Đẳng thức abel ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức

Đẳng thức Abel ứng dụng trong chứng minh Bất Đẳng Thức Trong lĩnh vực đồ sộ như Bất Đẳng Thức thì dạng Bất Đẳng Thức có điều kiện thứ tự là không thể thiếu. Đây là một dạng toán hay và rất được quan tâm ở thời điểm hiện tại. Bằng kinh nghiệm của mình tác giả sẽ phân tích từng bài toán để giúp bạn đọc thấy được vẻ đẹp của đẳng thức mang tên Abel .

Đẳng thức Abel ứng dụng chứng minh Bất Đẳng Thức Trong lĩnh vực đồ sộ Bất Đẳng Thức dạng Bất Đẳng Thức có điều kiện thứ tự khơng thể thiếu Đây dạng tốn hay quan tâm thời điểm Bằng kinh nghiệm tác giả phân tích toán để giúp bạn đọc thấy vẻ đẹp đẳng thức mang tên '' Abel '' Do trình độ tuổi đời hạn chế nên khó tránh khỏi sai sót, bạn đọc thơng cảm! Để làm rõ vấn đề xét hai đẳng thức Abel thường dùng a1b1  a2b2   a1  a2  b1  a2 b1  b2  a1b1  a2b2  a3b3   a1  a2  b1   a2  a3 b1  b2   a3 b1  b2  b3  Việc nhớ hai đẳng thức đơn giản không khó khẳn Để làm rõ xét ví dụ sau Ví dụ Với  a  b  c  3, bc  6, abc  Chứng minh rằng: a bc  Lời giải Phân tích tìm tòi: Trước tiên quan sát dự đoán dấu toán Dấu toán xảy c  3, b  2, a  Bây viết lại vế phải Bất Đẳng Thức, thông thường việc sử dụng Abel vế lớn cho dễ dàng không bị nhầm lẫn tức ta dùng đẳng thức Abel vế phải tách nhóm phù hợp từ làm xuất vế trái Để ý dấu từ ta có a đơi với 1, b đơi với 2, c đôi với Cụ thể sau  1   a    b   c a b c Tại lại viết lại vậy, viết có mục đích làm xuất vế trái xuất dạng tích kết hợp với tổng đẳng thức Abel Bây giờ, bất đẳng thức biến ta nghĩ đến việc sử dụng đẳng thức Abel biến Đồng thời việc sử dụng Abel , kết hợp điều kiện toán đề Vấn đề ta nên chọn a1 , a2 , a3 số hạng Nên nhớ việc sử dụng Abel kết hợp điều kiện phải làm xuất a, b, c từ ba số a1 , a2 , a3 Quan sát thấy c  b  a  , từ a1 c , a2 b , a3 a Nếu chọn a1 , a2 , a3 tất nhiên chọn b1 , b2 , b3 Áp dụng đẳng thức Abel ta viết lại sau: c b a 3  3  3     a   b   c    c  b   b  a      a     a b c c b c a b c Sử dụng AM  GM ta có: 6   c  b  b  a   3a   c  b   3a   b  a   a  b  c c bc abc Vậy ta điều phải chứng minh ☺ Ví dụ Với a, b, c số thực thỏa mãn a  b  1, a  3, ab  6, ab  6c Chứng minh rằng: a bc  Lời giải Phân tích tìm tòi: Thơng thường gặp dạng tốn '' kiểu '' có phương pháp giải sau: Bước Từ điều kiện dạng tổng ta xếp biến số theo cặp thứ tự Cụ thể cho toán sau: a3 b2 1 c Bước Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh a  b 1    c Bước Biến đổi thành tích để áp dụng đẳng thức Abel Đến phương pháp làm giống Ví dụ Chúng ta làm xuất vế nhỏ bên vế lớn chọn a1 , a2 , a3 tương ứng cho phù hợp với điều kiện Cụ thể sau c   c  a   b   1 a b Như nói sử dụng Abel cộng thêm kết hợp điều kiện toán nên ba số '' a , b, '' số a1 , a2 , a3 Để ý thấy theo điều kiện a  b  , từ a1 a , a2 b a3 Nếu chọn a1 , a2 , a3 b1 , b2 , b3 tất nhiên thức Abel c , , Bây việc lại sử dụng đẳng a b 3 2 c  c 3 2 