CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN1... Bất đẳng thức Schurch: 11.. Bất đẳng thức trong lượng giác:.
Trang 1CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
1 Bất đẳng thức giá tuyệt đối:
) , 0
"
("
*
*
) 0
"
("
*
2 1 2
a
b a b
a
ab b
a b
a
j i n
n
2 Bất đẳng thức Cauchy:
b a ab b
a
Dấu “=” xảy ra khi a=b
n
n
n
n n
a a
a
a a a a a a n
a a
a
"
"
) 0 , , , (
*
2 1
2 1 2
1 2
1
3 Bất đẳng thức Bunhiacopski:
0 0
;
"
"
*
, ,
&
, ,
2
2 1 1
2 2
2
2 1 2 2
2
2 1
2 2
2 1
1
1 1
i i
n n
n n
n n
n n
a b
if
b
a b
a b a
b b
b a a
a b
a b
a b
a
b b a a
4 Bất đẳng thức Schwartz:
n
n n
n i
b b
b
a a
a b
a b
a b
a
n i
b
*
, , 3 , 2 , 1
;
0
2 1
2 2
1 2
2
2 2 1
2
1
5 Bất đẳng thức Bernoulli:
r if
r or a
ra a
r
if
Q r a
r r
1 1
1 0
*
1 0
"
"
1 1
1
*
&
1
6 Bất đẳng thức Jesen:
+ Cho hàm số f(x) xác định trên (a,b) thì:
Hàm f(x) được gọi là hàm lồi trên (a,b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a,b) ta đều có:
)
"
("
2 2
) ( )
(
2 1 2
1 2
x
f
Trang 2Hàm f(x) được gọi là hàm lõm trên (a,b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a,b) ta đều có:
)
"
("
2 2
) ( )
(
2 1 2
1 2
x
f
+ Giả sử f(x) là hàm số lồi trên (a,b), thế thì với x1,…,xn thuộc (a,b)
ta có:
) 2 (
) (
) ( )
n n
x x
x f n
x f x
f x
+ Giả sử f(x) là hàm số lõm trên (a,b), thế thì với x1,…,xn thuộc (a,b) ta có:
) 2 (
) (
) ( )
n n
x x
x f n
x f x
f x
7 Bất đẳng thức Tchebychev:
+ Cho hai dãy số sắp thứ tự giống nhau:
n
b a b
a b a n
b b
b n
a a
a
b b
b a
a
a
n n n
n
n n
&
2 2 1 1 2
1 2
1
2 1 2
1
+ Cho hai dãy số sắp thứ tự khác nhau:
n
b a b
a b a n
b b
b n
a a
a
b b
b a
a
a
n n n
n
n n
&
2 2 1 1 2
1 2
1
2 1 2
1
Cả hai trường hợp trên dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1=a2=…=an
hoặc b1=b2=…=bn
8 Bất đẳng thức Minkowski:
n
i
n n
n
i i n
n
i i i
i b a b
a
) (
9 Bất đẳng thức Holder:
Với m dãy số dương (a1,1, a1,2,…,a1,n), (a2,1, a2,2,…,a2,n), …,(am,1, am,2,…,am,n) ta có:
m
i
m n
j m m
i j i n
j
a
, 1
,
10 Bất đẳng thức Schurch:
11 Bất đẳng thức trong lượng giác: