Cách giải: Biết được một nghiệm, hoặc dùng cách nhóm, sử dụng hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử, quy về phương trình bậc thấp hơn... Cách giải: Xét x = 0 thay vào phương trình xe[r]
(1)Th.s ĐỖ MINH TUÂN Tu â n http://www.aotrangtb.com Th sĐ ỗ M in h TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NAM ĐỊNH, NĂM 2010 Lop12.net (2) http://www.aotrangtb.com Lời nói đầu Th sĐ ỗ M in h Tu â n Trong năm gần đây, đề thi đại học đã trở nên trước nhiều , không còn tính đánh đố bắt học sinh phải nhớ nhiều mẹo lặt vặt Một số tài liệu giảng dạy hay ngày trước "Các bài giảng luyện thi môn Toán", "Bộ đề thi tuyển sinh" còn lại ít giá trị thực tiễn nó Chắt lọc tài liệu này, bám sát đề thi tuyển sinh năm gần đây (Từ năm 2002-2010) cộng với kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy luyện thi mình (có tham khảo số bài giảng trang web dạy học) tôi biên soạn tài liệu này mục đích chính để mình giảng dạy cách bài Tôi nghĩ tài liệu này có ích người dạy toán, bạn ngấp nghé cổng trường Đại học Tài liệu này gồm 13 chuyên đề (vẫn còn thiếu) Phương trình đại số Phương trình lượng giác Phương trình chứa và dấu giá trị tuyệt đối Hệ phương trình đại số Giải tích tổ hợp Hình phẳng tọa độ Giới hạn Bất đẳng thức Hàm số và đồ thị 10 Hình học không gian tọa độ (Đã chỉnh sửa, thiếu phần tọa độ hóa hình học không gian) 11 Tích phân và ứng dụng 12 Số phức 13 Hình học không gian cổ điển Vì số lượng các chuyên đề lớn nên không thể tránh khỏi lỗi đánh máy, lỗi tính toán sai, Mong các bạn lượng thứ, góp ý xin gửi về: Th.s Đỗ Minh Tuân Trường CĐSP Nam Định, 813 đường Trường Chinh, TP Nam Định Email: xuxutit@gmail.com Mobile: 0982843882 ————————————— Chúc các bạn thành công kỳ thi đại học tới! Nam Định, ngày 18 tháng 12 năm 2010 Tác giả Đỗ Minh Tuân Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang Lop12.net Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (3) Mục lục Mục lục http://www.aotrangtb.com Mục lục Lời nói đầu 9 10 10 10 10 11 11 15 15 15 16 17 17 18 19 21 21 24 27 27 Phương trình lượng giác 2.1 Các kiến thức 2.1.1 Công thức liên hệ các hàm lượng giác 2.1.2 Các công thức các góc liên hệ với α 2.1.3 Bảng dấu các hàm lượng giác 2.1.4 Bảng các giá trị lượng giác 2.1.5 Công thức lượng giác tổng, hiệu 2.1.6 Công thức cộng lượng giác 2.1.7 Công thức biến đổi tích thành tổng 2.1.8 Công thức góc nhân đôi, nhân ba - Công thức hạ bậc 2.1.9 Công thức tính sin 2x, cos 2x, tan 2x, cot 2x theo t = tan x 2.1.10 Bài tập 2.2 Các phương trình lượng giác 33 33 33 33 34 34 34 35 35 35 36 36 37 Th sĐ ỗ M in h Tu â n Phương trình đại số 1.1 Lý thuyết đa thức 1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.1.2 Tính giá trị đa thức, phân thức 1.2 Phương trình bậc 1.2.1 Phương pháp giải 1.2.2 Các ví dụ 1.3 Phương trình bậc hai 1.3.1 Phương pháp giải 1.4 Phương trình bậc 1.4.1 Tính chất đa thức 1.4.2 Đa thức bậc 1.4.3 Các ví dụ 1.5 Phương trình bậc 1.5.1 Dạng tổng quát 1.5.2 Các dạng phương trình bậc 1.5.3 Các ví dụ 1.6 Dấu đa thức 1.6.1 Đa thức bậc - bậc 1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát 1.6.3 Giải hệ bất phương trình 1.7 Bài tập Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang Lop12.net điểm lẻ Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (4) Mục lục Mục lục Tu â n 2.2.1 Phương