Bất đẳng thức AM – GM (Côsi) và giới thiệu dạng biến thể đồng cấp bậc 2

Hocmai.vn – website h c tr c n s t i Vi t Nam Khựa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN - C: Môn Toán (Th y Tùng) B T B t đ ng th c – GTLN - GTNN NG TH C CÔ - SI (AM - GM) PH N ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng B t đ ng th c Cô - si ph n 03 thu c khóa h c Luy n THPT qu c gia Pen C - Th y Tr n Ph B n c n h c tr ng – Thanh Tùng t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , c Bài gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Bài Cho a , b, c, d s th c d ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a b3 c3 d3    a  3bcd b3  3cda c3  3dab d  3abc Gi i: S d ng B t đ ng th c AM – GM d ng : 3xyz  x3  y3  z3 , ta đ c: M a3 b3 c3 d3 a  b3  c  d     1 a  b3  c  d b3  c  d  a c  d  a  b d  a  b  c a  b  c  d D u “=” x y a  b  c V y M đ t giá tr nh nh t b ng a  b  c M Bài Cho a , b, c s th c d ng Ch ng minh r ng: 1 1  3   3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc Gi i: 3 Ta có (a  b) (a  b)   a  b  ab(a  b) 1 c Suy 3    a  b  abc a b(a  b)  abc ab(a  b  c) abc(a  b  c) a b T ng t ta đ c: 3   b  c  abc abc(a  b  c) c  a  abc abc(a  b  c) Khi c ng v b t đ ng th c ta đ c: 1 a bc  3    3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc(a  b  c) abc D u “=” x y a  b  c Bài Cho a , b, c s th c d P ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : 8abc a b c   2  (a  b)(b  c)(c  a ) b c a Gi i:  x y z  Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng xyz    , ta đ c:   8abc 27 216    3 (a  b)(b  c)(c  a )  a  b  c  b c  a a b c       1      1  1  1      b  c  a  c a  b  b c a a b c a b c 216 t t      3   Khi P  t    f (t ) b c a b c a t Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – website h c tr c n s t i Vi t Nam Khựa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN - C: Môn Toán (Th y Tùng) B t đ ng th c – GTLN - GTNN 646 t  1296 t  216 v i Ta có t  f t     v i t  '( ) t3 t 5 t 2t t  Suy f (t ) đ ng bi n v i t   P  f (t )  f (6)  Khi a  b  c P  V y giá tr nh nh t c a P Xét hàm s f (t )  t   Bài (D – 2005) Cho s th c d ng x, y, z th a mãn xyz  Ch ng minh r ng:  x3  y3  y3  z3  z3  x3   3 xy yz zx Gi i: 3 Áp d ng b t đ ng th c d ng a  b  c  3abc , ta đ c:  x3  y3 3xy   xy xy T ng t ta có:  y3  z3  yz yz xy  z3  x3  zx Áp d ng b t đ ng th c d ng a  b  c  3 abc , ta đ  x3  y3  y3  z3  z3  x3    xy yz zx D u “=” x y x  y  z  Bài Cho x, y, z s th c d zx c:  xy 3   33 yz zx ng th a mãn u ki n 3 3 xy yz zx 1 1    x 1 y 1 z 1 2 1 1    x 2 y 2 z 2 Gi i: Áp d ng b t đ ng AM – GM d ng a  b3  c3  3abc , ta đ c: 2 2   3   x  2 x  ( x  x  1)  3x  3 x  1 1 T ng t ta có   y  y 1 z  z 1 1  1  1         Suy x  y  z   x 1 y 1 z 1  3 Ch ng minh r ng: x  y  z   D u “=” x y  1 1 (h vô nghi m)    2  x 1 y 1 z 1  1 1    (đpcm) Suy đ ng th c không x y V y x 2 y 2 z 2 Bài Cho x, y, z s th c d ng th a mãn x2  y2  z2  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P  x  y  z  xyz Gi i:  a bc Áp d ng chu i b t đ ng th c