C hủ đề 1 : Định lý Lagrange (lý thuyết nhóm) và ứng dụng. 1. Định nghĩa. Cho là một nhóm con của . Ta định nghĩa quan hệ trên như sau: nếu và chỉ nếu . Dễ kiểm tra được là một quan hệ tương đương trên . Với mỗi , gọi là lớp tương đương của . Ta có . Mỗi lớp tương đương được gọi là một lớp ghép trái của trong theo quan hệ được kí hiệu bởi . Khi chỉ có hữu hạn lớp ghép trái thì ta gọi chỉ số của trong , kí hiệu là , là số các lớp ghép trái của . 2. Định lý Lagrange. Trong một nhóm hữu hạn cấp và chỉ số của một nhóm con là ước của cấp của toàn nhóm. Chứng minh. Gọi là một nhóm con của . Giả sử có cấp và có cấp . Giả sử . Ta có . Xét các phần tử . Các phần tử này là phân biệt, vì nếu có với thì . Nên suy ra . Do đó có phần tử. Vì tập là hữu hạn nên số các lớp ghép trái là hữu hạn. Khi đó, số lớp ghép trái là chỉ số cuả nhóm con . Gọi là số các lớp ghép trái , mà các lớp ghép trái rời nhau nên . Hệ quả. Cho là nhóm cấp và . Khi đó cấp của là ước của . Hơn nữa, . Mỗi nhóm cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic sinh bởi một phần tử tùy ý khác đơn vị. Mỗi nhóm cấp đều giao hoán. 3. Ứng dụng.
C hủ đề : Định lý Lagrange (lý thuyết nhóm) ứng dụng Định nghĩa Cho H nhóm G Ta định nghĩa quan hệ G sau: quan hệ tương a b ab H a, b G Dễ kiểm tra đương G Với a G , gọi a lớp tương đương a Ta có a ah | h H aH Mỗi lớp tương đương aH gọi lớp ghép trái H G theo quan hệ kí hiệu G / H Khi H có hữu hạn lớp ghép trái ta gọi số H G , kí hiệu G : H , số lớp ghép trái H Định lý Lagrange Trong nhóm hữu hạn cấp số nhóm ước cấp tồn nhóm Chứng minh Gọi H nhóm G Giả sử G có cấp n H có cấp m Giả sử H x1 , x2 , , xm Ta có aH ah | h H Xét phần tử ax1 , ax2 , , axm Các phần tử phân biệt, có axi với i j xi x j Nên suy aH ax j ax1 , ax2 , , axm Do aH có m phần tử Vì tập G hữu hạn nên số lớp ghép trái aH hữu hạn Khi đó, số lớp ghép trái số cuả nhóm H Gọi l số lớp ghép trái aH , mà lớp ghép trái rời nên n m.l Hệ − Cho G nhóm cấp n a G Khi cấp a ước n Hơn nữa, an e − Mỗi nhóm cấp nguyên tố nhóm xyclic sinh phần tử tùy ý khác đơn vị − Mỗi nhóm cấp giao hốn Ứng dụng Chúng ta sử dụng Định lý Lagrange để chứng minh số kết số học Mệnh đề (Định lý Fermat nhỏ) Cho p số nguyên tố a số nguyên Khi đó: a p a mod p Chứng minh Xét nhóm * p lớp thặng dư theo môđun p nguyên tố với p Nhóm có cấp p Nếu a bội p a p bội p a mod p Trường hợp ngược lại gcd a, p a p ap 1 mod p Suy a p Do a p 1 , tức a mod p Mệnh đề (Định lý Euler) Cho m số tự nhiên a số nguyên tố m với m Kí hiệu hàm Euler Khi a mod m Chứng minh Xét nhóm nhân với m Nhóm có cấp Trong nhóm Cho G * m * m lớp thặng dư theo môđun m nguyên tố m Vì gcd a, m , áp dụng định lý Lagrange ta có a nên a m * m 1, tức a m mod p a nhóm xyclic cấp n Khi phần tử ak phần tử sinh G gcd n, k Vì G có m phần tử sinh, hàm Euler Hơn d ước n G có nhóm cấp d , nhóm sinh phần tử an/ d Mệnh đề Gọi hàm Euler Nếu n số nguyên n d d/n Chứng minh Gọi G nhóm xyclic cấp n , chẳng hạn G nhóm cộng lớp thặng dư theo môđun n Xét quan hệ G cho x nhóm xyclic sinh x y Dễ thấy n với phép y quan hệ tương đương G Ký hiệu cl x lớp tương đương phần tử x G Khi đó: cl x y G: y x y G : y phần tử sinh x Giả sử cấp x d Theo định lý Lagrange, d ước n Từ nhận xét trên, phần tử y x k phần tử sinh nhóm x k , d Vì cl x gồm d phần tử Gọi x1 , x2 , , xk đại diện lớp tương đương rời Khi G tập hợp k tập rời G cl x1 cl x2 cl xk Do G nhóm xyclic nên theo nhận xét trên, ước d n có nhóm xyclic cấp d G Suy n có k ước, ước cấp nhóm xi Vì n d d/n C hủ đề Định lý Polya ứng dụng I – Định lý Polya 10 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 ... hợp ngược lại gcd a, p a p ap 1 mod p Suy a p Do a p 1 , tức a mod p Mệnh đề (Định lý Euler) Cho m số tự nhiên a số nguyên tố m với m Kí hiệu hàm Euler Khi a mod m Chứng minh Xét nhóm nhân... phần tử sinh, hàm Euler Hơn d ước n G có nhóm cấp d , nhóm sinh phần tử an/ d Mệnh đề Gọi hàm Euler Nếu n số nguyên n d d/n Chứng minh Gọi G nhóm xyclic cấp n , chẳng hạn G nhóm cộng lớp thặng... nhận xét trên, phần tử y x k phần tử sinh nhóm x k , d Vì cl x gồm d phần tử Gọi x1 , x2 , , xk đại diện lớp tương đương rời Khi G tập hợp k tập rời G cl x1 cl x2 cl xk Do G nhóm xyclic nên