trình sin x = m 2.2.2 Phương trình cos x = m 2.2.3 Phương trình tan x = m, cot x = m 2.2.4 Các ví dụ 2.2.5 Bài tập 2.3 Các phương trình lượng giác khác 2.3.1 Phương trình a sin x + b cos x = c 2.3.2 Phương trình đẳng cấp chứa sin và cos 2.3.3 Đại số hóa phương trình lượng giác 2.3.4 Phương trình đối xứng sin, cos 2.3.5 Phân tích thành nhân tử 2.3.6 Sử dụng bất đẳng thức 2.3.7 Loại nghiệm không thích hợp 2.3.8 Bài tập Th sĐ ỗ M in h Phương trình chứa và dấu giá trị tuyệt đối 3.1 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 3.1.1 Kiến thức cần nhớ 3.1.2 Các dạng bài tập 3.1.3 Các ví dụ 3.2 Phương trình chứa thức 3.2.1 Các dạng bài tập 3.2.2 Các ví dụ 3.3 Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 3.3.1 Dạng 3.3.2 Các ví dụ 3.4 Bất phương trình chứa thức 3.4.1 Dạng 3.4.2 Các ví dụ 3.5 Bài tập Hệ phương trình đại số 4.1 Hệ phương trình bậc 4.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn 4.1.2 Hệ phương trình bậc ba ẩn 4.1.3 Hệ phương trình bậc bốn ẩn 4.2 Hệ phương trình bậc - bậc hai: 4.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2: 4.3.1 Phương trình đẳng cấp bậc 4.3.2 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 4.4 Hệ đối xứng 4.4.1 Hệ đối xứng loại I: 4.4.2 Hệ đối xứng loại II: 4.5 Hệ phương trình tổng quát 4.6 Bài tập Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang Lop12.net 37 37 37 38 39 40 40 41 42 43 44 45 45 46 51 51 51 51 52 53 53 54 55 55 55 55 55 56 57 61 61 61 62 62 63 64 64 65 67 67 68 71 73 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (5) Mục lục Mục lục 79 79 79 79 80 80 81 84 đường Conic 87 87 87 88 93 93 96 103 103 103 109 114 116 sĐ ỗ n h M in Hình phẳng tọa độ 6.1 Véc tơ, điểm, đường thẳng 6.1.1 Kiến thức 6.1.2 Dạng bài 6.2 Đường tròn 6.2.1 Kiến thức 6.2.2 Các dạng bài 6.3 Ba đường Conic 6.3.1 Kiến thức chung 6.3.2 Elip 6.3.3 Hyperbol 6.3.4 Parabol 6.4 Bài tập Tu â Giải tích tổ hợp 5.1 Khái quát chung 5.2 Kiến thức 5.2.1 Quy tắc cộng - nhân 5.2.2 Tổ hợp - chỉnh hợp - hoán vị 5.2.3 Công thức nhị thức Newton 5.3 Các ví dụ 5.4 Bài tập 128 128 128 129 130 130 131 131 134 Bất đẳng thức 8.1 Các bất đẳng thức 8.2 Bất đẳng thức Cauchy 8.2.1 Tìm tổng, max tích 8.2.2 Bất đẳng thức đối xứng 8.2.3 Cực trị có điều kiện 8.3 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 8.4 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 8.5 Bài tập 137 137 140 140 142 146 149 151 152 155 155 155 158 158 160 Th Giới hạn 7.1 Giới hạn dãy số 7.1.1 Các tính chất giới hạn 7.1.2 Các ví dụ 7.2 Giới hạn hàm số 7.2.1 Giới hạn 7.2.2 Phương pháp tính giới hạn 7.2.3 Các ví dụ 7.3 Bài tập Hàm số và đồ thị 9.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 9.1.1 Kiến thức cần nhớ 9.1.2 Các bước khảo sát hàm số 9.1.3 Hàm đa thức 9.1.4 Hàm phân thức Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang Lop12.net Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (6) Mục lục Mục lục Th sĐ ỗ M in h Tu â n 9.2 Cực trị và tiệm cận hàm số 9.2.1 Quy tắc tìm cực đại và cực tiểu hàm số 9.2.2 Cực trị hàm số 9.2.3 Các bài toán tiệm cận 9.2.4 Củng cố kiến thức 9.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 9.3.1 Kiến thức 9.3.2 Các bài toán đơn 9.3.3 Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ chứa tham số 9.3.4 Phương pháp miền giá trị hàm số 9.3.5 Phương pháp chiều biến thiên 9.3.6 Củng cố kiến thức 9.4 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị 9.4.1 Kiến thức cần nhớ 9.4.2 Tiếp tuyến với đường cong điểm M 9.4.3 Tiếp tuyến với đường cong qua điểm M 9.4.4 Lớp các bài toán tiếp xúc đa dạng 9.4.5 Củng cố kiến thức 9.5 Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước 9.5.1 Kiến thức 9.5.2 Tìm điểm không thuộc đường cong họ y = f (x, m) 9.6 Sự tương giao 9.6.1 Kiến thức 9.6.2 Sự tương giao hàm đa thức với trục Ox 9.6.3 Sự tương giao hàm phân thức 9.6.4 Củng cố kiến thức 9.7 Sự tiếp xúc đường cong 9.7.1 Kiến thức 9.7.2 Các ví dụ 9.7.3 Củng cố 9.8 Biện luận số nghiệm đồ thị 9.8.1 Kiến thức 9.8.2 Các ví dụ 9.9 Bài tập 10 Hình không gian tọa độ 10.1 Hệ tọa độ, véc tơ, điểm 10.1.1 Hệ tọa độ Đề Các 10.2 Phép toán trên véc tơ 10.3 Điểm 10.3.1 Tích có hướng véc tơ và ý nghĩa 10.3.2 Bài tập 10.4 Phương trình mặt phẳng 10.4.1 Phương trình tổng quát mặt phẳng 10.4.2 Phương pháp xác định mặt phẳng 10.4.3 Vị trí tương đối mặt phẳng 10.4.4 Bài tập 10.5 Phương trình đường thẳng Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang Lop12.net 161 161 162 165 168 170 170 171 173 175 177 179 180 180 181 181 182 183 184 184 186 188 188 189 191 193 194 194 195 198 199 199 199 202 210 210 210 210 211 211 212 213 213 213 214 214 214 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (7) Mục lục 10.7 M in 10.9 h Tu â 10.8 10.5.1 Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng 10.5.2 Vị trí tương đối đường thẳng và đường thẳng 10.5.3 Một số dạng toán đường thẳng và mặt phẳng 10.5.4 Bài tập Góc 10.6.1 Kiến thức 10.6.2 Các ví dụ 10.6.3 Bài tập Khoảng cách 10.7.1 Các công thức khoảng cách 10.7.2 Các ví dụ 10.7.3 Bài tập Mặt cầu và đường tròn 10.8.1 Mặt cầu 10.8.2 Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu 10.8.3 Đường tròn 10.8.4 Bài tập Tọa độ hóa hình học không gian 10.9.1 Hình chóp n 10.6 Mục lục 215 216 216 218 220 220 220 221 221 221 222 223 224 224 224 225 226 227 227 229 229 229 229 229 230 230 230 231 232 232 234 235 237 238 239 239 240 12 Số phức 12.1 Kiến thức 12.1.1 Các kiến thức chung 12.1.2 Các phép toán trên số phức 12.2 Các dạng bài tập 12.2.1 Thực các phép toán 12.2.2 Khai bậc 12.2.3 Giải phương trình đại số và các vấn 12.2.4 Biểu diễn số phức trên mặt phẳng 263 263 263 263 264 264 264 266 267 Th sĐ ỗ 11 Tích phân 11.1 Vi phân 11.1.1 Định nghĩa 11.1.2 Các tính chất 11.1.3 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp thường gặp 11.2 Nguyên hàm và tích phân bất định 11.2.1 Định nghĩa 11.2.2 Các tính chất 11.2.3 Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp 11.3 Các phương pháp tính tích phân 11.3.1 Phép đổi biến số 11.3.2 Tích phân phần 11.3.3 Tích phân hàm phân thức 11.4 Tích phân xác định 11.5 Ứng dụng tích phân 11.5.1 Tính diện tích 11.5.2 Tính thể tích vật thể tròn xoay 11.6 Bài tập Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang Lop12.net đề liên quan Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (8) Mục lục Mục lục 12.2.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp 12.3 Bài tập Th sĐ ỗ M in h Tu â n 13 Hình học không gian 13.1 Mở đầu hình học không gian 13.1.1 Đối tượng hình học không gian 13.1.2 Quan hệ 13.1.3 Hình biểu diễn hình học không gian 13.1.4 Một số hình thông dụng 13.1.5 Các tiên đề hình học không gian 13.1.6 Các tiên đề 13.1.7 Định lý giao tuyến 13.2 Vị trí tương đối 13.2.1 Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt phẳng 13.2.2 Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng 13.2.3 Vị trí tương đối đường thẳng và đường thẳng 13.2.4 Các phương pháp xác định mặt phẳng 13.3 Các dạng toán 13.3.1 Sử dụng tiên đề, vị trí tương đối 13.3.2 Tìm giao tuyến mặt phẳng (Cách 1) 13.3.3 Viết phương trình đường thẳng qua điểm và cắt 13.3.4 Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng 13.3.5 Chứng minh điểm thẳng hàng, đường đồng quy 13.3.6 Thiết diện 13.3.7 Bài tập Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang Lop12.net đường thẳng 267 267 269 269 269 269 269 270 272 272 272 272 272 272 272 273 273 273 276 283 285 288 292 300 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (9) Chương Phương trình đại số http://aotrangtb.com Chương Tu â 1.1.1 Lý thuyết đa thức Phân tích đa thức thành nhân tử h 1.1 n Phương trình đại số ỗ M in +) Nếu P (x) là đa thức bậc có nghiệm x1 , x2 thì P (x) = a.(x − x1 ).(x2 ) (a là hệ số bậc cao P (x)) +) Tổng quát: Nếu P (x) là đa thức bậc n có đủ n nghiệm x1 , x2 , · · · , xn thì sĐ P (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ) Th +) Một đa thức P (x) phân tích thành tích đa thức bậc và đa thức bậc (vô nghiệm) Ví dụ 1.1.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) P (x) = 2x2 − 5x + b) P (x) = −3x2 + 12x − 12 c) P (x) = 4x3 − 4x2 − 7x − d) P (x) = 6x3 − 13x2 + 4x + Giải: a) P (x) có a = 2, x1 = 2, x2 = ! = (x − 2)(2x − 1) nên P (x) = 2(x − 2) x − b) P (x) có nghiệm kép x = nên P (x) = −3(x − 2)2 c) P (x) có a = và nghiệm x = − và x = 2??? Chú ý: P (x) là đa thức bậc lại có nghiệm Nên có nghiệm là nghiệm kép Tốt trường hợp này ta dùng lược đồ Hoocne để giải !2 (x − 2) Kết quả: P (x) = x + Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang Lop12.net Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (10) 1.2 Phương trình bậc Chương Phương trình đại số http://aotrangtb.com d) P (x) có a = và nghiệm x = 1, x = − , x = ! ! x− = (x − 1)(3x + 1)(2x − 3) P (x) = 6(x − 1) x + 1.1.2 Tính giá trị đa thức, phân thức điểm lẻ Cách làm: Nhập hàm, sử dụng tính CALC máy 570ES 1.2 1.2.1 Th sĐ ỗ M in h Tu â √ √ x2 − x − x = + và x = − b) y = 2x + √ √ Giải: a) x = − ⇒ y = −4 + √ √ x = + ⇒ y = −4 − √ √ 43 + 31 b) x = + ⇒ y = 73 √ √ 43 − 31 x=3− 2⇒y = 73 n Ví dụ 1.1.2: Tính giá trị biểu thức: √ √ a) y = x3 − 3x2 − x − x = − và x = + Phương trình bậc Phương pháp giải ☞ Dạng phương trình: ax + b = ☞ Cách giải: ➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R ➤ Với a = 0, b 6= 0: Phương trình vô nghiệm ➤ Với a = Phương trình có nghiệm x = − 1.2.2 b a Các ví dụ Ví dụ 1.2.1: Giải và biện luận phương trình: (m2 − 1)x + m − = Giải: - Nếu m2 − = ⇔ m = ±1 +) Với m = phương trình trở thành: 0x + = Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R +) Với m = −1 phương trình trở thành: 0x − = Phương trình vô nghiệm - Nếu m2 − 6= ⇔ m 6= ±1 Phương trình có nghiệm nhất: x = − m+1 Ví dụ 1.2.2: Tìm điểm cố định họ đường thẳng:(dm ) : y = (m − 2)x + 2m − Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 10 Lop12.net Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (11) 1.3 Phương trình bậc hai Chương Phương trình đại số Giải: Gọi (x0 , y0 ) là điểm cố định (dm ) ⇒ y0 = (m − 2)x0 + 2m − ∀m ⇔ m(x0 + 2) − 2x0 − − y0 = ∀m x0 = −20 x0 + = ⇔ ⇔ y0 = −2x0 − − y0 = Vậy điểm cố định họ (dm ) là điểm A(−2; 1) Phương pháp giải n 1.3.1 Phương trình bậc hai Tu â 1.3 ☞ Dạng phương trình: ax2 + bx + c = h ☞ Biện luận: M in ➢ Nếu a = 0: phương trình bậc sĐ ỗ ➢ Nếu a 6= 0: ∆ = b2 − 4ac ∆0 = b02 − ac +) Nếu ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm +) Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − b0 b =− 2a a Th +) Nếu ∆ > 0: Phương trình có nghiệm phân biệt √ √ −b± ∆ − b0 ± ∆0 x1,2 = = 2a a ☞ Nhẩm nghiệm: ➢ Nếu a + b + c = thì phương trình có nghiệm: x1 = 1, x2 = c a ➢ Nếu a − b + c = thì phương trình có nghiệm: x1 = −1, x2 = − c a ☞ Phân tích tam thức bậc thành nhân tử Giả sử f (x) = ax2 + bx + c có nghiệm x1 , x2 thì f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) Ví dụ: f (x) = 2x2 − 5x + có nghiệm x1 = 2, x2 = nên f (x) = 2(x − 2)(x − ) = (x − 2)(2x − 1) ☞ Định lý Vi-et: Giả sử x1 , x2 là nghiệm phương trình thì ta có: b x1 + x2 = − a xx = c a Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 11 Lop12.net Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (12) 1.3 Phương trình bậc hai Chương Phương trình đại số http://aotrangtb.com ☞ Định lý Vi-et đảo: x+y =S Nếu , x, y là nghiệm phương trình: x.y = P X − S.X + P = ☞ Dấu nghiệm: Tu â n ∆>0 S>0 ➢ Pt có nghiệm phân biệt dương ⇔ P >0 ∆>0 S<0 ➢ Pt có nghiệm phân biệt âm ⇔ P >0 ➢ Pt có nghiệm trái dấu: P < Th sĐ ỗ M in h ➢ Pt có nghiệm dương tương đương với phương trình có nghiệm dương có max(x1 , x2 ) > nghiệm trái dấu ⇔ ∆≥0 √ −b + ∆ Nếu a > 2a√ Ở đó max (x1 , x2 ) = −b − ∆ Nếu a < 2a Hoặc ta có thể xét trường hợp: - Phương trình có nghiệm dương (không cần phân biệt) có nghiệm ∆≥0 S>0 không, nghiệm dương ⇔ P ≥0 - Phương trình có nghiệm trái dấu ⇔ P < ➢ Phương trình có nghiệm âm ta làm tương tự trên: ∆≥0 S<0 ∆≥0 ⇔ ⇔ P ≥0 (x1 , x2 ) < P <0 √ −b − ∆ Nếu a > 2a√ Ở đó (x1 , x2 ) = −b + ∆ Nếu a < 2a ☞ So sánh nghiệm với số: ➢ α ∈ (x1 , x2 ) ⇔ a.f (α) < ∆≥0 ➢ α∈ / [x1 , x2 ] ⇔ a.f (α) > ∆>0 a.f (α) > ➢ x1 < x2 < α ⇔ S/2 < α Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 12 Lop12.net Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (13) 1.3 Phương trình bậc hai Chương Phương trình đại số ∆>0 a.f (α) > ➢ x1 > x2 > α ⇔ S/2 > α Ví dụ 1.3.1: Giải các phương trình sau: a) x2 − 5x + = b) x2 − 2x − = Giải: a) a + b + c = ⇒ phương trình có nghiệm x1 = 1, x = c =4 a Tu â n c b) a − b + c = ⇒ phương trình có nghiệm x1 = −1, x = − = a Ví dụ 1.3.2: Giải và biện luận phương trình sau: (m − 1) x2 − (2m + 1) x + m − = Th sĐ ỗ M in h Giải: +) TH 1: Nếu m − = ⇔ m = thay vào phương trình ta có: −3x − = ⇔ x = − +) TH 2: Nếu m − 6= ⇔ m 6= ∆ = (2m + 1)2 − (m − 1) (m − 5) = 28m − 19 19 - Nếu ∆ > ⇔ m > có phương trình có nghiệm phân biệt: 28 √ 2m + ± 28m − 19 x1,2 = (m − 1) - Nếu ∆ = ⇔ m = 19 có nghiệm kép: 28 2m + x1 = x2 = = (m − 1) - Nếu ∆ < ⇔ m < 2 19 +1 11 28 !=− 19 −1 28 19 : Phương trình vô nghiệm 28 Ví dụ 1.3.3: Cho phương trình x2 − (m − 1) x + 2m − = a) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 b) Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m c) Lập phương trình bậc nhận 2x1 + x2 là nghiệm a) ∆ = (m − 1)2 − (2m − 5) = m2 − 2m + − 8m + 20 = m2 − 10m + 21 m>7 Phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ m − 10m + 21 > ⇔ m<3 Giải: Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 13 Lop12.net Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (14) 1.3 Phương trình bậc hai Chương Phương trình đại số b) S = x1 + x2 = m − 1, P = x1 x2 = 2m − Do đó 2S − P = 2(m − 1) − (2m − 5) = Hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc m là : 2(x1 + x2 ) − x1 x2 = c) Đặt u = 2x1 + x2 , v = x1 + 2x2 Do đó: u + v = 3(x1 + x2 ) = 3.(m − 1) = 3m − 3, u.v = (2x1 + x2 )(x1 + 2x2 ) = 2x21 + 5x1 x2 + x22 = 2(x1 + x2 )2 + x1 x2 = 2(m − 1)2 + 2m − = 2m2 − 2m − Do đó u, v là nghiệm phương trình: X − (3m − 3)X + 2m2 − 2m − = =0 Tu â n Ví dụ 1.3.4: Cho phương trình: x2 − (m + 1)x + m + Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 M in h Tìm m để phương trình có nghiệm dương Tìm m để phương trình có nghiệm dương sĐ ỗ Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn x1 < < x2 Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa x1 ≤ x2 < Th a) ∆ = (m + 1)2 − 4(m + ) = m2 + 2m + − 4m − = m2 − 2m − m>4 Phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ m − 2m − > ⇔ m < −2 m>4 m < −2 ∆>0 S =m+1>0 b) Phương trình có nghiệm dương ⇔ ⇔ m > −1 P = m + 9/4 > m>− ⇔m>4 ∆≥0 c) Phương trình có nghiệm dương ⇔ max (x1 , x2 ) > −8≥0 m2 − 2m √ √ ⇔ m2 − 2m − > −m − ⇔ m + + m2 − 2m − >0 m > −1 −m − < m≥4 m − 2m − ≥ m≥4 ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ −2 −m − ≥ m < −9/4 m ≤ −1 2 m − 2m − > (−m − 1) m < −9/4 Giải: d) Phương trình có nghiệm x1 < < x2 ⇔ a.f (1) < ⇔ (1 − (m + 1) + m + 9/4 < 0) ⇔ 9/4 < (Vô nghiệm) Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 14 Lop12.net Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (15) 1.4 Phương trình bậc Chương Phương trình đại số ∆≥0 a.f (2) > e) Phương trình có nghiệm thỏa mãn x1 ≤ x2 < ⇔ S/2 < m ≥ ∨ m ≤ −2 ≤ m < 17/4 ⇔ m < 17/4 ⇔ m ≤ −2 m<3 1.4 Phương trình bậc 1.4.1 Tính chất đa thức Tu â n ❶ Định lý Berzout: Cho P (x) là đa thức Khi đó với x0 , đa thức P (x) chia đa thức x − x0 có số dư là P (x0 ) ❷ Hệ quả: Nếu x0 thỏa mãn P (x0 ) = thì P (x) x − x0 M in h ❸ Lược đồ Hoocne: Giả sử P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 an−1 bn−1 sĐ ỗ x0 an bn ··· ··· a1 b1 a0 b0 bn = an , bn−1 = bn x0 + an−1 , bn−2 = bn−1 x0 + an−2 , · · · , b0 = b1 x0 + a0 Th P (x) = (x − x0 )(bn xn−1 + bn−1 xn−2 + · · · + b2 x + b1 ) + b0 Nếu P (x) x − x0 thì b0 = và P (x) = (x − x0 )(bn xn−1 + bn−1 xn−2 + · · · + b2 x + b1 ) 1.4.2 Đa thức bậc ☞ Dạng ax3 + bx2 + cx + d = (1) ☞ Cách giải : ➢ Nhẩm nghiệm : Sử dụng máy tính để nhẩm nghiệm x0 nào đó ➢ Dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức trên thành nhân tử : P (x) = (x − x0 ).Q(x) Ở đó Q(x) là đa thức bậc ☞ Định lý Viet: Giả sử x1 , x2 , x3 là nghiệm phương trình (1) b x + x + x = − a c x x + x x + x x = 2 3 a x1 x2 x3 = − d a ☞ Định lý Viet đảo: Giả sử x, y, z là số thỏa mãn Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân x+y+z =m xy + yz + zx = n xyz = p Trang 15 Lop12.net Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (16) 1.4 Phương trình bậc Chương Phương trình đại số Khi đó x, y, z là nghiệm phương trình : X − mX + nX − p = 1.4.3 Các ví dụ Ví dụ 1.4.1: Giải các phương trình sau: a) 2x3 − x2 + x + = b) x3 − 4x + = Giải: a) Dùng máy tính ta thấy nghiệm là : x = −1 Dùng lược đồ Hooc-ne ta có: Tu â −1 −1 −3 n 2 M in h Phương trình ⇔ (x + 1) (2x2 − 3x + 4) = x = −1 ⇔ ⇔ x = −1 2x2 − 3x + = 0Phương trình vô nghiệm 1 1 Th sĐ ỗ b) Dùng máy tính ta nhẩm nghiệm x = −4 −3 Phương trình ⇔ (x − 1) (x2 + x − 3) = x=1 √ x=1 ⇔ ⇒ −1 ± 13 x +x−3= x= Ví dụ 1.4.2: Cho phương trình 2x3 − 3x2 − 5x + = a) Chứng minh phương trình có nghiệm x1 , x2 , x3 phân biệt b) Tính P = (x21 + x22 + x23 ) − (x31 + x32 + x33 ) Giải: a) Đặt f (x) = 2x3 −3x2 −5x+5 Ta có f (−2) = −13, f (−1) = 5, f (1) = −1, f (3) = 17 Ta có f (−2).f (−1) < nên tồn x1 ∈ (−2; −1) cho f (x1 ) = f (−1).f (1) < nên tồn x2 ∈ (−1; 1) cho f (x2 ) = f (1).f (3) < nên tồn x3 ∈ (1; 3) cho f (x3 ) = Do đó ta f (x1 ) = f (x2 ) = f (x3 ) = và x1 < x2 < x3 nên phương trình f (x) = có nghiệm phân biệt b) Theo định lý Viet ta có: Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân x1 + x2 + x3 = x x + x x + x x = − 2 3 x1 x2 x3 = − Trang 16 Lop12.net Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (17) 1.5 Phương trình bậc Chương Phương trình đại số x21 + x22 + x23 = (x1 + x2 + x3 )2 − (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = 29 x31 + x32 + x33 = (x31 + x32 + x33 − 3x1 x2 x3 ) + 3x1 x2 x3 = (x1 + x2 +! x3 ) (x21 + x22!+ x23 − (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 )) + 3x1 x2 x3 57 29 + − = + = 2 Do đó ta P = 57 15 29 − = Ví dụ 1.4.3: Giải hệ phương trình: Th sĐ ỗ M in h Tu â n x+y+z =2 x2 + y + z = x + y3 + z3 = x+y+z = Giải: Phương trình tương đương với ⇔ (x + y + z)2 − (xy + yz + zx) = (x + y + z − 3xyz) + 3xyz = x+y+z = ⇔ 22 − (xy + yz + zx) = 2 (x + y + z) (x + y + z − xy − yz − zx) + 3xyz = x+y+z = x+y+z =2 xy + yz + zx = −1 ⇔ xy + yz + zx = −1 ⇔ (6 + 1) + 3xyz = xyz = −2 Từ đó ta có x, y, z là nghiệm phương trình: X = −1 X − 2X − X + = ⇔ X = X =2 Vậy hệ có nghiệm phân biệt (−1; 1; 2) , (−1; 2; 1) , (1; −1; 2) , (1; 2; −1) , (2; −1; 1) , (2; 1; −1) 1.5 1.5.1 Phương trình bậc Dạng tổng quát ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (a 6= 0) ☞ Hướng giải: ➢ Dùng tính SOLVE TABLE máy tính fx-570ES, fx-500ES để nhẩm nghiệm phương trình, sau đó dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích thành phương trình bậc và giải tiếp trên ➢ Tuy nhiên số trường hợp cách giải trên trở nên vô hiệu quá phức tạp không cần thiết, trường hợp đó có cách giải riêng biệt Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 17 Lop12.net Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (18) 1.5 Phương trình bậc 1.5.2 Chương Phương trình đại số Các dạng phương trình bậc ❶ Phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = Cách giải: đặt t = x2 ≥ Phương trình trở thành : at2 + bt + c = ❷ Phân tích thành nhân tử: Cách giải: Biết nghiệm, dùng cách nhóm, sử dụng đẳng thức để phân tích thành nhân tử, quy phương trình bậc thấp n ❸ Phương trình đối xứng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = thỏa mãn !2 d e = b a Tu â Cách giải: Xét x = thay vào phương trình xem có thỏa mãn không? M in h Với x 6= Chia vế phương trình cho x2 ta được: ! ! d d e e ax2 + bx + c + + = ⇔ a x2 + + b x + +c=0 x x ax bx b (∗) dx 2d e 2d b2 = x2 + + ⇒ t2 = x2 + 2 + d x b ax ! b 2d Phương trình trở thành: a t2 − + bt + c = b Th sĐ ỗ Đặt t = x + Giải phương trình bậc ẩn t Sau đó thay vào (∗) để tìm x ❹ Phương trình dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = e cho a + b = c + d Cách giải: Phương trình ⇔ (x2 + (a + b) x + ab) (x2 + (c + d) x + cd) = e Đặt t = x2 + (a + b) x = x2 + (c + d) x (∗) Thay vào phương trình ta được: (t + ab) (t + cd) = e Giải phương trình bậc ẩn t sau đó thay vào (∗) để tìm x ❺ Phương trình dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = ex2 cho ab = cd Cách giải: giống cách giải phương trình đối xứng Nếu x = 0: ta abcd = Nếu x 6= 0: Phương trình ⇔ (x2 + (a + b) x + ab) (x2 + (c + d) x + cd) = ex2 ! ! ab cd ⇔ x+ +a+b x+ +c+d =e x x Đặt t = x + cd ab =x+ (∗) Phương trình trở thành: x x (t + a + b) (t + c + d) = e Giải phương trình bậc ta tìm t Thay vào (∗) để tìm x Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 18 Lop12.net Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (19) 1.5 Phương trình bậc 1.5.3 Chương Phương trình đại số Các ví dụ Ví dụ 1.5.1: Giải phương trình 2x4 − x2 − = Giải: Đặt t = x2 ≥ Phương trình trở thành : √ t = −1 (loại) 3 2 ⇔t= ⇔x = ⇔x=± 2t − t − = ⇔ 2 t= Ví dụ 1.5.2: Giải các phương trình sau: a) 8x4 + 16x3 − 8x2 − 91x − 42 = b) x4 − 4x3 + 4x2 − 16 = Tu â Giải: n c) x4 − 4x − = a) Dùng máy tính ta nhẩm nghiệm là x = h Dùng lược đồ Hooc - ne ta có: 16 32 M in 8 −8 56 −91 21 −42 sĐ ỗ Phương trình ⇔ (x − 2) (8x3 + 32x2 + 56x + 21) = Th Tiếp tục ta nhẩm nghiệm là x = − Theo lược đồ Hooc - ne ta có: − 32 56 21 28 42 ! (8x2 + 28x + 42) = Phương trình ⇔ (x − 2) x + x=2 ⇔ x = −2 8x2 + 28x + 42 = Vô nghiệm b) Phương trình ⇔ (x2 − 2x) − 42 = ⇔ (x2 − 2x − 4) (x2 − 2x + 4) = √ x − 2x − = ⇔x=1± ⇔ x − 2x + = Vô nghiệm c) Phương trình ⇔ x4 + 2x2 + − (x2 + 2x + 1) = √ 2 ⇔ (x2 + 1) − (x + 1) = √ √ ⇔ x2 + − (x + 1) x2 + + (x + 1) = √ √ √ √ ⇔ x2 − 2x + − x2 + 2x + + = √ √ x − √2x + − √ = ⇔ x2 + 2x + + = Vô nghiệm p √ √ ± −2 + ⇔x= Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 19 Lop12.net Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (20) 1.5 Phương trình bậc Chương Phương trình đại số Ví dụ 1.5.3: Giải các phương trình sau: a) x4 + 4x3 − x2 + 8x + = b) 2x4 − 3x3 − 3x2 + 3x + = Giải: a) Với x = 0, phương trình trở thành = (vô lý) Vậy x 6= Chia vế phương trình cho x2 ta ! ! 4 −1 =0 x2 + 4x − + + = ⇔ x2 + + x + x x x x ⇒ t2 = x2 + + x x Phương trình trở thành : t − + 4t − = t=1 ⇔ t + 4t − = ⇔ t = −5 h Tu â n Đặt t = x + M in = ⇔ x2 − x + = vô nghiệm x √ −5 ± 17 2 +) Với t = −5: x + = −5 ⇔ x + 5x + = ⇔ x = x sĐ ỗ +) Với t = 1: x + Th b) x = không là nghiệm phương trình nên chia vế phương trình cho x2 6= ta ! ! 1 −3 =0 2x2 − 3x − + + = ⇔ x2 + − x − x x x x 1 ⇒ t2 = x2 + − 2, thay vào phương trình ta có: x x t=1 (t2 + 2) − 3t − = ⇔ 2t2 − 3t + = ⇔ t= √ 1± +) Với t = 1: x − = ⇔ x − x − = ⇔ x = x √ 1 17 1 ± +) Với t = : x − = ⇔ 2x2 − x − = ⇔ x = x Đặt t = x − Ví dụ 1.5.4: Giải phương trình sau : x (x + 1) (x − 3) (x − 2) = −2 Giải: Phương trình ⇔ (x2 − 2x) (x2 − 2x − 3) = −2 Đặt t = x2 − 2x Phương trình trở thành: t=1 t (t − 3) = −2 ⇔ t − 3t + = ⇔ t=2 √ 2 +) Với t = 1: x − 2x = ⇔ x − 2x − = ⇔ x = ± √2 +) Với t = 2: x2 − 2x = ⇔ x2 − 2x − = ⇔ x = ± Ví dụ 1.5.5: Giải phương trình (x − 2) (x + 3) (x − 1) (x + 6) = 21x2 Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 20 Lop12.net Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định (21)