Luyện thị lớp 10: BẤT ĐẲNG THỨC

Chủ đề - BẤT ĐẲNG THỨC Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CƠ SI) Cho số thực khơng âm a, b, c ta có: a  b �2 ab Dấu đẳng thức xảy a  b a  b  c �3 abc Dấu đẳng thức xảy a  b  c Các bất đẳng thức 1, gọi bất đẳng thức Cauchy cho số thực khơng âm (Còn gọi bất đẳng thức Cơ si hay bất đẳng thức AM- GM) Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy Ta cần nắm kết sau: 2 1 2 x  y  x y � 1)  � ;  � a b a b a  b2 a b ab 1 3   � � a b c abc a  b2  c 3 2 2 3) a  ab  b  (a  b)  (a  b) � (a  b) 4 2 2 4) a  ab  b  (a  b)  (a  b) � (a  b) 4 2) a  b  c 5) ab  bc  ca � x  y  z 6) x  y  z � a b c a b c 7) a  b 3  a  b � �a  b  c 2 2 � a  b  � (a  b)4  ( a  b)4 4 8) 2(a  b ) � a  b  �� � a  b4 � � � � � � m m n mn m 9) Với a, b �0 a  b � (a  b ) (*) Thật BĐT cần chứng minh tương đương với (a n  b n )(a m  b m )(a n  b n ) �0 điều hiển nhiên 2 n (**) Tổng quát ta có a n  b n �a  b � �� � �2 � 55 n �a n 1  b n 1 � a n  b n �a  b � �a  b � �� �� Thật áp dụng (*) ta có � � � � �2 � �2 � � � m m n mn mn m m n n n 10) Với a, b, c �0 a  b  c � (a  b  c )(a  b  c ) (*) Thật ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: (a m  b m )(a n  b n )  (bm  c m )(b n  c n )  (c m  a m )(c n  a n ) �0 mà điều hiển nhiên n Tổng quát ta có: a n  b n  c n �a  b  c � �� � Thật áp dụng (*) ta có: � � �a n 1  bn 1  cn 1 � �a  b  c ��a n   b n   c n  � a n  bn  c n �a  b  c � �� � ��� � � �� 3 � � �� � �� � Áp dụng bất đẳng thức ta có: n n a n  n b n  n b n �n a  n b  n c � �� � � � 3 � � n anbnc n abc n 1 �1 1 �  n n �   � n Tương tự ta có: a b c ��a b c � � � � � n 1 1 � � Do   � suy n  n  n �3 � � a b c abc a b c �a  b  c � 1  � 11) với a, b �1 a  b  1  ab 1  � n n n a , b � Tổng quát: với ta có (1  a) (1  b)  ab   1  � a  b  1  ab 1 n � Tổng quát: Với a, b � 0;1 ta có: n 1 a  b n  ab 13) Một số kết suy từ bất đẳng thức Cô si 12) Với �a, b �1 3 3 3 +  a  b   x  y   m  n  � axm  byn  Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 56 (*) a3 x3 m3 3axm   � 3 3 3 a b x  y m n a b    x3  y   m3  n3  b3 y3 n3 3byn   � 3 3 3 a b x  y m n a  b3    x3  y   m3  n3  Cộng hai bất đẳng thức chiều ta suy ra: 3� a 3axm  3byn  a  b3   x  y   m3  n  �  b3   x  y   m3  n  � axm  byn  + Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: a  b  c   x  y  z   m3  n3  p  � axm  byn  czp  Ví dụ 1: Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng: 3 a) a  b �ab  a  b  1 1  3  � b) 3 Với (a, b, c  0) a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc c)  a  b   b  c   c  a  �8abc d)  a  b   b  c   c  a  �  a  b  c   ab  bc  ca  e) Cho  a  b   b  c   c  a   Chứng minh: ab  bc  ca � ( Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2015) Lời giải: 3 2 a) Ta có : a  b   a  b   a  ab  b  Suy a3  b3  ab  a  b    a  b   a  2ab  b    a  b   a  b  �0 suy đpcm b) Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có: a  b3  abc �ab  a  b   abc  ab  a  b  c  Suy 57 1 � Tương tự ta có: a  b  abc ab  a  b  c  1 1 � ; � Cộng ba