AM – GM d ng abc    ; a  b  c  d  abcd   2 2 3(a  b  c )  (a  b  c) ta đ c: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – website h c tr c n s t i Vi t Nam Khựa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN - C: Môn Toán (Th y Tùng) P  x y z B t đ ng th c – GTLN - GTNN 1 27  x y z  x y z M xyz ( x  y  z)3  x y z        9 9 93 ( x  y  z) M  ( x  y  z)  =  4     ( x  y  z)3  ( x  y  z)3 ( x  y  z)3 ( x  y  z)3 ( x  y  z)8   N 4 36 4 36 4 36   4 ( x  y  z)2 3( x2  y2  z2 ) Suy P  D th y x  y  z  P  V y giá tr nh nh t c a P b ng N Nh n xét: Th c toán ta d đoán đ c m r i (giá tr c a a , b, c d u “=” x y ra) 27 Nên ta nh n th y  3  3( x  y  z)  x  y  z  x y z ( x  y  z) ( x  y  z)3 i u g i ý ta s d ng AM - GM cho s nh cách gi i Các b n s có đ c nhìn đ y đ h n v “K thu t ch n m r i” tìm hiêu h c ti p theo c a th y Bài Cho x, y, z s th c không âm th a mãn x  y  z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P  16 x3  y3  z3 ( x  y  z)3 Gi i: t k  a  b  c  Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng a  b3  P 16 x  y  z  ( x  y  z)3 3 ( a  b)3 , ta đ c: ( y  z)3 (k  x)3 3 16 x3  (1  t )3  x 1 x 4 v i   16    1    16t  ( x  y  z)3 k3 k 4 k 16 x3  (1  t )3 x v i t   0;1   0;1 Xét hàm s f (t )  16t  k 3(1  t )2 3(9t  1)(7t  1) Ta có f '(t )  48t  ; f '(t )   t  t   0;1  4 B ng bi n thiên t y  z 16  T b ng bi n thiên, suy P  f (t )  D u “=” x y  x x  4x  y  z  81 x y z  k  t   16 V y P đ t giá tr nh nh t b ng x  y  z  81 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – website h c tr c n s t i Vi t Nam Khựa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN - C: Môn Toán (Th y Tùng) Bài Cho x, y, z s th c d B t đ ng th c – GTLN - GTNN ng th a mãn x  y  z  xyz Ch ng minh r ng : x2  y2  z2  3xyz Gi i: Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng a  b2  c  ( a  b  c) (a  b  c)3  27abc , ta đ c: 2    3( xyz) (do x  y  z  xyz )  x  y  z    ( x  y3 z)   ( x  y  z)3 x  9y  z  27 xyz xyz   Do x2  y2  z2  3xyz D u “=” x y x  y  z  2 2 11 12 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  6(3xy  xz  yz)  x  y  z  72 xyz Gi i: Bài Cho x, y, z s th c d ng th a mãn u ki n x  y  3z   a bc Phân tích P áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng abc    , ta đ   1 3 2 4 3  P  (6 x  1)(3 y  1)(4 z  1)    x    y    3z    6 2 3 3 4  c: 3  x   y   3z      3   1=  12  x   y   3z     12    3  4      3 19   11 19       x  y  3z   107 12 12  12   1   12   12  27 18 27 1 107 107 Khi x  , y  , z  P  V y giá giá tr l n nh t c a P 18 18 12 36 Bài 10 Cho a , b, c, d , e, f s th c d ng có t ng b ng th a mãn ace  bdf  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  abc  bcd  cde  def  efa  fab Gi i:  a bc Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng abc    , ta đ   P  ace  bdf  abc  bcd  cde  def  efa  fab  ace  bdf 108 c:  a d bec f   (a  d )(b  e)(c  f )       1 1 Suy P    ace  bdf     27 27 108 36 1 Khi a  b  c  d  e  f  P  V y giá tr l n nh t c a P b ng 36 36 Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -