Kinh nghiệm CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 1 A. PHN M U Bt ng thc l mt trong nhng dng toỏn hay v khú i vi hc sinh trong quỏ trỡnh hc tp cng nh trong cỏc k thi, trc ht l k thi i hc m hu ht hc sinh THPT u phi vt qua. Ngoi ra bt ng thc cng l mt dng thng gp trong cỏc k thi hc sinh gii toỏn cỏc cp: Tnh, Quc gia, Olympic khu vc v Olympic quc t. giỳp cỏc em cú thờm mt s kinh nghim trong quỏ trỡnh hc tp nhm nm vng cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc ng thi s dng linh hot hn trong vic gii cỏc bi toỏn v bt ng thc, tụi quyt nh vit ti ny nhm chia s cựng ng nghip, hc sinh v c gi mt s phng phỏp, kinh nghim gii bi toỏn bt ng thc. ti gm 2 phn c bn: Phn I: Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc. Phn II: Bt ng thc lng giỏc trong tam giỏc. Do khuụn kh ca ti, mi phn tụi xin min nhc li cỏc kin thc c bn v bt ng thc vỡ nhng kin thc ny c trỡnh by chi tit trong sỏch giỏo khoa trung hc ph thụng, m ch tp trung vo cỏc phng phỏp bin i ng thi nờu mt s vớ d minh ha. Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 2 B. NI DUNG Phn I: MT S PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC 1) Dựng cỏc phộp bin i thớch hp 2) Tam thc bc 2 3) Phng phỏp o hm, cc tr hm s 4) Quy np 5) Lng giỏc húa 6) Phng phỏp hỡnh hc 7) Cỏc BT thụng dng 8) Mt s phng phỏp khỏc I. S dng cỏc phộp bin i. Vớ d 1: CM vi a,b,c l 3 s dng thỡ 21 ac c cb b ba a Gii: Vỡ a,b,c l 3 s dng nờn ta cú cba c ac c cba b cb b cba a ba a Cng v theo v ta c ac c cb b ba a 1 Mt khỏc ta cú cba cb ac c cba ba cb b cba ca ba a Cng v theo v ta c 2 ac c cb b ba a Vớ d 2: CM Rx ta luụn cú 3 2 258 xxxx Gii: Rxx x x x xxx xxxxxx 0 3 1 3 1 3 1 2 3 2 3 1 3 1 3 1 . 2 3 .2 4 3 42 .2 3 2 2 2 4 22 48258 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 3 Do ú 3 2 258 xxxx (pcm) Vớ d 3: CMR Nn nn 1 )1( 1 3.2 1 2.1 1 Gii: Ta cú )( 1 11 )1( 1 * Nk kkkk Cho k=1, 2, n ri cng cỏc ng thc theo v ta cú 1 1 1 1 1 11 3 1 2 1 2 1 1 )1( 1 3.2 1 2.1 1 nnnnn Vy ta cú pcm. II. Phng phỏp Tam thc bc 2. Vớ d 1: CMR 11 5913 423 25 11 5913 2 2 xx x Gii: TX: Rx Gi 423 25 2 2 xx x P thỡ 0242)53( 2 PPxxP (*) (*) cú nghim x thỡ 11 5913 11 5913 0102611 0)53)(24(0 2 2' P PP PPP Vy 11 5913 423 25 11 5913 2 2 xx x Du t bờn trỏi xy ra 121 )5913(13 x Du t bờn phi xy ra Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 4 121 )5913(13 x III. Phng phỏp hm s, dựng o hm. Vớ d 1 : CMR 0x thỡ xx sin Gii : Xột hm s ( ) sin '( ) 1 cos 0 f x x x f x x )(xf ng bin Mt khỏc f(0)=0. Vy f(x)>0 vi mi x>0 hay vi mi x>0 thỡ xx sin Vớ d 2: CMR nu 0<b<a thỡ b ba b a a ba ln Gii: Xột hm s f(x)=lnx liờn tc v cú o hm trờn ,0 x xf 1 )(' . Theo nh lớ Lagrange tn ti x 0 vi b<x 0 <a sao cho ab afbf xf )()( )(' 0 b a x ba ba ba x ln lnln1 00 Vỡ b<x 0 <a nờn bxa 111 0 suy ra pcm. Vớ d 3: Cho a,b,c,d l 4 s dng bt kỡ. CM 64 3 cdbdbcadacabbcdacdabdabc Gii: Khụng mt tớnh TQ gi s dcba Xột hm s ))()()(()( dxcxbxaxxfy f(x) l mt hm s liờn tc v cú o hm trờn R Vỡ f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=0 v f(x) l mt hm bc 3 nờn tn ti 321 ,, yyy sao cho dycybya 321 sao cho 0)(')(')(' 321 yfyfyf Vy ))()((4)(' 321 yxyxyxxf Trong khai trin ta cú Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 5 )(2)(4 )(4 133221 321 cdbdbcadacabyyyyyy bcdabdacdabcyyy Theo BT Cauchy 3 2 321 133221 )( 3 yyy yyyyyy 64 3 cdbdbcadacabbcdacdabdabc IV. Phng phỏp quy np. Phng phỏp ny c ỏp dng khi BT ph thuc 1 tham s Nn , vi cỏc bc chng minh nh sau: + Bc 1. C/m BT ỳng vi n=n 0 + Bc 2. Gi s BT ỳng vi n=k )( 0 nk ta cn chng minh BT ỳng vi n = k+1. + Bc 3. Kt lun BT ỳng vi mi Nn . Vớ d 1 : C/m * ,2 Nnn ta cú : (*) 13 1 2 12 6 5 . 4 3 . 2 1 n n n Gii: + Khi n=2 ta cú 7 1 8 3 (*) ỳng. + Gi s BT ỳng vi n=k tc l 13 1 2 12 6 5 . 4 3 . 2 1 k k k Ta cn chng minh (*) cng ỳng vi n=k+1 )2( k . Tht vy 1 3 5 2 1 1 1 3 2 1 2 1 1 2 1 . . . . . 2 4 6 2 2 4 2 2 2 2 2 3 1 3 1 k k k k k k k k kk Ta cn chng minh 1420419 )484)(13()43)(144( )22.(1343).12( 43 1 1)1(3 1 22 12 . 13 1 22 kkk kkkkkk kkkk kk k k k n õy ta thy (*) ỳng vi n=k+1. Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 6 Vy theo gi thit quy np (*) ỳng vi 2n Vớ d 2: Cho x>0 CMR vi 1n ta cú ! !3!2 1 32 n xxx xe n x Gii: +Vi n=1 ta cú xye y ,01 Vy 011 00 xxexedydye xx xx x Vy BT ỳng vi n=1. + Gi s BT ỳng vi n=k 0)1( xk tc l ! !3!2 1 32 k xxx xe k x Ta c/m BT cng ỳng vi n=k+1 tc l : )!1( !3!2 1 132 k xxx xe k x Tht vy theo gi thit quy np ta cú: 0 ! !3!2 1 32 x k xxx xe k x Nh vy ta cú xy k yyy ye k y ,0 ! !3!2 1 32 Do ú ta cú: 2 00 2 3 1 (1 ) 2! ! 1 2! 3! ( 1)! xx k y k x yy e dy y dy k x x x ex k 2 3 1 1 2! 3! ( 1)! k x x x x ex k +Vy theo nguyờn lớ quy np ta cú BT ỳng vi 1n V. S dng phng phỏp lng giỏc húa. s dng phng phỏp lng giỏc húa, trc ht hc sinh phi nm vng cỏc tớnh cht, cụng thc v cỏc phộp bin i lng giỏc. Trờn c s ú, Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 7 trong mt s bi toỏn nu t cỏc giỏ tr n thớch hp qua cỏc hm s lng giỏc thỡ rt thun tin. Vớ d 1: CMR yx, ta cú: 4 1 1()1( )1)(( 4 1 2 )222 2222 yx yxyx Gii: t 2 , 2 tgytgx Ta cú: dpcmA b tgtg tgtgtgtg yx yxyx A 4 1 )22sin()22sin( 2 1 )cos()cos()sin()sin( )sinsincos)(coscossincos(sin )1()1( ).1)(( 1()1( )1)(( 22222222 2222 2222 )222 2222 2 *) Mt s bi tp: 1. CMR Ryx , thỡ 2 1 )1)(1( )1)(( 2 1 22 yx xyyx 2. Cho 4 s thc a, b, c, d thừa món 1 1 22 22 dc ba CMR 11 bdac VI. Phng phỏp hỡnh hc. a) S dng cỏc BT v vect 1. vuvu Du = xy ra vu, cựng chiu 2. vuvuvuvu Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 8 Vớ d 1: Cho a, b, c l 3 s thc bt kỡ CM 222222 2)()( cacbacba Gii: t );();( cbavcbau thỡ )2;2( cavu Ta cú vuvu suy ra pcm. Vớ d 2: CM Ryx , thỡ 5101224964 2222 yxyxxyx Gii: t )23;1()2;3( yxvyxu thỡ )3;4(vu Li ỏp dng vuvu suy ra pcm. Vớ d 3: CM cba ,, thỡ 444 )( cbacbaabc Chỳ ý: Phng phỏp vect c ỏp dng trong cỏc trng hp ta cú th biu din cỏc thnh phn ca bt thnh di cỏc vect tuy nhiờn nú ch ỏp dng thng thi khi khụng cú s rng buc no ca cỏc biờn cũn nu cú s rng buc thỡ ta thng dựng phng phỏp ta . b) Phng phỏp ta : Vớ d 4: Cho a,b thừa món a 2b + 2 = 0. CMR 6)7()5()5()3( 2222 baba Gii: Chn A(3; 5) B(5; 7) M(a; b) vỡ thừa món a 2b + 2 = 0 nờn nm trờn ng thng x- 2y + 2=0 )( . Ly A i xng A qua )( ta cú A (5; 1) Ta cú MA+MB=MA +MB A B Hay 6)7()5()5()3( 2222 baba Du = xy ra 2 7 5 ba c) Cỏc phng phỏp khỏc: Vớ d 5: Cho 0<x, y, z<1. CM 1)1()1(()1( xzzyyx Gii: Dng tam giỏc u cnh 1 nh hỡnh v x y M A A B A C P N A z Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 9 Ta cú A 1)1()1()1( 1.1.60sin. 2 1 )1()1()1(60sin 2 1 00 xzzyyx xzzyyx SSSS ABCBNMCPNAMP Vớ d 6: Cho a, b, c dng. CM 222222 3232 cacacbcbbaba Gii: Dng hỡnh nh hỡnh v sao cho: OA=a ; OB=b ; OC=c 00 3045 BOCAOB p dng nh lớ hm s cosin trong tam giỏc ta cú: 22 22 2 3 AB a ab b BC b bc c 0 0 0 0 0 0 cos cos(45 30 ) cos45 cos30 sin45 sin30 1 3 1 1 1 3 1 1 . . . 2 3 2 2 2 2 2 2 2 AOC Vy 22 32 cacaAC tc l 222222 3232 cacacbcbbaba Du ng thc xy ra 0 2 1 2 3 sin75 4 4 2 AOB BOC AOC ab bc ac S S S ac b ac *) Mt s bi tp 1. Cho a, b, c, d l 4 s thc thừa món )(1236 )(21 22 22 dcdc baba CM: 6226 )12()()()12( dbca c b a A O B C Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 10 2. CMR x ta cú 31)13(21)13(2122 222 xxxxxx 3. Cho x, y thừa 042 02 082 xy yx yx C/m 20 5 16 22 yx 4. Cho x, y, z dng thừa món xyz(x+y+z)=1 Tỡm MIN (x+y)(x+z) VII. S dng cỏc BT quen thuc. 1. Bt ng thc Cauchy a. Cho 2 s khụng õm x, y ta cú xy yx 2 . Du = yx Dng khỏc baba 411 Du = ba b. Tng quỏt cho n s khụng õm n aaa , ,, 21 ta cú n n n aaa n aaa 21 21 Vớ d 1 : Cho a, b, c l 3 s dng tựy ý CMR Rx ta cú xxx xxx cba b ca a bc c ab Gii : p dng BT Cauchy cho cỏc cp s dng ta cú : x xxx x xxx x xxx a bc abca c ab b ca c ab cabc b ca a bc b ca bcab a bc c ab 2 . 2 2 . 2 2 . 2 [...]... c khai thỏc II Nhng phng phỏp chng minh chn lc cỏc BT tam giỏc Vic la chn phng phỏp chng minh cỏc BT c bn quen thuc trong tam giỏc giỳp rỳt ngn thi gian lm bi Vớ d 1 : CM BT: sin A sin B sin C 3 3 (1) 2 Gii : (1) c CM theo nhiu phng phỏp, sau õy l phng phỏp ngn gn: Ta cú Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 21 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức sin A sin B sin C 2 cos C A... Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức C KT LUN Trờn õy l mt s kinh nghim ỳc rỳt trong quỏ trỡnh ging dy hn 30 nm qua, c bit l trong quỏ trỡnh bi dng hc sinh gii T nhng vn trỡnh by trờn õy cú th rỳt ra kt lun rng: vic nghiờn cu gii cỏc bi toỏn v bt ng thc i vi hc sinh phi l mt quỏ trỡnh thng xuyờn v c bit l phi c nghiờn cu chu ỏo ngay t nhng kin thc c bn lp 10 Trong ú phng phỏp chng minh BT... bn bt kỡ ta cú a1b1 a2b2 an bn 2 (a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) ng thc xy ra a a1 a 2 n b1 b2 bn Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 12 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Vi quy c ai=0 thỡ bi=0 Chng minh: 2 2 +Nu a12 a2 an =0 suy ra BT luụn luụn ỳng 2 2 +Nu a12 a2 an >0 Xột tam thc f ( x) (a1 x b1 ) 2 (a 2 x b2 ) 2 (a n x bn ) 2 2 2 2 2 f ( x) (a12 ... y z) 2 0 x 2 y 2 z 2 2 T ú ta cú th chng minh d dng cỏc BT Vớ d : t x ab ; a b y bc ca ; z bc ca Ta cú a b bc ca 2 (1) a b bc ca a2 b2 b2 c2 c2 a2 5 (2) (a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 2 2 v 2 2 ab bc ca 1 2 2 2 4 ( a b) (b c) (c a ) (3) Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 17 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Cng (2) v (3) ri bin i ta cú: a3 b3 b3 c3 c3... C n x n i y i (*) i 0 Ta tỡm cỏch ỏnh giỏ mi s hng ca chui (*) khụng ln hn cỏc biu n n j 0 thc TJ m j 0 T j A lỳc ú B T j A Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 14 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Vớ d 1: Nu x 1 v n nguyờn, n>1 thỡ (1 x) n (1 x) n 2 n Gii: Ta cú n i 2 n (1 x 1 x) n (1 x) n (1 x) n C n (1 x) n i (1 x) i i 1 Vỡ x 1 nờn (1 x) ni (1 x) i 0... bin thiờn phc tp trong tp xỏc nh ta chia tp xỏc nh D thnh cỏc tp con D1, D2,.sao cho vic tỡm cc tr ca hm s trờn cỏc tp con d dng hn Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 15 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức b) Nu tớnh cht ca hm thay i c trờn cỏc tp con thỡ ta phõn tớch hm thnh tng ca cỏc hm n gin hn tỡm cc tr ca cỏc hm thnh phn Vớ d 1: Tỡm Max ca F ( x, y) x 2002 y(4 x y) vi x,y... 2 x 1 ' ' x 2001 Vy Min F ( x) 1 x 2001,2002 Vớ d 3: Tỡm Min A x( y z ) z ( x y) trong ú x, y, z l cỏc s thc thừa món Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 16 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức x 2 y 2 z 2 1 Gii: t A1 xy yz zx; A2 zx A A1 A2 Ta cú: ( x y z ) 2 0 x 2 y 2 z 2 2 A1 0 A1 1 2 ng thc xy ra x y z 0 2 2 2 x y z 1 (1) Ta cng cú 1 1 1... CMR 1 1 m1a1 m2 a2 mn an m2a1 m3a2 m1an 1 k mn a1 m1a2 mn1an m1 m2 mn Vi m1 , m2 , , mn l cỏc s nguyờn dng tựy ý Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 11 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Gii: ỏp dng BT Cauchy cho m m1 m2 mn s ta cú: m m m1a1 m2 a2 mn an mm a1m1 a2 2 .an n (1) Li ỏp dng cho m s dng ta cú m m1 m2 n a1 a 2 an m m m m a1m1 a 2 2 .a n n... a)( p b)( p c) p abc 8 p abc p abc pr abc 8 4R 8 R 2r (2) S2 (2) l BT mi v hon ton khỏc so vi (1) CM (2) nh sau: Ta cú Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 18 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức 1 ab sin C 2 R 2 sin A sin B sin C pr 2 abc 2 R 2 sin A sin B sin C r 2 r 2 sin A sin B sin C 2 sin A sin B sin C A B C 4 sin sin sin A B C R sin A sin B sin C 2 2 2 4... 1 2 a b 2 2 bc ca ab R 4S R 2 4S ha hb hb hc hc ha 2 (5) R (1) (3) (5) l mt BT mi liờn quan n cỏc ng cao Ta bin i (1) Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình 19 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức (1) 1 8 2p 8(a b c) ( p a)( p b)( p c) abc ( p a)( p b)( p c) abc ( p a ) ( p b) ( p c ) 1 1 1 8 ( p a)( p b)( p c) ab bc ca 1 1 1 1 1 1 8 (