ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN NĂM HỌC: 2017 – 2018. Môn thi: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.5 điểm ). a. Phân tích đa thức thành nhân tử: b. Giải phương trình: c. Tìm x, y, z biết: và . Bài 2: (2.0 điểm). a) Cho a; b; clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng b) Tìm các số tự nhiên x, y thõa mãn Bài 3: (1,5 điểm) a. Cho hai sè d¬ng a vµ b tho¶ m•n ®iÒu kiÖn: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña ab. b. Cho các số nguyên a, b,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: A= là số chính phương Bài 4: ( 4.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm, O là giao điểm của các đường trung trực của , M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC a. Tính tổng b. Chứng minh đồng dạng với và AH = 2.OM c. Gọi G là trọng tâm của . Chứng minh 3 điểm H, G, O thẳng hàng.
PHÒNG GD & ĐT NINH GIANG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN NĂM HỌC: 2017 – 2018 Môn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.5 điểm ) a Phân tích đa thức thành nhân tử: x x x x 12 36 x b Giải phương trình: x 9x2 x 3 27 c Tìm x, y, z biết: x y z xy yz zx và x 2016 y 2016 z 2016 32017 Bài 2: (2.0 im) a) Cho a; b; clà số đo ba cạnh cđa tam gi¸c chøng minh r»ng a b c b c c a a b b) Tìm số tự nhiên x, y thõa mãn x x y Bài 3: (1,5 điểm) a Cho hai sè d¬ng a b thoả mãn điều kiện: 5a2 b2 Tìm giá trị nhỏ ab b Cho cỏc số nguyên a, b,c thoả mãn: ab + bc + ca = 2 Chứng minh rằng: A= 1 a 1 b 1 c là số chính phương 5ab a2 Bài 4: ( 4.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm, O là giao điểm đường trung trực ABC , M là trung điểm BC, N là trung điểm AC a Tính tổng HA' HB' HC' AA' BB' CC' b Chứng minh AHB đồng dạng với MON và AH = 2.OM c Gọi G là trọng tâm ABC Chứng minh điểm H, G, O thẳng hàng Hết./ Họ tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… PHÒNG GD & ĐT NINH GIANG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN NĂM HỌC: 2017 – 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.5 điểm ) a Chứng minh với số nguyên a a 5a chia hết cho 2 x � �x � x 0 b Giải phương trình: � � � � � �x � c Cho a b c và abc �0 Tính giá trị biểu thức: P Bài 2: (2.0 điểm) �x � x 4 1 2 2 2 b c a a c b a b2 c2 a) Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức A= ( x 16)( x 9) với x > x b) Cho số dương a, b, c có tích Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) �8 Bài 3: (1,5 điểm) a Cho a , b , c cạnh tam gi¸c Chøng minh r»ng : A = a b c 3 b c a a c b a b c b Chứng minh rằng: Chữ số tận hai số tự nhiên n và n5 là Bài 4: ( 4.0 điểm) Cho đoạn thẳng AB , gọi O là trung điểm AB Vẽ phía AB tia Ax và By � vng góc với AB Lấy C Ax, D By cho COD = 900 a) Chứng minh tam giác ACO đồng dạng với tam giác BDO b) Chứng minh CD = AC + BD c) Kẻ OM vng góc CD M, gọi N là giao điểm AD với BC Chứng minh rằng: MN//AC Hết./ Họ tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… PHÒNG GD & ĐT NINH GIANG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN NĂM HỌC: 2017 – 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.5 điểm ) a Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x - dư 3, f(x) chia cho x + dư 5, chia cho x thương là x và dư b Giải phương trình: 1 1 x 3x x 5x x 7x 12 x 9x 20 c Cho x, y, z là số khác và đôi khác thỏa mãn: Tính giá trị biểu thức: A 1 x y z yz xz xy x 2yz y 2xz z 2xy Bài 2: (2.0 điểm) a) Cho x, y, z thỏa mãn:x + y + z = 1: x + y + z = và x + y + z = Tính tổng: S = x 2014 + y 2015 + z 2016 b) Cho a, b, c > vµ a + b + c = Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc B= 1 a b c Bài 3: (1,5 điểm) a �ac b(a b c) � Tìm ba