Bất đẳng thức cosi (phần 30-Trần Phương

Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph B T ng B t đ ng th c Cô - si NG TH C CÔ-SI (PH N 03) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: TR N PH NG Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng B t đ ng th c Cô - si (Ph n 03) thu c khóa h c B i d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , b n c n h c tr c gi ng sau làm đ y đ t p tài li u K THU T GHÉP I X NG Ch ng minh r ng: a  b3  c3  a bc  b ca  c ab ,  a , b, c  HD Cách  a , b, c  a  a  a  a  b3  c  6a bc b3  b3  b3  b3  a  c  6b ac c3  c3  c3  c3  b3  a  6c ab C ng v l i v i ta đ c đpcm Cách  a , b, c  a bc  b ac a2  b2 c ab  c abc  a  abc  abc  b  abc  abc  3 c3  abc  a3  b3  c3  a  b3  c 4a  b3  c 3  b3  a  c 4b3  a  c 3  b3  a  c 4c3  a  c 3   a bc  b ac  c ab  a  b3  c Cho a, b, c đ dài c nh c a m t tam giác Ch ng minh r ng: b  c  a 3  c  a  b 3  c  a  b 3  a  b  c 3  a  b  c 3 b  c  a 3 ( a  b  c )5  (b  c  a )5  (c  a  b)5  a bc HD t x  a  b  c; y  b  c  a; z  a  c  b  x, y, z  Khi toán tr thành cho x, y, z>0 y3 z3 z3 x3 x3 y3    x y z x5 y z Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng B t đ ng th c Cô - si Có y3 z3 z3 x3 y3 z6 x3 z3 2    xy x5 y5 x5 y5 z3 x3 x3 y3 x3 x3 y3 y3 z3 y3 ;     yz z5 xz y5 z5 x5  x2  y2  z2  z3 y3 x3   z4 y4 x4   2VT          2 3xyz  xy xz yz   xyz xyz xyz  x  VT   y2  z  xyz   x  y  z   x  y  z => PCM  x  y  z 3     Ch ng minh r ng: a  b4  c4  a 3b  b3 c  c3 a  a, b, c  HD  a, b, c  ta có a  a  a  b  a 3b b  b  b  c  4b3c c  c  c  a  4c3 a      a  b  c  a 3b  b3c  c a  dpcm Ch ng minh r ng: a  b5  c5  a 3b2  b3 c2  c3 a a,b,c  HD a,b,c  ta có a  a  a  b5  b5  5a 3b2 T ng t v i b, c C ng v l i v i ta đ c đpcm Cho a, b, c > Ch ng minh r ng: bc ca ab a7 b7 c7    abc     2 2 2 2 2 2 a b c b c c a a b a b c HD a,b,c  ta có bc ca ab a7 b7 c7        2 abc 2 2 2 2 a b c bc c a a b a bc  b3c3  c3a  a 3b3  a 3b3c3  a  b9  c       b3c3  c3 a  a 3b3  a 3b3c3  a  b9  c9  Ta có Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng B t đ ng th c Cô - si a  b9   3a 3b3 b9  c   3c 3b3 c  a   3a 3c a  b9  c  3a 3b3c =>C ng v l i v i ta đ c PCM Cho a, b, c đ dài c nh c a m t tam giác, p n a chu vi Ch ng minh r ng:  pa   p b  pc  bc pa  ca pb  a b pc HD ang update……… Cho a, b, c > Ch ng minh r ng: a 61 b61 c 61 b61c 61 c 61 a 61 a 61b61      182  182  a 61b61c61 b 20 c 20 c 20 a 20 a 20 b 20 a 20 b 20 c 20 a 182 b c HD Các b n làm t ng t nh s     Cho a , b, c > Ch ng minh r ng: a  bc b  ca c  ab   (a  b3 )(b3  c3 )(c3  a ) a b c HD ang update………… Cho a, b, c > Ch ng minh r ng: 5 13  a  b   b  c    c  a    16  ab  a  b   4a  4b  4ab  c     bc  b  c   4b2  4c  4bc  a   ca  c  a   4c  4a  4ca  b    HD ang update…… NG B C B T NG TH C Ch ng minh r ng: a4 b4 c4     a  b  c  a , b, c  2       b bc c ca a a b HD a , b, c  b b  c  b  c  a4    a 8 b b  c  c c  a  c  a  b4    b 8 c c  a  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng B t đ ng th c Cô - si a a  b a  b c4    c 8 a a  b C ng v v i v => PCM Ch ng minh