xyz  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: Khi P  P 1   xy  x yz  y zx  z Gi i: a b c v i a , b, c  x ; y ; z b c a 1 bc ca ab      Khi P  a b a b c b c a c ab  ac bc  ba ca  cb    b c b c a c a b a 1   bc   ca   ab     1    1    1   (ab  bc  ca )    3  ab  ac   bc  ba   ca  cb   ab  ca bc  ab ca  bc  Do xyz  nên Hocmai.vn – Ngôi tr ta th c hi n phép ng chung c a h c trò Vi t đ t sau: T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Áp d ng b t đ ng th c d ng 1 ta đ    x y z x y z BDT- GTLN - NN c: 1   P  (ab  bc  ca )    3    (ab  bc  ca ) 2(ab  bc  ca )  ab  ca bc  ab ca  bc  3 Khi x  y  z  P  V y giá tr nh nh t c a P 2 Bài 12 Cho x, y, z s th c d ng th a mãn x  y  z  Ch ng minh r ng: 1 1 1      x  y y  3z z  3x x  y  z  Gi i: 1 Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng   , ta đ c: a b a b 1 4 1 hay (1)       x  3y z  y  x  3y z  x  3y  z  3  y  y  T ng t ta đ c 1 1 (2) (3)     y  3z x  z  z  3x y  x  C ng theo v (1), (2) (3) ta đ c: 1 1 1      x  y y  3z z  3x x  y  z  D u “=” x y x  y  z  Bài 13 Cho x, y, z s th c d ng th a mãn xy  yz  zx  xyz Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: 1   x  y  z y  3z  x z  3x  y Gi i: 1 Ta có xy  yz  zx  xyz     x y z P Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng 11 1 11 1      , ta đ     a b 4 a b  a bc 9 a b c  c: 1 1 1  1 1 11 1 1 1 2                 x  y  z ( x  z)  y  x  z y  x  z  z 12 y  x z z  12 y 12  3x y 3z  T ng t ta có: 1 1  1 1            y  3z  x 12  y z 3x  z  3x  y 12  3z x y  Khi ta có: P   1 1 1  11 1               12  3x y 3z y z 3x 3z x y   x y z  Bài 14 Cho a , b, c, d s th c d ng th a mãn 1 1     Ch ng minh r ng: a b c d a  b3 b3  c 3 c  d 3 d  a     2(a  b  c  d )  2 2 Gi i: x3  y3  z3 Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng xyz  , ta đ Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t c: T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 3  a b  a b a b       a  b3 4 a  b2 a  b a  b a  b3        ( a  b) 2 2 ( a  b) a b 3 T BDT- GTLN - NN ng t ta có: b3  c b  c  ; bc V y ta c n ch ng minh: c3  d c  d  ; cd 3 d3  a3 d  a2  d a a  b2 b2  c c  d d  a     2(a  b  c  d )  a b bc cd d a  a  b2   b2  c   c2  d   a b        b c c d      ab   b c   c d   ab bc cd da 1     2   1 a  b b c c d d a   a b b 1 , ta đ c: Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng   x y x y   d a   1  c c d 2 a    4 d a   2 1  d d a     1      4    1 1 1 1 1 1 1 1 121 1 1            a b b c c d d a a b b c c d d a a b c c d a  8    2 1 1 1         a b c c d a a b c d D u “=” x y a  b  c  d  1 1 Bài 15 Cho n  * n s th c d ng x1 , x2 , , xn th a mãn     n Tìm giá tr nh nh t x1 x2 xn 1 1 4 xnn x22 x33 c a bi u th c: P  x1     n Gi i: V i m i n  k  , áp d ng b t đ ng th c AM – GM cho k s ta đ Giáo viên c: Ngu n xkk k 1  xkk  x  (k  1)  x      kxk  (*) k k k 1 k k : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn k k Áp d ng (*) cho k ch y t đ n n ta thu đ c n đánh giá t C ng theo v b t đ ng th c l i, ta đ c: ng t xnn x22 x33 n 1  1 P  x1      ( x1  x2   xn )       n n  2 M t khác, áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng c b n: x1  x2   xn  n2 1    x1 x2 xn  n2 n n n 1  1 1 Suy P  n            n  n 2 1 1 1 Khi x1  x2   xn  P      V y giá tr nh nh t c a P b ng     n n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -