CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN ỨNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN, ỨNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KHÓ. TÀI LIỆU ĐỊNH DẠNG WORD NÊN RẤT TIỆN LỢI CHO QUÁ TRÌNH SỬ DỤNG GIẢNG DẠY. LÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO RẤT BỔ ÍCH .UYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN, ỨNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KHÓ. TÀI LIỆU ĐỊNH DẠNG WORD NÊN RẤT TIỆN LỢI CHO QUÁ TRÌNH SỬ DỤNG GIẢNG DẠY. LÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO RẤT BỔ ÍCH

1. a b 2   0 a b,   Dấu “ = “ xảy ra  a b (1)

2. , 0, 2 2 n n n a b a b  a b n N        Dấu “ = “ xảy ra  a b (2)

Các trường hợp thường dùng: Dạng 1: 2 2 2 , 0 2 2 a b a b  a b       (3)

Dạng 2: 3 3 3 , 0 2 2 a b a b  a b       (4)

3. , , 0, 3 3 n n n n a b c a b c   a b c n N        Dấu “ = “ xảy ra  a b c  (5)

Các trường hợp thường dùng: Dạng 1: 2 2 2 2 , , 0 3 3 a b c a b c   a b c       (6)

Dạng 2 : 3 3 3 3 , , 0 3 3 a b c a b c   a b c       (7)

4. a2 b2 c2 ab bc ca  Dấu “ = “ xảy ra  a b c  (8)

5. a b c  2  3ab bc ca   Dấu “ = “ xảy ra  a b c  (9)

6. a b c  2  3a2 b2 c2 Dấu “ = “ xảy ra  a b c  (10)

7 Bất đẳng thức AM-GM : Giả sử a a1 , , ,a 2 n là các số thực không âm, khi đó: 1 2 1 2

n n n a a a a a a n     (11)

Dấu “ = “ xảy ra  a1 a2   a n Các trường hợp thường dùng: Dạng 1: 2 a b ab  ; 3

3 a b c  abc  ; 4

4 a b c d   abcd  (12)

Dạng 2: a b 2 ab; a b c   3 3abc ; a b c d    4 4abcd (13)

Dạng 3: 2 2 a b ab         ;

3 3 a b c abc          ;

4 4 a b c d abcd           (14)

Các hệ quả thường dùng:

Dạng 1: 1 1a b a b  4  a b1 1 1 14a b 

    (15)

a b c a b c     (16)

Giả sử a a1 , , ,a ; , , , 2 n b b2 2 b n là các số thực tùy ý Khi đó:

 2  2 2 2  2 2 2

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

a b a b  a b  a a  a b b  b (17)

Dấu “ = “ xảy ra 1 2

1 2

n n

a

Các trường hợp thường dùng:

Dạng 1: ax by 2 a2 b2 x2 y2 Dấu “ = “ xảy ra  a b x y (18) Dạng 2: ax by cz  2 a2 b2 c2 x2 y2 z2 Dấu “ = “ xảy ra  a b c x y z  (19)

Các hệ quả thường dùng:

Dạng 1: a2 x2  b2 y2  a b  2 x y 2 Dấu “ = “ xảy ra  a b x y (20) Dạng 2: a2 x2  b2 y2  c2 z2  a b c   2 x y z  2 Dấu “ = “ xảy ra  a b c x y z 

(21) Dạng 3: a b a b2, , ; , 0



  Dấu “ = “ xảy ra a b x y, , 0

x y

   (22)

Dạng 4: a b c a b c2, , , ; , , 0

a b c x y z

 

   Dấu “ = “ xảy ra a b c x y z, , , 0

x y z

9 Bất đẳng thức véctơ

u v u v   . (24), u  v  u v  (25), u  v  u v  (26)

Dấu “ = “ xảy ra trong (24), (25)  u v , cùng hướng;

Dấu “ = “ xảy ra trong (26)  v 0 hoặc u v ngược hướng ,

10 Bất đẳng thức đồng bậc:

a b ab a b a b (27), Dấu “=” xảy ra  a b

a b c abc a b c  a b c (28) , Dấu “=” xảy ra  a b c 

Các em hãy học thuộc các bất đẳng thức cơ bản này và nên nhớ rằng trước khi sử dụng các BĐT: (2),(3),(4), (5),(6),(7),(8),(9),(10,)(17),(18),(19),(20),(21),(22),(23) cần phải chứng minh trước thì mới được sử dụng chúng Hãy tìm cho mình một cách chứng minh nhất quán, ngắn gọn các BĐT đó Chúc các em thành công!.