r ng: a5 b5 c5     a  b  c  , a , b, c   a  b 4  b  c 4  c  a 4 16 HD a , b, c   a  b    a  b    a  b    a  b   5a a5  32 32 32 32 16 a  b T ng t cho hoán v c ng v v i v ta đ c PCM 4 Ch ng minh r ng: a  b  c   a c  b2 a  c2 b  a , b, c  a b bc ca HD a , b, c  a  c  a  b   2a c a b b  a  b  c   2b a bc c  b  c  a   2c 2b ca C ng v v i v ta đ Ch ng minh r ng: c PCM b2 c c2 a a 2b 11 1        a , b, c  3 a b  c  b c  a  c  a  b   a b c  HD a , b, c  b2c bc    a  b  c  4bc 2b 2b T ng t cho hoán v c ng v v i v ta đ c PCM [Greece MO 2007] Cho a, b, c đ dài c nh c a m t tam giác Ch ng minh r ng: b  c  a  c  a  b   a  b  c     ab  bc  ca a  a  b  c  b b  c  a  c c  a  b  HD a , b, c  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng B t đ ng th c Cô - si b  c  a   a  a  b  c   b  c  a  a a  b  c c  a  b 4  b b  c  a   c  a  b  b b  c  a  a  b  c4  c c  a  b  2a  b  c   c c  a b C ng v l i v i k t h p a  b  c  ab  bc  ca Ta có PCM a , b, c  Cho  a  b  c  Ch ng minh r ng: a3 b3 c3   1  2a  b   2a  c   2b  c   2b  a   2c  a   2c  b  HD a , b, c  ta có đ tr thành: V i  a  b  c  a3 b3 c3 CM:    a bc  2a  b  2a  c   2b  c  2b  a   2c  a  2c  b  Th t v y, ta có:  a  b   2a  c  a a3     2a  b  2a  c   27   27   2b  c   2b  a  b b3     2b  c  2b  a   27   27  c3  2c  a   2c  b  c     2c  a  2c  b   27   27  C ng t ng v ta đ c PCM a , b, c  Cho  ab  bc  ca  Ch ng minh r ng: a  b3  c3  b  2c c  2a a  2b HD a , b, c  V i  ab  bc  ca  tr thành, ch ng minh r ng: a  b  c  ab  bc  ca b  2c c  2a a  2b Ta có: ab  2ac 2a a4   ab  2ac bc  2ab 2b b4   bc  2ab ca  2cb 2c c4   ca  2cb C ng v v i v ta đ Hocmai.vn – Ngôi tr c ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng  B t đ ng th c Cô - si   3 2 a3  b  c  ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca  3 b  2c c  2a a  2b  3 a3  b  c  ab  bc  ca b  2c c  2a a  2b => PCM [IMO Shortlist 1998] Cho a , b, c  th a mãn abc  Ch ng minh r ng: a3 b3 c3   3 1  b 1  c  1  c 1  a  1  a 1  b  V i a , b, c  , ta có: 1 b 1 c a3    a 1  b 1  c  8 1 c 1 a b3    b 1  c 1  a  8 1 a 1 b c3    c 1  a 1  b  8  a3 b3 c3     a  b  c  a  b  c 1  b 1  c  1  c 1  a  1  a 1  b  4  a3 b3 c3    a  b  c  1  b 1  c  1  c 1  a  1  a 1  b   3 a3 b3 c3   3  1  b 1  c  1  c 1  a  1  a 1  b  4 [IMO 1995] Cho a , b, c  th a mãn abc  Ch ng minh r ng:  a b  c  b c  a   3 c a  b HD V i a , b, c  ta có: bc bc   a  b  c  4bc a ca ca   b  c  a  4ca b ab c a  b    a b  4ab c 11 1 1 1           a b  c  b c  a  c  a  b   a b c   a b c    a b  c  b c  a  c  a  b  11 1      2 a b c => PCM 10 [IMO Shortlist 1996] Cho a , b, c  th a mãn abc  Ch ng minh r ng: ab  bc5  ca5 1 a  b  ab b  c  bc c  a  ca Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng B t đ ng th c Cô - si HD Ta có a , b  : a  b  a 3b  b a  a 2b  a  b   ab ab abc c  2    a  b  ab a b  a  b   ab ab  a  b   ab  a  b   abc a  b  c TT : bc a   a bc b  c  bc ca b  c  a  ca a  b  c  ab bc ca  1 5 a  b  ab b  c  bc c  a  ca Giáo viên : Tr n Ph Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : ng Hocmai.vn - Trang | -