1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

49 1,4K 1

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 49
Dung lượng 428,86 KB

Nội dung

Chương I ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG... * Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương cần: 1.. Chú ý xem kĩ giả thuyết đề cho, vì trong một số

Trang 1

Chương I ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG

Trang 2

⇔ tanx−tany > −1 tan tanx y

Trang 3

= + (đpcm)

Trang 5

Ví dụ 10:

Cho − < < 1 x 1 và nN n, > 1 Chứng minh:

Trang 6

* Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương cần:

1 Chú ý xem kĩ giả thuyết đề cho, vì trong một số trường hợp có thể biến đổi giả thuyết đề cho thành bất đẳng thức cần chứng minh ( như ở ví dụ 4, 5…)

2 Trong một số trường hợp có thể biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức luôn đúng ( được nêu ở ví dụ 1, 3, 7, 8…)

3 Nên thuộc lòng và bất đẳng thức thông dụng được giới thiệu ở phần II

IV Bài tập tương tự:

Tìm bất đẳng thức tương đương bằng cách quy đông mẫu số, ước lược số hạng (x+z), chuyển

vế, biến đổi vế trái thành dạng tích số,…

2 a, b, c, d là năm số thức tùy ý, chứng minh bất đẳng thức:

Trang 7

I Phương pháp giải toán

Trang 8

Tổng quát: Cho n số dương tùy ý ai, i = 1, n và n số hữu tỉ dương qi, i = 1, n

2 3

Trang 9

2 9

Trang 10

Cộng vế theo vế ta có đpcm Dấu “=” xảy ra khi x = y = z

2 Với mọi x, y, z dương Chứng minh :

3 3 3

x

y z x yz

y

x z y xz

z

x y z xy

+ + ≥ + + ≥ + + ≥Cộng vế theo vế ta được:

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z

3 Cho a b c, , là 3 số nguyên dương Chứng minh:

Trang 11

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

4 Cho a b c, , là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Trang 14

Mặt khác, theo bất đẳng thức Causi: x+ + ≥y z 33 xyz =3 ( do xyz =1) (3)

Dấu “ = ” xảy ra khi x= =y z

Từ (2) và (3) suy ra:

32

y z+ z x+ x y≥+ + + Vậy (1) đúng

Dấu “ = ” xảy ra ⇔ = =x y z hay a= =b c

Trang 17

3 Chứng minh rằng nếu phương trình 4 3 2

t t

Trang 18

6 Cho ∆ABC, M là điểm bất kì trong tam giác Gọi x, y, z, là các khoảng cách từ M xuống BC,

AC, AB Chứng minh rằng:

Do trong mọi tam giác nên ta có:

h a =bsin ; C h b =csin ; A h c =asinB nên:

Trang 19

Từ (1), (2) suy ra đpcm

Dấu “ = ” xảy ra khi ∆ABC đều, M là trọng tâm tam giác

Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ – BƯ – SEP (TCHEBYCHEV)

Trang 20

n n

Trang 21

n n

1

n n

Trang 23

Áp dụng bất đẳng thức trê – bư – sep cho 2 dãy:

I Phương pháp giải toán

Cho a ≥ − 1, 1 n ≤ ∈ thì ( 1 + a ) ≥ + 1 na

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 0

1

a n

Chứng minh tương tự :

Trang 24

( )b

a b c

+ + + (2)

a b + > a b

+ + + (3)

III Bài tập tương tự:

1 Chứng minh rằng với mọi n = 1,2,…ta có:

* Hướng dẫn:

Trang 25

a) Biến đổi

1

1 1

111

n n

n n

11

111

n n

n n

+ +

11

n

n n

ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I Phương pháp giải toán:

Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức f x( ) > g(x), x∈(a;b)

Xét hàm số h(x) = f x( ) −g x( ) với x∈[a;b]

• Nếu h x( ) đồng biến trên (a;b) thì h x( ) >h a( ),∀x∈(a;b)

Trang 26

• Nếu h x( ) nghịch biến trên (a;b) thì h x( ) >h b( ) hoặc h x( ) <h a( ) với ∀x∈(a;b)

Giải:

Xét hàm số f x( ) = tanx− sinx với x∈[0;

2

π)

Ta có: f x'( ) = 1 cos

c x− =

3 2

1 os os

Trang 27

Hay sinx+ 2 tanx− 3x> 0(1)

Trong bất đẳng thức (1), thay x lần lượt bởi A, B, C với A B, C là số đo 3 goc nhọn ∆ABC

Ta có: sinA+ 2 tanA− 3A> 0

sinB+ 2 tanB− 3B> 0

sinC+ 2 tanC− 3C> 0

Cộng vế theo vế ta được:

sinA+ sinB+ sinC+ 2(tanA+ tanB+ tan ) 3(CA+ +B C) > 0

⇒ sinA+ sinB+ sinC+ 2(tanA+ tanB+ tan ) 3C − π > 0

2 2

0 cos

Trang 28

6

ββ

sin

x x

Trang 29

3 3

sin

6

ββ

g x( ) >g(0), ∀ >x 0

2 1

x x

x x

+ , ∀ >x 0

2

21

x x

Trang 30

n n n

III Bài tập tương tự:

1 Chứng minh rằng cosα α+ cosα > 1với 0;

2

x  π 

∈  

2 Chứng minh rằng nếu ∆ABC có 3 góc nhọn thì:

sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC> π2

Trang 34

* Phản chứng:

Ta gọi một mệnh đề cần chứng minh là luận đề: “GK

Phép toán mệnh đề cho ta:

2 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái giả thiết: GKG

3 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với một điều đúng: GKS

4 Phủ định luận đề rồi suy ra hai điều trái nhau: GKCC

5 Phủ định luận đề suy ra kết luận của luận đề GKK

Suy ra: Bất đẳng thức đúng với n= +k 1

Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2: Cho nN, n ≥1, a i > 0,i= 1, 2, ,n Hãy chứng minh:

Trang 37

a b c

ab bc ca abc

⇒ + <b c 0 Vậy: a b c+ + < ⇒ 0 vô lý Vậy: a b c >, , 0

III Bài tập tương tự:

Trang 38

4 a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh huyền Chứng minh rằng:

* Hướng dẫn:

Xét tích (x−1)(y−1)(z−1) từ đó suy ra chỉ có một và chỉ một trong ba số x −1; 1

y − ; z −1 dương Nếu cả ba số đều dương thì x y z >, , 1, do đó xyz >1 Trái giả thiết Còn nếu hai trong ba số này dương thì tích: (x−1)(y−1)(z− <1) 0; vô lý Vậy chỉ có một và chỉ một trong ba số x, y, z lớn hơn 1

2 Chứng minh rằng không tồn tại các số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1), (2), (3):

Trang 39

(1) (2) (3)

− − + +  − + + −  > ⇒vô lý, vậy bài toán đuọc chứng minh

3 Cho a b c >, , 0 và abc =1 Hãy chứng minh: a b c+ + ≥ 3

Trang 40

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP

1 Cho ∆ABC, tìm GTlN của f = − 2 cos cos(C A B− ) cos 2 − C (A, B, C là 3 góc của tam giác)

Trang 42

2 2

x x y

Trang 43

2 22

Trang 44

sin &(1 2cos 2 )xx không đổi dấu nên

sin 2 cos 2 sin

Trang 45

C do

Trang 46

9 Chọn A

1 2

1 2

Trang 49

Chương VI: ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Chương VII: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Chương VIII: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG QUY NẠP HOẶC

PHẢN CHỨNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP

Ngày đăng: 27/04/2014, 07:00

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w