Bất đẳng thức AM – GM (Côsi) và giới thiệu dạng biến thể đồng cấp bậc 2

Bài 1 Cho a b c d, , , là các s th c d ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

M

Gi i:

S d ng B t đ ng th c AM – GM d ng : 3 3 3

3xyzx y z , ta đ c:

M

  

D u “=” x y ra khi a b c 

V y M đ t giá tr nh nh t b ng 1 khi a b c 

Bài 2 Cho a b c, , là các s th c d ng Ch ng minh r ng:

3 13 3 31 3 13 1

Gi i:

Ta luôn có (ab) (2 a  b) 0 a3b3ab a( b)

Suy ra 3 3

( )

c

a b  ab a b  b c abc a b c

T ng t ta đ c: 3 31

a

1

b

Khi đó c ng các v b t đ ng th c trên ta đ c:

 

D u “=” x y ra khi a b c 

Bài 3 Cho a b c, , là các s th c d ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :

P

    

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng

3 3

x y z xyz    

   , ta đ c:

6 8

abc

a c

a

c

c

b

    

  





t a b c 3 33 a b c 3 6

b c a b c a

t       Khi đó P t 5 2163 f t( )

t

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng B t đ ng th c Cô - si ph n 03 thu c khóa h c

Luy n thì THPT qu c gia Pen C - Th y Tr n Ph ng – Thanh Tùng t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu ,

B n c n h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này

Hocmai.vn – website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khựa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN - C : Môn Toán (Th y Tùng) B t đ ng th c – GTLN - GTNN

Hocmai.vn– Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -

Xét hàm s f t( ) t 5 2163

t

   v i t Ta có 6 '( ) 1 6464 4 12964 5 0

f t

t

Suy ra f t( ) đ ng bi n v i  t 6  P f t( ) f(6)2

Khi a  thì b c P2 V y giá tr nh nh t c a P là 2

Bài 4 (D – 2005) Cho các s th c d ng x y z , , th a mãn xyz1 Ch ng minh r ng:

3 3

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c d ng 3 3 3

3

a  b c  abc, ta đ c:

3 3

x y xy

T ng t ta có: 1 y3 z3 3

 

 và

Áp d ng b t đ ng th c d ng 3

3

a  b c abc , ta đ c:

3

3

x

D u “=” x y ra khi x  y z 1

Bài 5 Cho x y z , , là các s th c d ng th a mãn đi u ki n 21 21 21 1

Ch ng minh r ng: 31 31 31 1

Gi i:

Áp d ng b t đ ng AM – GM d ng 3 3 3

3

a  b c  abc, ta đ c:

T ng t ta có 31 2 21

D u “=” x y ra khi

1

  







(h vô nghi m)

Suy ra đ ng th c không x y ra V y 31 31 31 1

   (đpcm)

Bài 6 Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn 2 2 2

1

x y z 

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P x y z 1

xyz

   

Gi i:

Áp d ng chu i các b t đ ng th c AM – GM d ng

3 3

a b c abc    

4

a   b c d abcd

và 3(a2b2c2)(a b c)2ta đ c:

3 3

3

y z

 



 



M

M

3 4

3 4

8

9

N

4 3 3

)

3

x  y z thì P 4 3

V y giá tr nh nh t c a P b ng 4 3

Nh n xét: Th c ra bài toán trên do ta d đoán đ c đi m r i (giá tr c a a b c, , khi d u “=” x y ra) là

1

3

x  y z Nên ta nh n th y 27 3 3 3 3( ) 9 3

(x y z)   x     y z x y z (x y z)

i u đó g i ý ta s d ng AM - GM cho 4 s nh cách gi i trên Các b n s có đ c cái nhìn đ y đ h n

v “K thu t ch n đi m r i” khi tìm hiêu bài h c ti p theo c a th y

Bài 7 Cho x y z , , là các s th c không âm th a mãn x  y z 0

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 16 3 3 33

P

 



 

Gi i:

t k    Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng a b c 0 3 3 ( )3

4

a b

a b 

  , ta đ c:

3

3 3

3

3

3 3

3

(

( ) 4

)

y z

y z







 0;1

x

t

k

  Xét hàm s 3 (1 )3

( ) 16

4

t

v i t 0;1

Ta có

2

'( ) 48

9

f t   t do t 0;1

B ng bi n thiên

T b ng bi n thiên, suy ra ( ) 16

81

P f t  D u “=” x y ra khi 1 4 0

9

t





  



V y P đ t giá tr nh nh t b ng 16

81 khi 4x  y z 0

Hocmai.vn – website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khựa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN - C : Môn Toán (Th y Tùng) B t đ ng th c – GTLN - GTNN

Hocmai.vn– Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 4 -

Bài 8 Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn x y z xyz  

Ch ng minh r ng : 2 2 2

3

x y z  xyz

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng 2 2 2 ( )2

3

a b c

a b c  

   và (a b c)327abc, ta đ c:

2

3

x y z

x y z   x y z x y z xyz xyz xyz



 

 



Do đó 2 2 2

3

x y z  xyz D u “=” x y ra khi x  y z 3

Bài 9 Cho x y z , , là các s th c d ng th a mãn đi u ki n 2 3 11

12

x y z Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P6(3xy4xz2yz) 6 x3y4z72xyz

Gi i:

Phân tích P và áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng

3 3

a b c abc    

   , ta đ c:

P  x y z   x   y   z 

3

3

19

12

27

    

3

11 19

107

  

18

P V y giá giá tr l n nh t c a P là 107

18

Bài 10 Cho a b c d e f, , , , , là các s th c d ng có t ng b ng 1 th a mãn 1

108 ace bdf  Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c Pabc bcd cde def efa fab

Gi i:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng

3 3

a b c abc    

  , ta đ c:

Pace bdf abc bcd cde def efa fab ace bdf 

3

3

( )( )

3

a d b e c f

ad b e c  f       

6

a     b c d e f thì 1

36

P  V y giá tr l n nh t c a P b ng 1

36

Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng Ngu n : Hocmai.vn

T ng đài t v n: 1900 58-58-12 -

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N

 Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng

 Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c

 H c m i lúc, m i n i

 Ti t ki m th i gian đi l i

 Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm

 Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t

 i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam

 Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên

 Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c

Là các khoá h c trang b toàn

b ki n th c c b n theo

ch ng trình sách giáo khoa

(l p 10, 11, 12) T p trung

vào m t s ki n th c tr ng

tâm c a kì thi THPT qu c gia

Là các khóa h c trang b toàn

di n ki n th c theo c u trúc c a

kì thi THPT qu c gia Phù h p

v i h c sinh c n ôn luy n bài

b n

Là các khóa h c t p trung vào

rèn ph ng pháp, luy n k

n ng tr c kì thi THPT qu c

gia cho các h c sinh đã tr i

qua quá trình ôn luy n t ng

th

Là nhóm các khóa h c t ng

ôn nh m t i u đi m s d a

trên h c l c t i th i đi m

tr c kì thi THPT qu c gia

1, 2 tháng