Phương pháp giải toán Min Max và Bất đẳng thức Đặng Thành Nam

http://www.toanmath.com ĐẶNG THÀNH NAM (Trung tâm Nghiên cứu phát triển sản phẩm giáo dục Newstudy.vn) SOẠN THEO CẤU TRÚC MỚI ÁP DỤNG KÌ THI THPT QUỐC GIA (PHIÊN BẢN MỚI NHẤT) Dành cho học sinh 10, 11, 12 nâng cao kiến thức Bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi Quốc Gia NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com MỤC LỤC Chương 1: Bất đẳng thức kỹ thuật Chủ đề Kỹ thuật biến đổi tương đương 04 Chủ đề Kỹ thuật minh phản chứng 45 Chủ đề Kỹ thuật quy nạp toán học 56 Chủ đề Kỹ thuật miền giá trò 60 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng nguyên lí Diricle 68 Chủ đề Kỹ thuật tam thức bậc hai 73 Chủ đề Kỹ thuật đánh giá bất đẳng thức tích phân 93 Chương 2: Bất đẳng thức phương pháp tiếp cận Chủ đề Các kỹ thuật sử sụng bất đẳng thức AM-GM 102 Chủ đề Kỹ thuật ghép cặp chứng minh đẳng thức AM-GM 198 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số 211 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 218 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức 243 Chủ đề Kỹ thuật tham số hóa 278 Chủ đề Bất đẳng thức Holder ứng dụng 291 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Chebyshev 304 Chủ đề Bất đẳng thức Bernoulli ứng dụng 314 Chương 3: Phương trình hàm số giải toán bất đẳng thức cực trò Chủ đề Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu với toán cực trò bất đẳng thức biến số 325 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu cho toán cực trò bất đẳng thức hai biến số 351 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu cho toán cực trò bất đẳng thức ba biến số 379 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng tính 427 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức tiếp tuyến 484 Chủ đề Kỹ thuật khảo sát hàm nhiều biến 502 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng tính chất nhò thức bậc tam thức bậc hai 534 Chủ đề Bất đẳng thức phụ đâng ý áp dụng giải đề thi tuyển sinh 540 Chủ đề Bài toán chọn lọc bất đẳng thức cực trò ba biến 617 Chương 4: Số phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác Chủ đề Kỹ thuật lượng giác hóa 654 Chủ đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Schur 684 Chủ đề Kỹ thuật dồn biến 694 http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com Chương 1: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC KỸ THUẬT CƠ BẢN KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I Định nghĩa bất đẳng thức Giả sử A B hai biểu thức chữ số + A ≥ B (hoặc B ≤ A) , A ≤ B (hoặc B ≥ A) gọi bất đẳng thức + A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0; A − B ≥ ⇔ A ≥ B + Một bất đẳng thức sai ta quy ước nói bất đẳng thức mà khơng nói thêm ta hiểu bất đẳng thức II Tính chất bất đẳng thức  ∀a ∈ ; a ≥ a a ≤ b   ⇒a≤c b ≤ c  ∀a, b, m ∈ ; a ≤ b ⇒ a ± m ≤ b ± m a ≤ b   ⇒a+c≤b+d c ≤ d  a ≥b+c ⇔ a−c≥b ma ≤ mb m >0  ∀a, b,∈ ; a ≤ b ⇔  ma ≥ mb m < a b  m ≤ m m >0 +  ∀a, b,∈  ; a ≤ b ⇔   a ≥ b m <  m m  Nếu a > b > ⇒ 1 < a b a ≥ c  ∀a, b, c, d ∈  + ;  ⇒ ab ≥ cd b ≥ d a n ≥ b n  a≥b≥0⇒ , ∀n ∈   n a ≥ n b a > ⇒ a x > a y  x > y > 0;  0 < a < ⇒ a x < a y  a > b ⇒ a n +1 > b n +1; n +1 a > n +1 b , ∀n ∈  http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối  − a ≤ a ≤ a , ∀a ∈   a < α ⇔ −α < a < α ( α > ) a > α  a >α ⇔  ( α > )  a < −α  a − b ≤ a + b ≤ a + b , ( ∀a, b ∈  ) Bất đẳng thức liên quan đến hàm số mũ logarit a > 0 < a <   ⇒ ax > a y ; ⇒ ax < a y > > x y x y   a > 0 < a <   ⇒ log a x > log a y;  ⇒ log a x < log a y x > y > x > y > Bất đẳng thức AM – GM Cho n số thực khơng âm a1 , a2 , , an ta có a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an n Đẳng thức xảy a1= a2= = an Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Cho dãy số thực ( a1 , a2 , , an ) ; ( b1 , b2 , , bn ) ta có ( a1b1 + a2b2 + + anbn )2 ≤ ( a12 + a22 + + an2 )( b12 + b22 + + bn2 ) Đẳng thức xảy khi= kb = i , i 1, n, k ∈  CHỦ ĐỀ 1: KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Xuất phát từ bất đẳng thức tự nhiên x ≥ 0; A − B ≥ với số thực x ta có bất đẳng thức đẹp mắt Nội dung chủ đề đề cập đến kỹ biến đổi bất đẳng thức dạng ln Các tốn đề cập đến tốn chủ đề bạn ý sử dụng đến chủ đề khác chương sau tốn phụ A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP I Các bất đẳng thức Bình phương số thực Với số thực x ta ln có x ≥ Đẳng thức xảy x = Từ ta có bất đẳng thức với biến biến thường sử dụng sau:  ( a − b )2 ≥ hay a + b ≥ 2ab Đẳng thức xảy a = b http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com  ( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2 ≥ hay a + b + c ≥ ab + bc + ca ( ) ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) a + b + c ≥ ( a + b + c ) 2 Đẳng thức xảy a= b= c Bất đẳng thức trị tuyệt đối  Với số thực x,y ta ln có x + y ≥ x + y Đẳng thức xảy xy ≥  Với số thực x,y ta ln có x − y ≥ x − y Đẳng thức xảy x( x − y) ≥ Bất đẳng thức độ dài cạnh tam giác  a + b > c; b + c > a; c + a > b  a > b − c ;b > c − a ;c > a − b  a + b + c < ( ab + bc + ca ) II Một số đẳng thức cần lưu ý ( a + b + c ) ( a + b2 + c − ab − bc − ca )  a3 + b3 + c3 − 3abc =   ( a + b + c )3 = a3 + b3 + c3 + ( a + b )( b + c )( c + a ) ( a + b )( b + c )( c + a ) = ( a + b + c )( ab + bc + ca ) − abc ( a − b )( b − c )( c − a ) a −b b−c c−a = + + − c a b abc a −b b−c c−a a−b b−c c−a  + + + = a+b b+c a+c a+b b+c c+a 1) Kỹ thuật biến dùng định nghĩa Để chứng minh bất đẳng thức: A ≥ B Ta chứng minh bất đẳng thức A − B ≥  (x Ví dụ Cho x > y xy = Chứng minh + y2 ) ( x − y )2 ≥8 Lời giải Ta có x + y =( x − y ) + xy =( x − y ) + 2 ⇒ (x + y2 ) 2 (vì xy = 1) =( x − y ) + ( x − y ) + Do BĐT cần chứng minh tương đương với ( x − y )4 + ( x − y )2 + ≥ 8.( x − y )2 http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com ( x − y )4 − ( x − y )2 + ≥ ⇔ ( x − y ) −  ≥   Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Ví dụ a) Cho x,y hai số thực thoả mãn điều kiện xy ≥ ⇔ Chứng minh 1+ x + 1+ y ≥ + xy b) Cho a,b,c số thực khơng nhỏ chứng minh 1 + + ≥ 3 + a + b + c + abc c) Cho x, y, z ∈ [ 0;1] Tìm giá trị lớn biểu thức  1  + + P= (1 + xyz )  3 3  1+ x 1+ y 1+ z  Lời giải a) Bất đẳng thức cho tương đương với:  1   1  − + −  + xy   + xy  ≥0 1+ x  1+ y  ⇔ ⇔ ⇔ xy − x xy − y + (1 + x ).(1 + xy ) (1 + y ).(1 + xy ) ( x( y − x) ) + x (1 + xy ) 2 + ≥0 y( x − y) ( ) + y (1 + xy ) ≥0 ( y − x )2 ( xy − 1) ≥0 (1 + x2 ).(1 + y ).(1 + xy ) BĐT cuối xy ≥ Vậy ta có đpcm Đẳng thức xảy x = y xy = b) Sử dụng bất đẳng thức: 1+ x Ta có 1+ a + 1+ b ≥ + 1+ y ≥ , ( xy ≥ 1) + xy + a 3b http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com 1+ c + ≥ + abc + abc  1 2 +  3 + abc 1+ a b   ≥   1+ a3b3 abc = + abc Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta có đpcm Chú ý Bất đẳng thức áp dụng phổ biến số tốn cực trị Một số dạng tương tự bất đẳng thức sau 1  + ≤ , ( −1 < xy ≤ 1) 2 + xy 1+ x 1+ y  1+ x  + x2 + 1+ y + + y2 ≥ , ( xy ≥ 1) + xy ≤ , ( −1 < xy ≤ 1) + xy c) Sử dụng kết tốn ta có : 1+ z + 1+ x + 1+ y ≤ + x3 y ≤ + xyz + xyz + x3 y + + xyz 4 ≤ 1+ x4 y z 4 = + xyz Cộng theo vế bất đẳng thức ta suy 1+ x + 1+ y + 1+ z ≤  1  ⇒P= + + (1 + xyz )  ≤3 3 3 + xyz 1+ x 1+ y 1+ z  Đẳng thức xảy x= y= z Vậy giá trị lớn P = Ví dụ Chứng minh với số thực x,y ta có 1 + ( x + y )   + y2 ≥  Lời giải (1 + x )( ) ( xy − 1) + ( x − y ) ≥ + x + y Chú ý: + x + y =1 + ( x + y ) + ( ) 3 ( )( ) 2 http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x = y = ± Ví dụ Chứng minh với số thực a,b khơng âm thoả mãn a, b < 1; (1 − 2a )(1 − 2b ) ≥  − a − b 2 a + b ≥ , ta có   (1 − a )(1 − b )  2−a −b Lời giải Bất đẳng thức cho tương đương với: ( a − b )2 ( 2a + 2b − 3) ≥ (1 − a )(1 − b )( − a − b )2 Bất đẳng thức ln ta có đpcm Bài tập tương tự Chứng minh với số thực a,b khơng âm thoả mãn a, b < 1; a + b ≥ ta có (1 + 2a )(1 + 2b ) ≥  + a + b 2   (1 − a )(1 − b )  2−a −b 2) Kỹ thuật phân tích đẳng thức Phân tích thành tổng bình phương n ∑ ( xi − yi ) ≥0 i =1 Ví dụ Cho a,b,c số thực chứng minh a) a + b + c ≥ ab + bc + ca b) ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c ) c) ( a + b + c ) − ( )( ) ( ( b − c )2 + ( c − a )2 + ( a − b )2 ≥ ( ab + bc + ca ) )( ) d) a + b + c + ≥ ( a + b + c ) Lời giải a) Bất đẳng thức cho tương đương với: 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca ≥ ( ) ( ) ( ) ⇔ a − 2ab + b + b − 2bc + c + c − 2ca + a ≥ ⇔ ( a − b) + (b − c ) + (c − a ) ≥ 2 Bất đẳng thức cuối Đẳng thức xảy a= b= c http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com b) Thực tương tự câu a) đưa bất đẳng thức ln ( ab − bc )2 + ( bc − ca )2 + ( ca − ab )2 ≥ c) Ta có: 1 ( a + b + c )2 − ( b − c= )2 ( 2a − b − c )2 + ab + bc + ca ≥ ab + bc + ca 12 Tương tự ta có: 1 ( a + b + c )2 − ( c − a )2 ≥ ab + bc + ca 1 2 a b c − a − b ≥ ab + bc + ca + + ( ) ( ) Cộng lại theo vế ba bất đẳng thức ta có đpcm Đẳng thức xảy a= b= c d) Chú ý đẳng thức: (a )( )( ) ⇒ ( a + )( b = ) + b2 + c2 + − 3( a + b + c ) ( 2 c + ( a − b ) + ( ab − 1)  + ( ac + bc − )   2 2 )( ) + c2 + ≥ 3( a + b + c ) Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a= b= c= Ví dụ Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh a) − ≤ xy + yz + zx ≤ ; b) ( xy + yz + xz ) − ≥ −3 ( x + y + z ) − xy − yz + Lời giải a) Bất đẳng thức vế trái tương đương với: ( xy + yz + zx ) + ≥ ⇔ ( xy + yz + zx ) + x + y + z ≥ ⇔ ( x + y + z ) ≥ Bất đẳng thức chứng minh  x + y + z = 1 Đẳng thức xảy  2 , chẳng hạn x = − ,y= 2  x + y + z = Bất đẳng thức vế phải: − ( xy + yz + zx ) = x + y + z − ( xy + yz + zx ) ( ) ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x )2 ≥ ⇒ xy + yz + zx ≤ = http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com b) Chú ý điều kiện ta rút gọn vế trái đưa chứng minh ≥ −3 ( xy + yz + xz )2 − xy + yz + zx + xy + yz + zx + 1) ( ⇔ ≥0 xy + yz + zx + Vậy ta cần chứng minh xy + yz + zx ≥ −1 = − x − y − z 2   ⇔ ( x + z ) + y + y ( x + z ) ≥ ⇔  x + z + y  + y2 ≥   Bất đẳng thức cuối ta có đpcm 2 y =  1  Đẳng thức xảy  x + z + y =0 ⇒ x = , y =0, z =− 2   x + y + z = Ví dụ Cho x,y,z số thực khơng âm Chứng minh: a) x3 + y + z ≥ xyz b) x3 + y + z 3 ≥ xyz + ( x − y )( y − z )( z − x )  y+z  c) x3 + y + z − xyz ≥  − x   Lời giải a) Bất đẳng thức cho tương đương với: ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) ≥ ( x + y + z ) ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x )2  ≥ Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x= y= z ⇔ b) Bất đẳng thức cho tương đương với: ( x + y + z ) ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x )2  ≥ ( x − y )( y − z )( z − x ) 2 2  ⇔ ( ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x ) ) ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) ≥ ( x − y )( y − z )( z − x )   Chú ý x + y ≥ x − y ; y + z ≥ y − z ; z + x ≥ z − x sử dụng bất đẳng thức chứng minh câu a) ta có http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com 1 1 1 + + ≥ ⇒ + + − > a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b+c Bất đẳng thức chứng minh  t2  t= b + c Ta xét với b + c ≤ 2, đặt  , s ∈ 0;  ,0 < t ≤  s = bc   1− s t Gọi biểu thức vế trái P ta có 1 1 2a + b + c P= + + − = + − b+c a+b a+c a+b+c b+c a + b+c a +1 1− s +t 1 1 2a + t t = + − = + − 1− s t a +1 a + t t 1− s  +t   +1 t  t  Ta có at + s =1 ⇔ a = t + − 2s t = + t − t −s + t + t + ( s − 1) t + − 2s t Xét hàm số f ( s ) = đoạn + t − 2 t −s + t + t + ( s − 1) 2t ( s − 1) − t s  t  − = f '( s ) = 2 2 −s + t + t + ( s − 1) ) ( ( ) (t ( 2t a − s + ( s − 1) )  t2  0;  ta có   − t ) ( −s + t + 1) 2 2 ≤0 Bởi a − s ≤  t2  Do f(s) hàm nghịch biến đoạn 0;  Vì f ( s ) ≥    t2  f   4    t2  Ta cần chứng minh f   ≥ 4   t2 +2 t  t Ta có: f   − ≥ ⇔ + t − −2≥0 4 t t     t +1 t +  − 1 4  ( ) ⇔ ( − t ) 6t − 11t + 10t − 12t + ≥ ⇔ t ≤ (ln đúng) http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a= b= 1, c= hốn vị Cách 2: Đặt p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc Bất đẳng thức viết lại dạng: + p2 − ≥ ⇔ p ( p − ) + r (1 + p ) ≥ p−r p + Nếu p ≥ bất đẳng thức hiển nhiên + Nếu ≤ p ≤ theo bất đẳng thức Schur bậc ta có r ≥ ( p 4q − p )= 4p − p Ta cần chứng minh p − p3 (1 + p ) ≥ ⇔ p ( − p )( p − 1)2 ≥ Bất đẳng thức ln ta có điều phải chứng minh Bài 13 Cho a,b,c số thực khơng thoả mãn điều kiện ab + bc + ca ≥ p2 ( − p ) + Chứng minh rằg với số thực k ≥ (a )( ta có )( ) + k b + k c + k ≥ ( k + 1) Lời giải Chú ý đẳng thức (a )( )( ) ( k ( a + b + c ) − abc ) + k b + k c + k= + k ( ab + bc + ca − k ) Trước tiên ta chứng minh k = bất đẳng thức đúng, 2 1 1 1 1        a +  b +  c +  ≥  ab + bc + ca −  ≥  −  =  + 1 3 3 3 3 3         Với k ' ≥ k ≥ (a )( ta có )( ) + k ' b2 + k ' c + k ' =  a + k + ( k '− k )  b2 + k + ( k '− k )  c + k + ( k '− k )      ( )( )( ) 3 ≥  a + k b2 + k c + k + k '− k  ≥ (1 + k + k '− k ) = ( k '+ 1)   Bài 14 Cho x,y,z số thực khơng âm thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = Chứng minh + x+ y + y+z 1 ≥2+ z+x http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com Lời giải  t2  t= y + z Khơng tính tổng qt giả sử x = max { x, y, z} đặt  , s ∈ 0;     s = yz 1− s t Gọi P biểu thức vế trái ta có Ta có xt + s =1 ⇒ x = x+ y + x+z x + y + z + x2 + 1 P= + = + y+z y+z x + xy + xz + yz x2 + 1− s +t 2t t + − 2s t t = + + = + + 2 2 2 t t t s + − ( ) 1− s  t s + − s − ( )     +1   +1  t   t  Xét hàm số f ( s ) t = 2t f '( s ) = ( t + − 2s t + (1 − s ) (1 − s )2 − t s t + (1 − s ) ) 2 + + 2t t + (1 − s ) 2t (1 − s )  t2  đoạn 0;  ta có   ( 2t x − s ) = 2  t2 + 1− s  ( )  t + (1 − s )    ( ) + 2t (1 − s )  t2 + 1− s  ( )     ≥0  t2  Do f(s) hàm đồng biến đoạn 0;     t  Vì f ( s ) ≥ f (0) =t + = t +  t +1 t +  t2 +1  t2 + 2t t + t+ ≥2+ t t +1 Bài 15 Cho a,b,c số thực khơng âm thoả mãn điều kiện ab + bc + ca > 1 Chứng minh + + ≥ 4a + bc 4b + ca 4c + ab a + b + c Do P ≥ Lời giải Giả sử a = max {a, b, c} , chứng minh 4a + bc + 4b + ca ≥ a+b ,t = 4t + tc http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com Thật theo bất đẳng thức AM – GM ta có 4a + bc ( + 4b + ca ) ( ≥ ( 4a 2 )( )( + bc 4b + ca ) ) Và 4t + tc − 4a + bc 4b + ca = ( a − b )2  c + a + b2 + 6ab − 3c ( a + b )  ≥ 4  Theo AM – GM ta có 4c + ab ≥ 4c + t 2 Vậy ta cần chứng minh 4 + ≥ = 2 + + +c a b c t 4t + tc 4c + t  2 1  1 ⇔ − + − ≥ −     2 