số nguyên dương a, b, c biết rằng: �1 1 1 � �a b c b Cho đa thức Q ( x 3)( x 5)( x 7)( x 9) 2014 Tìm số dư phép chia đa thức Q cho đa thức x 12 x 32 Bài 4: ( 4.0 điểm) Cho tam giác ABC( �A < 900 ) Bên ngoài tam giác dựng hình vng ABDE, ACFG Dựng hình bình hành AEIG Chứng minh a ABC = GIA và CI = BF b Ba đường thẳng AI, BF, CD đồng quy Hết./ Họ tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… PHỊNG GD & ĐT NINH GIANG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN NĂM HỌC: 2017 – 2018 Môn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao ) Bi 1: (2.5 im ) a Tìm số nguyên x để: x2 2x 14 sè chÝnh ph¬ng b Giải phương trình: y x y x 1 0 x2 y z x2 y z c Cho a, b, c �0 Biết x, y, z thoả mãn: 2 = + + a b c a b c Tính D = x2016 + y2017 + z2018 Bài 2: (2.0 điểm) a) Tìm GTLN và GTNN của: y 4x x2 b) Cho a, b > và 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn nhất tích P = ab Bài 3: (1,5 im) a Tìm số nguyên dơng x, y, z biÕt r»ng: x3 y z 3xyz vµ x 2( y z ) b Tìm số có chữ số vừa là số chính phương vừa là lập phương Bài 4: ( 4.0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn Các đường cao BD và CE cắt H a) Chứng minh: ADE : ABC b) Chứng minh: BH BD + CH CE = BC2 c) Trên đoạn thẳng BD và CE lấy hai điểm M và N cho � AMC � ANB 900 Chứng minh rằng: AM = AN Hết./ Họ tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… PHÒNG GD & ĐT NINH GIANG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN NĂM HỌC: 2017 – 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.5 điểm ) a Cho x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by và x + y + z �0; xyz �0 CMR: 1 2 1 a 1 b 1 c 3 �1 � �3 � b Giải phương trình: � x � � x � x �4 � �4 � c Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và Tính giá trị biểu thức P = 1 + + = x y z 1 2 x y z Bài 2: (2.0 điểm) a) T×m GTNN cđa biĨu thøc B 3x x x2 2x 2 b) Tính giá trị biểu thức: A = x y x y ( x y 1) xy với x 2 2011 ; y 16 503 Bài 3: (1,5 điểm) 3 2016 2016 2016 a Cho a b c 3ab c và a b c Tính GT BT: K = 675 a b c b Tìm số tự nhiên n cho số sau là số chính phương n2 + n + 1589 Bài 4: ( 4.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đng vuông góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng b) Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM c) Tia AM cắt BC G Chøng minh: GB HD BC AH HC Hết./ Họ tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… PHỊNG GD & ĐT NINH GIANG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN NĂM HỌC: 2017 – 2018 Môn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.5 điểm ) a Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = Tính S = a2 + b 2016 + c 2017 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 49 b Giải phương trình: c Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: A = 2x2 + 3y2 + 4xy – 8x – 2y + 18 Bài 2: (2.0 điểm) a) Cho số x bc a ; y a b c ; z c a b là số nguyên tố (a, b, c là số tự nhiên khác 0) Chứng minh ba số x, y, z ít nhất có hai số b) Cho x, a, b Z + x 2a tho¶ m·n: x 4b Bài 3: (1,5 điểm) a b c a2 b2 c2 a Cho Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b b Tìm số ngun tố tho¶ m·n: xy + = z Bài 4: ( 4.0 điểm) Cho tam giác ABC, đường cao AH ( H � BC ) Gọi D và E là hình chiếu H AB và AC a) Chứng minh ABH AHD b) Chứng minh: HE2 = AE.EC c) Gọi M là giao điểm BE và CD Chứng minh rằng: BD.CM = BM.CE Hết./ Họ tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… PHÒNG GD & ĐT NINH GIANG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN NĂM HỌC: 2017 – 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.5 điểm ) Cho biÓu thøc: A x3 2x x x 2x 1 x x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A