Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)UBND HUYỆN PHÚ THIỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆNĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Mơn: Tốn
Năm học: 2009-2010
Thời gian: 120phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm) Rút gọn: 84 24
3 x x x x Giải: Ta có: 84 24
2
x x x x
=
8 4
4
4
2
x x x
x x
1,0đ =( 44 2)22
2
x x
x x
=
4
4
( )( )
2
x x x x
x x
0,50đ =
(x x 2) 0,50đ
Bài (4 điểm) Chứng minh
Đa thức x 2001 + x 2000 + + x + chia hết cho đa thức x181 + x 180 + + x + 1.
Giải: Ta có: x 2001 + x 2000 + + x + =
= (x 2001 + x 2000 + + x 1820) + (x 1819 + + x1638) + x 181 +…+ x + 1 1,0đ
= x 1820(x181 +…+ x + 1) + x1638(x181 +…+ x + 1) + … + (x181 +…+ x + 1) 1,0đ
= (x 181 +…+ x + ) ( x1820 + x 1638 + x 1438 + … + x 182 + 1) 1,0đ
Vậy: (x 2001 + x 2000 + + x + 1) (x 181 + x 180 + … + x + 1) 1,0đ
Bài (6 điểm):
a) Tìm cặp số tự nhiên x, y thỏa mãn: 70x + 4y = 2012
Giải: Từ 70x + 4y = 2012 y20124 70x 503 352 x 0,75đ
Do y N nên x
2 35
503 N 0,50đ
x chẵn 0x50335.2 = 35 26
28 0,50đ
Do x nhận giá trị 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28 0,50đ
Với giá trị x ta tính cặp số (x, y) sau: (0, 503); (2; 468); (4; 433); (6;398); (8; 363); (10; 328); (12; 293); (14;258); (16;223); (18;188); (20; 153); (22;118); (24; 83); (26; 48); (28; 13)
0,75đ
b) Giải phương trình:
10 21 3
x x x x Giải: Điều kiện: x -3
Ta có :
10 21 3
x x x x
(x3)(x7) 3 x 3 x 7
0,75đ
3( 3) 2( 3)
( 3)( 2)
x x x
x x
0,50đ
3
x x
x x
thỏa mã điều kiện
0,50đ 0,50đ
Vậy nghiệm phương trình cho là: x = x = 0,75đ
(2)Cho đường tròn (O, R) (O, r), (R > r), điểm A, M thuộc đường tròn
nhỏ, dây BC đường tròn lớn qua M BCAM
Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 khơng phụ thuộc vào vị trí A, A thay
đổi
Giải:
Gọi D giao điểm (O, r) với BC (D M), H hình chiếu O
BC
OHBC H trung điểm BC DM: BH = CH = BC2 ;
MH = DH = MD2
1,0đ
Ta có:
OH đường trung bình AMD nên OH = AM2 AM = 2OH 0,75đ
Ta có: MB2 + MC2 = (BH – MH)2 + (CH + MH)2 = 2(BH2 + MH2). 0,75đ
Ta có: HBO vng H, nên OH2 + BH2 = OB2 = R2 0,75đ
HMO vuông H, nên OH2 + MH2 = OM2 = r2 0,75đ
Suy ra: MA2 + MB2 + MC2 = (2OH)2 + 2BH2 + 2MH2
= 2(OH2 + BH2) + 2(OH2 + MH2) = 2R2 + r2 1,0đ Vì R r không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 = 2R2 + r2 không đổi
Vậy MA2 + MB2 + MC2 không phụ thuộc vào vị trí A, A thay đổi 1,0đ
D
O
M
B C
A
H
Bài (2 điểm)
Cho hai số a,b thỏa mãn a2 + b2 =
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = a6 + b6.
Giải:
Ta có: A = a6 + b6 = (a2 + b2)3 - 3a2b2 (a2 + b2) = - 3a2b2
A = - 3a2b 0,50đ
Dấu “=” xảy a = hay b = Vậy A đạt giá trị lớn 0,50đ
Mặt khác: A = - 3a2b 2
- (
2
2
2 b
a
)2 =
4
0,50đ Dấu “=” xảy ab =
2
Vậy A đạt giá trị nhỏ là
(3)UBND HUYỆN HPÚ THIỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Mơn: Tốn
Năm học: 2009-2010
Thời gian: 120phút (khơng kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm) Rút gọn: 84 24
2
x x x x
Bài (4 điểm) Chứng minh:
Đa thức x 2001 + x 2000 + + x + chia hết cho đa thức x181 + x 180 + + x + 1.
Bài (6 điểm).
a) Tìm cặp số tự nhiên x, y thỏa mãn: 70x + 4y = 2012
b) Giải phương trình: x2 10x 21 3 x 3 2 x 7 6
Bài 3: (6 điểm).
Cho đường tròn (O, R) (O, r), (R > r), điểm A, M thuộc đường tròn
nhỏ, dây BC đường tròn lớn qua M BCAM
Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 khơng phụ thuộc vào vị trí A, A thay đổi
Bài (2 điểm).
Cho hai số a,b thỏa mãn a2 + b2 =
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = a6 + b6.