Đẳng thức abel ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức

Đẳng thức Abel ứng dụng trong chứng minh Bất Đẳng Thức Trong lĩnh vực đồ sộ như Bất Đẳng Thức thì dạng Bất Đẳng Thức có điều kiện thứ tự là không thể thiếu. Đây là một dạng toán hay và rất được quan tâm ở thời điểm hiện tại. Bằng kinh nghiệm của mình tác giả sẽ phân tích từng bài toán để giúp bạn đọc thấy được vẻ đẹp của đẳng thức mang tên Abel .

Đẳng thức Abel ứng dụng trong chứng minh Bất

Đẳng Thức

Trong lĩnh vực đồ sộ như Bất Đẳng Thức thì dạng Bất Đẳng Thức có điều kiện thứ tự là không thể thiếu Đây là một dạng toán hay và rất được quan tâm ở thời điểm hiện tại Bằng kinh nghiệm của mình tác giả sẽ phân tích từng bài toán để giúp bạn đọc thấy được vẻ đẹp của đẳng thức mang tên ''Abel'' Do trình độ và tuổi đời hạn chế nên khó tránh khỏi sai sót, bạn đọc thông cảm!

Để làm rõ vấn đề chúng ta cùng xét hai đẳng thức Abel thường dùng nhất

a b a b  a a b a b b

a b a b a b  a a b  a a b b a b  b b

Việc nhớ hai đẳng thức này rất đơn giản và không hề khó khẳn Để làm rõ hơn chúng ta cùng xét các ví dụ sau

Ví dụ 1 Với 0   a b c 3,bc6,abc Chứng minh rằng: 6

6

a b c   Lời giải

Phân tích và tìm tòi: Trước tiên chúng ta hãy quan sát và dự đoán dấu bằng của bài toán Dấu

bằng của bài toán xảy ra c3,b2, a Bây giờ chúng ta viết lại vế phải của Bất Đẳng Thức, 1 thông thường việc sử dụng Abel bắt đầu từ vế lớn cho dễ dàng không bị nhầm lẫn tức là ta sẽ dùng đẳng thức Abel ở vế phải tách nhóm phù hợp từ đó làm xuất hiện vế trái Để ý dấu bằng từ

đó ta sẽ có a đi đôi với 1, bđi đôi với 2, cđi đôi với 3 Cụ thể như sau

        

Tại sao lại viết lại như vậy, viết như vậy có mục đích làm xuất hiện vế trái và xuất hiện dạng tích kết hợp với tổng của đẳng thức Abel Bây giờ, đây là một bài bất đẳng thức 3 biến do đó ta nghĩ đến việc sử dụng đẳng thức Abel 3 biến Đồng thời việc sử dụng Abel , kết hợp các điều kiện của bài toán đề ra Vấn đề bây giờ ta nên chọn a a1, 2,a là các số hạng nào Nên nhớ việc sử dụng 3

Abel kết hợp điều kiện là phải làm xuất hiện , ,a b c từ đó ba số này sẽ là a a1, 2,a Quan sát 3

thấy c b  a 0, từ đó a sẽ là 1 c, a là 2 b, a là 3 a Nếu chọn được a a1, 2,a thì tất nhiên 3

chọn được b là 1 3

c, b là 2 2

b , b là 3 1

a Áp dụng đẳng thức Abel ta viết lại như sau:

   

                   

Sử dụng AM GM ta có:

 3   6 3 6    

Vậy ta được điều phải chứng minh ☺

Ví dụ 2 Với , ,a b c là các số thực thỏa mãn a b 1,a3,ab6, ab6c Chứng minh rằng:

4

a b c   Lời giải

Phân tích và tìm tòi: Thông thường khi gặp dạng toán ''kiểu'' này chúng ta có phương pháp giải như sau:

Bước 1 Từ các điều kiện dạng tổng ta xếp các biến và số theo đúng cặp và đúng thứ tự

Cụ thể cho bài toán này là như sau:

3 2 1

a b c







Bước 2 Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh

1 3 2

a b    c

Bước 3 Biến đổi thành tích để áp dụng đẳng thức Abel

Đến đây phương pháp làm giống như Ví dụ 1 Chúng ta cũng làm xuất hiện vế nhỏ hơn bên vế lớn rồi chọn a a1, 2,a tương ứng cho phù hợp với điều kiện Cụ thể như sau 3

1

c

       

Như đã nói vì khi sử dụng Abel cộng thêm kết hợp điều kiện của bài toán nên ba số '' a, ,b 1 ''

là các số a a1, 2,a3 Để ý thấy theo điều kiện a b 1, từ đó a là 1 a, a là 2 b và a là 1 Nếu 3

chọn được a a1, 2, a thì 3 b b b tất nhiên là 1, 2, 3 3 2, ,

1

c

a b Bây giờ việc còn lại là sử dụng đẳng

thức Abel

   

1

c

                  

Áp dụng BĐT AM GM ta có: 3 2 2 6 2

a b ab  , 3 2 3 6

3 c 3

c

a  b ab 

Hơn nữa để ý rằng a 3 3 1

a

   Suy ra 3 2   c 3 2b 1 a b   a b 1

Vậy ta có điều phải chứng minh ☺

Ví dụ 3 Với , ,a b c  , 0 2

2

b c

3 2

a b

c

   , c 1 Chứng minh rằng:

1 1 1 11

6

a  b c

Lời giải

Vẫn theo ý tưởng cũ, ta viết lại vế lớn rồi sử dụng Abel kết hợp điều kiện Với việc dự đoán dấu bằng xảy ra tại c1,b2, a 3

Ta viết lại BĐT cần chứng minh như sau

1 1 1 1 1 1

3 2 1

a     b c

Ta có:

1 1 1 1 3 1 2 1 1

a        b c a b c

Như bài trước thì ta phải làm xuất hiện thì 1 1 1, ,

3 2 1 sẽ là a a1, 2, a Nhận thấy 3 1 1 1

2 3

  nên ta

chọn a là 1 từ đó 1 b là 1 1

c, a là 2 1

2 thì b là 2 2

b và a là 3 1

3 thì b là 3 3

a

Áp dụng đẳng thức Abel ta có:

1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3

1

                   

Sử dụng hai BĐT phụ sau: 1 1 4

x y x y

 ,

x  y z x y z

 

Ta có 1 2 1 1 4 4 2

2

c

3 3

c

 

Đồng thời c 1 1 1

c

   Suy ra

a b c

          

Vậy ta có điều phải chứng minh ☺

✓ Qua 3 ví dụ, chắc hẳn các bạn đã nắm được phần nào trong tay mình các kỹ năng, kinh

nghiệm mà tác giả muốn ''truyền'' đến bạn đọc Việc sử dụng thành thạo Abel là việc không gặp nhiều khó khăn

Ví dụ 4 Với a b   1 c 0, 2 c 2

b  , 3 2 c 3

a   Chứng minh rằng: b

1 1 1 1

6

a    b c

Lời giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

1

3 2

a     b c

Áp dụng đẳng thức Abel ta có:

1

              

Sử dụng hai BĐT phụ 1 1 4

x y x y

 và

x  y z x y z

 

Do đó 1 1 1 4 2

2

b

b

a b

 

Suy ra 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1

            

Bài toán được chứng minh ☺

Ví dụ 5 Với , ,a b c  thỏa mãn điều kiện 0 3

4 9

b c

a    , 2

4 9

b c

  , c 9 Chứng minh rằng 6

a b c  Lời giải

Ta có:

3 2 1 6

a

c

          

    Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 6 Với , ,a b c  thỏa mãn 0

2 3

b c

2 3

b  , c c 3 Chứng minh rằng:

14

a  b c  Lời giải

Ta có:

a b c a

a

                

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 7 Với , ,a b c  thỏa mãn điều kiện 0 c 2, 3 3

2

b a

c

   , 3 2

2

b c

  , 3 1

c  Chứng minh rằng:

2 2 2

4

c a b  Lời giải

Ta có:

2

3

a

c

                



 

4

   

Vậy ta có điều phải chứng minh ☺

Ví dụ 8 Giả sử 0 a b c   , c 3, b c 5, a b c  6 Chứng minh rằng:

14

a  b c  Lời giải

Phân tích và tìm tòi: Khi gặp bài toán này không ít bạn cảm thấy khó khăn vì ý tưởng ban đầu giờ đây đã không còn tác dụng Tại sao lại có tình trạng như vậy ? Nguyên nhân là do các điều kiện mà đề bài cho khi ta sử dụng Abel đã không được sử dụng đến Khi gặp tình huống như vậy nhiều bạn thường có cách nghĩ là phương pháp này không còn tác dụng và thường nghĩ đến kĩ thuật khác Không hẳn vậy, với những ý nghĩ cũ đã không còn tác dụng chúng ta nên đổi hướng

và đột phá để chứng minh So với việc làm xuất hiện vế nhỏ hơn như ý tưởng trước, lúc này chúng sẽ xét hiệu tức là lấy vế lớn trừ vế nhỏ rồi dùng đẳng thức Abel từ đó sẽ sử dụng được điều kiện mà bài toán nêu ra Tất nhiên chúng ta cũng phải dự đoán dấu bằng a1,b2, c  3

Từ đó ta sẽ có cách nhóm thích hợp Cụ thể như sau:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

a   b   c    a a  b b  c c 

Bây giờ việc cần làm là phải chọn a1, a2, a thích hợp Để ý điều kiện ta thấy 3 c b  a 0, nên

c 3 luôn là một đại lượng dương vì thế ta sẽ chọn đại lượng này là a1, tương tự ta cũng sẽ chọn b 2 là a và 2 a 1 là a Nếu có 3 a a1, 2,a thì cũng sẽ có luôn 3 b b b Cụ thể như 1, 2, 3 sau :

a1a  1 b 2b  2 c 3c   3 c b 1c   3 b a 1c b  5 a b c  6a1

Dễ thấy c b 1c   3 b a 1c b  5 a b c  6a 1 0 theo điều kiện của bài

toán

Vậy ta có điều phải chứng minh ☺

Ví dụ 9 Giả sử 0   a b c 3, b c 5, a b c  6 Chứng minh rằng:

1 1 1 49

36

a b c  Lời giải

Cũng với ý tưởng đó Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

0

        

   2    2    2

  12 12 12 12   12 12 12 1   12 1

Bất đẳng thức cuối luôn đúng theo điều kiện của bài toán

Vậy ta được điều phải chứng minh ☺

Ví dụ 10 Giả sử 0  a b 3, 2 c 3, b 1 c, a b c Chứng minh rằng:

4

a    b c

Lời giải

Đây là một bài toán khá thú vị có sự kết hợp ý tưởng của Ví dụ 2 và Ví dụ 8 Chúng ta viết lại

Bất đẳng thức cần chứng minh như sau:

3 1 2

a    b  c

a 1a 1 b 2b 2 3 c3 c 0

3 c 3 c b 2 b 1 c b 2 a 1 a b ca 1 0

                 

Bất đẳng thức cuối luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh ☺

Tự luyện

Bài 1 Cho 0 a b c   thỏa mãn 1 2 3 3

a   , b c 2 3 2

b  , c 3 1

c Chứng minh rằng

36

a   b c

       Chứng minh rằng

11 6

a b c  

a b c

       Chứng minh rằng

6

a  b  c 

Bài 4 Với , ,a b c  thỏa mãn 0 1 1 1 3; 1 1 2; 1 1

a b c  b c c Chứng minh rằng:

14

a b c 

Bài 5 Giả sử 0  a b c c, 3,b c 5,a b c   Chứng minh rằng: 6

a b c   

Bài 6 Giả sử 0  a b c c, 3,b c 5,a b c   Chứng minh rằng: 6

1 1 1 11

6

a  b c

Bài 7 Với x y, là các số thực thỏa mãn 0  x y 2, 2x y 2xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Px x  y y 

(Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên KHTN Vòng 1 2016-2017)

Bài 8 Giả sử 0  a b 3, 0   d 2 c 3,b 1 c a b,     Chứng minh rằng: 1 d c

3 3 3 3

19

a  b d  c

`Bài viết đến đây là kết thúc, có lẽ đây là bài viết tâm huyết mà tác giả gửi đến bạn, hy vọng nó

sẽ có sự thú vị cũng như đem lại kiến thức tích lũy cho bạn đọc về bản thân!

Tài liệu tham khảo trong bài viết

1) Các bài giảng về bất đẳng thức Cô-si Nguyễn Vũ Lương

2) Sáng tạo BĐT Phạm Kim Hùng

3) Một số tài liệu tham khảo trên diễn đàn VMF, diễn đàn học mãi, internet