Phần I: Mở đầu Trong quá trình dạy học sinh môn toán lớp 8, đặc biệt trong khi bồi dỡng HSG có những bài toán chứng minh bất đẳng thức, tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vớng mắc về phơng pháp giải, quá trình giải thiếu logic và cha chặt chẽ, cha xét hết các trờng hợp xảy ra. Lí do là học sinh cha nắm vững định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức, cũng nh các hằng bất đẳng thức,cha phân biệt và cha nắm đợc các ph- ơng pháp giải đối với từng dạng bài tập.Mặt khác sách giáo khoa lại cha đề cập nhiều về cách giải, do đó HS cha có đợc phơng pháp giải những bài tập này. Vì thế trong quá trình dạy về vấn đề này tôi nghĩ cần phải làm thế nào để học sinh biết áp dụng định nghĩa, tính chất bất đẳng thức để phân chia đợc các dạng, tìm ra đợc phơng pháp giải đối với từng dạng bài. Từ đó học sinh thấy tự tin hơn khi gặp loại bài tập này và có kỹ năng giải chặt chẽ hơn, có ý thức tìm tòi, sử dụng phơng pháp giải nhanh gọn, hợp lí .Chính vì những lí do trên mà tôi chọn và trình bày kinh nghiệm: Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phần II: Nội dung A. Cơ sở thực tiễn Học sinh cha nắm vững định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức, cũng nh các hằng bất đẳng thức,cha phân biệt và cha nắm đợc các phơng pháp giải đối với 1 phòng giáo dục đào tạo huyện quỳnh phụ Giải pháp công nghệ Một số ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức Năm học 2010 - 2011 Mã trờng: từng dạng bài tập .Chính vì vậy mà khi gặp dạng toán này học sinh thờng ngại, lúng túng không tìm đợc hớng giải và khi giải hay mắc sai lầm. B. giải pháp I. Những kiến thức cơ bản 1/ Định nghĩa bất đẳng thức Hệ thức dạng a > b ( hoặc a < b, a b, a b ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức. 2/ Các tính chất Tính chất bắc cầu: a > b; b > c a > c Tính chất đơn điệu của phép cộng: a> b a + c > b + c Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều, đợc bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho: a > b ; c > d a + c > b + d Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều, đợc bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ: a > b ; c < d a - c > b d Tính chất đơn điệu của phép nhân + Nhân hai vế của BĐT với cùng số dơng: a > b; c > 0 ac > bc + Nhân hai vế của BĐT với cùng số âm : a > b; c < 0 ac < bc Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm a > b 0, c > d ac > bd Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức: a > b > 0 a n > b n a > b <=> a n > b n với n lẻ. | a | > | b | <=> a n > b n với n chẵn. So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng: Nếu m > n > 0 thì: a > 1 a m > a n a = 1 a m = a n 0 < a < 1 a m < a n Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu: a> b, ab > 0 1 a < 1 b Chú ý : Trong các tính chất trên, nhiều dấu >(hoặc <)có thể thay bởi (hoặc ). 