Chứng minh bất đẳng thức toán học trường chuyên trần phú hải phòng

Bất đẳng thức là 1 vấn đề khá khó và thú vị trong toán học. Trong các kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thường thuộc loại khó hoặc rất khó. Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cực trị của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lượng bất đẳng thức tương ứng.

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Toán học

Trần Tiến Đạt Lưu Trung Kiên Nguyễn Hồng Đức

Đỗ Thị Hồng Vân Lớp 10 Toán Trường THPT chuyên Trần Phú Hải Phòng Tháng 5/2009

Trang 2

Một số phương pháp

chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp SOS Phương pháp dồn biến Phương pháp PQR Phương pháp SS

TRẦN TIẾN ĐẠT – LƯU TRUNG KIÊN

NGUYỄN HỒNG ĐỨC – ĐỖ THỊ HỒNG VÂN

-*** - Lớp 10 Toán – THPT chuyên Trần Phú

Hải Phòng Tháng 5/2009

Trang 3

LỜI NÓI ĐẦU

ất đẳng thức là 1 vấn đề khá khó và thú vị trong toán học Trong các

kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và quốc

tế, thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thường thuộc loại khó hoặc rất khó Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cực trị của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lượng bất đẳng thức tương ứng

Trên thế giới mỗi ngày lại có thêm rất nhiều bất đẳng thức thách thức khả năng

tư duy và óc sáng tạo của con người Lý thuyết bất đẳng thức và đặc biệt, các bài tập

về bất đẳng thức rất phong phú và cực kỳ đa dạng Vì vậy mà không có gì là khó hiểu khi bất đẳng thức luôn được xếp vào lớp các bài toán “truyền thống” của hầu hết các cuộc thi toán Không chỉ có nhiều ứng dụng trong đời sống, bất đẳng thức còn cho chúng ta những cái nhìn mới mẻ, thôi thúc sự tò mò, say mê nơi mỗi con người Chúng

ta được biết tới các bất đẳng thức cổ điển khá nổi tiếng như AM - GM, Cauchy – Schwarz, Nesbit, BĐT hoán vị… Nhưng cùng với sự phát triển của toán học, các bất đẳng thức hiện đai cũng ngày càng trở nên “chặt” hơn đòi hỏi sự ra đời của các phương pháp mới Nhóm chúng tôi viết chuyên đề này là để trình bày về 3 chứng minh

cơ bản cho các bất đăng thức hiện đại : dồn biến, S.O.S, và phương pháp P.Q.R Đây

là 3 phương pháp khá hiệu quả và phổ biến đề chứng minh nhiều bất đẳng thức ngày nay Bên cạng 3 phương pháp này chúng tôi cũng giới thiệu cả phương pháp S.S – một phương pháp kết hợp của S.O.S và Schur

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Đoàn Thái Sơn, người đã giao công việc này và cung cấp nhiều tài liệu cho chúng tôi Trong quá trình làm chuyên đề này, chúng tôi có sử dụng những kiến thức được trình bày trong cuốn sách “Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học” của tác giả Trần Phương, cuốn “Sáng tạo bất đẳng thức” của anh Phạm Kim Hùng, chuyên đề về phương pháp dồn biến của Phan Thành Việt, chuyên đề về bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến pqr của

Võ Thành Văn Chúng tôi hi vọng chuyên đề này sẽ giúp bạn đọc phần nào trên con đường đến với bất đẳng thức

Tác giả: Lưu Trung Kiên

Cùng nhóm cộng sự

 Trẩn Tiến Đạt -  Nguyễn Hồng Đức -  Đỗ Thị Hồng Vân

Công việc của các thành viên

Trang 4

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

MỤC LỤC 4

A PHƯƠNG PHÁP SOS 6

A.I Giới thiệu về phương pháp SOS 6

A.I.1 Lý thuyết 6

A.I.2 Bài tập 7

A.II Một số ứng dụng quan trọng của phương pháp S.O.S 14

A.III Phương pháp S.O.S trong bất đẳng thức hoán vị vòng quanh 16

B PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN 18

B.I Giới thiệu về tư tưởng phép dồn biến 18

B.II Bất đẳng thức đối xứng 3 biến đạt cực trị tại tâm 18

B.III Dồn biến bằng kỹ thuật hàm số 25

B.IV Bất đẳng thức 3 biến cực trị đạt tại biên 31

B.V Định lý dồn biến mạnh S.M.V và bất đẳng thức 4 biến 34

B.VI Dồn biến bằng hàm lồi 38

B.VII Dồn biến không xác định - UMV 42

B.VIII Dồn biến toàn miền (EMV) 44

B.VIII.1 EMV với biên tại 0: 44

B.VIII.2 EMV với biến trong tam giác 45

B.IX Định lí dồn biến tổng quát {GMV – GENERAL MIXING VARIABLES} 47

B.X Bài tập 50

C BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR VÀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI PQR 52 C.I Bất đẳng thức Schur 52

C.I.1 Lý thuyết 52

C.I.2 Ví dụ 55

Trang 5

C.II Phương pháp biến đổi pqr 59

C.II.1 Đa thức đối xứng 3 biến 59

C.II.2 Xây dựng các bất đẳng thức của pqr 60

C.II.3 Ví dụ 61

D PHƯƠNG PHÁP SS (SCHUR–S.O.S) 67

D.I Giới thiệu 67

D.II Phương pháp SS với các bất đẳng thức đạt cực trị tại tâm 68

D.III Phương pháp SS với các bất đẳng thức cực trị không đạt tại tâm 71

LỜI KẾT 74

a b c  .Nhưng S.O.S có thể giải quyết trường hợp mà 1 trong các số S a,S b,S c âm (

và hầu hết các trường hợp đều xảy ra như vậy)

b b  a c  b thì S 0 Nếu abc và S ,S , 2S S ,S 2S 0

a c b a c b thì S 0 Nếu abc và S ,S 0

đã đưa được BĐT về dạng (*)

Phần khó nhất trong phương pháp S.O.S là làm thế nào để đưa bất đẳng thức về dạng (*) Đây chính là thứ tạo ra nét độc đáo của phương pháp S.O.S khi mà bạn sẽ thấy rằng cách biểu diễn dưới dạng (*) không phải là duy nhất Sau đây là một số công thức cơ bản hay dùng để các bạn thuận tiện hơn khi chứng minh BĐT bằng phương pháp này:

Phần

A

Trang 7

A.I.2 Bài tập

Để cụ thể hóa cho điều này chúng ta hãy xem xét các ví dụ sau

Bài A.I.1: Cho a,b,c là các số dương CMR: (a b b c c)( )( a) 4(ab bc ca2 2 2 ) 12

sym sym cyc

cyc sym sym

cyc sym sym

1312

m sym cyc sym

cyc cyc cyc

Bằng cách làm như trên ta cũng sẽ chứng minh được Sa  2 S Sc, a  2 Sb  0

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi abc

Bài A.I.3: Cho a,b,c là các số dương CMR:

Trang 10

Bài A.I.4: Cho a b c  CMR , , 0  

2 2

2 3

cyc

a b c a

2 2

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi abc

Bài A.I.5: Cho a,b,c là các số dương CMR:  2 2 2

cyc cyc cyc

cyc

a b c a b c c

2 2

b ca ab bc S

c ab bc ac S

b c a S

tiêu chuẩn 5 bất đẳng thức đã được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi abc

Có thể nói trong 5 điều kiện của S.O.S thì điều kiện 5 là khó áp dụng nhất, đặc biệt là khi

những hệ số S S S phức tạp Tuy nhiên trong bài toán vừa rồi áp dụng điều kiện 5 là a, b, c

hợp lý nhất (các điều kiện còn lại áp dụng sẽ rất phức tạp và có thể không làm được) Vì vậy một điều hết sức cần thiết là chúng ta phải áp dụng 5 điều kiện cơ bản một cách thật linh hoạt, hợp lí Có như vậy bạn mới có thể sử dụng được toàn bộ sức mạnh của S.O.S

Bài A.I.7: (IMO 2005 ) Cho a,b,c > 0 thỏa mãn abc 1CMR:

