các bất đẳng thức cơ bản

Trang CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 1) Bất đẳng thức trị tuyệt đối: a) a  b  a  b Dấu xảy ab  b) a  b  a  b; a, b  Dấu = xảy a = b = 2) Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm a1;a1; ;an ta có : a1  a1   an  n n a1.a1 an Dấu “=” xảy  a1  a2   an 3) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:  a1 x1   an xn    a12   an2  x12   xn2  Dấu xảy a a1   n x1 xn 4) Bất đẳng thức Svácxơ: an2  a1  a2   an  a12 a22 a a a     , xi ,  Dấu xảy    n x1 x2 xn x1  x2   xn x1 x2 xn a12  a22  b12  b22  5) Bất đẳng thức tam giác: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƢỜNG DÙNG: 1) x  y  xy 2)  x  y  xy 3) ( x  y)2  2( x  y ) 4) a  b  c  ab  bc  ca 5)  a  b  c    ab  bc  ca  6)  a  b  c    a  b  c  7) a  b  8ab  a  b 2  z 2z  x y x yz 1 9)   x y x y 1 10)    x y z x yz 1 11)   x y ( x  y)2 12)  ab  a  b 8) 13)  ab  a  b 14) 15) 16) 17) 18) 3( x  y ) x  xy  y  3 2 a  b  a b  ab a  b4  a3b  ab3 a  b  ( a  b)3 a b c    bc ca ab 2  a1  b1    a2  b2  2 Dấu xảy a1 a2  0 b1 b2 1 ( x, y  , xy  )    x  y  xy 1 20) ( x, y  xy  )    xy  x  y 1 21) ( x  , y  0)   2 1  x  1  y   xy 19) 1   2  x  y  xy ( x , y  1) ( a, b  ) 22) ( x, y, z  0) 23) ( x, y  0) a  b2 a , b  1 24)  a   b    1 2 25) (1  )(1  )  (1  ) ( x, y  0) x y x y a b 26)   (a, b  0) b(1  a) a(1  b)  ab ( x, y, z  0) ( x, y  0)  a, b  1  a, b  1 ( x, y  ) (a b  0) 1 2   x y x y 27)  a b ( x, y  0)   3a  10ab  3b2 1   3a  b 3b  a a b 29) a   b    a  b  28) 30) (a, b, c  0) (a, b  0) ( a, b  ) x  a  y  a  a  x  y  a ; x, y  ( a, b  ) (a, b  0) 1   31) (1  )(1  )    1 (a, b  0, a  b  1) a b  a b  1 3  32)   (a, b  0) a b 2a  b 2b  a Trang MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ KHÁC Khi cho số a, b, c  [m, n] ta nên cố gắng sử dụng giả thiết (a  m)(b  m)(c  m)  , (a  n)(b  n)(c  n)  , (a  m)(a  n)  …và khác Những bất đẳng thức có điểm rơi thường biên m n Nếu điểm rơi không xảy biên ta cần dùng số kĩ thuật khác kết hợp khảo sát hàm số abc  12  ba  bc  ca  abc   2abc Bài 1) Cho a, b, c  [1, 2]; a  b  c  , chứng minh:  Bài 2) Cho a, b, c  [1,1] , chứng minh 1  ab  bc  ca  Bài 3) Cho a, b, c  [0,1] , chứng minh a  b  c  ab  bc  ca  Bài 4) Cho a, b, c  [0, 2] , chứng minh 2(a  b  c)  ab  bc  ca  Bài 5) Cho a, b, c  [1, 2]; a  b  c  , chứng minh 3  ab  bc  ca Bài 6) Cho a, b, c  [0, 2]; a  b  c  Chứng minh 2(ab  bc  ca)  abc  Bài 7) Cho a, b, c  [1, 2] chứng minh a  b  c   abc a) b) a  b  c  3abc Bài 8) ( Bất đẳng thức Schur) Cho a, b, c số thực không âm, chứng minh (hướng dẫn: giả sử a  b  c đặt nhân tử chung) a(a  b)(a  c)  b(b  c)(b  a)  c(c  a)(c  b)  Bất đẳng thức mạnh dấu xảy ba biến hai biến biến Chú ý khai triển bất đẳng thức Schur ta bất đẳng thức tương đương sau: a3  b3  c3  3abc  a 2b  ab2  b2c  bc  c a  ca a) b) abc  (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b) c) (a  b  c)3  9abc  4(a  b  c)(ab  bc  ca) Bài 9) Cho a, b, c số thực không âm, chứng minh a  b2  c  2abc   2(ab  bc  ca) - Bài 1) a) b) Bài 2) BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM MỘT BIẾN Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  x 1   x y  x 4  8 x Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số a) y  x  12  x b) y  2  x   x2  x  1  x  Bài 3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y   x  x   Bài 4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y   x  x  21   x  3x  10 Bài 5) Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x  x  Bài 6) ;x  x  cosx Tìm giá trị nhỏ hàm số y = với < x ≤ sin x(2cosx -sinx) Bài 7) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  x  x   x   x Bài 8) Tìm giá trị nhỏ hàm số: y  x  Bài 9) Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x  11       với x  2x  x  x  ;x  x 1 x Trang 3   x2  Bài 10) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số: y  2x     với x  [0, 2]   Bài 11) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số: y  2x  2x   2x x  2x với x  [0, ] Bài 12) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số: y   2x  5x  9x với x  [0,1] Bài 13) Tìm giá trị nhỏ hàm số: y   3x  với x  x 1 - - BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN  Phƣơng pháp: Bất đẳng thức hai biến thường đối xứng, ta thường đặt ẩn phụ mới, tìm điều kiện ẩn phụ (chú ý tìm kiện chặt hay nói cách khác phải tìm min, max ẩn có) Sau cố gắng đưa toàn biểu thức theo ẩn phụ để khảo sát Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ ( a,b > 0) ab ( a  b) ab ab B  A  a  ab  b ab ab a  b Ví dụ 2: Cho hai số thực dương x, y thoả mãn: x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức M   x y xy Ví dụ 3: Cho số thực x, y  thỏa 3( x  y)  xy a) Chứng minh  x  y  1  b) Tìm giá trị nhỏ vả giá trị lớn M  x3  y     y  x BÀI TẬP: Bài 1) Tìm giá trị nhỏ ( a, b  ) a) A  ab   a  b  1 ab A   a  b   a  b2   b)  ab   ab Bài 2) Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x2  y2  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A  x2  6xy  2xy  2y2 Cho số thực x, y thỏa x3  y  a) Chứng minh  x  y  b) Tìm giá trị nhỏ M  x  y Bài 4) Cho số thực x, y  (0,1] thỏa x  y  xy a) Tìm min, max S = x + y b) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn M  x  y  xy  Trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng số bất đẳng thức phụ đặt ẩn phụ dùng bất đẳng thức phụ cần lưu ý điểm rơi bất đẳng thức Ví dụ 1: Cho hai số thực dương x, y thỏa x  y  , tìm giá trị nhỏ của: 1 a) A  x  y   x y 1 b) C  x  y   x y Bài 3) Ví dụ 2: Cho x,y số thực thoả mãn hệ thức: ( x  y)3  xy  a) Tìm S = x + y Trang b) Tìm giá trị nhỏ A  3( x  y  x y )  2( x  y )  Ví dụ 3: Cho x, y số thực ( x  1)2  y2  ( x  1)2  y2   y2 a) Chứng minh b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  ( x  1)2  y2  ( x  1)2  y2  y  BÀI TẬP Bài 5) Cho số thực dương x, y thỏa a) Tìm S  x  y b) Tìm giá trị nhỏ A  Bài 6) xy ( x  y)  x  y 1 1  4( x  y)   2 x y xy x y Cho x, y số thực lớn Tìm giá trị nhỏ P  x  y3    x2  y2  ( x  1)( y  1)   x  y   16 xy Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện  x  2;  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : x  2y y  2x P=   x  3y  y  3x  4(x  y  1) Bài 7) - Bài 1) a) b) c) Bài 2) Bài 3) Bài 4) LUYỆN TẬP Tìm giá trị nhỏ ( a, b  ) a b ab A  4 b a a  b2 1 B   (a  b  1) a b a b 1 1 C   (a  b  )  2ab a b 2 Cho số thực x, y thỏa x  y  xy  a) Chứng minh 3  xy  b) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn M  x  y  xy  x y Cho số thực x, y thỏa x  y  xy  x  y  a) Tìm min, max S = x + y xy b) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn A  x  y 1 2 Cho số thực x, y thỏa ( x  y)( xy  1)  x  y  a) Chứng minh x  y  b) Tìm giá trị lớn M  Bài 5) Cho x,y thoả mãn ( x  y)xy  x  y  xy a) Tìm min, max S  x  y b) Bài 6) Bài 7) Bài 8) 1  x y Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 1  x y3 1 Cho số thực dương x, y thỏa x  y  Tìm giá trị nhỏ M  (1  x)(1  y )(  ) x y 1  Cho số thực dương x, y thỏa x  y  Tìm giá trị nhỏ M  3 x y xy 3 Cho số thực x, y không âm thỏa x  y  xy  Trang a) Tìm min, max S  x  y b) Tìm giá trị nhỏ M  x  y  xy Bài 9) Cho x,y,z số thực thoả mãn: x  xy  y  a) Tìm min, max P  xy x4  y  x2  y  Bài 10) Cho số thực x, y khác không thỏa mãn x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức : M  A x6  y  xy ( x  y ) x  y  x y x  y  xy  ( x  y)4 ( x  y)2 Bài 11) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: P  Bài 12) Cho số thực x, y thỏa x  y   x   y  a) Tìm min, max S  x  y b) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn M  ( x  y )   x  y  x y Cho số thực dương x, y thỏa x  y  Tìm giá trị nhỏ P  x  y  y  x x y xy Bài 14) Cho số thực dương x, y thỏa x  y  xy  Tìm giá trị lớn M    x 1 y 1 x  y Bài 15) Cho x,y số dương thoả mãn: x  y  Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: Bài 13) A  (4 x  3y)(4 y  3x )  25xy Bài 16) Cho a b số thực dương thỏa a  b   3ab Tìm giá trị lớn (a  1)3  (b  1)3  3(a  b)(a  1)(b  1) M ( a  b) Bài 17) Cho a b số thực dương thỏa mản 2(a  b2 )  ab  (a  b)(ab  2) a b a) Tìm t   b a  a b3   a b  b) Tìm giá trị nhỏ M         a  b a  b Cho số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy  32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x3  y  3( xy  1)( x  y  2) Bài 19) Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện xy  y  x a) Tìm giá trị lớn t  y x y x  2y b) Tìm giá trị lớn biểu thức P   x  xy  y  x  y  Bài 18) 1  Cho số thực a, b thuộc đoạn  ,1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2  P  a 5b  ab5   3(a  b) a  b2 Bài 21) Cho số thực dương x, y thỏa x khác y x  y  12 a) Chứng minh xy  Bài 20) Trang 4  2 x y 8( x  y )  x 1 y 1  Bài 22) Cho số thực dương x, y thỏa    x y2 x   y x y a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: t   y x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A   x4 y  1  b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M     3xy     x y  x y  Bài 23) Cho số thực x, y không âm thỏa x( x  y )  Tìm giá trị nhỏ  1 P  (2 x  y )   2  x  xy 2 x  xy  y      - -  BẤT ĐẲNG THỨC BA BIẾN Hầu hết toán bất đẳng thức ba biến ta phải dùng bất đẳng thức phụ nhằm đánh giá điều kiện ẩn phụ làm cho biểu thức trở nên đơn giản để đặt ẩn phụ Khi dùng bất đẳng thức phụ cần lưu ý đến điểm rơi 1   a b c Ví dụ 2: Cho số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x  y  z  Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  a  b  c  x2    a, b, c  0; a  b  c   3  2 1 1  y   ( x  y )2  (  )2 x y x y a) Chứng minh b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  1  y2   z2  2 x y z Ví dụ 3: Cho số thực dương a, b, c a2 b2 a a) Chứng minh   2 (a  b) (b  c) ac a2 b2 4c3   (a  b) (b  c) 3(c  a) BÀI TẬP Bài 1) Cho số thực không âm x, y, z thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: A  xy  yz  zx  x yz Bài 2) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c P    abc b c a 1   Bài 3) Cho số thực dương a, b, c thỏa abc = Tìm giá trị nhỏ M  2 (1  a) (1  b) (1  c)  Trong số toán mà vai trò biến a, b, c nhƣ (biểu thức đối xứng) ta giả sử a  b  c a  b  c Ví dụ 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = Tìm giá trị nhỏ M  13abc  4(ab  bc  ca ) b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  Ví dụ 2: Cho số thực x, y, z không âm, thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  x  y  z  xyz BÀI TẬP Trang Cho a, b, c  0; a  b  c  Tìm giá trị nhỏ P  abc  a  b  c Cho số thực không âm a, b, c thỏa a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: 9abc P  a  b2  c2  Bài 3) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: Bài 1) Bài 2) A  x( y  z )  y ( z  x)  z ( x  y )  Trong số toán mà vai trò biến hoán vị vòng quanh ta giả sử a số nhỏ lớn ba số a, b, c a b c   Ví dụ 1: Cho số thực dương a, b, c thuộc [ ,3] , Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  ab bc ca BÀI TẬP a b c   Bài 1) Cho số thực dương a, b, c thuộc [ ,3] , Tìm giá trị lớn biểu thức P  ab bc ca Bài 2) Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức M  a 2b  b 2c  c 2a  abc Bài 3) Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức M  8abc(a  b  c ) - - LUYỆN TẬP Bài 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 3   b   c   a, b, c  0; a  b  c   b c a 2  a, b, c  0; a  b  c  1 b) A  a  b  c   abc Bài 2) Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x  y2  z  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P  x  y3  z – 3xyz Bài 3) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  a b c a) Chứng minh    a  b  c b c a a b c b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P     b c a abc x2  y  z Bài 4) Cho số thực dương x, y, z thỏa x3  y  z Tìm giá trị nhỏ của: P  ( x  z )( y  z ) Bài 5) Cho số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  a) Chứng minh x y  y z  z x  x  y  z xy  yz  zx b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  y  z  x y  y2 z  z2 x a) A  a  Cho a, b, c  0; a  b  c  Tìm giá trị nhỏ P  15abc  4(a3  b3  c3 ) Bài 7) Cho a, b, c  0; a  b  c  Tìm giá trị lớn P  a  ab  2abc Bài 8) Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị lớn nhất: A = 2(a + b + c) – abc 3 Bài 9) Cho a, b, c  0; a  b  c  Tìm giá trị nhỏ P  abc  a  b  c Bài 10) Cho số thực x, y, z  1 thỏa x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: Bài 6) P x2 y2 1  x  y  xy  z  z  Trang Bài 11) Cho số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  xyz Tìm giá trị lớn biểu thức: ( z  z xy ) 2z P  2 ( x  y )( z  1) ( z  1) z  Bài 12) Cho số thực không âm x, y, z thỏa x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  6( y  z  x)  27 xyz Bài 13) Cho số thực không âm x, y, z thỏa  x2   y   z  a) Chứng minh x  2( y  z )  b) Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x3  y  z Bài 14) Cho số thực x, y, z thỏa x  y  z  a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ t  xy  yz  zx ( x  y  z )  xy  yz  Bài 15) Cho số thực không âm x, y, z thỏa x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  ( xy  yz  xz )  P  2( x  y  z )  xyz  x  2020 Bài 16) Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  3(a 2b  b c  c a )  3(ab  bc  ca )  a  b  c Bài 17) Cho x, y, z ba số thực thuộc [1; 4] x  y, x  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z P   2x  3y y  z z  x Bài 18) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P3 x y 3 yz 3 zx  x2  y  z Bài 19) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức P  x5  y  z Bài 20) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a  c)(b  c)  4c2 a) Chứng minh 32a 32b3 ab  (  1)3 3 (b  3c) (a  3c) c b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  32a 32b3 a  b2   (b  3c)3 (a  3c)3 c Bài 21) Cho a, b, c số thực dương a) Chứng minh (a  b) (a  2c)(b  2c)  2(a  b2  c ) b) Tìm giá trị lớn biểu thức: P   (a  b) (a  2c)(b  2c) a b c 4 Bài 22) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y2  z  a) Chứng minh ( x  y  z )2  4(1  yz ) 2 x2 yz  yz   x  yz  x  x  y  z  Bài 23) Cho số thực a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện (a+b)c >0 a b 2(a  b)   a) Chứng minh bc ac abc a b c   b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  bc a  c 2a  b Bài 24) Cho số thực a,b,c thuộc đoạn [1,3] thỏa mãn điều kiện a  b  c  b) Tìm giá trị lớn biểu thức: P  Trang a) Chứng minh 11  ab  bc  ca  12 a b  b 2c  c 2a  12abc  72  abc ab  bc  ca Cho số thực a, b, c thuộc đoạn [0,1] thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  Chứng minh 3(a  b  c)  5abc  6 Tìm giá trị nhỏ P  a  b  c  10abc  abc Cho số thực dương x, y, z thỏa xy  yz  zx  Chứng minh xyz ( x  y  z )  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M   xyz ( x  1)( y  1)( z  1) Cho số thực a, b, c thuộc [1, 4] thỏa a  b  2c  Chứng minh ab  2c  Tìm giá trị lớn biểu thức M  a  b3  5c3 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x  y  z  Chứng minh x  y  z  x y  y z  z x 16 xy  yz  zx  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A   x yz x2 y  y z  z x2  b) Tìm giá trị lớn biểu thức M  Bài 25) a) b) Bài 26) a) b) Bài 27) a) b) Bài 28) a) b) Bài 29) Cho số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  xy yz 1 y y        2 1 z 1 x 8 x z  xy yz y ( x3  z )   b) Tìm giá trị lớn biểu thức A   z  x2 24 x3 z 2(a  b  c )  ab  bc  ca  Bài 30) Cho số thực dương a, b, c thỏa ab  bc  ca a) Chứng minh ab  bc  ca  a) Chứng minh Tìm giá trị lớn biểu thức M  2(a  b  c )  ( a  b  b  c  c  a ) Bài 31) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x + y > a) Chứng minh z  16  x  y  16   x  y  z   z   x  y  16 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  xy  yz  zx b) Bài 32) Cho số thực dương x, y, z thỏa 5( x  y  z )  9( xy  yz  zx) a) Chứng minh x  2( y  z ) x  y  z ( x  y  z )3 Bài 33) Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  ab  2bc  2ca  c a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ t  ab c2 c2 2ab b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P    2 ( a  b  c ) a  b ( a  b) Bài 34) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn z  x; z  y b) Tìm giá trị lớn biểu thức P  a) Chứng minh x y 4( x  y ) 2  1 yz z x x yz Trang 10 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x y z 2  33 yz zx x y Bài 35) Cho số thực dương a,b,c thỏa a3  b3  c(c  1) a) Chứng minh a  b  c a  b2  c2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  (a  b  c) 1 Bài 36) Cho số thực dương x, y, z thỏa   x y z x y 4 a) Chứng minh z x2  y z b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A   z x y a  b  c  Bài 37) Cho số thực dương a,b,c thỏa  abc  a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ t  ab  bc  ca b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ M  a  b  c Bài 38) Cho a, b, c số thực không âm thỏa a  b  c  a) Tìm giá trị lớn A  4(ab  bc  ca )  3abc b) Tìm giá trị nhỏ P  (abc)2  9abc  27  8(ab  bc  ca) Bài 39) Cho số thực dương a,b,c thỏa (a  b)  4a 2b   (2c  1) Chứng minh a  b  2c ; ab  c a b ab c  )  b) Tìm giá trị nhỏ M  2( bc ac c ab a  b  c  abc  ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ của: Bài 40) Cho số thực a, b, c  (0,1) thỏa a) M  a  b2  c Bài 41) Cho số thực a, b, c [0, 2] thỏa a  b  c Tìm giá trị nhỏ của: M  a Bài 42) Cho số thực dương a, b, c thỏa (a  b  c)(  a) Chứng minh a  2(b  c) 1  ac (a  b) (b  c) 1 27  ) b c b2  c2  (b  c)2  2(a  2b  2c) a  2b  2c Bài 43) Cho a, b, c số thực khác nhau, không âm Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  1  P  (a  b)  (b  c)  (c  a)     2 2  (a  b) (b  c) (c  a)  Bài 44) Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  a) Chứng minh a 2b  b 2c  c a  abc  4  b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  2 a b  b c  c a abc b) Tìm giá trị nhỏ P  - - ...  BẤT ĐẲNG THỨC BA BIẾN Hầu hết toán bất đẳng thức ba biến ta phải dùng bất đẳng thức phụ nhằm đánh giá điều kiện ẩn phụ làm cho biểu thức trở nên đơn giản để đặt ẩn phụ Khi dùng bất đẳng thức. .. x  y  xy  Trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng số bất đẳng thức phụ đặt ẩn phụ dùng bất đẳng thức phụ cần lưu ý điểm rơi bất đẳng thức Ví dụ 1: Cho hai số thực dương x, y thỏa x  y  ,... - - BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN  Phƣơng pháp: Bất đẳng thức hai biến thường đối xứng, ta thường đặt ẩn phụ mới, tìm điều kiện ẩn phụ (chú ý tìm kiện chặt hay nói cách khác phải tìm