3/ Các hằng bất đẳng thức a 2 0, - a 2 0 | a | 0. Xảy ra đẳng thức khi a = 0 | a | a. Xảy ra đẳng thức khi a 0 | a + b | | a | + |b |. Xảy ra đẳng thức khi ab 0 | a - b | | a | - |b |. Xảy ra đẳng thức khi ab > 0 và | a| |b | a 2 + b 2 2ab ( +a b 2 ) 2 ab hay ( a + b ) 2 4 ab ( bất đẳng thức CoSi) 1 a + 1 b + 4 a b với a, b > 0 a b + b a 2 với a, b > 0 2 (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ( ax 2 + by 2 ) ( bất đẳng thức Bu-nhi a cốp- xki) II.Các ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1/ Ph ơng pháp dùng định nghĩa. Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A B và chứng minh A B là số dơng. Ví dụ 1: Chứng minh x + 1 x 2 nếu x > 0 Giải Xét hiệu x + 1 x - 2 = + 2 x 2x 1 x = 2 (x-1) x Vì x > 0,( x 1 ) 2 0 nên x + 1 x - 2 0 Vậy x + 1 x 2 với x > 0.Dấu = xảy ra khi x= 1 Ví dụ 2: Chứng minh rằng ( x 1) ( x 2 ) ( x- 3) ( x 4) - 1 Giải Xét hiệu: ( x 1)(x 2) ( x- 3)(x 4) (-1) = (x 2 5x + 4 ) (x 2 5x + 6)+ 1. Đặt x 2 5x + 5 = y, biểu thức trên bằng ( y 1)( y + 1)+ 1 = y 2 0 Vậy ( x 1) ( x 2 ) ( x- 3) ( x 4) - 1 2/ Ph ơng pháp d ùng các tính chất của bất đẳng thức. Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: a 2 + b 2 + 1 ab + a + b Giải Ta có: a 2 + b 2 2ab ( 1) b 2 + 1 2b ( 2) a 2 + 1 2a ( 3 ) Cộng từng vế của (1); (2) và (3): : 2a 2 + 2b 2 + 2 2 ab + 2a + 2b a 2 + b 2 + 1 ab + a + b Dấu = xảy ra khi a = b = 1 Ví dụ 2: Chứng minh các bất đẳng thức với a, b, c là các số dơng. a) ( a + b + c) ( 1 a + 1 b + 1 c ) 9 b) + a b c + + b c a + + c a b 1,5 Giải a) Ta có A = ( a + b + c) ( 1 a + 1 b + 1 c ) = 1 + a b + a c + b a +1 + b c + c a + c b +1 = 3 + ( a b + b a ) + ( a c + c a ) + ( b c + c b ) Dễ dàng chứng minh x y + y x 2 với x, y dơng. Do đó A 3 + 2 + 2 + 2 = 9. Vậy A 9 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c b) áp dụng bất đẳng thức câu a ta có ( x + y + z) ( 1 x + 1 y + 1 z ) 9 trong đó x, y, z > 0 Với x= b + c, y = a + c, z = a + b ta đợc: 2( a + b + c) ( + 1 b c + + 1 a c + + 1 a b ) 9 3 ( a + b + c) ( + 1 b c + + 1 a c + + 1 a b ) 4,5 + + + a b c b c + + + + a b c a c + + + + a b c a b 4,5 + a b c + 1 + + b a c + 1 + + c a b +1 4,5 + a b c + + b c a + + c a b 1,5 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Ví dụ 3: Cho x 0, y 0, z 0. Chứng minh rằng: ( x + y ) (y + z ) ( z + x ) 8xyz. (1) Giải Hai vế của (1) đều không âm nên để chứng minh (1), ta sẽ chứng minh (x + y ) 2 (y + z ) 2 (z + x ) 2 64 x 2 y 2 z 2 Ta có : (z + x ) 2 4xz (x + y ) 2 4xy (y + z ) 2 4yz Hai vế của bất đẳng thức trên đều không âm, nhân từng vế ta đợc (x + y ) 2 (y + z ) 2 (z + x ) 2 64 x 2 y 2 z 2 [( x + y ) (y + z ) ( z + x )] 2 [8xyz] 2 Các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều không âm nên ( x + y ) (y + z ) ( z + x ) 8xyz Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 3 1 2 + 3 1 3 + 3 1 4 + . . . + 3 1 n < 1 4 Giải Gọi A là vế trái của bất đẳng thức trên. Ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức dới dạng phơng pháp làm trội: để chứng minh A < B, ta làm trội A thành C ( A < C ) rồi chứng minh C B. Làm trội mỗi phân số ở A bằng cách làm giảm các mẫu, ta có: 3 1 k < 3 1 k k = 2 1 k(k 1) = + 1 (k 1)k(k 1) Do đó: A < 3 1 2 2 + 3 1 3 3 + 3 1 4 4 + . . . + 3 1 n n = 1 1.2.3 + 1 2.3.4 + 1 3.4.5 + . . . + + 1 (n 1)n(n 1) . Đặt C = 1 1.2.3 + 1 2.3.4 + 1 3.4.5 + . . . + + 1 (n 1)n(n 1) Nhận xét rằng 1 (n 1)n - + 1 n(n 1) = + 2 (n 1)n(n 1) nên C = 1 2 1 1.2 - 1 2.3 + 1 2.3 - 1 3.4 + 1 3.4 - 1 4.5 + + 1 (n 1)n - + 1 n.(n 1) 4 = 1 2 1 2 - + 1 n.(n 1) = 1 4 - + 1 2n.(n 1) < 1 4 Vậy 3 1 2 + 3 1 3 + 3 1 4 + . . . + 3 1 n < 1 4 . Chú ý: Khi làm trội một biểu thức, có trờng hợp ta phải chia biểu thức thành nhiều nhóm ròi làm trội trong trừng nhóm. Xét ví dụ sau: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2: 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + n 1 2 1 < n Giải Gọi vế trái của bất đẳng thức trên là A, ta có: A = 1+( 1 2 + 1 3 )+( 2 1 2 + + 1 7 ) + ( 3 1 2 + + 1 15 ) + + ( n 1 1 2 + + n 1 2 1 ) ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số bởi phân số lớn nhất trong nhóm, ta đợc: A < 1 + 1 2 . 2 + 2 1 2 . 4 + 3 1 2 . 8 + + n 1 1 2 . 2 n-1 = 1 + 1 +1 + + 1 = n Vậy 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + n 1 2 1 < n 3/ Ph ơng pháp : Dùng ph ơng pháp phản chứng. Ví dụ: a) Chứng minh bất đẳng thức (a + b) 2 4ab b) Cho a 2 + b 2 2. Chứng minh rằng a + b 2 Giải a) Gải sử (a + b) 2 < 4ab thì a 2 + 2ab + b 2 < 4ab a 2 - 2ab + b 2 < 0 (a - b) 2 < 0 ( Vô lí ) Giả sử sai Vậy (a + b) 2 4ab b)Giả sử a + b > 2, bình phơng hai vế ta đợc: a 2 + 2ab + b 2 > 4 ( 1) Mặt khác ta có 2ab a 2 + b 2 a 2 + 2ab + b 2 2 (a 2 + b 2 ) Mà 2 (a 2 + b 2 ) 4 ( giả thiết), do đó a 2 + 2ab + b 2 4 mâu thuẫn với ( 1) Vậy a + b 2 4/ Ph ơng pháp : Dùng các phép biến đổi t ơng đ ơng. Ví dụ: Cho các số dơng a và b thỏa mãn điều kiện a + b = 1 Chứng minh rằng ( 1 + 1 a )( 1 + 1 b ) 9 Giải ( 1 + 1 a )( 1 + 1 b ) 9 ( 1) <=> +a 1 a . +b 1 b 9 <=> ab + a + b + 1 9 ab ( vì ab > 0) <=> a + b + 1 8 ab <=> 2 8 ab (vì a + b = 1 ) <=> 1 4 ab <=> ( a + b ) 2 4 ab (vì a + b = 1 ) <=> ( a - b ) 2 0 ( 2 ) Bất đẳng thức ( 2) đúng, mà các phép biến đổi trên tơng đơng. Vậy bất đẳng thức ( 1) đợc chứng minh. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b 5 Chú ý : Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng, cần lu ý các biến đổi tơng đơng có điều kiện, ví dụ a 2 > b 2 <=> a > b với a, b > 0 m > n <=> a m > a n với m, n nguyên dơng, a > 1. Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tơng đơng. 5/ Ph ơng pháp : Dùng ph ơng pháp quy nạp toán học Ví dụ1: Chứng minh rằng: 2 n > n 3 với mọi số tự nhiên n 10 Giải + Bất đẳng thức đúng với n = 10 vì 2 10 = 1024 > 10 3 + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là ta có 2 k > k 3 ( k 10). Ta cần chứng minh 2 k+1 > (k+1) 3 Xét hiệu 2 k+1 - (k+1) 3 = 2. 2 k - k 3 3k 2 3k 1 = 2 (2 k k 3 ) + k 3 3k 2 3k 1 Theo giả thiết quy nạp 2 k > k 3 ta cần chứng minh k 3 3k 2 3k 1 > 0. Ta có: k 3 3k 2 3k 1 = k( k 2 3k 3) -1= k [ k( k-3) 3 ] 1 Do k 10 k ( k 3) 70 k [ k( k-3) 3 ] 1 669 > 0 2 k+1 > (k+1) 3 Vậy 2 n > n 3 với mọi số tự nhiên n 10 Ví dụ2: Chứng minh + 1 n 1 + + 1 n 2 + + 1 n 3 + + 1 2n > 13 24 với mọi số tự nhiên n 2 Giải + Bất đẳng thức đúng với n = 2 vì S = 1 3 + 1 4 = 7 12 > 13 24 + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là ta có S k > 13 24 ( k 10). Ta cần chứng minh S k+1 > 13 24 Ta có S k = + 1 k 1 + + 1 k 2 + + 1 k 3 + + 1 2k > 13 24 S k+1 = + 1 k 2 + + 1 k 3 + + 1 k 4 + + + 1 2(k 1) Do đó S k+1 - S k = + 1 2k 1 + + 1 2k 2 - + 1 k 1 = + + 1 2(k 1)(2k 1) > 0 S k+1 > S k , mà S k > 13 24 S k+1 > 13 24 Vậy + 1 n 1 + + 1 n 2 + + 1 n 3 + + 1 2n > 13 24 với mọi số tự nhiên n 2 III. Vài điểm chú ý khi chứng minh bất đẳng thức. Chú ý 1: Khi chứng minh bất đẳng thức , nhiều khi ta cần đổi biến. Ví dụ : Cho a + b + c = 1. chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 1 3 Giải Đặt a = 1 3 + x, b = 1 3 + y , c = 1 3 + z. Do a + b + c = 1 nên x + y + z = 0 Ta có: a 2 + b 2 + c 2 = ( 1 3 + x) 2 + ( 1 3 + y) 2 + ( 1 3 + z) 2 6 =( 1 9 + 2 3 x + x 2 ) + ( 1 9 + 2 3 y + y 2 ) + ( 1 9 + 2 3 z + z 2 ) = 1 3 + 2 3 ( x + y + z) + x 2 + y 2 + z 2 = 1 3 + x 2 + y 2 + z 2 1 3 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x= y = z = 0 <=> a = b = c = 1 3 Chú ý 2: Với các bất đẳng thức mà các biến có vai trò nh nhau, ta có thể sắp thứ tự các biến. Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức abc ( b + c a)( a + c b) ( a + b c ) với a, b, c là các số dơng. Giải. Do vai trò của a, b, c nh nhau, ta giả sử rằng a b c. Xét hai trờng hợp * b + c a khi đó vế trái của bất đẳng thức là số dơng, còn vế phải không d- ơng. Bất đẳng thức đợc chứng minh. * b + c > a khi đó hai vế của bất đẳng thức đều dơng. Ta có ( b + c a) ( b + a c) = b 2 ( c- a ) 2 b 2 ( a + c b) ( b + c a) = c 2 ( a- b ) 2 c 2 ( b + a c) ( c + a b) = a 2 ( b- c ) 2 a 2 Nhân từng vế ba bất đẳng thức trên, ta đợc [( b + c a)( a + c b) ( a + b c )] 2 [ abc] 2 Các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều dơng nên abc ( b + c a)( a + c b) ( a + b c ) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Chú ý 3: Khi chứng minh bất đẳng thức, trong nhiều trờng hợp ta cần xét từng khoảng giá trị của biến. Ví dụ: Chứng minh rằng x 8 x 7 + x 2 x + 1 > 0 Giải. Đặt A= x 8 x 7 + x 2 x + 1 = x 7 ( x 1 ) ( x 1) + x 2 = ( x 1 ) (x 7 1) + x 2 Nếu x 1 thì x 7 1, do đó ( x 1 ) (x 7 1) 0 còn x 2 0 nên A > 0 Nếu x < 1 thì x 7 < 1, do đó ( x 1 ) (x 7 1) > 0 còn x 2 0 nên A > 0 III/ Kết luận: Khi áp dụng đề tài nghiên cứu này vào giảng dạy, học sinh lớp tôi dạy đã biết cách làm các bài chứng minh bất đẳng thức.Học sinh không còn lúng túng và thấy ngại khi gặp dạng bài tập này. Cụ thể khi làm phiếu điều tra hai lớp 8A và 8B trờng THCS với đề bài sau: Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1/ x 2 + xy + y 2 > 0 2/ x 8 x 7 + x 4 x + 1 > 0 3/ 3 4 + 5 36 + 7 144 + + + + 2 2 2n 1 n (n 1) < 1 ( n nguyên dơng ) Bài 2: Cho ba số a, b, c khác nhau đôi một. Chứng minh rằng tồn tại một trong các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn ( a + b + c ) 2 . Bài 3: Cho a, b, c, là ba cạnh của một tam giác. chứng minh rằng 7 + a b c + + b c a + + c a b < 2 Kết quả nhận đợc nh sau: - Học sinh của tôi không còn lúng túng về phơng pháp giải cho từng dạng bài trên. - Biết lựa chọn cách giải hợp lí, nhanh, gọn. - Hầu hết đã trình bày đợc lời giải chặt chẽ. - Kết quả cụ thể nh sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu và kém 8A 31,8% 50,1% 13,6% 4,5% 8B 33,33% 46,67% 13,3% 6,7% Khi nghiên cứu đề tài này tôi đã rút ra một số bài học cho bản thân trong việc bồi dỡng học sinh khá - giỏi. Những bài học đó là: 1 Hệ thống kiến thức bổ trợ cho dạng toán sắp dạy. 2 Hệ thống các phơng pháp cơ bản để giải loại toán đó. 3 Khái quát hoá, tổng quát hoá từng dạng, từng loại bài tập. 4 Tìm tòi, khai thác sâu kiến thức. Su tầm và tích luỹ nhiều bài toán, sắp xếp thành từng loại để khi dạy sẽ giúp học sinh nắm vững dạng toán. Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi trong việc dạy học sinh khá, giỏi lớp 8 giải một dạng toán. Rất mong đợc sự ủng hộ đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để tôi có những kinh nghiệm nhiều hơn trong việc dạy các em học sinh giải toán. Tôi xin chân thành cảm ơn! Quỳnh Phụ ngày 24 tháng 4 năm 2011 Tài liệu tham khảo 1)Sách giáo khoa Toán 8 NXB Giáo dục 2004 2)Vũ Hữu Bình Nâng cao và phát triển Toán 8- NXB Giáo Dục 2010 3)Phan Văn Đức- Nguyễn Hoàng khanh:Tuyển tập các bài toán hay và khó - 2004 4) Phan Văn Đức- Nguyễn Hoàng khanh - Tuyển chọn 400 bài tập toán 8 5)Vũ Hữu Bình Toán bồi dỡng học sinh lớp 8- NXB Giáo dục 2007. 8 . hai bất đẳng thức cùng chiều, đợc bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho: a > b ; c > d a + c > b + d Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều, đợc bất đẳng thức. bày kinh nghiệm: Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phần II: Nội dung A. Cơ sở thực tiễn Học sinh cha nắm vững định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức, cũng nh các hằng bất đẳng thức, cha. pháp I. Những kiến thức cơ bản 1/ Định nghĩa bất đẳng thức Hệ thức dạng a > b ( hoặc a < b, a b, a b ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức. 2/ Các