Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 95 5. Đạo hàm gốc Giả sử hàm f và các đạo hàm của nó là các hàm gốc. f(t) zF(z) - f(0) và n , f (n) (t) z n F(z) - z n-1 f(0) - - f (n-1) (0) (5.8.5) Chứng minh f(t) + 0 zt dte)t(f = e -zt f(t)| + 0 + z + 0 zt dte)t(f với Rez > 0 Qui nạp suy ra công thức thứ hai. 6. Tích phân gốc Nếu hàm f là hàm gốc thì tích phân của nó cũng là hàm gốc. t 0 d)(f z 1 F(z) (5.8.6) Chứng minh Hàm g(t) = t 0 d)(f thoả mn các điều kiện hàm gốc và g(0) = 0. Theo công thức 5. g(t) G(z) g(t) = f(t) zG(z) - g(0) = F(z) 7. Anh của tích chập Nếu hàm f và hàm g là các hàm gốc thì tích chập của nó cũng là hàm gốc. (f g)(t) F(z)G(z) (5.8.7) Chứng minh (f g)(t) dted)t(g)(f 0 zt 0 + + = + + 0 )t(z 0 z d)t(yed)(xe 8. Công thức Duhamel Giả sử hàm f, hàm g và các đạo hàm của chúng là các hàm gốc. zF(z)G(z) f(0)g(t) + (fg)(t) f(t)g(0) + (fg)(t) (5.8.8) Chứng minh zF(z)G(z) = f(0)G(z) + (zF(z) - f(0))G(z) f(0)g(t) + (fg)(t) Ví du 1. Ta có (t) 1 suy ra (t) = t 0 d)( z 1 và (t) = (t) 1 2. Ta có t = t 0 d)( 2 z 1 qui nạp suy ra t n 1n z !n + với Rez > 0 Công thức đổi ngẫu Bằng cách so sánh các công thức ảnh và nghịch ảnh của biến đổi Laplace chúng ta suy ra các công thức đối ngẫu của các công thức (5.8.2) - (5.8.7) Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace Trang 96 Giáo Trình Toán Chuyên Đề 2. Dịch chuyển ảnh a , e at f(t) F(z - a) (5.8.2) 5. Đạo hàm ảnh tf(t) - F(z) và n , t n f(t) (-1) n F (n) (z) (5.8.5) 6. Tích phân ảnh t 1 f(t) z d)(F (5.8.6) 7. Anh của tích f(t)g(t) i2 1 + i i d)z(G)(F = i2 1 (FG)(z) (5.8.7) Ví dụ 1. Ta có t n 1n z !n + suy ra e -at t n 1n )az( !n + + với Rez > - Rea 2. Ta có sint 22 z + suy ra tsin t - + 22 z = 222 )z( z2 + 3. Ta có t tsin + z 2 1 d = 2 - arctgz suy ra sit = t 0 d sin z 1 ( 2 - arctgz) Đ9. Tìm ảnh, gốc của biến đổi Laplace Gốc của hàm hữu tỷ Bài toán tìm ảnh của hàm gốc thờng đơn giản, có thể giải đợc ngay bằng cách sử dụng các công thức (5.7.1) - (5.7.7). Bài toán tìm gốc phức tạp hơn nhiều, để đơn giản chúng ta giới hạn trong phạm vi tìm hàm gốc của các phân thức hữu tỷ. Trong các ví dụ ở trên chúng ta đ có các công thức sau đây. az 1 e at n )az( 1 e at )!1n( t 1n (5.9.1) 22 z z + cost 22 z + sint (5.9.2) Giả sử 1n22 )z( 1 + f(t) và 1n22 )z( z + g(t) Biến đổi n22 )z( z + = + 1n22 )z( 1 )1n(2 1 )1n(2 1 tf(t) = (t) (5.9.3) Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 97 n22 )z( 1 + = 1n222 )z( 1 )1n(2 3n2 + + + 1n222 )z( z )1n(2 1 2 )1n(2 3n2 f(t) - 2 )1n(2 1 tg(t) = (t) (5.9.4) Biến đổi n2 )qpz2z( NMz ++ + = n22 ))pz(( )pz(M ++ + + n22 ))pz(( MpN ++ với 2 = q - p 2 > 0 Me -pt (t) + (N - Mp)e -pt (t) (5.9.5) Trờng hợp F(z) là phân thức bất kỳ, ta phân tích F(z) thành tổng các phân thức đơn giản dạng (5.9.1) - (5.9.5) Sau đó dùng các tính chất tuyến tính để tìm hàm gốc f(t). Ví dụ Tìm gốc của phân thức 1. F(z) = )8z4z)(2z( 2z2z3 2 2 ++ ++ = 2z 1 + 2 4)2z( 2z 2 ++ + - 4)2z( 1 2 ++ e 2t + 2e -2t cos2t - 2 1 e -2t sin2t = f(t) 2. F(z) = 22 )2z2z( 4z3 + = 22 )1)1z(( 1)1z(3 + f(t) = e t g(t) G(z) = 3 22 )1z( z + - 22 )1z( 1 + = - 3 2 + 1z 1 2 - 2 1 +1z z 2 - 2 1 1 z 1 2 + 2 3 tsin t + 2 1 tcost - 2 1 sin t = g(t) Phơng trình vi phân hệ số hằng Cho phơng trình vi phân hệ số hằng a n x (n) (t) + + a 1 x(t) + a 0 x(t) = f(t) x 0 = x(0), x 1 = x(0), , x n-1 = x (n-1) (0) (5.9.6) Giả sử các hàm x(t), , x (n) (t) và f(t) là các hàm gốc. Chuyển qua ảnh x(t) X(z) x(t) zX(z) - x 0 x (n) (t) z n X(z) - z n-1 x 0 - - x n-1 f(t) F(z) (5.9.6) A(z)X(z) = F(z) + B(z) Giải ra đợc X(z) = )z(A )z(B)z(F + x(t) (5.9.7) Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace Trang 98 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Ví dụ Giải phơng trình = = =+ + 2 (0)x 1, x(0) et 4x(t) (t)x4 (t)x -2t3 Giả sử x(t) và các đạo hàm của nó đều là hàm gốc. x(t) X(z), x(t) zX(z) - 1, x(t) z 2 X(z) - z - 2 và f(t) = t 3 e -2t 4 )2z( 6 + Chuyển qua ảnh (z 2 + 4z + 4)X(z) = 4 )2z( 6 + + (z + 6) Giải ra đợc X(z) = 2z 1 )2z( 4 )2z( 6 24 + + + + + x(t) = )t 20 1 t41(e 5t2 ++ Phơng pháp trên có thể sử dụng để giải một số phơng trình vi phân hệ số biến thiên, hệ phơng trình vi phân, phơng trình đạo hàm riêng hoặc phơng trình tích phân. Ví dụ Giải hệ phơng trinhg vi phân == =+ =+ 1)0(y,1)0(x e2y2x3y eyxx t t Giả sử x(t) và y(t) là các hàm gốc, chuyển qua ảnh hệ phơng trình + =+ + =+ 1 1z 2 Y)2z(X3 1 1z 1 YX)1z( Giải hệ phơng trình tuyến tính suy ra X(z) = 1z 1 = Y(z) x(t) = e t = y(t) Bảng gốc ảnh Laplace Tt f(t) F(z) Tt f(t) F(z) 1 (t) 1 5 )!1n( t 1n e - t n )z( 1 + , Rez > - 2 (t) z 1 , Rez > 0 6 e - t cos t 22 )z( z ++ + , Rez > 0 3 (t - ) e - z , z 7 e - t sint 22 )z( ++ , Rez > 0 4 n (t) = (n) (t) z n , z 8 n (t) = (t) (t) n z 1 , Rez > 0 Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 99 Bài tập chơng 5 1. Tìm ảnh Fourier của các hàm gốc sau đây. a. e -2(t-1) (t) b. e -2|t-1| c. (t +1) + (t -1) d. sin(2t + 4 ) e. e - t cost(t), > 0 f. e -3|t| sin2t g. te -2t sin4t(t) h. sintsin2t i. > + 1 |t| 0 1 |t | tcos1 j. << 1) (0,t 0 1t0 t1 2 k. > < 2 |t | 0 2 |t| 1 1 1 |t| t l. + |n2t| e m. t 2 t tsin n. 22 )t1( t4 + o. )1t( )1t(2sin t tsin p. Biết f(t) 3 + , F -1 {(1 + i)F()} = Ae -2t (t) và + d|)(F| 2 = 2 q. Biết f(t) 3, t 0, f(t) = 0 và 2 1 + de)(FRe it = | t | e -|t| 2. Tìm gốc Fourier của các hàm ảnh sau đây. a. e (-) - 2e - t () b. 2 )2(3sin2 c. () - ( - 2) d. e 2i cos e. e - cos(4 + /3) f. cos2sin(/2) g. 2() + ( - 4) + ( + 4) h. 2( - ) + 2( + ) + 3( - 2) + 3( + 2) i. | F | = 2[( + 3) - ( - 3)], = - 2 3 + 3. Cho f F với f(t) có đồ thị nh hình bên. a. Tìm () b. Tìm F(0) c. Tính + d)(F d. Tính + de sin2 )(F 2i e. Tính + d|)(F| 2 f. Tìm gốc của ReF() 4. Tính tích chập (fg)(t) bằng biến đổi Fourier ngợc a. f(t) = te -2t (t), g(t) = e -4t (t) b. f(t) = te -2t (t), g(t) = te -4t (t) c. f(t) = e -t (t), g(t) = e t (-t) d. f(t) = cos 2 t, g(t) = t tsin 5. Giải phơng trình vi phân hệ số hằng bằng biến đổi Fourier. a. y + 3y + 2y = x + 3x b. y + 5y + 6y = x + 4x c. y + 2 y + y = 2x - 2x d. y + 4y + 3y = x + 2x e. y + 10y = xf - x với f(t) = e -t (t) + 3(t) - 1 0 1 2 3 2 1 Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 95 5. Đạo hàm gốc Giả sử hàm f và các đạo hàm của nó là các hàm gốc. f(t) zF(z) - f(0) và n , f (n) (t) z n . - Mp)e -pt (t) (5 .9. 5) Trờng hợp F(z) là phân thức bất kỳ, ta phân tích F(z) thành tổng các phân thức đơn giản dạng (5 .9. 1) - (5 .9. 5) Sau đó dùng các tính chất tuyến tính để tìm hàm gốc f(t) 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace Trang 98 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Ví dụ Giải phơng trình = = =+ + 2 (0)x 1, x(0) et 4x(t) (t)x4 (t)x -2t3 Giả sử x(t) và các đạo hàm của nó