Trang 14

Các phương pháp CM bất đẳng thức hiện đại ( đặc biệt là Schur, PQR, S.O.S) đều rất xem trọng việc đồng bậc hóa bất đẳng thức( qua các ví dụ trên hẳn các bạn đều hiểu được tầm quan trọng của cộng việc này)

Việc đồng bậc hóa (*) được thực hiện thông qua đánh giá sau đây

Một ứng dụng quan trọng của S.O.S là sáng tạo ra các bất đẳng thức mới Đó thường

là những bất đẳng thức rất mạnh, khó chứng minh bằng các bất đẳng thức thông thường( Cauchy, BCS ).Sau đây là một số ví dụ quan trọng và điển hình nhất

Ví dụ A.II.1: Tìm hằng số k tốt nhất để BĐT sau đúng với mọi a,b,c dương:

32

Sự khác biệt lớn nhất giữa đẳng thức và bất đẳng thức là dấu   Điều này thể hiện ,

rõ khi bạn chứng minh bài toán trên bằng phương pháp thông thường: ‘xử lí’ ab bc ca2 2 2

 

  và dấu  Điều bất ngờ là S.O.S lại giải quyết điều này rất dễ dàng

Một câu hỏi muôn thuở: thế nào là một cách giải hay cho một bài toán? Một bài toán có

thể có nhiều cách giải, mỗi cách giải mang theo một màu sắc riêng, một nét độc đáo riêng Chính vì thế khó có thể có một câu trả lời chính xác cho câu hỏi trên vì mỗi người quan niệm cái hay một cách khác nhau (một lời giải hay là một lời giải ngắn nhưng cũng

có thể là một lời giải là một sự sáng tạo độc đáo, mang theo một ý tưởng mới, tư tưởng mới) Theo những tiêu chi trên thì lời giải cho bài toán trên chưa phải là một lời hay Mặc dù vậy nhưng lời giải trên mang tính hiệu quả

Rõ ràng theo phương pháp S.O.S, hai bài toán này giống nhau về mặt bản chất Để nghĩ

ra một cách làm độc đáo cho 2 bài trên là chuyện không dễ chứ đừng nói là tìm một lời giải hay áp dụng cho tất cả các bài toán có dạng trên Nhưng khi mà bất đẳng thức phát triển nhanh với tốc độ chóng mặt như hiện nay, thì những phương pháp cổ điển hẳn chưa làm hài lòng những người yêu thích bất đẳng thức Có thể S.O.S không mang lại một lời giải đẹp mắt như BĐT Cauchy hay các phương pháp chứng minh BĐT cổ điển khác, nhưng nó giải được một lớp lớn các bài toán hay và khó, đó cũng chính là ứng dụng lớn lao mà S.O.S mang đến cho chúng ta

A.III Phương pháp S.O.S trong bất đẳng thức hoán vị vòng quanh

Chứng minh bất đẳng thức hoán vị vòng quanh luôn khó hơn bất đẳng thức đối xứng Nhìn chung khi chứng minh BĐT hoán vị chúng ra thường giả sử amaxa b c, , hay nói cách khác là xét 2 trường hợp abc&a c b Còn trong phương pháp SOS, chúng ta sẽ xét 2 trường hợp abc&cba Chỉ cần nhớ kĩ 5 điều kiện của S.O.S, chúng ta đều dễ dàng lý giải điiều này

Ví dụ A.III.1: Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác CMR 3 a b c 2 a c b 3

Trang 18

B.I Giới thiệu về tư tưởng phép dồn biến

Phương pháp dồn biến là phương pháp dùng để chứng minh những bất đẳng thức trong các trường hợp đẳng thức xảy ra khi tất cả các biến số bằng nhau (cực trị đạt tại tâm), có một

số biến bằng nhau (cực trị đạt được có tính đối xứng) hay khi có một biến nằm trên biên (cực trị đạt được tại biên) Ý tưởng chung là: nếu ta đưa được về trường hợp có 2 biến bằng nhau, hoặc một biến có giá trị tại biên, thì số biến sẽ giảm đi Do đó, BĐT mới đơn giản hơn BĐT ban đầu, đặc biệt nếu BĐT mới chỉ còn 1 biến thì bằng cách khảo sát hàm số 1 biến ta sẽ chứng minh được BĐT khá đơn giản Chính vì tư tưởng là giảm dần số biến nên phương pháp này được gọi là phương pháp dồn biến