b) Tìm x để A �x c) Cho x �0 Tìm giá trị nhỏ nhất A Bài 2: (2.0 điểm) a) Cho số a; b; c khác và đôi khác thỏa mãn a + b + c = Tính giá trị biểu thức Q = ( a b c bc c a a b )( ) bc ca ab a b c b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – 2x – 11 = y2 Bài 3: (1,5 điểm) 2 x Hãy tính giá trị biểu thức: Q = a Cho biết x x 1 x4 x2 x x x x x 20 x x 16 x x b Giải phương trình: x 1 x4 x 3 x2 c Cho a, b, c � Z, thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a5 + b5 + c5 M30 Bài 4: ( 4.0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H Lấy điểm M nằm đoạn HB, điểm N nằm đoạn HC cho �AMC �ANB 900 Chứng minh: a Tam giác AMN cân b BC.BD AC AE BF AF Hết./ Họ tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… PHÒNG GD & ĐT NINH GIANG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN NĂM HỌC: 2017 – 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.5 điểm ) Giải phương trình: 3 �1 � �3 � a) � x � � x � x �4 � �4 � 3 x 3 x � � � � b) x � ��x � �x � � x 1 � Bài 2: (2.0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức a) A = 3x x x b) B = 14x 8x 3x 6x Bài 3: (1,5 điểm) a Giả sử a, b, c là ba số đôi khác và Chứng minh rằng: a b c 0 bc ca a b a b c 0 2 (b c) (c a) (a b) b Tìm nghiệm nguyên phương trình: 4(x + y) = 11 + xy c Cho a, b, c tho· m·n: 1 1 a b c abc Tính giá trị biểu thức: A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3) Bài 4: ( 4.0 điểm) Cho tam giác ABC Vẽ ngoài tam giác hình vng ABDE, ACFH a) Chứng minh EC = BH; EC BH b) Gọi M, N thứ tự là tâm hình vng ABDE, ACFH Gọi I là trung điểm BC Tam giác MNI là tam giác ? Vì ? Hết./ Họ tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NINH GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 21/04/2017 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) �2 �x � x 1 � � x 1� Câu 1(2,0 điểm): Cho biểu thức P = � �: x x x �3x � � � a) Rút gọn P b) Tìm x � Z để P có giá trị ngun c) Tìm x để P �1 Câu 2(2,0 điểm): a) Giải phương trình: x3 – 6x2 – x + 30 = b) Cho a + b = và ab ≠ Chứng minh a b 2(ab 2) 2 b 1 a 1 a b 3 c) Trong ∆ABC có BC = a, AC = b, AB = c là độ dài cạnh tam giác thoả mãn: ab bc ca ca ab bc bc c a a b b c c a a b Chứng minh ∆ABC là tam giác cân Câu 3(2,0 điểm): 1 a 1 b 1 b) Cho ba số x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = và xy + yz + zx = Hãy tính giá trị biểu thức: S = ( x – 1)2017 + y2018 + (z + 1)2019 a) Cho a, b > và a + b = Chứng minh : � 1� � 1� � 1� � 1� � 1� � 1� c) Chứng minh rằng: �a ��b ��c ���a ��b ��c �, a, b, c là b c a a b c � � � � � �� � � � � � số thực không nhỏ Câu 4(2,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng: a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC BC b) BH.BE + CH.CF = BC2 và AD.HD � c) Gọi I, K, Q, R là chân đường vng góc hạ từ E xuống AB, AD, CF, BC Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R nằm đường thẳng Câu 5(2,0 điểm): Cho a, b, c > 0; a + b + c Chứng minh : 1 9 a 2bc b 2ca c 2ab Hết Họ tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2: UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Câu 1(2,0 điểm): 1) Tìm số dư phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + cho x2 + 8x + 12 1 yz xz xy 2) Cho x y z 0( x, y, z �0) Tính x y z Câu 2(2,0 điểm): a) Chứng minh rằng: (n5 – 5n3 + 4n) M120 với m, n � Z b) Giải phương trình: x + x + x = 14 c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất biểu thức A = 27 12 x x2 Câu 3(2,0 điểm): x y2 z2 x y2 z2 a) Tìm x, y, x biết : b c a b) Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a b c �8 ac ba bc c) Tìm x, y nguyên thỏa mãn x xy y x y Câu 4(2,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Về