CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN Bất đẳng thức giá tuyệt đối: * a b a b (" " ab 0) * a b a b * a1 a a n a1 a a n (" " a i a j 0 i, j ) Bất đẳng thức Cauchy: a b ab (a, b 0) * Daáu “=” xaûy a=b a a a n * n a1 a a n ( a1 , a , , a n 0) n " " a1 a a n Bất đẳng thức Bunhiacopski: a1 , , a n & b1 , ,bn a * a1b1 a b2 a n bn " " a1 b if a2 b an b ; n bi 0 0 Baát đẳng thức Schwartz: bi 0; i 1,2,3, , n * a 22 a n2 b12 b22 bn2 a12 b1 a 22 b2 a n2 bn a a a n b1 b2 bn Bất đẳng thức Bernoulli: a 1 & r Q * if r 1 1 a 1 " " a 0 or r 1 r * if r 1 a 1 Bất đẳng thức Jesen: + Cho hàm số f(x) xác đònh (a,b) thì: Hàm f(x) gọi hàm lồi (a,b) với x1, x2 thuộc (a,b) ta có: f ( x1 ) f ( x2 ) x x f (" " x1 x2 ) r Haøm f(x) gọi hàm lõm (a,b) với x1, x2 thuộc (a,b) ta có: f ( x1 ) f ( x2 ) x x f (" " x1 x2 ) + Giả sử f(x) hàm số lồi (a,b), với x1,…,xn thuộc (a,b) ta có: f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) x x xn f (n 2) n n + Giả sử f(x) hàm số lõm (a,b), với x1,…,xn thuộc (a,b) ta có: f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) x x xn f (n 2) n n Bất đẳng thức Tchebychev: + Cho hai dãy số thứ tự giống nhau: a1 a2 an & b1 b2 bn a1 a2 an b1 b2 bn a1b1 a2b2 anbn n n n + Cho hai daõy số thứ tự khác nhau: a1 a2 an & b1 b2 bn a1 a2 an b1 b2 bn a1b1 a2b2 anbn n n n Cả hai trường hợp dấu “=” xảy a 1=a2=…=an b1=b2=…=bn Bất đẳng thức Minkowski: n n n (ai bi ) n n bi i 2 i 2 i 2 Bất đẳng thức Holder: Với m dãy số dương (a 1,1, a1,2,…,a1,n), (a2,1, a2,2,…,a2,n), …,(am,1, am,2,…,am,n) ta coù: n m m n n m a a i , j i , j j 1 i 1 i 1 j 1 10 Bất đẳng thức Schurch: m 11 Bất đẳng thức lượng giác: ... Holder: Với m dãy số dương (a 1,1, a1,2,…,a1,n), (a2,1, a2,2,…,a2,n), …,(am,1, am,2,…,am,n) ta co : n m m n n m a a i , j i , j j 1 i 1 i 1 j 1 10