SKKN bất đẳng thức 2014 ban chinh 2

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CỔ LOA  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Lĩnh vực: Toán học (02) Tên tác giả: Trần Quốc Thép Giáo viên môn: Toán Năm học: 2013 – 2014 Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ I.PHẦN MỞ ĐẦU: Lý chọn đề tài:……………………………………………… Mục tiêu nghiên cứu:………………………………………… Nhiệm vụ nghiên cứu:………………………………………… Các phương pháp nghiên cứu:………………………………… 2 2 II.PHẦN NỘI DUNG: Lịch sử vấn đề nghiên cứu: ……………………………… Cơ sở lý luận đề tài: ……………………………………… Thực trạng vấn đề nghiên cứu: …………………………… Nội dung nghiên cứu kết nghiên cứu: ………………… 4.1 Nội dung nghiên cứu: ………………………………………… 4.1.1 Khái niệm giá trị lớn giá trị nhỏ 4.1.2 Phương pháp S-P áp dụng 4.1.3 Kĩ thuật chia đẳng cấp 4.1.4 Kĩ thuật dồn sang biến 4.1.5 Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ 4.1.6 Dùng phép đặc biệt 4.1.7 Kĩ thuật dồn sang biến t = f(a,b,c) 4.1.8 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức hình học 4.2 Kết nghiên cứu: ………………………………………… 3 3 11 15 16 20 25 III.PHẦN KẾT LUẬN: 1.Kết luận khuyến nghị: …………………………………… 2.Tài liệu tham khảo: …………………………………………… 26 26 Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ I PHẦN MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: Trong toán học nói chung, đời phát triển bất đẳng thức, từ đầu đặt dấu ấn quan trọng; chúng có sức hút mạnh mẽ người yêu toán, không vẻ đẹp hình thức mà bí ẩn mà mang đến thúc người tìm tòi, sáng tạo Tất điều dệt nên tranh tuyệt đẹp mang sắc riêng bất đẳng thức toán học Lý chọn lựa đề tài kì thi học sinh giỏi thi đại học gần đây, câu có tính chất tổng hợp bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thường khiến thầy cô e ngại tính tổng hợp, độ khó Tác giả mong muốn cung cấp số kỹ thuật, thủ thuật giúp cho học sinh vượt qua nỗi sợ Điều vô thú vị kiến thức sử dụng đơn giản, tập hay, hấp dẫn 2.Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu tác giả nghiên cứu phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Tác giả tập trung vào toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ sử dụng phương pháp hàm số 3.Nhiệm vụ nghiên cứu: - Trình bày lại toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ phương pháp hàm số - Giới thiệu số kinh nghiệm sử dụng phương pháp hàm số - Nêu số tập tổng hợp để vận dụng kĩ - Sử dụng sơ đồ tư để sáng tạo 4.Các phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp phân tích: nghiên cứu toàn lời giải toán bất đẳng thức, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ - Phương pháp tổng hợp: tổng hợp kiến thức bất đẳng thức, giá trị lớn giá trị nhỏ mạng, đề thi thử - Phương pháp thực nghiệm: giảng dạy toán thấy cần phải thử nghiệm cách dạy qua lớp khác rút kinh nghiệm cải tiến phù hợp cho lớp sau - Phương pháp trao đổi thảo luận: nghiên cứu cung cấp kết thảo luận với thầy cô giáo tổ mạng intenet Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ II PHẦN NỘI DUNG 1.Lịch sử vấn đề nghiên cứu: Phương pháp hàm số, cách tìm giá trị lớn giá trị nhỏ em nắm kĩ học thi tốt nghiệp, sở để tác giả tập hợp toán Hơn kì gần đây, hầu hết phân loại dung phương pháp hàm số Nếu học vấn đề có lợi cho học sinh thi, toán phương trình hệ phương trình dùng hàm số nhiều 2.Cơ sở lý luận đề tài: Cơ sở triết học: “từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng, từ tư trừu tượng đến thực tiễn Đó đường biện chứng trình tìm chân lý” Cơ sở tâm lý học: người bắt đầu tư tích cực nảy sinh nhu cầu cần tư Tự đề xuất hướng giải vấn đề Yêu cầu thực tiễn: Đổi phương pháp dạy học theo tinh thần sách giáo khoa Thực lấy học sinh làm trung tâm trình dạy học Phương pháp luận: tổng hợp kiến thức biết, rõ để tạo kiến thức mới, 3.Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Đa số học sinh giáo viên ngại làm mảng kiến thức này, chứng minh bất đẳng thức, hay tìm giá trị lớn giá trị nhỏ tương đối khó Các tài liệu đề cập dạng toán ỏi Hơn nữa, phương pháp sử dụng hàm số lạ với học sinh Học sinh phải nắm chắn bất đẳng thức bản, số bất đẳng thức phụ, biết đánh giá Một điều quan trọng học sinh thiếu phương pháp, giáo viên thiếu thời gian chưa đưa đường tiếp cận hợp lý 4.Nội dung nghiên cứu kết nghiên cứu: 4.1 Nội dung nghiên cứu: Quan điểm tác giả để tập thể phương pháp kinh nghiệm mình! Hi vọng bạn đọc có trải nghiệm thú vị đọc toán tới 4.1.1 Khái niệm giá trị lớn giá trị nhỏ Định nghĩa:  f ( x)  M x  D M  max f ( x)   xD x0  D | f ( x0 )  M  f ( x)  m x  D m  f ( x)   xD x0  D | f ( x0 )  m Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức ta có nhiều phương pháp sáng kiến này, ta đề cập chủ yếu đến phương pháp hàm số Sau hai ví dụ ôn tập Ví dụ 4.1.1 Hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện: y  0, x  x  y  12 Tìm GTNN GTLN biểu thức: A  xy  x  y  17 Giải Từ điều kiện ta suy ra: y  x  x  12   4  x  ; đồng thời đặt A  f ( x)  x3  x  x  , ta có x 1 f '  x   x  x  9, f '  x      x  3 Ta có: f  4   13, f  3  20, f 1  12, f  3  20 Suy ra: MaxA  max f ( x)  f (3)  f (3)  20  4;3 MinA  f ( x)  f (1)  12  4;3 Ví dụ 4.1.2 Hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện: y  x , y  2 x  x Chứng minh x  y  Giải  6 Ta có x  y  4 x  x  x  x   x  0;   5 Từ giả thiết ta có y  suy x  y  x   2 x  x   x  12 x  x  6 Xét hàm số f  x   x  12 x3  10 x đoạn 0;  ta có max f  x   nên  6  5 0;    ta có điều phải chứng minh Qua hai ví dụ trên, bạn đọc dễ thấy rằng, việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức nhiều biến phương pháp tìm cách ẩn theo ẩn lại, sau đưa sang hàm số 4.1.2 Phương pháp S-P áp dụng Một phương pháp thường sử dụng dùng mối liên hệ biểu thức đối xứng S  x  y, P  xy Từ điều kiện đề ta rút tập xác định biến S, P ta sử dụng hàm số Theo kinh nghiệm thân tôi, phương pháp nên dạy lớp 10, học sinh học bất đẳng thức hàm số bậc hai Sau học 12, học sinh có sở vững lớp 10, lúc ta cho kết hợp với hàm số Ví dụ 4.2.1 Cho số thực x,y thỏa mãn điều kiện:  x  y   x  y   Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ A  x  y  x 1  y   y  Giải Đặt S  x  y, P  xy Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Từ giả thiết ta có  S  P   S    2S  S   P  S  S  S    S   1;2 Vậy ta có A   x  y    x  y    S  S  Khảo sát biến thiên hàm số f  S   S  S   1;2 ta có 1 minA= f  S   1 S  1  P   x  y  ,  1;2 maxA= max f  S   S  2, P   x  y   1;2 Ví dụ 4.2.2 Với x,y thỏa mãn điều kiện: x  y  Tìm giá trị nhỏ của: A  1 x  1 y Giải Đặt S  x  y, P  xy Suy S  P  S2 Ta có S   P   S   S    2;  Vì A không âm nên để tìm giá trị nhỏ A ta tìm giá trị nhỏ A2 A2   x  y  1  x 1  y    S   S  S 1    S  S  S  Đặt f  S    S  S  S  , f '  S    S 1 , S  1 S 1 Ta có S  1  f '  S     S  1  f '  S     Vậy ta có bảng biến thiên S  f  S   -1 || 42 2 + 42 f S  Từ ta có A  x  1, y  Ví dụ 4.2.3 (HSG Đồng Tháp 2011-2012): Với x,y thỏa mãn điều kiện: x  1, y  1,  x  y   xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ  1  Q  x3  y  3   y  x Giải Đặt S  x  y, P  xy Suy 3S  P hay P  S 16 x2  y 2 Từ giả thiết ta có Q   x  y   x  xy  y   2 = S  S   x y S S2 S 3 Ta có: S  P  3 Mặt khác:  x  1 y  1   S  Vậy S  3;4 16 Xét hàm số f  S   S  S   đoạn 3;4 ta có S S  S  16 113 f ' S     S  3;4 Vì Q  , x  y    12 2S 94 max Q  x  2, y  Ví dụ 4.2.4 (HSG Hà Nội 2013): Với x,y thỏa mãn điều kiện: x  0, y  0, x  y  xy  Chứng minh 4x 4y   xy   xy  y 1 x 1 Giải Đặt S  x  y, P  xy Suy S  P    P  S  P Suy P  Kết hợp điều kiện đề P  (0;1] Từ giả thiết ta có VT   ab   7ab  12   3ab = P  P  12   P Xét hàm số f  P   P  P  12   3P đoạn (0;1] ta có f ' P   2P    0P  (0;1] 7P Vì VT  Suy điều phải chứng minh Ví dụ 4.2.5 (Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Cho x, y hai số thực dương thỏa x2  y mãn x + y =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức (1  x)(1  y ) 3 Giải Đặt S  x  y; P  xy S3 1 Ta có x  y   S  3PS   P   S 1 3S 3 Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Mặt khác ( x  y )3  4( x3  y )   S  x2  y S  2P S3  Ta có A    (1  x)(1  y ) P   S ( S  1)3 S3  3( S  2) Xét hàm số f ( S )  với  S  Ta có f '( S )   nên ( S  1)3 ( S  1)  hàm f(S) nghịch biến 1;  Suy f ( S )  f Vậy GTNN A  3   4    1 , đạt x  y  1 Bài tập tương tự Đề thi khối D-2009: Cho x, y không âm thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức S   x  y  y  x   25 xy Đề thi khối B-2009: Cho x,y số thực thỏa mãn  x  y   xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A   x  y  x y    x  y   4.1.3 Kĩ thuật chia đẳng cấp Khi học phương trình học sinh làm quen với khái niệm: phương trình đẳng cấp, hệ phương trình đẳng cấp từ lớp 10, 11 Đó bậc x, y biểu thức Khi gặp toán mà yêu cầu đề có dạng đẳng cấp với biến, ta chia rút bớt biến để lại biến Chẳng hạn ví dụ sau Ví dụ 4.3.1 (Đề thi khối D-2013) Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện xy  y  Tìm giá trị lớn biểu thức: x y x  2y P  2 x  y   x  xy  y Giải Nhận xét: x, y đồng bậc nên ta nghĩ đến việc chia để rút biến Ta có: P  x y x  xy  y Đặt t   x  2y  6(x  y) x 1 y x 2 y   x   x  x   1    y  y  y   x , ta tìm điều kiện t Từ giả thiết y 1 1 x 1 xy  y           y y y  y 2 Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ t 1 t 2 Vậy P  f  t   với  t   t  t  6(t  1) 3t  f (t )    t  1  t  t  3 Do ta có điều kiện:  t  3t  1  1 t   0;  :  ,  27    t  t  33  t  1  1  f '(t )  t   0;   f đồng biến  4    10  f (t )  f    30 4  1  0;   4  10 x  , y  2 30 Ví dụ 4.3.2 (Đề thi khối A-2013) Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện (a  c)(b  c)  4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Vậy max P  32a 32b3 a2  b2 A   (b  3c)3 (a  3c)3 c Giải Ta có nhận xét giả thiết kết luận, hạng tử có tính chất đồng bậc  a  b  Trước hết giả thiết    1  1   c  c  S2 a b Đặt x = ; y = (x + 1)(y + 1) =  S + P = ; P = – S  c c  S  S  12   S  (;6]  [2; ) Mà S   S   x 3  y 3  2 Do A = 32    x  y    y    x     x y  2   8   x  y =  S  1  S  S   g ( S )  y 3 x 3 S 1 g’(S) = (S – 1)2 – S  2S  S 1 Nhận xét  S  1  Ta cần chứng minh  3, S  Biến ( S  1)  đổi tương đương ta có điều phải chứng minh Vậy g(S) đồng biến nên ta có Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ  A = g(2) = – x = y = 4.1.4 Kĩ thuật dồn sang biến Ngay từ ví dụ mở đầu, ta thấy phương pháp giúp ta đưa toán hai biến thành biến Mọi hướng biến đổi bất đẳng thức dùng hàm số theo hướng Để dồn sang biến ta thường dùng bất đẳng thức : x y Côsi hai số:  xy với x, y  2 Bunhiacốpxki:  ax  by    a  b  x  y  , đẳng thức xảy ax  by Một số bất đẳng thức đơn giản dạng nhị thức a  b2  a  b   a)  a, b   a  b3  a  b  b)   a, b    a  b  c  2  ab  bc  ca a  b  c  Ví dụ 4.4.1 (HSG Quảng Bình 2012) Cho x, y, z  thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x3  y  z Giải Nhận xét hai biến x, y có vai trò nhau, có hệ số z khác Một suy nghĩ tự nhiên dồn hai biến x, y sang z Ta nghĩ đến bất đẳng thức a  b3  a  b    , a, b    Ta có x  y   x  y    x  y  x  y   mệnh đề với x, y   1 3 Suy A   x  y   z    z   z 4 Xét hàm số f  z     z   z , z   0;3  z  1  0;3 Ta có f   z    z  z  3 , f   z      z    0;3  Bảng biến thiên hàm số f  z   0;3 : Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 2t  2t Xét hàm số f (t )  với t  t2 2t  8t  Ta có f '(t )   0, t  (t  2)  f (t ) nghịch biến [2; )  f (t )  f (2)  1  P  1 a  b  Dấu “=” xảy   tức x=y=z c  Đáp số : max P  1 x=y=z Ví dụ 4.5.3 Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 9] x  y, x  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z P   3x  y y  z z  x Giải Ta có z x x 1 1 (   nên áp dụng P     y z x y y z y x  1 1 3 1 x y z x y (1)) t2 x  Đặt t =  P  f t  = (t  [1; 3]) 3t   t y 2[t (9t  4)  4t (4t  1)  10]   t  [1; 3] (3t  4) (t  1) 49 Vậy P  f(t)  f(3) = Dấu “=” xảy x  9, y  1, z  62 Nhận xét 4.2 Một bất đẳng thức phụ thường sử dụng 1 với xy  1, , x, y  (3)    xy  x2  y2 Chứng minh: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacoopsxki (2) ta có  f’(t) =   1         2  2   x2  y    x  y   xy  Khai hai vế ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4.5.4 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 P   x2  y 2 1 x 1 y Giải Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội 13 Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Theo bất đẳng thức phụ (3) ta có 2 P   x  y   xy  P    xy  xy  xy x y Đặt t  xy, ta có xy   Vậy t  (0; ]      t  1 t    2t  , g '  t      với Xét g  t   1 t  t  1 t   t  1 t  1 1 t  (0; ] Vậy g  t   g     4 1 Vậy max P   x  y  Ví dụ 4.5.5 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  z Tìm giá trị lớn biểu thức: x y z P   2 2 z  x x y y z Giải 1   Ta có P  2 x  y z  1   1   z x  y y z x Đặt a  , b  , c  c  1, ab  Từ đó, theo (3) ta có x y z P 1  a2   c 1   = 1 c c 1  ab 1 c  b2 c 1 2 c Xét hàm số f  c   ta có f '  c   Lập bảng biến thiên  c  1 c c  c 1 c  f c  + f c Vậy max P  x  y  z Nhận xét 4.3 Bất đẳng thức sau hay sử dụng Cho x, y số thực dương ta có 1 (4)   2  xy 1  x  1  y  Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội 14 Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 2 Chứng minh: bất đẳng thức tương đương với xy  x  y   1  xy   Ví dụ 4.6.2 Cho a, b, c  , tìm giá trị nhỏ a2 b2 4c3 P   2  a  b   b  c  3 c  a  Giải Ta nhận xét bậc a, b, c số hạng nhau, suy nghĩ chia đẳng cấp, để chuẩn hóa biến 1 1 P      2 2  x  1  y  1  z    b  c  a 1   1   31    a  b  c b c a với x  , y  , z  , x, y, z  0, xyz  a b c Vậy áp dụng bất đẳng thức (4)ta có z P     xy 1  z 3  z 31  z 3 Xét hàm số f  z   z z2  2z  f ' z  , ta có  0;      z 1  z 3 1  z  Vậy f '  z    z  z > Lập bảng biến thiên ta có f  z   z 0 Vậy  x  y  z 1 a  b  c 4.1.6 Dùng phép đặc biệt Từ số giả thiết đối xứng ab  bc  ca  vào biểu thức ta biến đổi biểu thức để thu số điều kiện thuận lợi Ví dụ 4.6.1 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  1.Tìm giá trị lớn biểu thức a b 3c P   2 1 a 1 b  c2 Giải 2 Ta có  a   a  b  a  c  ,1  b   b  a  b  c  ,1  c   c  a  c  b  a b a b 2ab  ac  bc    Vậy =  2  a  b  a  b  a  c   b  a  b  c   a  b  b  c  c  a   ab (Bunhiacốpxki)   2 2 1 a 1 b 1 c 1 c 3c  Vậy P  , c   0;    c2 minP  Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội 15 Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Khảo sát hàm số f  c   3c  suy MaxP= 10 c  3, a  b  3  10  c2 Ví dụ 4.6.2 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy  yz   xy Tìm giá 2x 2y z2 1   trị lớn biểu thức: P   x2  y z  Giải Phân tích: rõ ràng ta phải dồn x, y sang z, giả thiết đề cho chưa đối xứng Vì ta nghĩ cách tạo dạng đối xứng Chia hai vế điều kiện cho z z  xy ta có:   y x xy 1 Vậy đặt  a,  b suy za  zb  ab  x y Vì  a   a  b  a  z  ,1  b   b  z  b  a  ,1  z   z  a  z  b  Vậy 1 2 2 a  b  z   2a  2b  z    z   f  z  P 1 z  a  b2  z  1  z2 z    a2 b2  2 z  z  z2 1  Khảo sát hàm số f  z   , ta có f '  z    z2 z  1  z  ta có MaxP=  x  y   3, z  4.1.7 Kĩ thuật dồn sang biến t = f(a,b,c) Ta không dồn sang ba biến mà chuyển sang biến hàm số a, b, c Chẳng hạn t  a  b  c, t  a  b  c , t  ab … Ví dụ 4.7.1 Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2 2a  b  8bc 2b   a  c   Giải Phân tích: Ta có 2 b   a  c     a  b  c  , 2a  b  8bc   a  b  c    Vậy P   2a  b  c  a  b  c  Đặt t  a  b  c P   t  1 5t  3   f t  , f 't   2t t  2t  t  3 Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội 16 Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Lập bảng biến thiên ta có t f t    - + f t  3 1 Từ P  f  t    a  c  , b   0,  Ví dụ 4.7.2 Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2 x y  z     x  y  z  2x  Giải Phân tích: Đưa x  x  thành đẳng thức ta có P   x  1  y  z  x  y  1 z  1 Ta nhận thấy vai trò x  1, y, z Đặt x   a, y  b, z  c ta có P  a  b  c   a  1 b  1 c  1 Ta dồn sang biến a  b  c Ta có: a  b  c    a  b  c  1 ,  a b  c 3  a  1 b  1 c  1      54 54     f  t  , t  a  b  c  1, t  Nên P  a  b  c   a  b  c  3 t  t  3  81t   t   2 162 f 't    , f 't    4 t t t  2 t  2 Bảng biến thiên t f t  f t     t  1, t  4 + 0 1/4  - Vậy maxP=1/4 t   x  2, y  1, z  Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội 17 Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Ví dụ 4.7.3 (Đề thi khối B-2013) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P  a  b  c  (a  b) (a  2c)(b  2c) Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a  2c  b  2c   a  b   a  2c  b  2c    a  b  a  b  2ab  4ac  4bc    a2  b2  c2  2 2 2 Đặt t  a  b  c  4, t  ta có a  b  c  t  4 9 f t   Suy P   Đặt với t   2;     t t  4 t t  4 f 't    t    4t  7t  4t  16  t t  4 , mà 4t  7t  4t  16  4  t    t  7t    t  Vậy ta có bảng biến thiên sau: t f t  f t  || || + 5/8  - 5 Vậy max f  t   Vậy max P  a  b  c  t 2 8 Ví dụ 4.7.4 (Đề thi thử ĐH Vinh-2013) Cho số thực dương x,y thỏa mãn x4  y4   xy  Tìm giá trị lớn biểu thức: xy 16 P  x2 y2  x  y2  Giải 2  x2 y  Từ giả thiết ta có xy   x  y  xy xy Đặt t  xy, t  ta có: 3t    2t  2t  3t  3t    t  (; 1]  [ ;2] t 1  Vì t  nên t   ;2  Do 2  Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội 18 Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P  x2 y  16 16 2  x y   t  x2  y2  2 xy  t 1  t  1  t  3t   1  Đặt f  t   t  , t   ;2  có f '  t   t 1 2   t  1 Lập bảng biến thiên ta có t f t  f t  1/2 67 12 + 20 Từ ta có P  max f  t   1   ;2    20 20 x  y  Vậy maxP = 3 Ví dụ 4.7.5 (Chuyên Vĩnh Phúc lần 2) Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá 24  trị nhỏ biểu thức: P  13a  12 ab  16 bc abc Giải Ta dễ thấy dồn sang biến a  b  c Thật vậy, theo bất đẳng thức Côsi, ta có 13a  12 ab  16 bc  13a  a.4b  b.4c  16  a  b  c  3 Suy P  Đặt t  a  b  c  2a  b  c abc 3 Xét hàm số f  t    khoảng (0; ) ta có 2t t 3 f '  t     f '  t    t  t t Bảng biến thiên :  t f t  +  f t  3 16 Vậy giá trị nhỏ P  a  , b  , c  21 21 21  Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội 19 Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Ví dụ 4.7.6 (Thi thử Chuyên ĐH Vinh lần 1-2014) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn  x  y  z    xy  yz  zx  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  2 x  y  z    y2  z2  Giải Nhận xét rằng, quan sát  y  z 2    y  z   y  z 2   y  z  2 khả ta rút biến theo y  z x Hơn số hạng P có  x  y  z  thúc ta tìm mối liên hệ y  z x Từ giả thiết ta có  x  y  z    xy  yz  zx   yz  x  y  z   x   y  z    y  z  yz  x  x  y  z    y  z   yz      2  5x2  x  y  z    y  z    yz x yz Suy 1 2  y  z   4 y  z    y  z   y  z   y  z  2 t Đặt t  y  z t  0, P  2t  t Xét hàm số f  t   2t  khoảng [0; ) ta có f '  t    2t  f '  t    t  Bảng biến thiên : t  f t  + f t   P  2 x  y  z   3 Từ f  t   Suy max P  x  1, y  z  2 4.1.8 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức hình học (Mincopxki)     Ta thường sử dụng bất đẳng thức u  v  u  v để giải tập liên quan đến thức, có trị tuyệt đối Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội 20 Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Ví dụ 4.8.1 (HSG Hà Nội 2013) Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x  3x   x  3x  Giải Ta có 2  27  27   y  x    x   2 2     3 3  3 3   Đặt u   x  ; , v   x ;     u  v  3;3 2 2         Vậy y  u  v  u  v   27    Dấu xảy u , v hướng  x    Ví dụ 4.8.2 Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x  1)  y + ( x  1)2  y + y  Giải   Xét u (1 - x, y), v (x + 1, y) Áp dụng bất đẳng thức hình học ta có ( x  1)2  y  ( x  1)  y   y   y Do đó: A   y  y   f ( y ) Ta có f  y    y  f ' y    2y 1 y   y  2 y2  y  2  f ' y   2y  y2  y2  y  2 ,y 2 0 Nếu y  bất phương trình vô nghiệm Nếu y  , y '   x  / Ta có bảng biến thiên sau t -  f ' (t) + || +   f t  2 Vậy A   x  0, y  Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội 21 Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Ví dụ 4.8.3 Cho x, y số thực thỏa mãn y  1 Tìm giá trị nhỏ x4 y   4y   2 x4 y   y  4 x  12 y  2 biểu thức S  y 1 Giải 4 x 1 y   x ,   y2 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 2 2 Từ ta có: x  y  x   x  y  x  12 y  y 1 S x2   y  2    x  2  3 y  2 y 1   Vậy đặt u   x; y   , v    x;2  y  Từ ta có   u  v y2  S  y 1 y 1  y  1 y2  Xét hàm số f  y   có f '  y   , f '  y    y  2 y 1 y  y    Vậy ta có bảng biến thiên sau: y -1 f   y  || || f  y -  + 2 Vậy minS = f  y    1;  Ví dụ 4.8.4 (Đề thi ĐH khối A-2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y yz zx  x2  y  z Giải Trước hết ta rút z theo x,y Từ giả thiết x + y + z = nên z    x  y  Khi ta có P3 x y y x 3 3 x y P 3 3 3  12( x  y  xy ) Đến đề hỏi giá trị nhỏ nhất, ta nhận xét x  y  , dấu xảy có x  y Như vậy, có lẽ ta đánh giá hàm theo biến đối xứng với x, y , chẳng hạn Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội 22 Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ t  x  y Theo bất đẳng thức trị tuyệt đối, đồng thời x, y, z có số không âm không dương Do tính chất đối xứng ta giả sử xy  0, ta có P 3 x y 3 y x 3 x y  12[( x  y )  xy ] y  x  x y 3 x y 3 x y  2.3  12[( x  y )  xy ]  2.3 x y 2 x y Đặt t = x  y  , xét f  t  = 2.( 3)3t  3t 3t 3t  f ’(t) = 2.3( 3) ln   3( 3.( 3) ln  1)   f đồng biến [0; +)  f (t)  f (0) = x y Mà  30 = Vậy P  30 + = 3, Vậy P = 3 x = y = z = Bài tập tổng hợp Bài tập Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn P  a  b  c  3  a  b  c   a  1 b  1 c  1 Hướng dẫn: Xem 4.7.2, đáp số: 1 / Bài tập Cho a, b số thực dương thỏa mãn ab  a  b  Chứng minh 3a 3b ab    a2  b2  b 1 a 1 a  b Hướng dẫn: Đặt a  b  x, x  Bất đẳng thức trở thành 12 x  x   x   10  x Bài tập Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  (a  b) (a  4c)(b  4c) a  b  4c  Bài tập 4.(HSG Hà Nội) Cho số thực a, b  ,  c  a  b  c  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ f  2ab  3bc  3ca  abc Bài tập Cho a, b số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức  a  b4  a  b  1  2 a b a b Bài tập Cho a, b, c số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 M   a  b  c   3    a b c M 2  Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội 23 Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Bài tập (HSG Quảng Bình) Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức: M = x2(x + 2) + y2(y + 2) + 3(x + y)(xy - 4) Bài tập (Thi thử Chuyên Hưng Yên lần 1) Cho a, b hai số thực dương  Tìm giá trị lớn biểu thức: thoả mãn:  a  b   ab 3 P    a  b  2ab Bài tập (THTT-số 437) Cho x, y số thực thỏa mãn x 2  y  1  x y   x  y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x  y  3x y biểu thức: P  x2  y  x Bài tập 10 Cho x, y  Tìm giá trị nhỏ P   y3    x2  y   x  1 y  1 Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội 24 Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 4.2 Kết nghiên cứu: Qua trình nghiên cứu vận dụng đề tài, nhận thấy vấn đề giúp ích nhiều cho học sinh việc học môn khó khăn, giúp em không “ngại ngần” giải toán bất đẳng thức nữa, em giải tốt phần liên quan đến bất đẳng thức; say mê học giải tập Hiệu động viên khuyến khích nhiều Sau có công cụ này, thấy cần thời gian để tiếp tục nghiên cứu cải tiến kĩ thuật Vì số ví dụ thực tế dạy học nhiều, tác giả cung cấp vài ví dụ điển hình tiêu biểu từ dễ đến khó Các bạn thấy trình tự xếp cách dựng đó, mục đích chuyển từ dễ khám phá đến bước cuối sáng tạo bất đẳng thức Tác giả hi vọng cách xếp giúp thầy cô dễ đọc sử dụng Sau trình xin cung cấp vài kết thực nghiệm ban đầu, với cách dạy cũ thu vài kết sau: với lớp thực nghiệm 12A1, dạy theo phương án lớp đối chứng 12A2, dạy theo phương án truyền thống (2 lớp thuộc trường THPT Cổ Loa, Hà nội.) thông qua kiểm tra sau dạy xong Tổng số Giỏi hs SL % 46 20 43.5 Thực nghiệm 46 13 28.3 Đối chứng Kết Khá SL % 24 52.2 18 39.1 Trung bình SL % 4.3 15 32.6 Yếu SL % 0 0 Qua thực tiễn giảng dạy thấy để học sinh có kĩ chứng minh tốt bất đẳng thức trước hết người thầy phải làm cho học sinh hiểu hay đẹp bất đẳng thức, đồng thời dạy chứng minh bất đẳng thức lĩnh vực khó nên thầy cô nên vào sức học sinh để đề tập phù hợp Theo kinh nghiệm tôi, ứng với ba mức độ nhận biết, thông hiểu vận dụng tập nhận biết thông hiểu kiến thức bản, đơn giản Sau dần nâng mức độ tập lên Chính để sử dụng tài liệu cho hợp lí, thầy cô bổ sung thêm tập nhẹ nhàng, đơn giản vừa sức với học sinh Trên tinh thần cố gắng chọn lọc tập ví dụ đơn giản hệ thống bám sát tinh thần Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội 25 Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ III PHẦN KẾT LUẬN 1/ Kết luận khuyến nghị: Sáng kiến kinh nghiệm đạt số kết sau: i) Trình bày phương pháp bản: phương pháp thế, dùng đối xứng SP, chia đẳng cấp ii) Sử dụng bất đẳng thức phụ, bất đẳng thức hình học, số kinh nghiệm rút biến, giảm biến iii) Sáng kiến trình bày cách hệ thống tập bất đẳng thức , tác giả cố gắng xếp tập từ dễ đến khó Tôi viết đề tài nhằm mục đích trao đổi với thầy cô dạy môn toán việc để sử dụng phương pháp hàm số việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có hiệu Một lợi ích giúp học sinh thành thạo giải toán đạo hàm, mảng phương trình hệ phương trình Vì kiến thức thời gian nhiều hạn chế nên tài liệu có thiếu sót, chân thành đón nhận góp ý Quý Thầy Cô Xin chân thành cảm ơn thầy cô Tổ Toán trường THPT Cổ Loa đóng góp xây dựng hoàn thiện thêm sáng kiến Tài liệu tham khảo: Các giảng bất đẳng thức Cô si _ Nguyễn Vũ Lương NXB Đại học quốc gia Hà Nội Các giảng bất đẳng thức Bunhiacôpxki _ Nguyễn Vũ Lương NXB Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức, định lý áp dụng}, NXB Giáo Dục, Hà Nội Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach Radmila Bulajich Manfrino, José Antonio Gómez Ortega,Rogelio Valdez Delgado Các tập Internet, mạng http://forum.mathscope.org , đề thi HSG tỉnh, Diễn đàn bất đẳng thức Báo Toán học tuổi trẻ, đề thi thử trường THPT nước Hà nội ngày 19 tháng năm 2014 Xác nhận thủ trưởng đơn vị Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Trần Quốc Thép Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội 26 Một số phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2013 - 2014 I Đánh giá xếp loại HĐKH Trường THPT Cổ Loa Tên đề tài: Một số kĩ thuật sử dụng hàm số để chứng minh bất đẳng thức kì thi đại học Họ tên tác giả: Trần Quốc Thép Chức vụ: Giáo viên Tổ: Toán Nhận xét Chủ tịch HĐKH đề tài: a) Ưu điểm: b) Hạn chế: Đánh giá, xếp loại: Sau thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Trường THPT Cổ Loa thống xếp loại: Những người thẩm định: Chủ tịch HĐKH II Đánh giá, xếp loại HĐKH Sở GD&ĐT Sau thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Sở GD & ĐT Hà Nội thống xếp loại: Những người thẩm định: Chủ tịch HĐKH Giáo viên: Trần Quốc Thép - Trường THPT Cổ Loa - Đông Anh - Hà Nội 27 [...]... 4   4y  5  2 2 x4 y 4   8 y 2  4 x  12 y  9 2 2 biểu thức S  y 1 Giải 4 4 x 1 1 2 y   x ,   y2 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 2 2 2 2 Từ đó ta có: x 2  y 2  4 x  4  x 2  9 y 2  4 x  12 y  8 y 1 S 2 x2   y  2    x  2 2  3 y  2 2 y 1   Vậy đặt u   x; y  2  , v   2  x ;2  3 y  Từ đó ta có   u  v 2 y2  1 S  y 1 y 1 2  y  1 2 y2  1 Xét hàm... 4.8 .2 Cho x, y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( x  1) 2  y 2 + ( x  1 )2  y 2 + y  2 Giải   Xét u (1 - x, y), v (x + 1, y) Áp dụng bất đẳng thức hình học ta có ( x  1 )2  y 2  ( x  1) 2  y 2  4  4 y 2  2 1  y 2 Do đó: A  2 1  y 2  y  2  f ( y ) Ta có f  y   2 1  y 2  f ' y   0  2y 1 y 2   y  2 2 y 2  y  2 2  f ' y   2y 1  y2... x y Vì vậy 1  a 2   a  b  a  z  ,1  b 2   b  z  b  a  ,1  z 2   z  a  z  b  Vậy 1 1 2 2 2 2 2 a  b  z  1  2a  2b  z  1  2  z  1  f  z  P 2 1 1 z 2  1 a 2  1 b2  1 z 2  1 1  z2 z  1  1  1 a2 b2  2 2 z 1  z  2 z2 1  2 Khảo sát hàm số f  z   , ta có f '  z   2 1  z2 z  1 1  z 2  2 ta có MaxP=  3 khi x  y  2  3, z  3 2 4.1.7 Kĩ thuật dồn... a  b   a  2c  b  2c    a  b  2 a 2  b 2  2ab  4ac  4bc   2  a2  b2  c2  2 2 2 2 2 2 Đặt t  a  b  c  4, t  2 ta có a  b  c 2  t 2  4 4 9 4 9 f t   Suy ra P   Đặt với t   2;     t 2 t 2  4 t 2 t 2  4 f 't    t  4   4t 3  7t 2  4t  16  t 2 t 2  4 , mà 4t 3  7t 2  4t  16  4  t 3  4   t  7t  4   0 t  2 Vậy ta có bảng biến thiên... sang biến z 2 Do x 2  y 2  z 2  1   x  y   2 xy  z 2  1  2 z 2  2 xy  1 1 1   xy  z 2  Vậy thì P  3 z  z 2   2 2  Ta cần tìm tập xác định của z Do 1 3 2 1  x2  y2  z 2   x  y   z2  z2   2 2  2 1  Xét hàm số f  z   3 z  z 2   trên   ; 2   3 1 1 f ' z   9 z 2   f ' z   0  z   2 6 Bảng biến thiên : 2 1 z   3 6 f  z  + 0 1 6 0 - 2 3 + 1 6... xy  x +xy  xy +y 2 2 = 1  z2 2 2 3   f  z  trên (0;1) Vậy A  2 z  1 1 z f ' z   2z 1  z 2  1  z 2  2 2 3 1  z  2 = 2 z 1  z   2 3 1  z 2  1  z 2 1  z 1  z  2 2 1  z2 2 f '  z   0  2 z 1  z   2 3 1  z 2  1  z 2 1 2 3 8 3 1 Lập bảng biến thiên của hàm số ta có P  đạt được khi x  y  ,z  2 2 3 Ví dụ 4.4.3 (Thi thử Chuyên Sư Phạm lần 5 -20 13) Cho x, y, z... 27 4 f  z 108 108 25 108 3 6 khi z  , x  y  25 5 5 2 2 2 Ví dụ 4.4 .2 Cho x, y, z  0 thỏa mãn x  y  z  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 2 3 A   x 2  xy y 2  xy 1  z Từ bảng biến thiên suy ra, A có giá trị nhỏ nhất là Giải Nhận xét hai biến x, y có vai trò giống nhau, z là khác Làm thế nào để dồn x, y sang z Ta có, theo bất đẳng thức Côsi 1 1 2 2 2      2 2 2 2 2 2 2 2... ta có 5  x 2  y 2  z 2   6  xy  yz  zx   6 yz  6 x  y  z   5 x 2  5  y 2  z 2   5 2  y  z 2 5 2  yz  5 x  6 x  y  z    y  z   6 yz  6   2  2  2 2 2  5x2  6 x  y  z    y  z   0  yz x yz 5 Suy ra 1 1 1 2 2 2  y  z   4 y  z    y  z   2 y  z   y  z  2 2 2 4 t Đặt t  y  z thì t  0, P  2t  2 4 t Xét hàm số f  t   2t  trên khoảng... t  2 || || + 4 0 5/8  - 0 5 5 Vậy max f  t   Vậy max P  khi a  b  c  2 t 2 8 8 Ví dụ 4.7.4 (Đề thi thử ĐH Vinh -20 13) Cho các số thực dương x,y thỏa mãn 2 x4  y4   3 xy  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: xy 16 P  x2 y2  2 x  y2  2 Giải 2 2  2 x2 y 2  Từ giả thiết ta có 3 xy  3  x 4  y 4  xy xy Đặt t  xy, t  0 thì ta có: 2 1 3t  3   2t 2  2t 3  3t 2  3t  2 ... biểu thức: M = x2(x + 2) + y2(y + 2) + 3(x + y)(xy - 4) Bài tập 8 (Thi thử Chuyên Hưng Yên lần 1) Cho a, b là hai số thực dương 1  5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: thoả mãn: 2  a 2  b 2   ab 3 3 4 P   1  a 2 1  b 2 1  2ab Bài tập 9 (THTT-số 437) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x 2 2  y 2  1  3 x 2 y 2  1  4 x 2  5 y 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x 2  y 2 