CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN ỨNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN, ỨNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KHÓ. TÀI LIỆU ĐỊNH DẠNG WORD NÊN RẤT TIỆN LỢI CHO QUÁ TRÌNH SỬ DỤNG GIẢNG DẠY. LÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO RẤT BỔ ÍCH .UYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN, ỨNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KHÓ. TÀI LIỆU ĐỊNH DẠNG WORD NÊN RẤT TIỆN LỢI CHO QUÁ TRÌNH SỬ DỤNG GIẢNG DẠY. LÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO RẤT BỔ ÍCH

1 ( a − b ) ≥ ∀ a, b ∈ ¡ Dấu “ = “ xảy ⇔ a = b (1) n an + bn  a + b  ≥ ÷ ∀a, b > 0, n ∈ N Dấu “ = “ xảy ⇔ a = b   (2) Các trường hợp thường dùng: a2 + b2  a + b  ≥ Dạng 1: ÷ ∀a, b >   (3) a3 + b3  a + b  ≥ Dạng 2: ÷ ∀a, b >   (4) n an + bn + c n  a + b + c  ≥ ÷ ∀a, b, c > 0, n ∈ N Dấu “ = “ xảy ⇔ a = b = c 3   (5) Các trường hợp thường dùng: a2 + b2 + c2  a + b + c  ≥ Dạng 1: ÷ ∀a, b, c > 3   (6) a3 + b3 + c3  a + b + c  ≥ Dạng : ÷ ∀a, b, c > 3   2 a + b + c ≥ ab + bc + ca Dấu “ = “ xảy ⇔ a = b = c (7) (8) (9) ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) Dấu “ = “ xảy ⇔ a = b = c ( a + b + c ) ≤ ( a2 + b + c ) Dấu “ = “ xảy ⇔ a = b = c (10) Bất đẳng thức AM-GM: Giả sử a1 , a2 , ,an số thực không âm, đó: a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an n Dấu “ = “ xảy ⇔ a1 = a2 = = an (11) Các trường hợp thường dùng: Dạng 1: a+b ≥ ab ; Dạng 2: a + b ≥ ab ; a+b Dạng 3:  ÷ ≥ ab ;   Các hệ thường dùng: a+b+c ≥ abc ; a + b + c ≥ 3 abc ; a+b+c  ÷ ≥ abc ;   a+b+c+d ≥ abcd a + b + c + d ≥ 4 abcd (12) (13) a+b+c+d   ÷ ≥ abcd   (14) 1 11 1 + ≥ ⇔ ≤  + ÷ a b a+b a+b 4a b 1 Dạng 2: + + ≥ a b c a+b+c Dạng 1: (15) (16) Bất đẳng thức CAUCHY-SCHWARZ: Giả sử a1 , a2 , ,an ; b2 , b2 , , bn số thực tùy ý Khi đó: (ab +a b 1 a 2 ( )( ) (17) a b = x y (18) + + an bn ) ≤ a12 + a22 + + an2 b12 + b22 + + bn2 a a n Dấu “ = “ xảy ⇔ b = b = = b n Các trường hợp thường dùng: Dạng 1: ( ax + by ) ≤ ( a2 + b ) ( x + y ) Dấu “ = “ xảy ⇔ Dạng 2: ( ax + by + cz ) ≤ ( a2 + b2 + c ) ( x + y + z2 ) Dấu “ = “ xảy ⇔ a b c = = x y z (19) Các hệ thường dùng: ( a + b) + ( x + y) Dạng 1: a2 + x + b2 + y ≥ Dạng 2: a + x + b + y + c + z2 ≥ Dấu “ = “ xảy ⇔ ( a + b + c) + ( x + y + z) 2 a b = x y (20) Dấu “ = “ xảy ⇔ a b c = = x y z (21) a b a + b) Dạng 3: a + b ≥ ( , a, b ∈ ¡ ; x , y > Dấu “ = “ xảy ⇔ = , x , y > x y x y x+y (22) a b c a + b + c) Dạng 4: a + b + c ≥ ( , a, b, c ∈ ¡ ; x , y, z > Dấu “ = “ xảy ⇔ = = , x , y, z > (23) x y z x y z x+y+z Bất đẳng thức véctơ r r rr u v ≥ u.v (24), r r r r r r r r u + v ≥ u+v u − v ≤ u+v (25), r r Dấu “ = “ xảy (24), (25) ⇔ u , v hướng; rr r r Dấu “ = “ xảy (26) ⇔ v = u, v ngược hướng 10 Bất đẳng thức đồng bậc: a3 + b3 ≥ ab ( a + b ) , ∀a, b > (27), Dấu “=” xảy ⇔ a = b (26) a + b + c ≥ abc ( a + b + c ) , ∀a, b, c > (28) , Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c Các em học thuộc bất đẳng thức nên nhớ trước sử dụng BĐT: (2),(3),(4), (5),(6),(7),(8),(9),(10,)(17),(18),(19),(20),(21),(22),(23) cần phải chứng minh trước sử dụng chúng Hãy tìm cho cách chứng minh quán, ngắn gọn BĐT Chúc em thành công!  ... Bất đẳng thức véctơ r r rr u v ≥ u.v (24), r r r r r r r r u + v ≥ u+v u − v ≤ u+v (25), r r Dấu “ = “ xảy (24), (25) ⇔ u , v hướng; rr r r Dấu “ = “ xảy (26) ⇔ v = u, v ngược hướng 10 Bất đẳng. .. Bất đẳng thức đồng bậc: a3 + b3 ≥ ab ( a + b ) , ∀a, b > (27), Dấu “=” xảy ⇔ a = b (26) a + b + c ≥ abc ( a + b + c ) , ∀a, b, c > (28) , Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c Các em học thuộc bất đẳng thức nên...1 11 1 + ≥ ⇔ ≤  + ÷ a b a+b a+b 4a b 1 Dạng 2: + + ≥ a b c a+b+c Dạng 1: (15) (16) Bất đẳng thức CAUCHY-SCHWARZ: Giả sử a1 , a2 , ,an ; b2 , b2 , , bn số thực tùy ý Khi đó: (ab +a b 1