Hầu hết các BĐT đểu rơi vào 1 trong các dạng nói trên, nên có thể thấy ứng dụng của phương pháp dồn biến là rất lớn, đặc biệt là khi chứng minh bất đẳng thức 3 hay 4 biến Với

số biến ít như vậy, sau khi “dồn biến” việc chứng minh sẽ đơn giản hơn Tuy nhiên, phương pháp dồn biến cũng có thể được áp dụng trong các trường hợp n biến tổng quát, bằng cách sử dụng những định lý về dồn biến tổng quát một cách linh hoạt

B.II Bất đẳng thức đối xứng 3 biến đạt cực trị tại tâm

Ứng dụng tư tưởng của phương pháp dồn biến vào chứng minh BĐT 3 biến đối xứng cực trị đạt tại tâm, ta rút ra cách làm sau

Giả sử cần chứng minh f ( x, y, z) ≥ 0 với x, y, z thỏa mãn tính chất nào đấy

Bước 1: (Kỹ thuật dồn về 2 biến bằng nhau) Đánh giá f (x, y, z) ≥ f (t, t, z) với t là biến sao

cho (t, t, z) thỏa mãn mọi tính chất của (x, y, z)

Bước 2: Đánh giá f (t, t, z) ≥ 0

Chú ý: Trong các bất đẳng thức đồng bậc, ta thường dùng kỹ thuật chuẩn hóa để lời

giải ngắn gọn và đơn giản hơn

Chúng ta sẽ áp dụng tư tưởng trên vào một số ví dụ sau

Ví dụ B.II.1: Cho x,y,z ≥ 0 Chứng minh rằng xy z 33 xyz (1)

Ở đây ta nhận thấy bất đẳng thức là đồng bậc nên lời giải bài toán có thể ngắn gọn hơn

bằng việc dùng kỹ thuật chuẩn hóa

Trang 20

Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

 Một vài nhận xét:

Trên đây là một ví dụ mở đầu cho phép dồn biến, với biến t bằng trung bình cộng hay

trung bình nhân Đây cũng là nhưng kỹ thuật chọn biến t hay dùng Bài toán chỉ nhẳm mục đích cho chúng ta cái nhìn đầu tiên về ứng dụng của tư tưởng phép dồn biến vào chứng minh bất đẳng thức

Cách giải 3 và 4 sử dụng kỹ thuật chuẩn hóa, giúp lời giải có vẻ ngắn gọn hơn.Việc

chuẩn hóa các bất đẳng thức đồng bậc cũng là một kỹ thuật hay gặp trong chứng minh bất đẳng thức Nếu một bài toán đã chuẩn hóa(tức là BĐT có điều kiện) thì nó sẽ "gợi ý" cho chúng ta cách dồn biến (phải đảm bảo điều kiện), tuy nhiên, ngược lại một bài toán chưa chuẩn hóa (BĐTkhông điều kiện) thì chúng ta sẽ có nhiều cách để dồn biến hơn (nói chung, ta sẽ chọn cách dồn biến sao cho bảo toàn được "nhiều" biểu thức nhất trongBĐT

- điều này cũng tương đương với chuẩn hóa sao cho biểu thức có dạngđơn giản nhất) Do

đó, một sự phối hợp tốt giữa kĩ thuật chuẩn hóa và dồn biến là một điều cần thiết Tuy nhiên, khi đã quen với những điều này thì các bạn sẽ thấy không có sự khác biệt đáng kể nào giữa chúng

Sử dụng phương pháp dồn biến trong chứng mính bất đẳng thức Cauchy ở trên rất đơn

giản do không khó để chứng minh f (x , y , z) ≥ f ( t , t , z ) ≥ 0 Tuy nhiên, thực ra các bài toán thường không bao giờ đơn giản như vậy Chúng ta sẽ xét tiếp những ví dụ khác để thấy hiệu quả của phương pháp dồn biến

Ví dụ B.II.2: [MOSP 2001] Cho a b c  và , , 0 abc 1.CMR:

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

Ở đây, chúng ta không thể chứng minh trực tiếp ( , , ) f a b c  f a t t( , , ) mà phải đánh giá thông qua việc coi a = max{a,b,c} Việc sắp xếp thứ tự của các biến cũng là một kỹ thuật thường gặp trong chứng minh bất đẳng thức Nhắc lại là nếu BĐT 3 biến đối xứng thì ta

có thể giả sử a ≥ b ≥ c (hoac a ≤ b ≤ c), còn trong trường hợp BĐT 3 biến hoán vị vòng quanh thì ta có thể giả sử a = min{a, b, c} (hoặc a = max{a, b, c})

Phương pháp dồn biến thường cũng được dùng nhiều trong các bất đẳng thức có điều

kiện Với các BĐT có điều kiện, ta sẽ ko dồn biến như thường mà phải làm sao để điều kiện luôn được thoả mãn Chẳng hạn với ĐK xyyzzt  , khi chúng ta muốn dồn 2 3

biến chẳng hạn y và z bằng nhau, tức là f x y z( , , ) f x t t( , , )thì biến t ở đây không phải

là 1 đại lượng trung bình của y, z mà là đại lưọng thoả mãn 2

x



Vậy BĐT được cm, dấu “=” xảy ra khi chẳng hạn x  1, yz 2

Ví dụ B.II.4: [Mathlinks] Cho a, b, c là các số dương có tích bằng 1 CMR

a t a t    t   t  (do 2

1

a t

Từ (*) & (**)  f a b c( , , )  đpcm (Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1)0

Ví dụ B.II.5: Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x2y2 z2  Chứng minh rằng: 3

32

Vậy ( )g r g(1) Ta có điều phải chứng minh Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1 0

Qua các ví dụ trên, ta thấy việc khảo sát hàm số là công việc rất hay gặp trong phép

chứng minh thứ 2 của phương pháp dồn biến Việc nắm vững những kiến thức về đạo hàm, hàm số vì vậy là rất quan trọng

Dồn biến về giá trị trung bình rất hữu dụng Tuy nhiên các cách dồn biến là vô cùng

phong phú và uyển chuyển Như đã nói ở trên, việc dùng kỹ thuật chuẩn hóa trong phương pháp dồn biến cũng rất hay gặp Chúng ta sẽ xét một ví dụ minh họa cho điều này

Ví dụ B.II.6: (Iran 1996) Chứng minh rằng với a, b, c ≥ 0 th ì

Ở đây, dẫu “=” xảy ra ngoài a = b = c còn có ab c,  0

Vì BĐT là đồng bậc nên ta sẽ chuẩn hóa ab bc ca1 (*)

Bài toán được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a = b = c hoặc a = b , c = 0 và các hoán vị

Đây là một bài toán rất khó Ngay cả khi dùng phương pháp dồn biến, việc chứng minh

Ưu điểm của cách dồn biến cũng thể hiện rất rõ trong ví dụ này Với bất đẳng thức 3 biến

đối xứng cực trị đạt tại tâm, có 3 hay 2 biến bằng nhau, việc sử dụng dồn biến tỏ ra thật hiệu quả

Đây là một kĩ thuật rất quan trọng của phương pháp dồn biến Tuy nhiên chúng tôi giới thiệu nó ngay sau phần cơ bản nhất là nhằm trang bị cho các bạn một kĩ thuật cần thiết trước khi đi qua các mục sau Hơn nữa, chúng tôi nghĩ rằng khi đã quen với nó thì các bạn sẽ không còn phải

phân biệt cực trị đạt tại tâm hay tại biên, và do đó mục tiếp theo sẽ nhẹ nhàng hơn

Trong $2 chúng ta thấy rằng để chứng tỏ f(x, y, z) ≥ f(t, t, z) ta chỉ việc xét hiệu d =

f(x, y, z) − f(t, t, z) rồi tìm cách đánh giá sao cho d ≥ 0 Tuy nhiên, đó là vì dạng BĐT quá đơn

giản, phù hợp với các biến đổi đại số Giả sử ta phải làm việc với biểu thức f có dạng, chẳng hạn, như: f(x, y, z) = x k + y k + z k với k > 0 thì các cách biến đổi đại số sẽ trở nên rất cồng

kềnh và phức tạp

Kĩ thuật hàm số dùng để giải quyết các trường hợp như vậy Ý tưởng chính thế này,

chẳng hạn để chứng minh f(x, y, z) ≥ f(x, t, t) với t = (y+z)/2, ta xét hàm: g(s) = f(x, t+s, t−s) với s ≥ 0 Sau đó chứng minh g tăng với s ≥ 0 (thông thường dùng công cụ đạo hàm rất tiện lợi), suy ra g(s) ≥ g(0), ∀ s ≥ 0, và ta sẽ thu được điều mong muốn Một trong những ví dụ

quen thuộc với các bạn là dồn biến bằng hàm lồi, tuy nhiên dưới đây chúng ta sẽ quan sát kĩ thuật dồn biến trong bối cảnh tổng quát hơn, còn vấn đề về hàm lồi sẽ được trở lại ở một mục

sau trong bài toán với n biến

Trang 26

Chúng tôi nhấn mạnh rằng, đây là một kĩ thuật khó, bởi nó chứa đựng những nét rất tinh tế của phương pháp dồn biến Những ví dụ sau đây thể hiện rất rõ vẻ đẹp và sức mạnh của phương pháp dồn biến

Ví dụ B.III.1: Cho k 0và a b c , , 0.CMR:

3min 2,

k k

  Vậy bài toán được chứng minh

Nhận xét: Để thấy được nét đẹp của bài toán này, ta xét các trường hợp đặc biệt

Trường hợp k 1, ta thu được BĐT Nesbit: 3

(do c ≤ 1) Ta có điều phải chứng minh

Đây là một ví dụ về cách dồn biến về trung bình nhân Có thể thấy việc biến đổi, đánh giá

cũng như khảo sát hàm số là khá phức tạp Để nghĩ ra những lời giải như vậy cần có một

sự kiên trì rèn luyện Vì vậy điều quan trọng nhất của chúng ta là phải có ý thức làm đến nơi đến chốn, không được bỏ dở giữa chừng, dù phải đối mặt với những biến đổi rất khủng khiếp Khi giải được bài toán chúng ta sẽ cảm thấy mình đã nhận được thành quả xứng đáng

Tiếp theo là một bất đẳng thức mà đề khá đơn giản, nhưng việc giải nó thì không dễ chút nào Phương pháp dồn biến là một phương pháp hiệu quả để giải bài toán này

nên g ‘(s) dương trên

(1,s0) và âm trên (s0,3/2) với 0 33 3

tức là t = 0 và s = s0, tức là a = b = s0 và c = 3 – 2s0 hay a = b = 33 3

2

, c = 6 33 và các hoán vị

Trang 31

B.IV Bất đẳng thức 3 biến cực trị đạt tại biên

Nếu như trong phần trước chúng ta có thể hiểu "dồn biến" là "đẩy hai biến lại gần nhau", thì trong trường hợp này ta phải hiểu "dồn biến" nghĩa là "đẩy 1 biến ra biên" Chẳng hạn như

xét BĐT f(x, y, z) ≥ 0 với x, y, z ≥ 0, ta có thể hi vọng vào đánh giá f(x, y, z) ≥ f(0, s, t), trong

đó s, t là các đại lượng thích hợp sinh ra từ các biến a, b, c (ta sẽ gọi đây là kĩ thuật dồn 1 biến ra biên) Tất nhiên ta sẽ chọn s, t sao cho hiệu d = f(x, y, z) – f(0, s, t) là đơn giản và có thể đánh giá thuận lợi Cuối cùng ta chỉ việc kiểm chứng f(0, s, t) ≥ 0

Từ lý thuyết như vậy đến thực hành cũng là cả một vấn đề Chúng ta sẽ xét một số ví

dụ để rút ra những kinh nghiệm cho mình về việc dồn biến ra biên

Ví dụ B.IV.1: Cho a, b, c ≥ 0, ab + bc + ac = 1 (*) Chứng minh rằng

22

  

  

  

2 2

x



Do đó

x x

Bất đẳng thức đã được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi c = 0 a = b = 1 và các hoán vị

Việc dồn biến ra biên ở đây rất tinh tế, thể hiện ở cả việc chọn s, t và việc biến đổi f (a, b,

c) thành g(c) như đã làm Chúng ta có thể thấy việc quy từ bất đẳng thức 3 biến về 2 biến

và rồi 1 biến trong chứng minh trên Trong các bước chứng minh, việc dùng đạo hàm là

hết sức quan trọng

Nói riêng về việc biến đổi bất đẳng thức từ 3 biến thành 2 biến, đây là một kỹ thuật khá

khỏ và tinh tế, đòi hỏi một sự thành thạo về kỹ năng biến đổi Tuy nhiên, nếu thành thạo

thì đây cũng là một công cụ hết sức hữu dụng để chứng minh bất đẳng thức bằng phương

pháp biến đổi Việc biến đổi nhiều khi cũng thật phức tạp Hy vọng chúng ta sẽ có đủ kiên

trì để rèn luyện kỹ thuật này

Ví dụ B.IV.2: (Jack Grafukel) Cho a b c , , 0.Chứng minh rằng:

54

a b c

a b  b c  ca    (1)

Nhận xét

Ta xét xem dấu = xảy ra khi nào

Do abckhông thoả mãn nên một cách tự nhiên ta nghĩ đến trường hợp biên là c 0, khi

Vậ bất đẳng thức xảy ra khi a3b0,c (và các hoán vị) 0

Do dấu bằng xảy ra khi cả 3 biến rời nhau nên khôn thể thực hiện phương pháp dồn biến về 2 biến bằng nhau Ta sẽ thực hiện theo phương pháp dồn một biến về biên

Trong trường hợp 3 biến, thông thường chúng ta cố định 1 biến và thay thế 2 biến còn lại

Tuy nhiên, đôi khi chúng ta có thể làm khác hơn bằng cách chỉ thay thế 1 biến hoặc thay thế cả 3 biến Sau đây là một ví dụ về phương pháp dồn biến ra biên trong bất đẳng thức

f a b c  a b c  a b c  a b b c  c a Không mất tổng quát, giả

sử c = min{a, b, c} Nếu a ≥ b ≥ c thì VT ≤ 0 BĐT hiển nhiên đúng Vì vậy ta chỉ cần xét b ≥

Khi đó sau vô hạn lần thực hiện biến đổi nói trên thì mỗi số a i đều tiến tới giới hạn

Trang 35

i k

Dễ thấy phép biến đổi ∆ không làm tăng giá trị của M k và không làm giảm giá trị của m k Vì

m k và M k đều là các dãy bị chặn nên tồn tại

a a

m   và k là chỉ số nhỏ nhất thỏa mãn thì a i2 m k i 1,n Điều này suy ra trực

tiếp từ tính chất không giảm của m i và chú ý rằng 1 2

Bằng phương pháp quy nạp đơn giản ta thu được đpcm

Từ bổ đề trên đây ta suy ra một kết quả trực tiếp

Trang 36

Bằng định lý này, khi sử dụng dồn biến ta chỉ cần chọn ra số nhỏ nhất và số lớn nhất Định lí về dồn biến đã được chứng minh khá chặt chẽ và có một kết quả mạnh hơn hoàn toàn bằng kiến thức sơ cấp, chúng ta hoàn toàn có thể áp dụng được

Ngoài ra phép biến đổi ∆ có thể khác hơn, chẳng hạn thay thành

,2

Trên đây là một ví dụ khá điển hình và thể hiện rõ ưu điểm của phương pháp dồn biến

mạnh Phương pháp này hữu dụng nhất khi sử dụng với bất đẳng thức 4 biến Chúng ta

sẽ xét một ví dụ sử dụng định lý S.M.V bằng cách thay số lớn nhất và 1 số bằng trung bình cộng của chúng

Ví dụ B.V.3: [Bất đẳng thức Tukervic] Cho a b c d  Chưúng minh rằng: , , , 0

Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM-GM

Đẳng thức xảy ra abcdhoặc abc d,  và các hoán vị 0