Các dạng bất đẳng thức cơ bản

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN Bất đẳng thức giá tuyệt đối: * a  b  a  b (" "  ab 0) * a  b a  b * a1  a   a n  a1  a   a n (" "  a i a j 0 i, j ) Bất đẳng thức Cauchy: a b  ab (a, b 0) * Daáu “=” xaûy a=b a  a   a n * n a1 a a n ( a1 , a , , a n 0) n " "  a1 a  a n Bất đẳng thức Bunhiacopski: a1 , , a n & b1 , ,bn   a * a1b1  a b2   a n bn " "  a1 b if  a2 b   an b  ; n bi 0  0 Baát đẳng thức Schwartz: bi  0; i 1,2,3, , n *   a 22   a n2 b12  b22   bn2 a12 b1  a 22 b2   a n2 bn a   a   a n  b1  b2   bn Bất đẳng thức Bernoulli: a 1 & r Q * if r 1  1  a  1  " "  a 0 or r 1 r * if  r   1  a  1  Bất đẳng thức Jesen: + Cho hàm số f(x) xác đònh (a,b) thì: Hàm f(x) gọi hàm lồi (a,b) với x1, x2 thuộc (a,b) ta có: f ( x1 )  f ( x2 ) x x   f   (" "  x1  x2 )   r Haøm f(x) gọi hàm lõm (a,b) với x1, x2 thuộc (a,b) ta có: f ( x1 )  f ( x2 ) x x   f   (" "  x1  x2 )   + Giả sử f(x) hàm số lồi (a,b), với x1,…,xn thuộc (a,b) ta có: f ( x1 )  f ( x2 )   f ( xn )  x  x   xn   f  (n 2) n n   + Giả sử f(x) hàm số lõm (a,b), với x1,…,xn thuộc (a,b) ta có: f ( x1 )  f ( x2 )   f ( xn )  x  x   xn   f  (n 2) n n   Bất đẳng thức Tchebychev: + Cho hai dãy số thứ tự giống nhau: a1 a2  an & b1 b2  bn a1  a2   an b1  b2   bn a1b1  a2b2   anbn  n n n + Cho hai daõy số thứ tự khác nhau: a1 a2  an & b1 b2  bn  a1  a2   an b1  b2   bn a1b1  a2b2   anbn  n n n Cả hai trường hợp dấu “=” xảy a 1=a2=…=an b1=b2=…=bn Bất đẳng thức Minkowski:  n n  n  (ai  bi )  n   n bi    i 2  i 2 i 2   Bất đẳng thức Holder: Với m dãy số dương (a 1,1, a1,2,…,a1,n), (a2,1, a2,2,…,a2,n), …,(am,1, am,2,…,am,n) ta coù: n m m  n   n    m   a  a     i , j i , j    j 1 i 1  i 1  j 1    10 Bất đẳng thức Schurch: m 11 Bất đẳng thức lượng giác: ... Holder: Với m dãy số dương (a 1,1, a1,2,…,a1,n), (a2,1, a2,2,…,a2,n), …,(am,1, am,2,…,am,n) ta co : n m m  n   n    m   a  a     i , j i , j    j 1 i 1  i 1  j 1    10