Tài liệ Bất đẳng thức 2

1 Cho Chứng minh ( theo Côsi) Đẳng thức xảy Chứng minh với ta có ( đẳng thức xảy ) Lại có Đẳng thức xảy Tìm giá trị lớn nhỏ Ta có : Đặt Khi Xét hàm số Suy : Vậy ,chẳng hạn Trong số thực Hãy tìm thỏa mãn hệ thức biểu thức đạt giá trị lớn Xác định giá trị lớn đo đạt giá trị lớn Tùy theo giá trị m, tìm giá trị nhỏ biểu thức đạt dấu "=" thỏa mãn Hệ có hệ có nghiệm Vậy Với Đặt đạt dấu = Vậy Cho độ dài trung tuyến, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Đẳng thức xảy Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé hàm số : Ta có : Đặt Điều kiện : Ta có : Thay vào biểu thức y ta : Chứng minh + đồng biến ( ) Vậy nghiệm phương trình: Với giá trị biểu thức đạt giá trị lớn Điều kiện để phương trình có nghiệm : Ta có : Khi : Vì Do Vậy Tìm giá trị nhỏ : Đặt nên , với Khi : Xét Ta có : Xét bảng biến thiên: 10 Cho ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2] Chứng minh rằng: Do giả thiết (đpcm) 11 Cho Đẳng thức xảy chẳng hạn Tìm giá trị nhỏ của: Áp dụng Côsi cho trường hợp số trường hợp số, ta có: Vậy GTNN P Dấu = 12 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: Đặt với - Nếu nghịch biến - Nếu - Nếu đồng biến tròn có bbt Vậy Kết luận 13 Giả sử hai số dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ tổng Giá trị đạt Vậy 14 Chứng minh: ta có: Nhận xét: Dấu “ ” xảy 15 Cho số dương thoả mãn Chứng minh: Ta có: 16 Chứng minh Ta có: BĐT cho đúng, “ ” xảy 17 Cho Chứng minh Ta có: bất đẳng thức cho đúng, dấu “ ” xảy 18 Chứng minh Dấu xảy 19 Chứng minh Ta có: Dấu 20 Chứng minh với số dương xảy ta có bất đẳng thức Vì Tương tự: Do vế trái bất đẳng thức cần chứng minh không lớn : (đpcm) Đẳng thức xảy 21 Cho thoả mãn Chứng minh: Từ giả thiết suy ra: *) Xét Ta có: Mà nên nghiệm phương trình *) Trường hợp: Mà nghiệm phương trình: Từ Tương tự cho , ta có: 22 Cho số thoả mãn Chứng minh: Từ Kết hợp mà nên nghiệm phương trình Tương tự cho 23 Cho số thực Từ giả thiết suy ra: thoả mãn điều kiện sau: Chứng minh nghiệm phương trình: Do nên 24 Cho Dấu “ Chứng minh: ” xảy số 25 Cho Chứng minh: 26 Cho Chứng minh : 1, số lại (*)đúng Dấu “ ” xảy số 27 Cho Ta chứng minh: có số số Chứng minh: Thật vậy: Ta có: dấu “ ” 28 Cho 29 Chứng minh Chứng minh: ta có Ta có : Dấu “ ” xảy 30 Chứng minh : ta có: +) Ta chứng minh: Nhận xét: Cho Thật Áp dụng: đúng +) Ta chứng minh: Ta có: Tương tự: Từ BĐT cần chứng minh 31 Cho thoả mãn: Chứng minh: Từ giả thiết suy Dấu “ ” xảy 32 Cho Chứng minh Nhận xét: Ta có 10 với Áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si ta có: 48 Cho Chứng minh rằng: Vì Áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si cho bốn số dương: Ta có: Thu gọn ta có: 49 Chứng minh rằng: với Ta có: Ta lại có: Vậy (đpcm) 50 Cho a,b,c>0 a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất: Ta có: Lại có: Cộng BDT ta có: Vạy 51 Cho và: a+b=2.Tìm giá trị lớn của: 15 Ta có b=2-a Thay vào có: với Khảo sát F [0;2] ta có MaxF=F(2;0)=40 52 Cho a,b,c>0 Chứng minh: Ta có bất đẳng thức: ; ; Vậy có: Lại có: 53 Cho số nên có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức a=b=c a+b+c=3.Chứng minh rằng: 54 Chứng minh với số dương a,b,c,d ta ln có: 55 Chứng minh số dương a,b,c có a+b+c=3 ta có: 56 Cho a,b,c>0 thoả mãn: Tìm giá trị nhỏ của: 57 Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng: 58 Cho a,b>2 và: a+b=8 Tìm giá trị nhỏ của: Vì a>2; b>2 nên có a-2>0 b-2>0 Theo BDT Cosi ta có: hay: hay: Cộng vế hai bất đẳng thức ta có: Vậy giá trị nhỏ F 320 a=b=4 59 Cho a,b,c>0 thoả: 60 Cho a,b,c>0 thoả mãn: Tìm giá trị nhỏ của: Chứng minh rằng: 16 61 Cho a,b,c>2 thoả mãn: Tìm giá trị lớn biểu thức: 62 Cho tam giác ABC có ba cạnh a,b,c thoả: a+b+c=3 Tìm giá trị lớn biểu thức: 63 Cho a,b,c>0 thoả: abc=ab+bc+ca Tìm giá trị lớn của: 64 Cho a,b,c thoả: Tìm giá trị nhỏ lớn của: 65 Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng: 66 Cho bốn số x, y, z , t thay đổi thỏa mãn hệ điều kiện : Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : Theo bunhiacơxki ta có : Ngồi ra, với ta có Mặt khác, , với 67 Cho số x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Đặt : có ; Từ Bảng biến thiên ta có: 68 Các số x, y, z thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện : Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : 17 Đẳng thức Mặt khác : Có thể chọn ( ) 69 Cho x, y, z > Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương ta có : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có : Tương tự ta có : Suy : (đpcm) Dấu “=” xảy và 70 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức : Có Đặt giả thiết Theo Bunhiacopxki : 18 Nếu Đảo lại , Vậy 71 Cho Chứng minh ( theo Côsi) Đẳng thức xảy 72 Cho số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: Ta ln có : Theo bất đẳng thức Cơ-Si ta có: Hồn tồn tương tự ta có: nên (1) (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: (đpcm).Dấu "=" xảy a=b=c=1 73 Chứng minh số dương a,b,c có a+b+c=3 ta có: Ta có: Theo bất đẳng thức Cơ-Si ta có: nên (1) Hồn tồn tương tự ta có: (2) 19 (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: Dấu "=" xảy a=b=c=1 74 Tìm giá trị nhỏ M = ta có 1+ với x ; y; z > = tương tự với nhân tử ngoặc lại ta M dấu = xảy x = y = z 75 Cho a,b,c số dương a+b+c = 1.Chứng minh : Áp dụng BĐT được: suy Mà ta có Vậy Đẳng thức xảy 76 Cho x y nghiệm phương trình: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 77 Cho x y nghiệm phương trình: Tìm giá trị lớn biểu thức: 20 78 Tìm giá trị nhỏ biểu thức biết x y thay đổi thoả mãn điều kiện: 79 Cho x,y,z thay đổi thoả điều kiện : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 80 Cho x, y, z số dương Chứng minh : Đẳng thức xảy 81 Cho x, y, z số dương Chứng minh Có ( dấu = xảy ) Do : 82 Cho a,b,c,d số dương thỏa mãn điều kiện 21 Tìm Max A=abcd 83 Cho x,y,z > x*y*z=1, n thuộc tập hợp số nguyên dương Tìm Min biểu thức : 84 CMR tam giác ABC có cạnh a,b,c có diện tích Ta có Vậy nên 22 Biến đổi Từ Đẳng thức xảy khi: a=b=c 85 Cho x,y dương thỏa mãn : Tìm giá trị nhỏ x+y Áp dụng bất đẳng thức BunhiaCopxkia ta có: Dấu "=" xảy khi: Vậy 86 Cho Chứng minh: BĐT cho tương đương với: Đặt với Ta có: AD định lí Lagrange hàm số: , tồn Từ (1) suy ra: Suy ra: 87 Cho (đpcm) CMR: Đặt Khi bất đẳng thức trở thành Ta có Tương tự ta có : Cộng lại với Cơsi cho số dương (x) 23 cho: (y) Từ x,y Bài giải hay vơ đối,mình pro` thật.Nhưng nhận xét tốn bạn khó biết dấu xảy nào,đó vấn đề phức tạp tốn Đa số tốn bđt thường có kết xảy giá trị ví tốn mà ta mong đợi điều kì diệu xảy x=y=z ta thu vô lý rồi,vậy đâu đây,chỉ có cách chứng minh vấn đề toán chưa chọn vẹn mặt tương đương.Ai pro` giải tiếp chứng minh cách khác 88 chứng minh với a,b,c dương: Sử dụng bdt Cauchy - Schwarz ta có: Từ hai bdt suy điều phải chứng minh 89 Cho Chứng minh rằng: 90 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x,y số thực thỏa mãn: 91 Cho a>0,b>0,c>0 abc=1 ,chứng minh : P= ta có bất đẳng thức với a,b,c >0 : Vì tích abc=0 a>0,b>0,c>0 nên ta đặt : (với x,y,z >0} 92 Cho ,tìm A = 24 93 Cho số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = abc Tìm giá trị nhỏ của: P = ta có theo cauchy tương tự lại có Cộng theo vế bdt rút gọn dc 94 Cho tam giác Chứng minh rằng: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Ta có: Vậy Bất đẳng thức 95 Trong nghiệm (x;y) bất phương trình: tìm nghiệm có tổng (x+3y) nhỏ 96 tìm min: với x>0,y>0,z>0 : áp dụng BĐT với số dương : Đặt ,phương trình tương đương 25 áp dụng BĐT cosi : nên dễ thấy nên 97 Cho số thực dương a,b,c thỏa tìm : A= ta có P =9 98 Tìm : A= Ta có: ,biết P= mà : P = x=y= 99 Cho x,y,z số dương Chứng minh Ta có Tương tự Cộng vế theo vế ta 100 Cho số dương Chứng minh rằng: Áp dụng BĐT Cauchy ta có: Do đó: 26 Đẳng thức xảy 101 Cho a, b, c> a+b+c=3 Tìm giá trị lớn nhỏ của: 102 Cho a, b, c>0 Tìm giá trị nhỏ của: Áp dụng bất đẳng thức Cosi có: ; ; Vậy có: Vậy MinF=6 a=b=c=1 103 Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng: Ta có: Tương tự có: ; Do đó: Từ có điều phải chứng minh Dấu khi: a=b=c 104 Cho a, b, c>0 thoả: Tìm giá trị nhỏ của: 105 Cho Tìm giá trị lớn của: 106 Cho a, b, c>0 107 cho 108 Cho a,b,c > Tìm giá trị nhỏ của: , chứng minh: Chứng minh : 27 Có: ; ; Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: Dấu đẳng thức : 109 Cho a,b,c>0 và: Tìm giá trị nhỏ nhất: (1) (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: Áp dụng bất đẳng thức Svacso ta có: Vậy giá trị nhỏ P 110 Cho a,b>o thoả: a=b=c=1 Tìm giá trị nhỏ của: (1) (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: từ (*) ta có Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta lại có: (**) Áp dụng bất đẳng thức Svacso ta có: Từ (*) (**) ta có: 28 (*) Vậy a=b=c=1 111 Cho a,b,c>0 và: a+b+c=abc Tìm giá trị nhỏ của: ta có theo cauchy (1) tương tự (2) (3) Mặt khác ta lại có: (4) (5) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2),(3),(4),(5) (6) ta có: 112 Cho a,b,c>0 Tìm giá trị nhỏ của: Đặt : a=x; b+1=y; z+2=c ta có bất đẳng thức dạng: Ta có: Theo BDT Cosi: Vậy: hay Dấu xảy khi: a=b+1=c+2 113 Cho a,b,c>0 và: Ta có: Tìm giá trị nhỏ của: Do: Lại có: Lại có: Nên có: Dấu khi: 29 (6) ... minh rằng: 58 Cho a,b >2 và: a+b=8 Tìm giá trị nhỏ của: Vì a >2; b >2 nên có a -2> 0 b -2> 0 Theo BDT Cosi ta có: hay: hay: Cộng vế hai bất đẳng thức ta có: Vậy giá trị nhỏ F 320 a=b=4 59 Cho a,b,c>0... Ta có: Lại có: Cộng BDT ta có: Vạy 51 Cho và: a+b =2. Tìm giá trị lớn của: 15 Ta có b =2- a Thay vào có: với Khảo sát F [0 ;2] ta có MaxF=F (2; 0)=40 52 Cho a,b,c>0 Chứng minh: Ta có bất đẳng thức: ;... Chứng minh: ” xảy số 25 Cho Chứng minh: 26 Cho Chứng minh : 1, số lại (*)đúng Dấu “ ” xảy số 27 Cho Ta chứng minh: có số số Chứng minh: Thật vậy: Ta có: dấu “ ” 28 Cho 29 Chứng minh Chứng minh: