SKKN bất đẳng thức AM GM 2010

sở giáo dục - đào tạo Hà Nội trờng thpt cổ loa SánG kiến kinh nghiệm Đề tài : Kĩ Thuật sử dụng Bất đẳng thức AM-GM kỳ thi olympic toán quốc tế Ngời thực hiện: Trần Quốc Thép Tổ toán Tr ờng THPT Cổ Loa Năm học: 2009 2010 GV Trn Quc Thộp Mc lc NI DUNG I.PHN M U: 1/Lý chn ti: 2/Mc tiờu nghiờn cu: 3/Nhim v nghiờn cu: 4/Cỏc phng phỏp nghiờn cu: II.PHN NI DUNG: 1/Lch s ca nghiờn cu: 2/C s lý lun ca ti: 3/Thc trng ca nghiờn cu: 4/Ni dung nghiờn cu v kt qu nghiờn cu: A/NI DUNG NGHIấN CU: I Mt s kin thc c bn cn nh II Cỏc k thut s dng AM-GM S dng trc tip bt ng thc AM-GM K thut dựng hoỏn v vũng Phng phỏp cõn bng tng Phng phỏp cõn bng tớch Phng phỏp thờm hng t v chn im ri AM-GM K thut thờm nghch o S dng AM-GM ngc du III Bt ng thc AM-GM kỡ thi toỏn quc t B/KT QU NGHIấN CU: III.PHN KT LUN: 1/Kt lun: 2/Ti liu tham kho: TRANG 2 2 3 3 4 4 12 13 34 34 35 GV Trn Quc Thộp I.PHN M U: 1/Lý chn ti: Bt ng thc AM-GM(thng c gi l bt ng thc Cụsi) l mt mng kin thc cú mt rt nhiu kỡ thi hc sinh gii quc gia, quc t cng nh kỡ thi tuyn sinh i hc Trong thi gian hc Cao hc ti trng H KHTN, chỳng tụi vụ cựng bit n PGS.TS Nguyn V Lng, ngi thy ó hng dn v dỡu dt chỳng tụi Nh phong cỏch ging dy c ỏo v mt kin thc uyờn thõm v bt ng thc, ng thi vi nhiu nm kinh nghim o to hc sinh gii toỏn quc t, thy ó truyn cm ng hc cho chỳng tụi tỡm hiu sõu, nghiờn cu v m rng cỏc bi toỏn v bt ng thc Trong bi lun ny tụi s cp v s dng bt ng thc AM-GM kỡ thi toỏn ng thi cung cp cỏc bi sỏng to t chỳng 2/Mc tiờu nghiờn cu: Mc tiờu ca tỏc gi l nghiờn cu cỏc th thut s dng bt ng thc AMGM cỏc kỡ thi toỏn quục t, ng thi sỏng to cỏc bi mi 3/Nhim v nghiờn cu: - Phõn loi cỏc phng phỏp gii s dng bt ng thc AM-GM kỡ thi Olimpic toỏn quc t - S dng s t sỏng to cỏc bi toỏn mi 4/Cỏc phng phỏp nghiờn cu: - Phng phỏp phõn tớch: nghiờn cu ton b cỏc li gii cỏc bi toỏn bt ng thc - Phng phỏp tng hp: tng hp cỏc kin thc v bt ng thc AM-GM trờn mng - Phng phỏp thc nghim: ging dy mt bi toỏn tụi thy rng cn phi th nghim cỏch dy qua nhng lp khỏc thỡ mi rỳt nhng kinh nghim v ci tin phự hp cho lp sau GV Trn Quc Thộp - Phng phỏp trao i v tho lun: cựng nghiờn cu v cung cp nhng kt qu tho lun vi cỏc thy cụ giỏo t cng nh trờn mng intenet II.PHN NI DUNG: 1/Lch s ca nghiờn cu: Cú th núi bt ng thc AM-GM nghe cú v rt c nhng li luụn cú tớnh thi s, xut hin liờn tc cỏc thi toỏn gn õy 2/C s lý lun ca ti: C s trit hc: t trc quan sinh ng n t tru tng, t t tru tng n thc tin ú l ng bin chng ca quỏ trỡnh tỡm chõn lý C s tõm lý hc: ngi ch bt u t tớch cc ny sinh nhu cu cn t T mỡnh xut c hng gii quyt Yờu cu ca thc tin: i mi phng phỏp dy hc theo tinh thn sỏch giỏo khoa mi Thc hin ly hc sinh lm trung tõm ca quỏ trỡnh dy hc 3/Thc trng ca nghiờn cu: a s hc sinh rt ngi hc mng kin thc ny, rt lỳng tỳng quỏ trỡnh phõn tớch tỡm bn cht v dng kin thc v bt ng thc AMGM Mt iu quan trng l hc sinh thiu phng phỏp, giỏo viờn thỡ cha a ng tip cn hp lý 4/Ni dung nghiờn cu v kt qu nghiờn cu: A/NI DUNG NGHIấN CU: A.1)í tng ch o xuyờn sut ca dy bt ng thc AM-GM : Hc sinh cn bit nh c cỏc dng ca bt ng thc AM-GM, du bng ca ng thc xy no Sau ú bit d oỏn cỏch gii thụng qua du bng xy no GV Trn Quc Thộp A.2) Cỏc kin thc v k nng chun b: I.Mt s kin thc c bn cn nh bt ng thc AM-GM: Cho a, b l cỏc s khụng õm thỡ ta cú a+b ab Tng quỏt: Cho a1, a2 , , an l cỏc thc khụng õm thỡ ta cú a1 + a2 + + an n a1a2 an n bt ng thc AM-GM Svỏc (Cauchy-Schwarz): ( x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + + xn yn ) ( x12 + x22 + + xn2 ) ( y12 + y22 + + yn2 ) bt ng thc Schwarz: a12 a22 a ( a + a + + an ) + + + n b1 b2 bn b1 + b2 + + bn II Cỏc k thut chớnh s dng bt ng thc AM-GM S dng trc tip bt ng thc AM-GM Mc ớch chớnh ca lp bi ny l giỳp hc sinh lm quen v cú hng thỳ u tiờn s dng bt ng thc AM-GM Bi Chng minh rng a > 0, b > : a b + b a (1) Phõn tớch: Ta ó chng minh c bi ny bng phng phỏp bin i tng ng, sau õy l mt cỏch lm khỏc: Gii: a>0 v b>0 nờn a b > 0, > vỡ vy ỏp dng bt ng thc AM-GM ta b a cú: a b ab a b a b + + + b a ba b a b a Du bng xy a b = a2 = b2 a = b b a Tip tc phỏt trin ỏp dng bt ng thc AM-GM ta cú: GV Trn Quc Thộp 1 (a + b)( + ) a b Bi 2: Chng minh rng: a, b > (2) Phõn tớch: Cú nhiu cỏch gii bi trờn: Cỏch 1: l nhõn v trỏi sau ú ỏp dng bt ng thc AM-GM cho a/b v b/a Cỏch 2: Qui ng ri a v (a+b)2 4ab, khai cn tr v bt ng thc AM-GM v.v Tuy nhiờn cỏc phộp bin i ú l di ta cú th lm nh sau: Gii: Vỡ a > 0, b > nờn 1 > 0, > ỏp dng bt ng thc AM-GM ta cú: a b a + b ab 1 1 1 (a + b)( a + b ) ab ab (a + b)( a + b ) + a b ab Du bng xy a = b Cỏc bi tng t cú th dựng cng c Lỳc ny ta nờn chỳ ý cho hc sinh l: t cỏc bt ng thc trờn bng cỏc phộp bin i tng ng ta cú th suy mt s bt ng thc ph khỏ hu ớch: 1 + a b a+b ( a+b ) ab ab (a + b) (2a) 1 1 ( + ) a+b a b (2c) (2b) (2d) 1 1 ( + + ) (3a) a+b+c a b c M nú cú th ỏp dng gii mt vi bi khú rt n gin: Vớ d 1:( Belarus, 1999): Cho a , b, c l ba s thc dng tha a + b + c = Chng minh rng: 1 + + + ab + bc + ca Gii: Chỳng ta cng cú th bt u vi GV Trn Quc Thộp 1 9 + + = 2 + ab + bc + ca + ab + bc + ca a + b + c Tng t: Vớ d 2:( Rumania, 1999): Cho a,b,c l cỏc s thc dng tha ab + bc + ca 3abc Chng minh rng a + b + c a + b3 + c Vớ d 3:Vi a + b + c 1, a, b, c > CMR: 1 + + (i hc Bỏch khoa) a + 2bc b + 2ac c + 2ba (8) Vớ d 4: HKHTN - 2000: Cho x, y, z > vi x + y +z Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P= 1 + + xy + zy + xz + (9) Gii: 1 + + )( xy + + yz + + zx + 1) xy + zy + xz + 9 A= 2 xy + yz + zx + x + y + z + ( Vy giỏ tr nh nht ca A l 3/2 K thut dựng hoỏn v vũng õy l mt k thut ph bin dựng bt ng thc AM-GM , rt n gin v hiu qu dựng v to rt nhiu hng thỳ cho hc sinh Bi 3: Chng minh a, b, c > thỡ ab bc ac + + a+b+c c a b (9) Phõn tớch: Nu ỏp dng bt ng thc AM-GM cho s hng ta thy khú cú th lm c, vỡ vy ta cn linh hot dng cho tng b hai s Gii: Vỡ a > 0, b > 0, c > nờn ab bc > 0, > 0, c a AM-GM cho cỏc cp: ac > ỏp dng bt ng thc b GV Trn Quc Thộp ab bc ab bc ab bc + + 2b c a c a c a bc ac bc ac bc ac ab bc ac + + 2c 2( + + ) 2(a + b + c) pcm a b a b a b c a b ac ba ac ba ac ba + + 2a b c b c b c Du bng xy a = b = c Ta thy rng phng phỏp ny ỏp dng cú hiu qu rt tt cho mt lp cỏc bi sau: 1) a b c 1 + + + + bc ac ab a b c 3) 3a + 2b + 4c ab + bc + ca 2) a + b + c ab + ca + bc 4) a b + b c + c a abc(a + b + c) Vớ d 5: (Rioplatense, 2002) Cho a,b,c l nhng s thc dng CMR ( a b c + )( + )( + ) b+c c+a a+b Gii: ( a b c + )( + )( + ) b+c c+a a+b (2a + b + c)(2b + c + a)(2c + a + b) 8(b + c)(c + a)(a + b) Ta cú : (2a + b + c)=(a + b + a + c) (a + b)(c + a) Vớ d 6: (Short list IMO, 1998) Cho a1; a2 an l cỏc s dng a1 + a + ã ã ã + a n < Chng minh : a1a2 an ( a1 + a2 + + an ) ( a1 + a2 + + an ) ( a1 ) ( an ) n n+1 Hng dn: Chng minh b Cho x1; x2 xn > tha món: ta cú: x1 x2 xn ( n 1) n 1 + + =1 + x1 + xn GV Trn Quc Thộp Phng phỏp cõn bng tng Phng phỏp ny xut phỏt t mt nhn xột sõu sc sỏch giỏo khoa, tc l nu hai s dng cú tớch khụng i thỡ tng ca chỳng nh nht v ch chỳng bng M rng mt cỏch t nhiờn thỡ chng minh tng S= S1 + S2+ + Sn m , ta bin i S = A1+A2+ +An l cỏc s khụng õm m cú tớch A1A2 An = C khụng i, sau ú ta ỏp dng bt ng thc AM-GM Bi 4: Vớ d: Tỡm giỏ tr nh nht ca f(x) = x + x > x Gii: ỏp dng bt ng thc AM-GM cho hai s x - > v x 1+ x ( x 1) > ta cú x 1 1 x 1+ x+ Vy f(x) t giỏ tr nh x x x nht l x = Bi Chng minh rng nu x > -1 thỡ x + ( x + 1) Phõn tớch: Nu ỏp dng bt ng thc AM-GM thỡ ta thy cha kt qu, nhng nu tỏch 2x thnh x+1+x+1-2 thỡ cú iu phi chng minh 27 Bi Chng minh rng nu x thỡ x + ( x + 3) Phõn tớch: Bin i v trỏi thnh mt tng ca cỏc s hng cú tớch khụng i, vỡ vy phi phõn tớch x thnh s hng l (x+3)/3 Gii: Bt ng thc ó cho tng ng x+3 x+3 x+3 27 + + + 31 3 ( x + 3) x+3 x+3 x+3 27 + + + ỏp dng bt ng thc AM-GM cho s dng 3 ( x + 3) 27 x+3 gm ba s v ( x + 3) ta cú iu phi chng minh Du bng xy x=0 Phng phỏp cõn bng tớch GV Trn Quc Thộp Gi s x = a+b+c y = ab + bc + ca z = abc Khi ú: a2 + b2 + c2 = x2 y a b + b c + c a = y xz a 2b c = z V bt ng thc cn chng minh tr thnh: z + 2( y xz ) + 4( x y ) + y Hoc z + y xz + x 17 y + Bõy gi, t a + b + c ab + bc + ca = y , chỳng ta thu c x2 = a + b2 + c + y 3y Ngc lai, a b + b c + c a = ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) ab.bc + bc.ca + ca.ab = abc( a + b + c ) = xz 2 Vỡ vy y = a b + b c + c a + xz 3xz Do ú, ( ) ( ) x 10 35 z + y xz + x 17 y + = z + ( y 3) + y xz + x 3y 9 2 l iu cn chng minh Li gii 2: Khai trin v trỏi ca bt ng thc chỳng ta thu c bt ng thc tng ng: ( abc ) + 2( a b + b c + c a ) + 4( a + b + c ) + 9( ab + bc + ca ) T 3( a + b + c ) 3( ab + bc + ca ) v 2( a b + b c + c a ) + 4( ab + bc + ca ) ( vỡ 2a b + a b = 4ab ), ch cn chng minh bt ng thc sau l ( abc ) + a + b + c + 2( ab + bc + ca ) 25 GV Trn Quc Thộp Phn (i) ca bi 1.90 cho chỳng ta thy, ch cn chng minh bt ng thc sau l ( abc ) + 33 a b c , nú c chng minh bng cỏch s dng bt ng thc AM- GM Bi 17(IMO, 2004) Gi s a, b v c l cỏc s thc dng tha ab + bc + ca = Chng minh rng: 33 33 + 6( a + b + c ) abc abc Li gii: Gi s chỳng ta vit: 3 = 3 + 6a bc + 6b ac + 6c ab + 6( a + b + c ) = 3 abc abc + 3ab( ac + bc ) + 3bc( ba + ca ) + 3ca( ab + bc ) abc 3 3 V s dng iu kin ab + bc + ca = thu c [ + 3ab 3( ab ) + 3bc 3( bc ) + 3ca 3( ca ) ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) =3 abc abc 3 2 2 ] D thy rng 3[( ab ) + ( bc ) + ( ca ) ] ( ab + bc + ca ) (S dng bt ng thc CauchySchwarz) Khi ú, ch cn chng