phía ngoài tam giác ta vẽ hình vuông ABDE và ACGH a) Chứng minh BCHE là hình thang cân b) Kẻ đường cao AK tam giác ABC Chứng minh đường thẳng AK, DE, GH đồng quy Câu 5(2,0 điểm): Tìm số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a 5a 21 7b và a c Hết Họ tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2: 10 ab bc ca ab bc ca Chứng minh tam giác ABC cân bc ca a b c a a b bc Bài (1.5 điểm): 1) Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: A = x x x 2) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x y 3x y xy Bài (2.0 điểm): 1) Cho biểu thức A=(a2012 + b2012 + c2012) – (a2008 + b2008 + c2008) với a, b, c là số nguyên dương Chứng minh A chia hết cho 30 2) Tìm tất số nguyên dương x, y thỏa mãn: 2x2 + 3y2 – 5xy – x + 3y – = Bài (2.0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác góc AIC và góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM (AB BC CA ) c) Tam giác ABC nào biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA' BB' CC' Bài (1.0 điểm): Tìm số tự nhiên n cho n 2n n2 2n 18 là số chính phương Họ tên thí sinh:…………………………………………… SBD:………… UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Bài (2.0 điểm): 1) Phân tích thành nhân tử (x – 2) (x – 4) (x – 5) (x – 10) – 54x2 2) Giải phương trình: x4 = 24x + 32 Bài (1.5 điểm): 1 1 a) Tìm x, y, z biết x + y + z = 3; x y z và 2x2 + y = b) Cho a > 0; b, c khác và đôi khác thỏa mãn 1 1 a b c abc Chứng minh rằng: b < Bài (1.5 điểm): 32 �x y �2 �y z 1) Cho x, y, z thỏa mãn: �2 Tính giá trị biểu thức: A = x2016 + y2017 + z �z x 2) Giải phương trình: x x 16 Bài (2.0 điểm): 4 1 + + =4 y x z 1 1 + + x 2y z x y 2z 1) Cho số x, y, z dơng tho· m·n Chøng ming r»ng: 2x y z 2) Tìm số nguyên x cho x3 – 3x2 + x + là số chính phương Bài (2.0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC Các đường cao AD, BE, CF cắt H 1) Chứng minh rằng: a) Gọi Q là giao điểm AD và EF Chứng minh rằng: QH.AD = AQ.HD b) Gọi giao điểm EF với BC là K Chứng minh rằng: KB.KC = KD2 2) Gọi I là trung điểm BC, qua H kẻ đường thẳng vng góc với HI, đường thẳng này cắt đường thẳng AB M và cắt đường thẳng AC N Chứng minh IMN cân Bài (1.0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất M = x y xy x y Họ tên thí sinh:…………………………………………… SBD:………… UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Bài (2.0 điểm): 1) Chứng minh n3 – n chia hết cho 24 với số tự nhiên n lẻ 2) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình x2 + 4x – y2 = 3) Cho số x bc a ; y a b c ; z c a b là số nguyên tố (a, b, c là số tự nhiên khác 0) Chứng minh ba số x, y, z ít nhất có hai số Bài (1.5 điểm): a) Chứng minh số tự nhiên a và b là tổng hai số chính phương ab là tổng hai số chính phương b) Giải phương trình : x y z y ( x z ) Bài (1.5 điểm): 33 1) Cho số nguyên dương a, b, c và thoả mãn a2 = b2 + c2 CMR: abc 60 2) Giải phương trình: Bài (2.0 điểm): 4x 3x 1 x x x 10 x 1) T×m GTNN cđa biĨu thøc B 3x x x2 2x 1 2) Tìm đa thức f ( x) biết: f ( x) chia cho x dư 5; f ( x) chia cho x dư 7; f ( x) chia cho ( x 2)( x 3) thương là x và đa thức dư bậc nhất x Bài (2.0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC Các đường cao AD, BE, CF cắt H 1) Chứng minh rằng: a) Gọi Q là giao điểm AD và EF Chứng minh rằng: QH.AD = AQ.HD b) Gọi giao điểm EF với BC là K Chứng minh rằng: KB.KC = KD2 2) Gọi I là trung điểm BC, qua H kẻ đường thẳng vng góc với HI, đường thẳng này cắt đường thẳng AB M và cắt đường thẳng AC N Chứng minh IMN cân Bài (1.0 điểm): Tìm số tự nhiên thỏa mãn phương trình : x 10 y z Họ tên thí sinh:…………………………………………… SBD:………… UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Bài (2.0 điểm): 1) Cho đa thức A(x) = ax2 + bx + c Xác định b biết chia đa thức A(x) cho x – và x + có số dư 2) Tính B = 1 650 4 315 651 105 651 315.651 105 3) Chứng minh rằng: Nếu a �N, a > A = (a2 + a +1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số Bài (1.5 điểm): a) Giải phương trình: x x b) So sánh A và B biết: 34 2 16 A 5 32 và B (5 4.5 1)(5 1)(5 1)(5 1)(5 1) Bài (1.5 điểm): 3 1) Cho a +b +c �0 và a + b + c = 3abc Tính N = a 2017 b 2017 c 2017 a b c 2017 a b c a2 b2 c2 Chứng minh rằng: 2) Cho 0 b c c a a b b c c a a b Bài (2.0 điểm): 1) Tìm giá trị x, y nguyên dương cho : x2 = y2 + 2y + 13 2) Tìm số tự nhiên n cho số sau là số chính phương: n(n + 3) Bài (2.0 điểm): Cho hình vng ABCD Trên tia đối BA lấy điểm E, tia đối CB lấy điểm F cho AE = CF 1) Chứng minh tam giác DEF vuông cân 2) Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD hình vng ABCD, gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài (1.0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: E x2 x 1 2x2 4x Họ tên thí sinh:…………………………………………… SBD:………… UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Bài (2.0 điểm): 3x y 1) Cho x 2xy 2y 2x 6y 13 Tính N 4xy 2) Tính B = 2 1 650 4 315 651 105 651 315.651 105 3) Chứng minh rằng: Nếu a �N, a > A = (a2 + a +1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số Bài (1.5 điểm): �x � �x � 7(x2 9) a) Giải phương trình: � � 6� � �x � �x � x 35 b) Cho số tự nhiên m, n thỏa mãn 2m + m = 3n2 + n Chứng minh 3(m + n) + là số chính phương Bài (1.5 điểm): 1) Cho hai số x, y thoã mãn điều kiện 3x + y = Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức A = 3x2 + y2 2) Cho S abc bca cab ( abc; bca; cab là số có ba chữ số) a) Chứng tỏ S chia hết cho 37 b) Chứng tỏ S không là số chính phương Bài (2.0 điểm): 1) Tìm số tự nhiên x, y thõa mãn x x y 2) Tìm cặp số ngun x, y có tích là 1, cho x y2 1 x 1 y 1 Bài (2.0 điểm): � = 900, CD = 2AD = 2AB Gọi H là hình chiếu D lên Cho hình thang ABCD có �A D AC; M, N, P là trung điểm CD, HC và HD a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình vng và tam giác BCD là tam giác vuông cân b) Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành c) Chứng minh AQ vng góc với DP d) Chứng minh S ABCD 6S ABC { 88 { Chứng minh A là số chính phương Bài (1.0 điểm): Cho A 11 2n n Họ tên thí sinh:…………………………………………… SBD:………… UBND HUYỆN NINH GIANG PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Bài (2.0 điểm): 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 2011x 2010 x 2011 2) Cho đa thức Q ( x 3)( x 5)( x 7)( x 9) 2014 Tìm số dư phép chia đa thức Q cho đa thức x 12 x 32 3) Cho x, y thỏa mãn : x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhất biểu thức: A = x6 + y6 Bài (1.5 điểm): a) Giải phương trình: x 5x 7x x 5x 12x b) Tìm số nguyên x cho A= x(x – 1)(x – 7)(x – 8) là số chính phương 36 Bài (1.5 điểm): 1) Cho số tự nhiên a gồm 60 chữ số 1, số tự nhiên b gồm 30 chữ số Chứng minh a - b là số chính phương 2) Tìm x; y biết: x y xy x y Bài (2.0 điểm): 1) Tìm số nguyên dương n cho A n 3 4n 14n là số chính phương 2) Tìm a, b, c thuộc Z biết: a b2 c �ab 3b 2c Bài (2.0 điểm): Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax và By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A) Từ O kẻ đường thẳng vng góc với OC, đường thẳng này cắt By D Từ O hạ đường vuông góc OM xuống CD (M thuộc CD) AB a) Chứng minh = AC.BD b) Chứng minh tam giác AMB vuông c) Gọi N là giao điểm BC và AD Chứng minh: MN AB Bài (1.0 điểm): Cho a, b, c, d là số dương Chứng minh : a b b c c d a d b c c d d a a b Họ tên thí sinh:…………………………………………… SBD:………… UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Bài (2.0 điểm): 1) Tìm a, b biết 2a 3b 3a 15 23 a 20 2) Cho a b c và a b c 12 Tính a b c 3) Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên a gồm 2k chữ số và số tự nhiên b gồm k chữ số Chứng minh a b là số chính phương Bài (1.5 điểm): 37 a) Giải phương trình: x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 b) Cho a b c d Chứng minh rằng: a b3 c3 d 3(b c)(ad bc) Bài (1.5 điểm): 1) Cho số tự nhiên a gồm 60 chữ số 1, số tự nhiên b gồm 30 chữ số Chứng minh a - b là số chính phương a 3ab 14 2) Cho Tính giá trị : P a b b 3a b 13 Bài (2.0 điểm): 1) Xác định giá trị m để phương trình: m3 ( x 2) 8( x m) 4m có nghiệm nhất là số khơng lớn 2) Tìm số tự nhiên x để biểu thức x x 20 có giá trị là số chính phương Bài (2.0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm, O là giao điểm đường trung trực ABC , M là trung điểm BC, N là trung điểm AC a Tính tổng HA' HB' HC' AA' BB' CC' b Chứng minh AHB đồng dạng với MON và AH = 2.OM c Gọi G là trọng tâm ABC Chứng minh điểm H, G, O thẳng hàng Bài (1.0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức sau: A x x3 x x 2015 UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Bài (2.0 điểm): 1) Ph©n tích đa thức thành nhân tử: x( x 2)( x x 2) 2) Cho a;b;c là ba số đôi khác thỏa mãn: (a b c) a b c a2 b2 c2 Tính giá trị biểu thức: P = a 2bc b 2ac c 2ab Bài (1.5 điểm): a) Giải phương trình: x2 x 1 x 1 x x 38 b) Giải phương trình x2 + y2 + z2 = y(x + z) Bài (1.5 điểm): abc với a, b, c là độ dài ba cạnh 1 �1 1 � �2 � � Chứng minh pa pb pc �a b c � 1) Cho tam giác có nửa chu vi p 2) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn: xy - 2x - 3y Bài (2.0 điểm): a a a b 1) Tìm số tự nhiên a, b thỏa mãn: 2 2.6 992 a 26 2) Cho a �5 Chứng minh rằng: a � Bài (2.0 điểm): Cho ABC nhọn (AB < AC) Các đường cao AE, BF cắt H Gọi M trung điểm BC, qua H vẽ đường thẳng a vng góc với HM, a cắt AB, AC I và K a Chứng minh ABC đồng dạng EFC b Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự N và D Chứng minh NC = ND và HI = HK c Gọi G là giao điểm CH và AB Chứng minh: AH BH CH 6 HE HF HG Bài (1.0 điểm): Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn abc Chứng minh : 1 � a (b c) b (c a) c ( a b) UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Bài (2.0 điểm): 1) Tìm a, b, c biết : a b c ab bc ca và a8 b8 c8 2) Cho đa thức: A x y y z z x xyz Chứng minh x, y, z là số nguyên và x + y + z chia hết cho A - 3xyz chia hết cho Bài (1.5 điểm): x 1 x 1 a) Giải phương trình: x x x x x x x 39 b) Cho số a, b, c thỏa mãn: �a, b, c �0 Chứng minh : a + b2 + c3 – ab – bc – ca �1 Bài (1.5 điểm): 1) Chứng minh m; n là số tự nhiên thỏa mãn: 4m m 5n n (m - n) và (5m 5n ) là số chính phương 2) Giải phương trình: (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 Bài (2.0 điểm): 1 1) Cho x, y, z dương và x + y + z =1 Chứng minh : x yz y xz z 2xy �9 2) Cho x; y; z là số nguyên khác Chứng nếu: x yz a; y zx b; z xy c tổng ax by cz chia hết cho tổng a b c Bài (2.0 điểm): Cho O là trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By vng góc AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a Chứng minh AB2 = AC.BD b Kẻ OM vng góc CD M Chứng minh AC = CM c Từ M kẻ MH vng góc AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH d Tìm vị trí C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất Bài (1.0 điểm): Cho a, b là số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5 Chứng minh rằng: a2 + b2 + ab Họ tên thí sinh:…………………………………………… SBD:………… UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Bài (2.0 điểm): 1) Chứng minh n 7(7 2n ) chia hết cho 64 với số nguyên lẻ 2) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x x 3x y Bài (1.5 điểm): a) Giải phương trình: x 150 x 102 x 56 x 12 x 660 0 50 49 48 47 46 2013 b) Tìm giá trị lớn nhất biểu thức P x y 20( x y ) 2214 40 Bài (1.5 điểm): 1) Cho 10a2 = 10b2 – c2 Chứng minh rằng: (7a – 3b – 2c)(7a – 3b + 2c) = ( 3a – 7b)2 2) Tìm a, b, c cho đa thức x4 + a x2 + bx + c chia hết cho đa thức (x – 3)3 Bài (2.0 điểm): 1) Xác định hệ số a và b cho đa thức 2x + ax + b chia cho x + dư – 6, chia cho x – dư 21 2) Tìm dư chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – Bài (2.0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm a) Tính tổng HA' HB' HC' AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác góc AIC và góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB BC CA ) 4 c) Chứng minh rằng: AA'2 BB'2 CC'2 Bài (1.0 điểm): Cho a; b; c là ba cạnh tam giác Chứng minh: ab bc ac �a b c a b c a b c a b c Họ tên thí sinh:…………………………………………… SBD:………… UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Bài (2.0 điểm): 1) Cho A n3 3n 2n với n nguyên dương Tìm giá trị n với n < 10 để AM15 2) Tính giá trị biểu thức A, biết x là số nguyên lớn nhất thỏa mãn Bài (1.5 điểm): 2x �1 x2 1 2 2 a) Giải phương trình: x 11x 12 x 9x 20 x 13x 42 36 x 11x 30 x 11x 31 1 yz xz xy b) Cho x y z , tính giá trị biểu thức: P x y z Bài (1.5 điểm): 41 1) Cho 6a – 5b = T×m giá trị nhỏ 4a2 + 25b2 2) Chng minh A = n3 + (n + 1)3 +( n + 2)3 9 với n N* Bài (2.0 điểm): 1) Tìm đa thức f ( x) biết: f ( x) chia cho x dư 5; f ( x) chia cho x dư 7; f ( x) chia cho ( x 2)( x 3) thương là x và đa thức dư bậc nhất x 2) Phân tích đa thức thành nhân tử : x 81 Bài (2.0 điểm): Cho hình vng ABCD có cạnh a, biết hai đường chéo cắt O Lấy điểm I � 900 (I và M không trùng với thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM đỉnh hình vng) Gọi N là giao điểm AM và CD, K là giao điểm OM và BN 1) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a � BCO � 2) Chứng minh BKM 3) Chứng minh 1 = + 2 CD AM AN Bài (1.0 điểm): Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P= x y z yz zx xy Họ tên thí sinh:…………………………………………… SBD:………… UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Bài (2.0 điểm): 1) Tìm số tự nhiên n để (n + 3)(n + 1) là số nguyên tố 2) Cho m, n N* và p là số nguyên tố thoả mãn: mn p = p (1) m Chứng minh : p2 = n + Bài (1.5 điểm): 2 � � � � 1� � � 1� a) Giải phương trình: �x � �x � �x ��x � x � x� � x � � x � � x� 42 1 b) Cho x, y, z là số dương thỏa mãn x y z Tìm GTNN của: P = 16 x y z Bài (1.5 điểm): 1) Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với số tự nhiên n khác 2) Chøng minh r»ng: A 10 n 18n chia hÕt cho 81 (n số tự nhiên) Bi (2.0 im): 1) Cho a, b, c, x, y, z nguyên dơng a, b, c 1 tho¶ m·n: ax = bc; by = ac; cz = ab Chøng minh: xyz – x – y z = 2) Tìm số nguyên m tho¶ m·n: (m 9)(m 37) Bài (2.0 điểm): Cho hình vng ABCD , lấy M là điểm tùy ý đường chéo BD Kẻ ME AB; MF AD với E �AB, F �AD a) Chứng minh rằng: DE CF và DE CF b) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF và CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất Bài (1.0 điểm): Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 1 Chứng minh: x x y y z z �2 Họ tên thí sinh:…………………………………………… SBD:………… UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Bài (2.0 điểm): yzx zx y x yz x y z y� � z� 1 � � � z� � x� 1) Cho ba sè a, b, c kh¸c o thâa m·n ®iỊu kiƯn: � x� � 1 � 1 H·y tính giá trị biểu thức B � � y� 2) Tìm chữ số a, b, c khác thỏa mãn: 9a = 7b + 2c 43 Bài (1.5 điểm): a) Giải phương trình: x x 2(x 6) x 3 3 x x2 12 16 b) Cho x > , y > và x + y �6 Tìm GTNN P x y x y Bài (1.5 điểm): 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình : (x + y)2 = (x – 1)(y + 1) 2) Tìm số x; y; z biết rằng: x y3 z3 và x2 + y2 + z2 = 14 64 216 Bài (2.0 điểm): 1) Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ biểu thøc: A = 8x 4x2 2) Tìm số nguyên x để x2 2x 14 số phơng Bi (2.0 im): Cho ABC vuông A và đường cao AH, AB = 15cm, AC = 20cm a) Chứng minh CA2 = CH CB � b) Kẻ AD là tia phân giác BAC (D � BC) Tính HD c) Trên tia đối tia AC lấy điểm I Kẻ AK vuông góc với BI K Chứng minh BHK : BIC d) Cho AI = 8cm Tính diện tích BHK Bài (1.0 điểm): Cho a, b, c > thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh : ab bc ca c 1 a 1 b 1 Họ tên thí sinh:…………………………………………… SBD:………… UBND HUYỆN NINH GIANG PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Bài (2.0 điểm): yzx zx y x yz x y z y� � z� 1 � � � z� � x� 1) Cho ba sè a, b, c kh¸c o thâa m·n ®iỊu kiƯn: � x� � 1 � Hãy tính giá trị biểu thức B � � � � y� 44 2) Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: P ( x 2016) ( x 2017) Bài (1.5 điểm): a) Giải phương trình: x x 2(x 6) x 3 3 x x2 b) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 1 Chứng minh: x x y y z z �2 Bài (1.5 điểm): 1) Cho a – b = Chøng minh a2 + b2 2) Cho a; b; c là ba số đôi khác thỏa mãn: ab bc ca Rút gọn biểu thức: a2 b2 c2 A= a 2bc b 2ac c 2ab Bài (2.0 điểm): 1) Tìm GTNN biểu thức P = x x 2017 x2 2) Cho a, b, c > vµ a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thøc B= 1 a b c Bài (2.0 điểm): Cho ABC là tam giác nhọn có BD và CE là đường cao Gọi G, H là hình chiếu B, C đường thẳng ED Đường thẳng qua E vng góc với AC cắt CH F a) Chứng minh BE = DF b) Gọi I là giao điểm DE và BF Chứng minh I là trung điểm GH c) DF cắt EC M Đường thẳng qua E song song với AC cắt BD N Chứng minh rằng: MN // BC Bài (1.0 điểm): Cho ba số dương �a �b �c �1 Chứng minh rằng: a b c �2 bc ac ab Họ tên thí sinh:…………………………………………… SBD:………… UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Bài (2.0 điểm): 1) Cho a + b = Tính giá trị biểu thức: M = 2(a + b3) – 3(a2 + b2) 2) T×m x; y biÕt: x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = víi x, y nguyªn d¬ng 45 Bài (1.5 điểm): a) Giải phương trình: x 1 x x x 2012 2012 2012 2011 2010 b) Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức : A = ( x 16)( x 9) x Bài (1.5 điểm): 1) Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 2) Giả sử a, b, c là ba số đôi khác và Chứng minh rằng: 1 �9 a b c a b c 0 bc ca a b a b c 0 2 (b c) (c a) (a b) Bài (2.0 điểm): 1) Tìm số nguyên m, n thoả mãn m n2 n 1 n 1 2) Đa thức f(x) = 4x3 + ax + b chia hết cho đa thức x – 2; x + Tính 2a – 3b Bài (2.0 điểm): Cho ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh DB.DC DH DA b) Chứng minh HD HE HF 1 AD BE CF c) Chứng minh H là giao điểm đường phân giác DEF d) Gọi M , N , P, Q, I , K là trung điểm đoạn thẳng BC , CA, AB, EF , FD, DE Chứng minh ba đường thẳng MQ, NI , PK đồng quy điểm Bài (1.0 điểm): Cho số a; b; c dương thoả mãn abc = Chứng minh: 1 �a b c 2 a ab b b bc c c ca a 2 Họ tên thí sinh:…………………………………………… SBD:………… 46 ... gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2017 Bài (2.0 điểm): a) Tính A = 1 4 58 6 7 3 4 58 7 389 7 4 58 7 389 7 4 58 7 4 58 7. 389 7 b) Cho a + b + c + d = Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab... giác ? Vì ? Hết./ Họ tên thí sinh ………………………………… ……….SBD………….………… PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NINH GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 21/04/2017 Thời gian:... thí sinh: …………………………………………… SBD:………… UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đề thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) Khóa thi: