Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9 ở trường THCS an hoạch, thành phố thanh hóa

Để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy đáp ứng yêu cầu giáo dục hiệnnay, bản thân tôi là một quản lí nhà trường và cũng đang trực tiếp đứng lớp giảngdạy bộ môn toán ở trường THCS nên

A MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài:

Chúng ta đã biết: Chương trình toán ở trường THCS giữ một vị trí hết sứcquan trọng Nó là cơ sở, là tiền đề, là nền tảng, cho chương trình toán học ở cấp họctiếp theo Ngoài ra nó còn là môn học công cụ để học nhiều môn học tự nhiên khác

Do đó mà trong quá trình dạy toán ở trường THCS thì khâu truyền thụ kiến thức cơbản cho học sinh là khâu vô cùng quan trọng, vì kiến thức cơ bản vốn là kiến thứckhoa học phải có và tồn tại trong mỗi một người học toán, trong suốt cả quá trìnhhọc tập và nghiên cứu khoa học Thế nhưng trong thực trạng hiện nay ở các trườngnói chung là: “chất lượng thực” về môn toán còn thấp so với yêu cầu Đó chính làđiều làm cho các nhà giáo nói chung và các giáo viên đang trực tiếp đứng lớp giảngdạy bộ môn toán nói riêng phải băn khoăn, trăn trở

Để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy đáp ứng yêu cầu giáo dục hiệnnay, bản thân tôi là một quản lí nhà trường và cũng đang trực tiếp đứng lớp giảngdạy bộ môn toán ở trường THCS nên tôi tự đặt ra cho mình một nhiệm vụ là:

“Nâng cao chất lượng học tập bộ môn toán, thông qua việc rèn luyện các phươngpháp giải toán, trong đó chú trọng phần rèn luyện các phương pháp chứng minhbất đẳng thức” sao cho trong quá trình giải bài tập năng lực suy nghĩ sáng tạo củahọc sinh được phát triển đa dạng và phong phú Trong thực tế giảng dạy toán ởtrường THCS do toán về bất đẳng thức (BĐT) không có cách giải mẫu, không tuântheo một phương pháp nhất định nên học sinh rất lúng túng khi làm toán về BĐT,học sinh không biết phải bắt đầu từ đâu, đi theo hướng nào, vì vậy tôi chọn đề tài:

“Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9”

II Mục đích nghiên cứu:

Đề tài sẽ giúp cho học sinh không còn bỡ ngỡ khi gặp các bài toán chứngminh bất đẳng thức, qua đó nâng cao năng lực phát hiện và khả năng tự giải quyếtvấn đề của học sinh từ đó giúp các em học tập tốt hơn, có hứng thú, say mê với bộmôn toán nói chung và bất đẳng thức nói riêng

III Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9 - Trường THCS An Hoạch

IV Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu chương trình Sách giáo khoa nắm bắt nội dung kiến thức và yêu

cầu cần đạt được của từng khối lớp về giải toán Tìm đọc các tài liệu tham khảo, sáchnâng cao, sách bồi dưỡng,… để hệ thống kiến thức có liên quan

Cung cấp kiến thức, hình thành kỹ năng giải toán cho học sinh, qua đó nắm bắt nănglực của học sinh, phát hiện nguyên nhân chất lượng thấp, tìm phương án khắc phục.Trao đổi với đồng nghiệp để rút ra bài học kinh nghiệm

Kiểm tra chất lượng của học sinh trước và sau khi áp dụng đề tài vào giảng dạy,

so sánh kết quả và rút ra kinh nghiệm giảng dạy cho bản thân

B NỘI DUNG

I Cơ sở lí luận:

Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất trong chương trìnhtoán phổ thông, ngay cả học sinh khá giỏi cũng lúng túng, chưa có phương pháp làm

bài và không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyết các bài toán khó như: Tìmcực trị của một biểu thức, tìm nghiệm của phương trình hay hệ phương trình…Vì

vậy, trong giảng dạy việc làm cho học sinh biết chứng minh các bất đẳng thức và vận

dụng bất đẳng thức vào giải bài tập có liên quan là công việc rất quan trọng và khôngthể thiếu được của người dạy toán Để làm được điều đó trong giảng dạy giáo viênphải tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, hình thành cho các em khả năng tưduy logic, tính độc lập và sáng tạo Qua đó mà cung cấp cho học sinh một số kiếnthức cơ bản cần thiết, các kỹ năng, kỹ sảo và một hệ thống các phương pháp làm bàitập về bất đẳng thức, xem đó là những phương pháp suy nghĩ ban đầu, là những công

cụ để giải bài tập về bất đẳng thức

II Thực trạng:

Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp tôi thấy học sinh hầuhết là rất ngại khi gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức Theo tôi nguyên nhân chủyếu là để giải được một bài toán chứng minh bất đẳng thức cần một tư duy logic và một

sự sáng tạo rất cao mà điều đó đối với đại bộ phận học sinh còn hạn chế Đứng trước một

bài toán về bất đẳng thức các em không định hướng được là phải dùng cái gì để chứng

minh và chứng minh như thế nào? Có nghĩa là các em chưa có hướng giải Vì thế vấn đềđặt ra cho chúng ta khi gặp dạng bài toán về bất đẳng thức ta sẽ làm như thế nào? Đó làcâu trả lời không mấy dễ dàng đối với tất cả những người say mê nghề trồng người Quantrọng là giáo viên phải giải được thậm chí giải bằng nhiều cách từ đó chọn lọc cách diễnđạt để học sinh có thể tiếp thu và hiểu một cách có sáng tạo bài giảng của giáo viên, tức làthông qua mỗi bài toán có thể đưa ra các bài toán tổng quát, tương tự Có thể đề ra cáchgiải dạng toán ấy để học sinh nhận dạng các bài toán khác giúp học sinh nhìn bài toán ởnhiều khía cạnh khác nhau Giải bài toán bằng nhiều cách và từ đó chọn được những lờigiải đẹp Và một trong những phương pháp chứng minh bất đẳng thức vừa ngắn gọn vừa

dễ hiểu vừa rút ngắn thời gian làm bài, vừa cho ta những lời giải đẹp là dùng BĐT phụ Việc dùng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức ngoài việc rèn luyện sự say

mê tìm tòi sáng tạo còn giúp các em quen dần với việc dùng bất đẳng thức phụ trongchứng minh bất đẳng thức là việc cần thiết với tất cả các thầy cô đang trực tiếp bồi dưỡnghọc sinh giỏi các cấp, học sinh thi vào lớp 10 THPT và thi vào lớp 10 THPT chuyên

+ và +

+ và

Với C >0

++

3 Một số hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối:

+ +

Ví dụ 2: Chứng minh rằng :

Giải: Để chứng minh cho ta chứng minh hiệu:

Vì bất đẳng thức(*) đúng nên bất đẳng thức đã được CM là đúng.Dấu “=” xảy ra khi a a

(Ta có điều phải chứng minh)

Phương pháp 3: Biến đổi tương đương

Để chứng minh bằng phép biến đổi tương đương ta đưa về việc chứngminh và việc chứng minh này đơn giản hơn

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số a;b ta luôn có:

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh đúng

Dấu “=” xảy ra khi:

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi ta luôn có:

Do đó bất đẳng thức (2) luôn đúng Nên bất đẳng thức (1) đã cho đúng

(2)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: (*) với

Giải: Ta có bất đẳng thức (*)

vì (xy=1)

(**)

Vì bất đẳng thức (**) luôn đúng nên BĐT (*) đã được chứng minh đúng

Ví dụ 4: Cho Hãy chứng minh

- Nếu thì BĐT (2) được chứng minh BĐT (1) được chứng minh

- Nếu thì bất đẳng thức (2) tương đương với:

(3)

Vì bất đẳng thức (3) luôn đúng BĐT (2) đúng Bất đẳng thức (1) đúng

Phương pháp 4: Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc

Vậy bất đẳng thức: đã được chứng minh đúng

Phương pháp 5: Phương pháp tam thức bậc hai

- Nếu thì f(x) cùng dấu với a Nghĩa là

- Nếu thì: + f(x) cùng dấu với a.( tức là ) khi

+ f(x) khác dấu với a.( tức là ) khi

Giải: Từ giả thiết ta có:

Theo Vi-et thì y,z là nghiệm phương trình bậc hai:

(1)

Vì phương trình (1) luôn có nghiệm nên (1)

Tương tự ta chứng minh được (ta có điều phải chứng minh)

Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp toán học

a Lưu ý: Khi bất đẳng thức phải chứng minh phụ thuộc vào số nguyên n (hoặc phụ thuộc vào

số nguyên dương n) thì ta phải dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh Để chứngminh bất đẳng thức đúng với ta thực hiện các bước sau:

*) Kiểm tra bất đẳng thức đúng với

*) Giả sử bất đẳng thức đúng với (thay n = k vào bất đẳng thức cầnchứng minh và bất đẳng thức đó được gọi là giả thiết quy nạp)

*) Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k +1 vào bất đẳngthức cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)

(3)Nhân 2 vế của (2) với ta được:

(4)Nhưng:

Phương pháp 7: Chứng minh phản chứng

a Kiến thức cần lưu ý: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức A > B đúng Ta

hãy giả sử và kết hợp với giả thiết qua các phép biến đổi tương đươngdẫn đến điều vô lý Điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết, có thể là điều tráingược nhau Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh A > B đúng

b Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Cho Chứng minh rằng

Giải: Giả sử a + b > 2

(vì a3 + b3 = 2)

Chia cả 2 vế cho số dương a + b ta được:

Mà (a – b)2 < 0 là vô lý Do đó điều giả sử a + b > 2 là sai Vậy là đúng

Ví dụ 2: Cho x,y,z và xyz = 1 Chứng minh rằng:

Nếu Thì chỉ có 1 và chỉ một trong ba số này lớn hơn 1.Giải: Ta có:

+) Giả sử cả 3 số: (x – 1), (y – 1), (z – 1) đều dương thì:

x,y,z > 1 xyz > 1 Điều này trái với giải thiết xyz = 1

+) Nếu chỉ 2 trong 3 số: dương thì:

(Điều này vô lý vì trái với (*))Vậy chỉ có 1 và chỉ một trong 3 số x,y,z > 1

Ví dụ 3: Cho Chứng minh ba bất đẳng thức sau:

(1) ; (2) ; (3)Không đồng thời đúng

Ta có: (1)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều (1),(2),(3) ta được:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở các BĐT (1)(2)(3) đồng thời xảy ra Nghĩa là :

là tam giác đều

Giải: Vì a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 nên áp dụng BĐT trong tam giác ta có:

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) vế theo vế ta được:

(4)Dấu “=” trong bất đẳng thức (4) xảy ra khi và chỉ khi:

Ví dụ 3: Cho x, y, z tùy ý thỏa mãn:

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của với

Giải: Sử dụng BĐT Cosi: xét 5 số không âm:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

(1)(2)(3)

Max khi

Min khi:

2 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình:

(1)(2)(1)

(thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm và

3 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên:

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

Giải: Giả sử ta có:

Thay z = 1 vào phương trình (1) ta được : (2)

+ Nếu y = 1 ta được (không thỏa mãn đ/k x > 0 do đó loại)+ Nếu y = 2 ta được :

Vậy nghiệm của phương trình (1) là: (2; 2; 1); (2; 1; 2) và (2; 2; 1)

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: (1)Giải: Ta nhận thấy phương trình (1) đối ứng với x, y, z

Do đó ta có thể giả sử:

+ Nếu x=y=z thì phương trình (1)

(loại)Suy ra mà x,y nguyên dương Do đó xy=2 hoặc xy = 1

- Với

Vậy nghiệm nguyên dương của pt (1) là (1;2;3) và các hoác vị của nó

Ví dụ 3: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình: (*)

Giải: + Với x < 0, y < 0 thì phương trình (*)không có nghĩa

IV Hiệu quả áp dụng SKKN:

Quả thật chuyên đề về bất đẳng thức được xuyên suốt trong chương trình mônToán ở các bậc học: từ THCS đến THPT và Đại học Trong khuôn khổ của đề tài:

“Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 9” Tôi đã trình bày 9

phương pháp cơ bản nhất về chứng minh bất đẳng thức Trong mỗi phương pháp tôi

đã đưa ra kiến thức cần sử dụng và những ví dụ vận dụng một cách phù hợp với trình

độ học sinh, các bài tập được đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Bêncạnh đó tôi còn đưa ra các ứng dụng của bất đẳng thức trong việc tìm cực trị, giảiphương trình, giải hệ phương trình và giải phương trình nghiệm nguyên…nhằm giúphọc sinh có được kiến thức cơ bản về bất đẳng thức để học và chứng minh bất đẳngthức

Thực tế giảng dạy cho tôi thấy: sau khi được truyền đạt kỹ về chuyên đề này, học sinh

đã có một hệ thống phương pháp giải toán về bất đẳng thức, các em hiểu kĩ, hiểu sâu và linhhoạt hơn rất nhiều khi gặp bài toán về bất đẳng thức hoặc các bài toán cần vận dụng bấtđẳng thức để giải, chẳng hạn: Các em đã biết tự mình phân tích bài toán để đưa về mộttrong các phương pháp đã học để giải quyết ngắn gọn, dễ hiểu, nghĩa là đã chọn được mộtphương án tốt nhất, một lời giải tối ưu cho bài toán; có cách trình bày bài giải rõ ràng, mạchlạc; tránh được một số sai lầm thường gặp khi giải toán về bất đẳng thức

Kết quả cụ thể qua 2 năm thực hiện đề tài: Năm học 2014 - 2015, khi dạy Toán tôi đã

áp dụng chuyên đề này cho lớp tôi dạy và so sánh kết quả với năm học 2013 - 2014 chỉ dạynhư SGK rồi ôn tập cho học sinh (2 lớp có chất lượng kiểm tra khảo sát đầu năm là tươngđương nhau), sau khi đã cho cả 2 lớp làm 1 đề kiểm tra để khảo sát chất lượng thì kết quảthu được là:

để tìm ra cách giúp học sinh có khả năng tổng hợp kiến thức và hình thànhphương pháp giảng dạy cho mỗi loại toán cụ thể, từ đó phát hiện, bồi dưỡng chohọc sinh có năng khiếu bộ môn, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy sángtạo…làm cho các em yêu thích bộ môn Muốn như vậy các bài tập đưa ra phảibao gồm bài dễ để củng cố kiến thức cơ bản, đến bài khó để phát hiện tư duy, bàitrước là gợi ý cho bài sau Các phương pháp giải khi cung cấp cho học sinh phải

dễ hiểu, dễ vận dụng, phù hợp với khả năng học sinh, trên cơ sở kiến thức đó màhọc sinh có thể tự học, tự giải quyết những vấn đề đặt ra và tự mình khám phá,lĩnh hội kiến thức Hơn nữa với mỗi bài toán ngoài việc tìm phương pháp giải hợp

lý, cần thay đổi dữ kiện bài toán, đặc biệt hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa…để đưahọc sinh đến tình huống mới cần giải quyết

II Đề xuất:

Phòng Giáo dục và Đào tạo cần tổ chức Hội thảo cho giáo viên học tập và áp dụngnhững sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.Trên đây là những kinh nghiệm của bản thân tôi đã rút ra từ thực tiễn giảng dạycủa mình Có thể còn bộc lộ những khiếm khuyết trong cách trình bày và diễn đạt, tôirất mong được sự đóng góp, bổ sung của các đồng nghiệp để tôi có các giải pháp hoànthiện và hiệu quả trong công tác giảng dạy đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp giáo dục

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ An Hoạch, ngày 20 tháng 3 năm 2016

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Người thực hiện

Phạm Thị Thu Hương

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 1

I Lí do chọn đề tài 1

II Mục đích nghiên cứu 1

III Đối tượng nghiên cứu 1

IV Phương pháp nghiên cứu 1

B NỘI DUNG

I Cơ sở lí luận 1

II Thực trạng 2

III Các giải pháp 2

Phần 1: Các kiến thức cần lưu ý 2

1 Định nghĩa 2

2 Tính chất 2

3 Một số hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối: 3

Phần 2: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 3

Phương pháp 1: Dùng định nghĩa 3

Phương pháp 2: Sử dụng tính chất bất đẳng thức 4

Phương pháp 3: Biến đổi tương đương 6

Phương pháp 4: Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc 8

Phương pháp 5: Phương pháp tam thức bậc hai 8

Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp toán học 9

Phương pháp 7: Chứng minh phản chứng 11

Phương pháp 8: Phương pháp đánh giá đại diện 12

Phương pháp 9: Phương pháp hình học 14

Phần 3: Ứng dụng của bất đẳng thức 15

1 Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 15

2 Dùng bất đăng thức để giải phương trình và hệ phương trình 17

3 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên 18

C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT I Kết luận 20

II Đề xuất 20