3   a   b  1   a  b    b  1     1   c  a b a a b a b  Áp dụng BĐT AM  GM ta có: Hơn để ý a   6c  2  ,   c  33 3 a b ab a b ab 1 a Suy   c    b 1   a  b   a  b  Vậy ta có điều phải chứng minh ☺ Ví dụ Với a, b, c  , a b b  c  ,   c  , c  Chứng minh rằng: 2 1 11    a b c Lời giải Vẫn theo ý tưởng cũ, ta viết lại vế lớn sử dụng Abel kết hợp điều kiện Với việc dự đoán dấu xảy c  1, b  2, a  Ta viết lại BĐT cần chứng minh sau 1 1 1      a b c Ta có: 1 1 1         a b c a b c 1 1 , , a1 , a2 , a3 Nhận thấy   nên ta 2 3 1 chọn a1 từ b1 , a2 b2 a3 b3 b a c Như trước ta phải làm xuất Áp dụng đẳng thức Abel ta có: 1 1 1    1              1              a b c a b c c   c   c b   c b a  Sử dụng hai BĐT phụ sau: Ta có 1 1 ,      x y x y x y z x yz 1 1 1 9      2,        3 b b a b b a c b a c c b c c c  2 Đồng thời c    Suy c 1  1 11 1 1       1         a b c  2  3 Vậy ta có điều phải chứng minh ☺ ✓ Qua ví dụ, hẳn bạn nắm phần tay kỹ năng, kinh nghiệm mà tác giả muốn '' truyền '' đến bạn đọc Việc sử dụng thành thạo Abel việc không gặp nhiều khó khăn Ví dụ Với a  b   c  , 2  c  ,   c  Chứng minh rằng: a b b 1 1    a b c Lời giải Bất đẳng thức cho tương đương với 1 1  1    a b c Áp dụng đẳng thức Abel ta có: 1 1  a b   1  b                   1   c a  c   b a  c   b  c Sử dụng hai BĐT phụ Do 1 1      x y x y x y z x yz b 1 a b 1 1 9             3 c c c c  c b a b a b Suy 1 1 1 1  1 1          1      c a b a  b a b Bài toán chứng minh ☺ b c b c Ví dụ Với a, b, c  thỏa mãn điều kiện a    ,   , c  Chứng minh 9 a b c 6 Lời giải Ta có:   b b c c c a  b  c   a        1       9 9   b c b c a      1     c 3   1  Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ Với a, b, c  thỏa mãn a  b c b c  ,   , c  Chứng minh rằng: 3 a  b  c  14 Lời giải Ta có: 2    b 2  c 2  b c  c a  b  c   a          22  12           32  22                3    2 b c  b c a 23 23 2 2  3  2.3          2.3      14         Vậy ta có điều phải chứng minh b b 3 Ví dụ Với a, b, c  thỏa mãn điều kiện c  , a    ,   ,  Chứng minh c c c rằng: c2  a  b2  Lời giải Ta có:   b 2  2    b 2  2  2 2  3 a  b    a          1          c         c      c   c    2 2 b 3  b 3  a    2 c c  2 3   3   c        c  c      c2  a  b2  Vậy ta có điều phải chứng minh ☺ Ví dụ Giả sử  a  b  c , c  , b  c  , a  b  c  Chứng minh rằng: a  b  c  14 Lời giải Phân tích tìm tòi: Khi gặp tốn khơng bạn cảm thấy khó khăn ý tưởng ban đầu khơng tác dụng Tại lại có tình trạng ? Ngun nhân điều kiện mà đề cho ta sử dụng Abel không sử dụng đến Khi gặp tình nhiều bạn thường có cách nghĩ phương pháp khơng tác dụng thường nghĩ đến kĩ thuật khác Không hẳn vậy, với ý nghĩ cũ khơng tác dụng nên đổi hướng đột phá để chứng minh So với việc làm xuất vế nhỏ ý tưởng trước, lúc chúng xét hiệu tức lấy vế lớn trừ vế nhỏ dùng đẳng thức Abel từ sử dụng điều kiện mà toán nêu Tất nhiên phải dự đoán dấu a  1, b  2, c  Từ ta có cách nhóm thích hợp Cụ thể sau: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a  1   b     c      a  1 a  1   b   b     c  3 c  3  Bây việc cần làm phải chọn a1 , a2 , a3 thích hợp Để ý điều kiện ta thấy c  b  a  , nên  c  3 ln đại lượng dương ta chọn đại lượng a1 , tương tự ta chọn  b   a2  a  1 a3 Nếu có a1 , a2 , a3 có ln b1 , b2 , b3 Cụ thể sau :  a 1 a  1  b  2b  2   c  3 c  3   c  b  1 c  3  b  a  1 c  b  5   a  b  c  6 a  1 Dễ thấy  c  b  1 c  3   b  a  1 c  b  5   a  b  c  6 a  1  theo điều kiện tốn Vậy ta có điều phải chứng minh ☺ Ví dụ Giả sử  a  b  c  , b  c  , a  b  c  Chứng minh rằng: 1 49    a b c 36 Lời giải Cũng với ý tưởng Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1   1  1 1         1 a   b   c    a  1 a  1 1   b   b     c  3 c  3  a 4b 9c 1  1 1    1   c  3        b  c          a  b  c       b a a a  3c c 2b b   2b a Bất đẳng thức cuối theo điều kiện toán Vậy ta điều phải chứng minh ☺ Ví dụ 10 Giả sử  a  b  ,  c  , b   c , a  b  c Chứng minh rằng: a  b2   c2 Lời giải Đây tốn thú vị có kết hợp ý tưởng Ví dụ Ví dụ Chúng ta viết lại Bất đẳng thức cần chứng minh sau: a  b  32  12  22  c   a 1 a  1   b  2 b  2    c 3  c      c    c    b      b   c   b     a  1    a  b  c  a  1  Bất đẳng thức cuối Vậy ta có điều phải chứng minh ☺ Tự luyện Bài Cho  a  b  c thỏa mãn 3    ,   ,  Chứng minh a b c b c c a  b3  c3  36 Bài Với a, b, c  0; c  1; 1 1   2;    Chứng minh 2b c 3a 2b c abc  Bài Với a, b, c  0; 11 1 1 1  1;   2;    Chứng minh 9c 4b 9c a 4b 9c 1   6 a b c Bài Với a, b, c  thỏa mãn 1 1 1    3;   2;  Chứng minh rằng: a 2b 3c 2b 3c 3c 1    14 a b2 c2 Bài Giả sử  a  b  c, c  3, b  c  5, a  b  c  Chứng minh rằng: a  b  c  1  Bài Giả sử  a  b  c, c  3, b  c  5, a  b  c  Chứng minh rằng: 1 11    a b c Bài Với x, y số thực thỏa mãn  x  y  2, x  y  xy Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  x  1  y  y  1 (Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên KHTN Vòng 2016-2017) Bài Giả sử  a  b  3,  d   c  3, b   c, a  b   d  c Chứng minh rằng: a  b3  19  d  c `Bài viết đến kết thúc, có lẽ viết tâm huyết mà tác giả gửi đến bạn, hy vọng có thú vị đem lại kiến thức tích lũy cho bạn đọc thân! Tài liệu tham khảo viết 1) Các giảng bất đẳng thức Cô-si Nguyễn Vũ Lương 2) Sáng tạo BĐT Phạm Kim Hùng 3) Một số tài liệu tham khảo diễn đàn VMF, diễn đàn học mãi, internet  ... Vậy ta có điều phải chứng minh ☺ Ví dụ Giả sử  a  b  c  , b  c  , a  b  c  Chứng minh rằng: 1 49    a b c 36 Lời giải Cũng với ý tưởng Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với... bất đẳng thức cần chứng minh a  b 1    c Bước Biến đổi thành tích để áp dụng đẳng thức Abel Đến phương pháp làm giống Ví dụ Chúng ta làm xuất vế nhỏ bên vế lớn chọn a1 , a2 , a3 tương ứng. .. a  b   c  , 2  c  ,   c  Chứng minh rằng: a b b 1 1    a b c Lời giải Bất đẳng thức cho tương đương với 1 1  1    a b c Áp dụng đẳng thức Abel ta có: 1 1  a b   1  b 