minh bt ng thc sau l 3 3 abc abc Bt ng thc trờn tng ng vi ( abc ) Bt ng thc cui ny c 27 chng minh t bt ng thc AM-GM ( abc ) ab + bc + ca = ( ab )( bc )( ca ) = 27 ng thc xy nu v ch nu a = b = c = 26 GV Trn Quc Thộp Bi 18 (IMO, 2004) Gi s n l mt s nguyờn Gi s t1 , t , , t n l nhng s t1 thc dng tha n + > ( t1 + t + + t n ) + 1 + + t2 tn Chng minh rng t i , t j , t k l di ba cnh ca mt tam giỏc cho tt c i, j, k vi i < j < k n Li gii: S dng tớnh i xng, ch cn chng minh vi t1 < t + t l Chỳng ta cú t ti t j tj 1 n n + t i = n + i + = n + t1 + + ( t + t ) + t i t i 1i < j n t j ( i , j ) ( 1, ) ,( ,3 ) t j i =1 i =1 t i t t t1 S dng bt ng thc AM-GM chỳng ta nhn c tj 1 t + , t + t t t v i + cho tt c i, j t j ti t 2t3 t t3 t Vỡ vy, t a = t t > v s dng gi thit, chỳng ta t c t t n2 n t n n n + > t i n + + 2 + = 2a + + n t1 a t 2t3 i =1 i =1 t i t < Vỡ vy t1 < t t , v thờm mt ln Do ú 2a + < , kộo theo < a = t 2t3 a na ỏp dng bt ng thc AM-GM cho ta t1 < t t t + t , l iu cn chng minh Bi 3.19 (Nga, 2005) Gi s x1 , x , , x6 l cỏc s thc tha x12 + x 22 + + x62 = v x1 + x2 + + x6 = Chng minh rng x1 x x6 Li gii: Nu bt k s no cỏc s l bng hoc nu mt s l cỏc s l s õm thỡ x1 x x6 v bt ng thc c chng minh 27 GV Trn Quc Thộp Vỡ vy, nu cú th ch hoc s õm gia cỏc s bt ng thc Gi s bờn cnh chỳng l s v cú s õm (trong trng hp khỏc, thay i du ca tt c cỏc s) Nu y i = xi , ú gi thit c thay bi y12 + y 22 + + y 62 = 6, y1 + y = y + + y v x1 x x6 = y1 y y p dng bt ng thc AM-GM chỳng ta nhn c y + y2 y1 y =A Tip tc ỏp dng bt ng thc AM-GM cho ta 4 y + y4 + y5 + y6 y + y2 y3 y4 y5 y6 = = A Vỡ vy, y1 y y A 24 Trong cỏch bin i khỏc, s dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ngha l ta cú ( 4( y ) y12 + y 22 ( y1 + y ) = A 2 ) + y 42 + y 52 + y 62 ( y + y + y + y ) = A 2 Vỡ vy, = y12 + y 22 + + y 62 A + A = A v ú 23 y1 y y A = 2 Bi 20(UK 2005) Cho a, b, c l ba s thc khụng õm Chng minh rng a b c 1 + + ữ ( a + b + c) + + ữ b c a a b c Hng dn: a b2 c2 a b c Bunhia ta c + + ữ + + ữ b c a b c a 28 GV Trn Quc Thộp a b c a b2 c2 a b c a b c + + AM-GM ta cú ta cú + + + + + + + + b c a b c a c a b b c a Thờm a b c + + vo c hai v c a b Bi 21 (Bulgaria 2007) Nu a, b, c l cỏc s thc khụng õm, chng minh rng ( a + 1) ( b + 1) 3 c 2a + ( a + 1) Hng dn: AM-GM dn n ca + c + a 3 c 2a Ta cú ( a + 1) ( b + 1) 3 c 2a + ( a + 1) ( b + 1) ca + c + a + = ( b + 1) c +1 Bi 22 (Iran, 2008): Tỡm s thc K nh nht cho vi mi s thc dng x, y, z ,bt ng thc sau c tho món: x y + y z + z x K ( x + y )( y + z )( z + x ) Gii : Cỏch 1: Chỳ ý rng: ( x y + y z + z x ) = x y + y z + z x + 2( xy yz + yz zx + zx xy ) Theo bt ng thc AM-GM : xyz + xy xy yz = xyz xy ,do ú: 2 ( x y + y z + z x ) x y + y z + z x + xy + yz + zx + 3xyz Ta cú : ( x + y )( y + z )( z + x ) x y + y z + z x + xy + yz + zx + xyz ,nờn: 29 GV Trn Quc Thộp ( x y + y z + z x ) ( x + y )( y + z )( z + x) + xyz ( x + y )( y + z )( z + x) + ( x + y )( y + z )( z + x) 8 = x + y )( y + z )( z + x ) 9 t ú ta cú K K K= 2 2 Khi x = y = z ,du ng thc xy vi ,vỡ vy ú l giỏ tr nh ht ca K Cỏch 2: S dng bt ng thc Cauchy-Schwarz: ( x y + y z + z x ) = x xy + y yz + z zx ( x + y + z )( xy + yz + zx ) Sau ú, s dng bt ng thc AM-GM nhiu ln cho tớch: ( x + y + z ) ( xy + yz + zx) x+ y y+z z+x xyz x y z 3 2 Bi 23 (Ireland, 2008) Nu cỏc s thc dng a, b, c, d tho a + b + c + d = ,CMR: a 2b2 cd + ab c d + abc d + a 2bcd + a 2bc d + ab cd 32 Gii: V trỏi ca bt ng thc cú th vit li thnh: a 2b 2cd + ab 2c d + abc d + a 2bcd + a 2bc d + ab 2cd = abcd (ab + bc + cd + ac + ad + bd ) 4 a + b2 + c2 + d Theo bt ng thc AM-GM,ta cú: a b c d ữ = ữ , 2 ú abcd 16 thy rng nhõn t (ab + bc + cd + ac + ad + bd ) ,ta cú th gii theo cỏch: Th nht l ỏp dng dng bt ng thc Cauchy-Schwarz: 30 GV Trn Quc Thộp (ab + bc + cd + ac + ad + bd + ba + cb + dc + ca + da + db) (a + b + c + d + a + b + c + d + a + b + c + d ) = Th hai s dng bt ng thc AM-GM,ta cú: (ab + bc + cd + ac + ad + bd ) a + b2 b2 + c2 c2 + d a + c a2 + d b2 + d + + + + + = 2 2 2 Bi 24(Ireland, 2008) Cho x, y, z l cỏc s thc dng cho xyz CMR: (a) 27 (1 + y + z ) + (1 + z + x)2 + (1 + x + y ) (b) (1 + y + z )2 + (1 + z + x) + (1 + x + y ) 3( x + y + z ) ng thc xy v ch x = y = z = Gii: (a) Sau mt s phộp bin i i s v rỳt gn,ta cú: (1 + y + z ) + (1 + z + x ) + (1 + x + y ) = + 4( x + y + z ) + 2( xy + yz + zx ) + 2( x + y + z ) Theo bt ng thc AM-GM: x + y + z 3 xyz xy + yz + zx 3 x y z x2 + y + z 3 x2 y z Vy: (1 + y + z ) + (1 + z + x ) + (1 + x + y ) = + 4.3 + 2.3 + 2.3 = 27 Du ng thc xy x = y = z = (b) Sau mt s phộp bin i,bt ng thc tng ng vi + 4( x + y + z ) + 2( xy + yz + zx) + 2( x + y + z ) 3( x + y + z ) + 6( xy + yz + zx ) Vi u = x + y + z , v = xy + yz + zx ,ta cng cú: + 4u u + 2v Nhng u ,ta thy (u 2)2 ,do ú (u 2)2 + 2v + = Du ng thc xy u = , v = ,hay x = y = z = Bi 25: (Romania, 2008) Nu a, b, c l cỏc s thc dng vi ab + bc + ca = ,chng minh rng : 1 1 + + 2 + a (b + c) + b (c + a) + c (a + b) abc 31 GV Trn Quc Thộp Gii: Chỳ ý rng: 1 1 = = = + a (b + c) + a ( ab + ac ) + a (3 bc) 3a + abc Theo bt ng thc AM-GM: 1= ab + bc + ca 2 abc 1 Do abc ,nờn: + a (b + c) = 3a + abc 3a 1 1 1 1 1 Vy: + a (b + c) + + b2 (c + a) + + c (a + b) 3a + 3b + 3c = abc Tng t: 1 1 ; + b (c + a ) 36 + c (a + b) 36 1 Vy: + a (b + c) + + b2 (c + a) + + c (a + b) 3a + 3b + 3c = abc Bi 26 ( Vietnam, 2008) Cho x, y, z l cỏc s thc khụng õm phõn bit,chng minh rng: 1 + + 2 ( x y) ( y z ) ( z x) xy + yz + zx Khi no du ng thc xy ra? Gii: nm,k55 Ta cú b : 1 Nu a, b > ,thỡ (a b) + a + b ab 1 (a + b 3ab) + + = Ta chng minh b trờn da vo : (a b) a b ab a 2b (a b) Khụng mt tớnh tng quỏt,gi s z = { x, y, z} Khi ú s dng b trờn vi a = ( x z ) , b = ( y z ) ,ta cú: 32 GV Trn Quc Thộp 1 + + 2 ( x y) ( y z ) ( z x) ( x z )( y z ) xy + yz + xz ( x z )( y z ) z ( y + x) z (luụn ỳng vi z = { x, y, z} ) Bi 27 (Iran 1998) Cho x1 , , x4 l cỏc s thc khụng õm m x1.x2 x3.x4 = Chng minh rng 1 1 x13 + x23 + x33 + x43 max x1 + x2 + x3 + x4 , + + + x1 x2 x3 x4 Hng dn: 4 Cho X = x , X i = X x hin nhiờn rng X = xi s dng AM-GM dn i=1 i =1 i i 3 n X x2 x3 x4 = x Suy X x i =1 i S dng bt ng thc Tchebyshev ta c x13 + x23 + x33 + x43 x12 + x22 + x32 + x42 x1 + x2 + x3 + x4 Nh AM-GM ta cú 4 x12 + x22 + x32 + x42 4 ( x1x2 x3 x4 ) = vy X xi i =1 Bi 28 (IMO, 1999) Cho n n l mt s nguyờn c nh a Xỏc nh hng s C nhor nht tha mn: xi x j ( xi2 + x 2j ) C xi ữ vi 1i j n 1i n mi s thc khụng õm x1 , x2 ,K , xn b Vi hng s C va xỏc nh, no thỡ du bng xy Gii 33 GV Trn Quc Thộp xi ữ = xi + xi x j ữ xi ữ xi x j ữ = xi ữ xi x j ữ 1i n 1i < j n 1i n 1i < j n i < j n 1i n 1i n =8 1i < j n xi x j ( x12 + L + xn2 ) 1i < j n xi x j ( xi2 + x 2j ) Bt ng thc th nht ỏp dng bt ng thc AM GM xỏc nh no du bng xy ra, chỳ ý rng bc cui cựng, hai s cỏc xi phi khỏc v n s cũn li phi bng Trong bc s dng bt ng thc AM GM; nhng xi khỏc phi bng Ta cú th chng minh rng trng hp ú hng s C = l nh nht Bi 29 (Czech v Slovak, 2000) Chng minh rng vi mi s thc dng a v b ta cú: a 3b 1 + 2( a + b) + ữ b a a b Gii t a = x, b = y Ta cn chng minh ( x + y ) ( x3 + y ) ; x, y > Theo AM GM ta cú: 3x y x + x3 y + x3 y v 3x y y + x3 y + x y Du bng v ch x = x3 y = y x = y Cng hai v ca hai bt ng thc trờn ta c: 3x y ( x + y ) x + y + x3 y ( x + y ) + 3x y ( x + y ) ( x + y + 2x3 y ) ( x + y ) ( x3 + y ) Du bng xy x = y a = b Bi 30 (Balkan, 2001) Cho a, b, c l cỏc s thc dng tho abc a + b + c Chng minh rng a + b + c 3abc Gii Chỳ ý rng abc a + b + c suy (abc)2 (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) Bt ng thc cui c suy t bt ng thc (1.11) 34 GV Trn Quc Thộp Theo bt ng thc AM GM a + b + c 3 ( abc ) , ú (a + b + c )3 33 ( abc ) Suy (a + b + c )4 32 ( abc ) Bi 31.(IMO, 2001) Chng minh rng vi a, b v c l cỏc s thc dng chỳng a b c + + ta cú a + 8bc b + 8ca c + 8ab a a 4/3 4/3 Gii Nu ta chng minh 4/3 4/3 , ta s tỡm c cỏch chng a + 8bc a + b + c minh bt ng thc ó cho Bt ng thc sau cựng tng ng vi (a 4/3 + b 4/3 + c 4/3 ) a 2/3 (a + 8bc) p dng bt ng thc AM GM cho mi tha s ca (a 4/3 + b 4/3 + c 4/3 )2 (a 4/3 )2 = (b4/3 + c 4/3 )( a 4/3 + a 4/3 + b 4/3 + c 4/3 ) Cỏch khỏc: Xột hm s f(x) = hm s ny li vi x >0 (f(x) = >0) x x5 Cho < a, b, c < 0, vi a + b + c = 1, chỳng ta cú th xõy dng c a b c + + p dng bt ng thc ny vi x = a2 + 8bc, y = x y z ax + by + cz b2 + 8ca, z = c2 + 8ab (s dng iu kin a + b + c = 1), ta thu c a b c + + a + 8bc b + 8ca c + 8ab a + b3 + c + 24abc Chỳ ý rng (a + b + c)3 = a3 +b3 + c3 +3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2 a + c2b) + 6abc a3+b3+ c3 +24abc 35 GV Trn Quc Thộp B/ KT QU NGHIấN CU: Qua quỏ trỡnh nghiờn cu v dng ti S dng bt ng thc AMGM , tụi nhn thy ny giỳp ớch nhiu cho hc sinh vic hc mt b mụn rt khú khn, giỳp cỏc em khụng cũn ngi ngn gii toỏn bt ng thc na, cỏc em ó gii khỏ tt nhng phn liờn quan n bt ng thc; say mờ hc v gii bi Hiu qu ny ó ng viờn khuyn khớch tụi rt nhiu Sau cú b cụng c ny, tụi thy cn thi gian tip tc nghiờn cu v ci tin cỏc k thut mi sketchpad Vỡ s vớ d thc t dy hc l rt nhiu, tỏc gi ch cung cp mt vi vớ d in hỡnh tiờu biu t d n khú Cỏc bn cú th thy trỡnh t sp xp cỏch dng ú, mc ớch chuyn t d l khỏm phỏ n bc cui cựng l sỏng to bt ng thc mi Tỏc gi hi vng cỏch sp xp ny giỳp cỏc thy cụ d c v s dng III PHN KT LUN: 1/ Kt lun: Sỏng kin kinh nghim ó t c mt s kt qu nh sau: i) Nờu cỏc phng phỏp gii Bi bng bt ng thc AM-GM ii) Gii chi tit cỏc bi toỏn thi toỏn quc t