t  2t + c t  4t + tc t   4c + t −t −4c −2 ⇔ + ≥ 2t + c 4t + tc 2t + 4t + tc 4c + t t + 4c + t ( ⇔ ) ( ) 4c − − ≥0 t ( 2t + c ) 4t + tc 2t + 4t + tc t 4c + t t + 4c + t ( ) ( ) Bất đẳng thức tổng hai bất đẳng thức sau 1 − ≥ (1) 2 3t ( 2t + c ) 4t + tc 2t + 4t + tc ( ) 4c − ≥ (2) 3t ( 2t + c ) t 4c + t t + 4c + t ( ) Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy khi= a b= , c hốn vị Bài 16 (Việt Nam TST 2006) Cho x,y,z số thực thuộc đoạn [1;2] Chứng 1 1  x y z  minh ( x + y + z )  + +  ≥  + +  x y z  y+z z+x x+ y Lời giải Ta cần chứng minh 1 1  x y z  f ( x, y , z ) = ( x + y + z )  + +  −  + + ≥0  x y z  y+z z+x x+ y http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com Khơng tính tổng qt giả sử x = max { x, y, z} Xét hiệu: 6( x + y + z )( y − z )  y + z y + z  ( x + y + z )( y − z ) f ( x, y , z ) − f  x, , = −  2  yz ( y + z ) ( x + y )( x + z )(2 x + y + z )  = ( x + y + z )( y − z ) [( x + y )( z + x)(2 x + y + z ) − yz ( y + z )] ( x + y )( y + z )( z + x)(2 x + y + z ) x số lớn ba số nên ( x + y )( z + x)(2 x + y + z ) > yz ( y + z ) y+z ≥1 Vì ta cần chứng minh f ( x, t , t ) ≥ nên f ( x, y, z ) ≥ f ( x, t , t ) với = t Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với: (t − x) (2t − x) 2t  1 2  x ( x + 2t )  +  −  + ≥ ⇔ ≥ 0,  tx(t + x)  x t   2t t + x  Bất đẳng thức cuối 2t ≥ ≥ x Đẳng thức xảy x= y= z; x= 2, y= z= Bài tốn chứng minh C BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh a + b + c ≥ + abc Bài Cho a,b,c số thực khơng âm thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh ( − ab )( − bc )( − ca ) ≥ Bài Cho a,b,c số thực dương có tích Chứng minh 1 13 25 + + + ≥ a b c a + b + c +1 Bài Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a, b, c ≥ a + b + c = ( )( )( ) Tìm giá trị lớn biểu thức P = + a + b2 + c2 Bài Cho a,b,c số thực khơng âm thỏa mãn a + b + c = ( )( )( ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + a + b2 + c2 Bài Cho a,b,c số thực khơng âm thỏa mãn a + b + c = ( )( )( ) Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b3 b3 + c c + a http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com Bài Cho x,y,z số thực dương có tích Chứng minh x + y + z + x + y + z ≥ ( xy + yz + zx ) Bài Cho a,b,c số thực dương có tích Chứng minh 1 1 1 a + b2 + c2 ≥  a + b + c + + +  2 a b c Bài Cho x,y,z số thực dương có tổng Chứng minh  x y z  21 − 54 x3 + y + z −  + +  ≥ xyz  yz zx xy  Bài 10 Cho a,b,c số thực khơng âm có tổng Chứng minh ( (a ) )( )( ) 256 Bài 11 Cho a,b,c số thực dương có tích Chứng minh + b3 b3 + c c + a ≤ + a + ≤ a − a +1 b − b +1 c − c +1 Bài 12 Cho a,b,c số thực khơng âm có tổng Chứng minh 2 1+ b + c 1+ c + a 1+ a + b Bài 13 Cho x,y,z số thực khơng âm thoả mãn điều kiện x + y + z = ( + b 2 )( )( c + ≥ ) Chứng minh x + y + y + ≥ 512 Bài 14 Cho x,y,z số thực khơng âm Chứng minh x3 + y + z ( xy + yz + zx ) ( x + y + z )5 ≥ −9 ( ) Bài 15 Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh 1 27 ≤ + + ≤ + xy + yz + zx ( x + y + z )2 Bài 16 Cho a,b,c số thực khơng âm thoả mãn điều kiện ab + bc + ca > Chứng minh a + bc + b + ca + c + ab ≥ a+b+c D HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Bài Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với P ( a, b, c ) = a + b + c − abc − ≥ Khơng tính tổng qt gỉa sử a = max {a, b, c} ta có http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com 3= a + b + c ≥ a + ( b + c )2 > a ⇒ ≤ a < 2  b2 + c2 b2 + c2 Ta chứng minh P ( a, b, c ) ≥ P  a, ,  2  Thật  b2 + c2 b2 + c2 P ( a , b, c ) − P  a , ,  2  = a (b − c ) ( b − c )2 − ( b + c + b2 + c2  = ( b − c )2  a −  b + c + b2 + c2    2 b − c)  (  ≥ a−    a + − a2    ( ( = ( b − c )2  a + a Mặt khác   b2 + c2   = b + c − b2 + c2 + a  − bc        ( )      ) ( ) − a −  ≥ 0, ∀a ∈ 1;     b2 + c2 b2 + c2 , P  a,  2  a ( ) )  a − a2  =+ −2 3−a − a   (  − a2 = 1 −   Chú ý − ) ) 2     )  − a   a + a − 2     − a2 ≥0 ( ) − a2 + a − ≥ ⇔ a2 − a2 ≥ ( − a ) ( ) ⇔ ( a − 1) − a3 − a ≥ Ln Bất đẳng thức chứng minh đẳng thức xảy a= b= c= http://www.toanmath.com http://www.toanmath.com Cách 2: Giả sử a max {a, b, c} ⇒ a ≥ a,b,c độ dài ba cạnh tam giác = nên a ≤ b + c ≤ Khi P = a + b + c − − abc = a + b + c + 2bc − − abc = a + t + s − − as  t Với t = bc, s ∈ 0;  b2 + c2 , s =  2  t Xét hàm số f ( s ) = a + t + s − − as với s ∈ 0;  ta có  2 1 − [...]... ≥ z x 2 + xy + y 2 2 Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = 0 4) Kỹ thuật biến đổi với bất đẳng thức chứa căn + Phép bình phương hai vế được ưu tiên + Cần chứng minh A1 + A2 + + An ≥ b1 + b2 + + bn Ta có để chứng minh A1 = b12 + c12 ≥ b12 = b1 Rồi cộng lại theo vế các bất đẳng thức trên ta có đpcm Ví dụ 1 Chứng minh với mọi số thực x,y cùng dấu và số thực k, ta có k2... c 2 + 3ca c 2 + a 2 ) Bất đẳng thức trên là tổng của ba bất đẳng thức có dạng: ( ) a 4 + b 4 + 4a 2b 2 − 3ab a 2 + b 2 = ( a − b ) + ab ( a − b ) 4 ( 2 ) = ( a − b ) a 2 − ab + b 2 ≥ 0 2 Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b= c= 1 11) Biến đổi hàm lượng giác Ví dụ 1 Chứng minh với mọi số thực x ta có cos(sin x) > sin(cos x) Lời giải π  Bất đẳng thức đã cho tương đương... và chỉ khi x = y Bài 8 Bất đẳng thức vế trái tương đương với: xy ( x − y ) ) 2 ≥ 0 ( x2 + y 2 2 − 4 xy + y 2 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y (x Bất đẳng thức vế phải tương đương với: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = x ( 8 x +y 2 ) ) 2 2 2 ≥0 (2 ± 3) y Bài 9 Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã cho về dạng luôn đúng a + b ≥ a + b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0 Chú ý Thực chất bất. .. theo vế hai bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y= z c) Theo câu a) ta có x3 + y 3 + z 3 − 3 xyz ≥ 0, do đó nếu luôn đúng + Ngược lại xét y + z − 2 x > 0 ⇔ ( y − x ) + ( z − x ) > 0 y+z − x ≤ 0 bất đẳng thức 2 Đặt y =2a + x, z =2b + x bất đẳng thức trở thành ( ) 12 x a 2 − ab + b 2 + 6 ( a + b )( a − b ) ≥ 0 2 y+z −x>0 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi... 2 b Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y= z Ví dụ 3 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 4 4 4 a b c Chứng minh rằng + + ≥ + + 3 3 3 ( a + b) (b + c ) (c + a ) b + c c + a a + b Lời giải x a + b = a= 3 − y   Đặt b + c = 3 nên x, y, z > 0 và b= 3 − z y do a, b, c > 0 và a + b + c = c + a = c= 3 − x z   Khi đó bất đẳng thức trở thành: ... riêng khi e = 1 Bài 6 Ta chứng minh x3 x + xy + y 2 2 ≥ 2x − y với mọi số thực dương x và y 3 Thật vậy bất đẳng thức tương đương với: ( x + y )( x − y ) ≥ 0 (luôn đúng) 2 Áp dụng bất đẳng thức trên ta có a3 a + ab + b 2 2 b3 b + bc + c 2 2 ≥ 2a − b ; 3 ≥ 2b − c ; 3 2c − a 3 c + ca + a Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b= c Bài tập tương... 2bc ≥ Nhân theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có ngay điều phải chứng minh Đẳng thức 1 xảy ra khi và chỉ khi a= b= c= 3 10) Kỹ thuật sử dụng tính thuần nhất Đưa bất đẳng thức về dạng đồng bậc sẽ dễ xử lý hơn(xem thêm chương 3) Ví dụ 1 Cho a,b,c là các số thực thoả mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 3 Chứng minh rằng a3 ( b + c ) + b3 ( c + a ) + c3 ( a + b ) ≤ 6 Lời giải Bất đẳng thức đã cho tương đương... ) max ( x − y ) , ( y − z ) + ( z − x ) 4 Bài 48 Cho a,b,c là các số thực không âm Chứng minh 2 2 2 a+b+c 3 a− b ; b− c ; c− a − abc ≤ max 3 { {( } ) ( )} ) ( D HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Bài 1 Bất đẳng thức tương đương với: Chú ý ( a + b ) ( a+ b ) 2 − 6ab = ( a− b ) ( a − b )2 + 2  ( a + b ) 2 ( a+ b ( ) 2  − 6ab  ≥ 0  ) ab a + b − ab ≥ 0 Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và. .. phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y= z Bài 5 Bất đẳng thức tương đương với 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 + 4d 2 + 4e2 ≥ 4a ( b + c + d + e ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ a 2 − 4ab + 4b 2 + a 2 − 4ac + 4c 2 + a 2 − 4ad + 4d 2 + a 2 − 4ae + 4e 2 ≥ 0 ⇔ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2e ) ≥ 0 2 2 2 2 Bất đẳng thức luôn đúng Dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = a 2= b 2= c 2= d 2e Bất đẳng thứ hai... Thực chất bất đẳng thức xuất phát từ tính đồng biến trên khoảng x ( −1; +∞ ) của hàm số y = x +1 Bài tập tương tự Chứng minh với mọi số thực a và b ta có 2014 + a + b a + b + 2015 ≤ 2014 + a + b a + b + 2015 2 1  3  2 Bài 10 Bất đẳng thức tương đương với  b +  +a + 2 − 3≥0 2a  4a  ( ) 2 2 2a 2 − 3 1   ⇔ b + ≥0  + 2a  4a 2  Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1