gn õy iii) Sỏng to cỏc Bi mi Sau mt quỏ trỡnh tụi xin cung cp mt vi kt qu thc nghim ban u, vi cỏch dy mi v c tụi thu c mt vi kt qu sau: vi lp thc nghim 10A1, dy theo phng ỏn mi v lp i chng 10A2, dy theo phng ỏn truyn thng (2 lp thuc trng THPT C Loa, H ni.) thụng qua bi kim tra sau dy xong 36 GV Trn Quc Thộp Gii Tng s hs SL % Thc nghim 46 20 43.5 i chng 46 13 28.3 Kt qu Khỏ SL % 24 52.2 18 39.1 Trung bỡnh SL % 4.3 15 32.6 Yu kộm SL % 0 0 Qua thc tin ging dy tụi thy rng hc sinh cú k nng chng minh tt bt ng thc thỡ trc ht ngi thy phi lm cho hc sinh hiu c cỏi hay v p ca bt ng thc, ng thi vỡ dy chng minh bt ng thc l lnh vc khú nờn cỏc thy cụ cng nờn cn c vo sc ca hc sinh nhng bi phự hp Theo kinh nghim ca tụi, ng vi ba mc nhn bit, thụng hiu v dng thỡ u tiờn bao gi cng l cỏc bi nhn bit v thụng hiu cỏc kin thc c bn, rt n gin Sau ú dn nõng mc bi lờn Chớnh vỡ vy s dng ti liu ny cho hp lớ, cỏc thy cụ b sung thờm nhng bi ht sc nh nhng, n gin v va sc vi hc sinh ca mỡnh Trờn tinh thn ú tụi ó c gng ó chn lc nhng bi nhng vớ d n gin cựng h thng bỏm sỏt tinh thn ú Tụi vit ti nhm mc ớch cựng trao i vi cỏc thy cụ dy b mụn toỏn v vic s dng bt ng thc AM-GM cú hiu qu Vỡ kin thc v thi gian cũn nhiu hn ch nờn chc rng ti liu cú thiu sút, tụi chõn thnh ún nhn s gúp ý ca Quý Thy Cụ Xin chõn thnh cm n 37 GV Trn Quc Thộp 2/ Ti liu tham kho: Cỏc bi ging v bt ng thc Cụ si _ Nguyn V Lng NXB i hc quc gia H Ni Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach Radmila Bulajich Manfrino, Josộ Antonio Gúmez Ortega,Rogelio Valdez Delgado Cỏc bi trờn Internet, cỏc mng http://forum.mathscope.org http://forum.math.vn, Din n bt ng thc An original method of proving inequalities, Iurie Boreico and Marcel Teleuca, Liceul Moldo-turc, Chisinau, Moldova 38 GV Trn Quc Thộp Đánh giá Hội đồng khoa học nhà trờng: Ngày tháng năm 2010 Chủ tịch hội đồng Đánh giá Hội đồng khoa học ngành ( Sở giáo dục - đào tạo Hà Nội ) Ngày tháng năm 2010 Chủ tịch hội đồng 39 [...]... 2 + ( bc ) 2 + ( ca ) 2 ] ≥ ( ab + bc + ca ) 2 (Sử dụng bất đẳng thức CauchySchwarz) Khi đó, chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau là đủ 3 3 3 3 3 1 ≤ abc abc 2 Bất đẳng thức trên tương đương với ( abc ) ≤ 1 Bất đẳng thức cuối này được 27 chứng minh từ bất đẳng thức AM- GM ( abc ) 3 2 1  ab + bc + ca  = ( ab )( bc )( ca ) ≤   = 3 27   Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu a = b = c = 26 1 3 GV Trần Quốc... thức (1.11), bất đẳng thức cuối cùng được suy ra từ bất đẳng thức AM – GM a3 +b+c Cách 3: thêm hạng tử bc Các bài tập mới và bình luận Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z xy yz zx 1 1 1 + + ≥ + + z 3 x3 y3 x y z Bài 8 (Rioplatense, 2002)Cho a,b,c là những số thực dương CMR a+b b+c c+a 9 1 1 1 + + + + 2 + 2 ≥ 2 a+b+c a b c c a b Giải: Bất đẳng thức trên tương đương với bấy đẳng thức sau (a +... âm ở giữa các số trong bất đẳng thức Giả sử bên cạnh chúng là số 0 và có 2 số âm (trong trường hợp khác, thay đổi dấu của tất cả các số) Nếu y i = xi , khi đó giả thiết được thay bởi y12 + y 22 + + y 62 = 6, y1 + y 2 = y 3 + + y 6 và x1 x 2 x6 = y1 y 2 y 6 Áp dụng bất đẳng thức AM- GM chúng ta nhận được 2  y + y2  2 y1 y 2 ≤  1  =A  2  Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM- GM cho ta 4 4 1 4  y... ≤ n  =8 ∑ 1≤i < j ≤ n xi x j ( x12 + L + xn2 ) ≥ 8 ∑ 1≤i < j ≤ n xi x j ( xi2 + x 2j ) Bất đẳng thức thứ nhất áp dụng bất đẳng thức AM – GM Để xác định khi nào dấu bằng xảy ra, chú ý rằng trong bước cuối cùng, hai trong số các xi phải khác 0 và n − 2 số còn lại phải bằng 0 Trong bước sử dụng bất đẳng thức AM – GM; những xi khác 0 phải bằng nhau Ta có thể chứng minh rằng trong trường hợp đó hằng số... cho a2 một số m thoả mãn: b+c 1 rút gọn được mẫu số (b+c) sau khi áp dụng bđt AM- GM ( 2 a2 m) b+c 10 a2 +m ≥ b+c GV Trần Quốc Thép a2 2 dấu bằng của bất đẳng thức AM- GM xảy ra được nghĩa là = m và a= b+c b=c suy ra m = b+c a2 b+c =m= Và để tính α thì Dễ thấy khi thay a=b=c thì α =4 α b+c α Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức AM- GM cho các số dương a2 b + c b2 c + a c2 a + b , , , , , b+c 4 c+a 4 a+b 4... trái của bất đẳng thức có thể viết lại thành: a 2b 2cd + ab 2c 2 d + abc 2 d 2 + a 2bcd 2 + a 2bc 2 d + ab 2cd 2 = abcd (ab + bc + cd + ac + ad + bd ) 4 4  a 2 + b2 + c2 + d 2   1  Theo bất đẳng thức AM- GM, ta có: a b c d ≤  ÷ = ÷ , 4   4 2 2 2 do đó abcd ≤ 2 1 16 3 2 Để thấy rằng nhân tử (ab + bc + cd + ac + ad + bd ) ≤ ,ta có thể giải theo 2 cách: Thứ nhất là áp dụng dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:... chúng bằng n Chứng minh Cách giải thứ nhất : Ta có, theo bất đẳng thức AM- GM x1 ≥ x1 x22 1 + ≥ x2 2 2 x33 1 1 + + ≥ x2 3 3 3 xnn 1 1 + + + ≥ xn n n n 1 2 n −1 + + + ≥ x1 + x2 + + xn 2 3 n 1 1 1 n2 ⇔ P + n − ( + + + ) ≥ 1 1 2 3 n + + x1 xn P+ Suy ra ⇔P≥ 1 1 1 + + + 2 3 n 15 GV Trần Quốc Thép i Cách giải thứ hai : Áp dụng bất đẳng thức AM- GM với trọng số cho các số {x j } 1    j  t = và trọng... 8 = x + y )( y + z )( z + x ) 9 9 2 từ đó ta có K ≥ 8 ⇒ K ≥ K= 3 2 2 3 2 2 Khi x = y = z ,dấu đẳng thức xảy ra với ,vì vậy đó là giá trị nhỏ hất của K Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: ( x y + y z + z x ) = x xy + y yz + z zx ≤ ( x + y + z )( xy + yz + zx ) Sau đó, sử dụng bất đẳng thức AM- GM nhiều lần cho tích: ( x + y + z ) ( xy + yz + zx) 3 x+ y y+z z+x ≤ xyz 3 x 2 y 2 z 2 ≤ 3 3... 2 + 2 ≥ + + b a a b c a Giải: áp dụng bất đẳng thức AM- GM ta có: a2 b2 c2 a2 a b2 b c2 c + + + 1 ≥ 2 + 1 ≥ 2 ≥ 3, , , 2 +1 ≥ 2 2 2 2 2 2 b c c a a b c a b Bài tập 12: CMR nếu x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 ta có x3 + y3 +z3 ≥ x + y + z Phân tích: Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1, vì vậy ta sẽ thêm vào x3 hai số hạng là 1,1 để sử dụng bất đẳng thức AM- GM hợp lí Hướng dẫn: x3 + 1 +1 ≥ 3x; y3... 4( x + y + z ) + 2( xy + yz + zx ) + 2( x 2 + y 2 + z 2 ) Theo bất đẳng thức AM- GM: x + y + z ≥ 3 3 xyz ≥ 3 xy + yz + zx ≥ 3 3 x 2 y 2 z 2 ≥ 3 x2 + y 2 + z 2 ≥ 3 3 x2 y 2 z 2 ≥ 3 Vậy: (1 + y + z ) 2 + (1 + z + x ) 2 + (1 + x + y ) 2 = 3 + 4.3 + 2.3 + 2.3 = 27 Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 (b) Sau một số phép biến đổi ,bất đẳng thức tương đương với 3 + 4( x + y + z ) + 2( xy + yz + zx) + 2(