bất b  c  abc bc  a  b  c  c  a  abc ca  a  b  c  3 đẳng thức chiều suy ra: 1 1  3  � Dấu xảy 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc a  b  c c)  a  b   b  c   c  a  �8abc Cách 1: Ta có: a  b �2 ab , b  c �2 bc , c  a �2 ca �  a  b   b  c   c  a  �8abc Cách 2:  a  b   b  c   c  a    a  b  c   ab  bc  ca   abc Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: a  b  c �3 abc , ab  bc  ca �3 a 2b 2c �  a  b  c   ab  bc  ca  �9abc Suy  a  b   b  c   c  a    a  b  c   ab  bc  ca   abc �8abc Chú ý:  a  b   b  c   c  a    a  b  c   ab  bc  ca   abc biến đổi sử dụng nhiều chứng minh bất đẳng thức: d)  a  b   b  c   c  a  �  a  b  c   ab  bc  ca  Chú ý rằng:  a  b   b  c   c  a    a  b  c   ab  bc  ca   abc Áp dụng câu c ta có đpcm e) Ta ý:  a  b   b  c   c  a    a  b  c   ab  bc  ca   abc Suy ab  bc  ca  58  abc abc Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: a  b  b  c  c  a �3  a  b   b  c   c  a   � a  b  c � Mặt b  khác sử dụng:  a  �  b c  c a 8abc abc Từ suy ra: 1  abc ab  bc  ca  �  Dấu ‘’=’’ xảy abc abc Ví dụ 2: a) Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  ab  bc  ca  Chứng minh rằng: a  b  c �6 Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2013 1 b) Cho số thực dương a, b cho :   Chứng minh: a b 1  � Trích đề tuyển sinh lớp 10 2 a  b  2ab b  a  2a b chuyên Nguyễn Trãi- Hải Dương 2013) c) Cho số thực dương a, b cho a  b  Chứng minh: Q �a b � �1 �  a  b   �  � �  ��10 �b a � �a b � d) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ P  2a  bc  2b  ac  2c  ab Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2014 e) Cho số thực không âm a, b cho a  b  Tìm GTLN P ab Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2015 ab2 Lời giải: a) Dự đoán dấu xảy a  b  c  Ta có cách giải sau: 59 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: a  b2 �2ab, b2  c �2bc, c  a �2ac, a  �2a, b  �2b, c  �2c Cộng bất đẳng thúc chiều ta suy  a  b  c   �2  ab  bc  ca  a  b  c   12 � a  b  c �3 Dấu xảy a  b  c  b) Dự đoán a  b  bất đẳng thức xảy dấu Từ ta có cách áp dụng BĐT Cơ si sau: Ta có: a  b �2a 2b, b  a �2ab Từ suy 1 1 Q�     Từ 2 2a b  2ab 2b a  2a b 2ab  a  b  2ab  a  b  ab  a  b  giả thiết 1 ab  2�  � a  b  2ab suy Q � Do  a  b a b ab 1  � a b ab a  b  a b 1 Suy Q � Dấu xảy 2 c) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:  2� 6  a  b   2ab� � �  4ab  a  b   2ab  a  b   2ab �10 Hay 9 ab a 2b 2  2ab  2ab  2  10 �0 � 2a 2b  4a 3b  24ab  12a 2b  36  18ab � ab ab � 2a 2b  4a 3b  24ab  12a 2b  36  18ab �0 � 4t  10t  42t  36 �0 (*) với  t  ab � a  b  Ta có (*) tương đương với: 2 2t  5t  21t  18 �0 �  t  1  2t  3t  18  �0 Do 2t  3t  18  t  �0 nên  t  1  2t  3t  18  �0 Dấu xảy t  � a  b  60 d) 2a  bc  a  a  b  c   bc Áp dụng bất đẳng thức Cô si  a  b  a  c abac � , tương tự ta có: babc 2b  ac  b  a  b  c   ac �  b  a   b  c  � , cacb 2c  ab � Từ suy 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b P  2a  bc  2b  ac  2c  ab �    2(a  b  c) 2 Dấu xảy a  b  c  Ta viết lại P  ab � Đặt a  b   t � t  ab2 � a  b2  2ab   t   � 2ab  t  2t   a  b    t   Ta có : 2 2  a  b2  � a  b  �  a  b  �8 � a  b �2 �  t �2  Ta 2 ab t  2t  Dự đoán dấu xảy  ab2 t a  b  � t  2  nên ta chứng minh: chứng minh: P  t  2t  P�  � t 1 Hay t    1    t2  2  t 2   t  �0 � t  2  t   �0 Bất đẳng thức  t �2  Dấu xảy t 2 22� a b MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI Dự đốn dấu để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng thức Cơ si 61 Đối với tốn bất đẳng thức đối xứng thông thường dấu xảy biến sở để ta phân tích số hạng cho áp dụng bất đẳng thức Cơ si dấu phải đảm bảo Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho x, y số dương thỏa mãn x  y  Chứng minh x y  x  y  �2 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chu Văn An, Hà Nội – Amsterdam 2006-2007) Lời giải: Ta dự đoán dấu xảy x  y  Khi xy  , x  y  Mặt khác để tận dụng giả thiết x  y  ta đưa đẳng thức  x  y Vì ta phân tích tốn sau: x y  x  y   xy.2 xy  x  y  Theo bất đẳng thức Cauchy  x  y xy �  , xy  x  y  �2 xy  x  y �  x  y  ��  Từ � � � 2 2 suy x y  x  y  �2 Dấu xảy x  y  Ngồi cách làm ta giải tốn cách đưa biến: t  x  y t  xy với ý:  x  y  �4 xy ,  x  y  � x  y  Thật vậy: Đặt t  xy;  x  y   x  y  xy �  x  y  2t � x  y   2t Do 2 2  x  y xy �  �  t �1 Ta 2 cần chứng minh: t   2t  �2 � t  2t  �0 �  t  1  t  t  1 �0 Bất đẳng thức với giá trị  t �1 Ví dụ 2: 62 a) Cho a, b số không âm thỏa mãn a  b �2 Chứng minh rằng: a 3a  a  2b   b 3b  b  2a  �6 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Ngoại Ngữ ĐHQGHN năm 2008-2009) b) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  , tìm giá trị lớn biểu thức: Q  x y z   (Đề thi tuyển x  x  yz y  y  zx z  z  xy sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội 2014) Lời giải: a) Dự đoán dấu xảy a  b  Khi 3a  a  2b,3b  b  2a nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho biểu thức dấu Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x y xy � , dễ thấy a 3a  a  2b  �a 3a  a  2b  2a  ab , b 3b  b  2a  �b 3b  b  2a  2b  ab Cộng hai bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được: M  a 3a  a  2b   b 3b  b  2a  �2  a  b   2ab   2ab Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có:  2ab �4  a  b  Từ ta có M �6 Dấu xảy � a  b  b) Ta có:     x x  x  y  z   yz  x x x  yz  x x   x  yz  x x  x  y  z   yz  x x  x  yz Áp dụng bất đẳng thức Cauchy co hai số thực dương ab ab � ta có: 63 x   x  y   x  z  x xy  yz  xz �x  y  x  z � x�  x� xy  xz Chứng � � � xy  yz  xz  xy  yz  xz  minh tương tự cộng vế, ta suy Q �1 Đẳng thức xảy 1 Vậy Q lớn x  y  z  3 Ví dụ 3: Cho c  a, b �c Chứng minh x yz c  a  c   c  b  c  � ab Lời giải:Dự đoán dấu xảy a  b Bất đẳng thức cần chứng minh viết thành: P c ac c bc  �1 Sử dung bất đẳng thức Cauchy dạng: b a a b c a c c bc c c c c x y   1   1 xy � , ta có: a a b b a a b  Bài P �b 2 2 toán giải hoàn toàn Đẳng thức xảy �c a  c  � 1 �b a �   Ngoài ta chứng minh tốn � a b c �c  b  c �a b biến đổi tương đương Ví dụ 4: Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng: x2 y2 z2   �1 x  yz y  zx z  xy Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng: 2ab �a  b , dễ thấy: x2 y2 z2 x2 y2 z2 P   �   1 x  yz y  zx z  xy x  y  z y  z  x z  x  y 64 1 1 1 a2 b2 c2      � �   �1 a  2 b2  2 c  2 a  b2  c2  2 2 x  y  z Áp dụng bất đẳng thức: x  y  z � ta có: A B C A B C  a  b  c  Ta cần chứng minh: a2 b2 c2   �2 2 2 a 2 b 2 c 2 a b c 6  a  b  c  a  b  c a  b2  c   ab  bc  ca  2 a  b2  c2  �۳ 1 Nhưng đẳng thức Suy điều phải chứng minh Ngồi ta giải cách khác sau:  a 2  b  c 1  b  c 1 2 � �  b  c  �  a  b  c  Từ cộng bất đẳng thức  a   �1  � � � � � chiều ta suy điều phải chứng minh: 2 2 Chú ý: Với giả thiết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ta cần ý biến đổi để sử dụng điều kiện: a  b  c  0, b  c  a  0, c  a  b  Ví dụ 3: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c   �1 3a  b  c 3b  c  a 3c  a  b Phân tích: Ta viết lại: a a  m(3a  b  c) m  Ta chọn m  đó: 3a  b  c 3a  b  c a a bc   Từ ta có bất đẳng thức cần chứng minh 3a  b  c 4(3a  b  c) viết lại thành: 147 a b c 1      � � 3a  b  c 3b  c  a 3c  a  b 4 abc bca c  a b   �1 3a  b  c 3b  c  a 3c  a  b Ta có  a  b  c  b  c  a  a  c  b VT � � a  b  c   3a  b  c   a  b  c  a  b2  c  2(ab  bc  ca) 1 Đối với bất đẳng thức dạng f (a )  f (b)  f (c) �M Ta thường thêm bớt vào số m để tử số có dạng bình phương Ví dụ 4: Cho số thực dương a, b, c cho abc  Chứng minh rằng: 1   �3 a  a 1 b  b 1 c  c 1 Phân tích: 1  m  ma  ma Ta lấy để  m  ma  ma phân tích m a  a 1 a  a 1 thành: ( xa  y )  m  ma  ma  có nghiệm kép Hay   m  4m(1  m)  � m   3m   � m  thức thành: Ta viết lại bất đẳng 4      �1 hay a  a 1 b  b 1 c  c 1 (2a  1) (2b  1) (2c  1)   �3 Áp dụng bất đẳng thức: a  a  b2  b  c2  c   2(a  b  c)  3 x y z  x  y  z  ta thu được: VT �   �  a  b  c   (a  b  c)  A B C A BC 2 Ta cần chứng minh:  2(a  b  c )  3 �3 �  a  b  c   ( a  b  c )  3� � � hay  a  b  c   6(ab  bc  ca ) �9  a  b  c  148   Ta có: (ab  bc  ca)  a 2b  b 2c  c a  2abc(a  b  c ) �a 2bc  b 2ca  c 2ab  2abc (a  b  c )  3abc (a  b  c )  3(a  b  c ) Ta quy toán chứng minh:  a  b  c   3(a  b  c ) �9  a  b  c  Đặt t  3(a b c ) t Ta có bất đằng thức trở thành: t4  6t �3t � t  27t  54t �0 � t  t  27t  54   t (t  3) (t  6) �0 Điều hiển nhiên Dấu xảy a  b  c  Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  Chứng minh rằng: a b c   � a  2b  b  2c  c  2a  2 Một số cách thêm bớt không mẫu mực: Ví dụ 5: Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  Chứng minh: a2 b2 c2   � 3a  3b  3c  18( ab  bc  ca ) Giải: a2 3a 1� a �   �a  Ta có: � Vì ta quy tốn chứng 3a  3a  � 3a  � minh: a b c    �1 3a  3b  3c  6(ab  bc  ca ) a Ta có: � 3a   a  b  c a  3a  1  b  3b  1  c  3c  1  a  b2  c   1  � 1 Suy VT � 2 2  a  b  c   6(ab  bc  ca )  a  b  c   149 Ví dụ 6: Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  Chứng minh: �b c a �  a  b  c �   ��   �a b c �  a  b  c Giải: Do 1 a 2a   nên ta viết lại bất đẳng thức thành: 1 a b  c a a ab b c a a b c    �    Lại có:  nên ta c b  c c (b  c ) a b c bc ca ab ab chứng minh: � c(b  c) a 2b abc(b  c) ab �� c(b  c) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz ta có:  ab  bc  ca  2abc  a  b  c   ab  bc  ca  2abc  a  b  c  Ta cần chứng minh: � tốn quen thuộc Ví dụ 7: Cho số thực dương a, b, c cho ab  bc  ca  Chứng minh: a  b  c  ab bc ca 3   � bc c a a b Giải: Nhân vế với a  b  c ý: ab a 2b Ta viết bất  a  b  c   ab  bc bc đẳng thức cần chứng minh thành:  a  b  c 150 1 a 2b b2c c2a 3   �  a  b  c bc ca ab  ab  bc  ca  a 2b b2c c2 a   �  Ta có: b  c c  a a  b b(b  c )  c(c  a )  a (a  b)  a  b  c   Cuối ta chứng minh:  a  b  c    Nhưng 3 �  a  b  c  a  b  c  1 2 3 nên ta quy về:  a  b  c � � �a  b  c   3� �  a  b  c 1 � � �a  b  c   3� � Dành cho học sinh  a  b  c  1 4) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Tùy theo tốn ta chọn cách đặt ẩn phụ sau: �1 1 � 1)  a, b, c  � � , , � �a b c � �ka kb kc � 2)  a, b, c  � � , , � �b c a � �kb kc ka � 3)  a, b, c  � � , , � �a b c � �ka kb kc � , 4)  a, b, c  � � , � �bc ac ab � �kbc kca kab � 5)  a, b, c  � � , , � b c � �a Ví dụ 1: Cho số thực dương x, y, z cho xyz  Chứng minh rằng: 1   �1 x  x 1 y  y 1 z  z 1 151 Phân tích: Nếu áp dụng trực tiếp bất đẳng thức: X Y2 Z2  X Y  Z    � A B C A B C bất đẳng thức bị ngược dấu Để không bị ngược dấu ta thay bc ca ab � , �thì bất đẳng thức �a b c �  x, y , z  � � �2 , cần chứng minh trở thành: a4 b4 c4   �1 (*) a  a 2bc  b c b  b ac  a c c  c ab  a 2b 2 2 X Y  Z  Bây áp dụng bất đẳng thức: X  Y  Z � A B C A B C a  b2  c  ta có: Ta cần chứng VT � a  a 2bc  b 2c  b  b ac  a 2c  c  c ab  a 2b minh: a  b2  c  a  a 2bc  b c  b4  b ac  a c  c  c2 ab  a 2b �1 � b 2c  a 2c  a 2b �abc (a  b  c ) Nhưng kết quen thuộc Ví dụ 2: Cho số thực dương x, y, z cho xyz  Chứng minh rằng: 1 1   � ( x  1)( x  2) ( y  1)( y  2) ( z  1)( z  2) Phân tích: Đặt x  bc ac ab ; y  ; z  bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: a b c a4 � (2a  bc)(a  bc ) Áp dụng bất đẳng thức: X Y Z2  X Y  Z    � A B C A B C 152 ta có: � a  b2  c  Ta cần chứng minh: VT � �(2a  bc )( a  bc) � a  b  c  ��(2a  bc)( a  bc) � a 2b2  b2 c  c a �abc(a  b  c ) Đây kết quen thuộc Ví dụ 3: Cho số thực dương x, y , z Chứng minh rằng: 2x  x y 2y 2z  �3 yz zx Giải: a b c Đặt x  ; y  ; z  Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: b c a a2 b2 c2   � Áp dụng bất đẳng thức 2 a  bc b  ac c  ab Bunhiacopxki ta có: � a2 � b2 c2 � � a � a (a  b)(a  c) � ��   � � ��� � � � � a  bc � � (a  b )(a  c ) � b  ac c  ab a  bc � � � � Mặt khác ta có:  a  b  c   ab  bc  ca  �9  a  b   b  c   c  a  Mặt  ab  bc  ca  a  � khác ta có: � Ta quy (a  b)( a  c ) (a  b)(b  c)(c  a ) 4(a  b  c ) a(a  b)( a  c ) toán chứng minh: � a  bc  a b c  Mặt khác ta có: a (a  b)(a  c ) a (b  c ) Ta quy toán chứng minh:  a  a  bc a  bc a (b  c) �2 a  bc a b c KỸ THUẬT ĐỐI XỨNG HĨA 153 Ví dụ 1: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh: 2a 2b 2c   �3 ab bc ca Giải: Ta có: 2a  a  c  2a �� ab  a  b  (a  c) � � � � 2a  a  c  � �  a  b  (a  c) � � � � a b c 2(a  b  c) �   � �  a  b  (a  c)  b  c  (b  a )  c  a  (c  b) �   a  b  c   ab  bc  ca   a  b  b  c  c  a Bây ta cần chứng minh:  a  b  c   ab  bc  ca  �9 �  a  b  c   ab  bc  ca  �9  a  b   b  c   c  a   a  b  b  c  c  a  Nhưng kết quen thuộc: Ví dụ 2: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh: a b c   � a  b  2c b  c  2a c  a  2b Giải: Ta có: a  a  2b  c  a �� a  b  2c  a  b  2c   a  2b  c  � � � � a  a  2b  c  � �  a  b  2c   a  2b  c  � �  �a  �ab   �a  � � �a  a  2b  c  � � � � � �� �  a  b  2c   a  2b  c  �  a  b  2c   a  2b  c  (b  2a  c) 154 Ta cần chứng minh:  �a  �ab   �a  � Sau khai  a  b  2c   a  2b  c  (b  2a  c) 3 triển thu gọn được:  a  b  c  �ab(a  b)  bc(b  c)  ca (c  a ) Đây tốn quen thuộc Ví dụ 3: Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  Chứng minh: ab bc ca   � ab  bc bc  ca ca  ab Giải: Ta có: ab a 2b   ac ab  bc � a 2b  a  b  � ��� �  a  c  a  b � a 2b  a  b   a  c  a  b suy � �a 2b  abc �a � � �  �a  � a 2b � � � �  a b � �� a  c a  b � � �   �  a  b   b  c  (c  a ) � � Ta cần chứng minh:  �a  � �a 2b  abc �a � � ��1 � �a �   ��a 2b2  abc �a � � a  b b  c ( c  a )    � a  b  c   a  b   b  c  (c  a ) Khai triển thu gọn ta quy về: ab  a  b2   bc  b  c   ca  c  a  �2  a 2b2  b2 c  c a  Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên theo BĐT cô si: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: 1) 2) a b c a b c   � 2 b  bc  c c  ca  a c  ca  a ab  bc  ca a b c abc   �2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a a  b2  c2 155 a 3)  3  b2  3  c  3 �4  a  b  c  1 a3b b 3c c 3a abc (a  b  c )   � 2  ab  bc  ca  abc 2 a b c   �1 với a  b  c  2 a  2b b  2c c  2a ab bc ca   �  a  b  c a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b ab bc ca a bc   � 2 2 2 a  2b  c b  2c  a c  2a  b 1   �1 với a  b  c  2ab  2bc  2ca  3a  b 3b  c 3c  a   �4 Với a, b, c độ dài cạnh tam giác 2a  c 2b  a 2c  b a b c ab  bc  ca    � Với a, b, c độ dài 10) b  c c  a a  b a  b2  c2 cạnh tam giác ab bc ca biết a, b, c �0 cho không  2  � 2 a b b c c a 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) có số đồng thời a  b  c  2( ab  bc  ca) a b c   �1 biết a, b, c �0 cho 4a  3bc 4b  3ca 4c  3ab khơng có số đồng thời a  b  c  12) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 1) Ta có: a b c a b c   � 2 b  bc  c c  ca  a c  ca  a ab  bc  ca a a2 Suy  b  bc  c ab  abc  ac a2 � ab  abc  ac 156  a  b  c ab  ac  bc  ba  3abc Ta cần chứng minh:  a  b  c abc � ab  ac  bc  ba  3abc ab  bc  ca 2 2 �  ab  bc  ca   a  b  c  �ab  ac  bc  ba  3abc (Nhưng đẳng thức) 2) Ta có: ab  bc  ca �a  b  c Suy a b c a bc   �2 2 2 b  bc  c c  ca  a c  ca  a a b c 2 �  b  c  1 � � � �b  c  � a  3� 1 � 3)  a  b  c  1  � �� a  3 � � � � � � � � � � �  b  c  1 � 1 � Ta chứng minh: Từ suy  a  b  c  1 �4  a  3 � � � � � 2 �  b  c  1 � 2  a  3 � 1   b  c  1 ��3  b  3  c �� a  3  b  3  c  3 � � � � � � � � Bất đẳng thức tương đương với: 2 4�   b  c  1 ��3  b  3  c  3 � �  b  c  2bc  2b  2c � � ��9b  9c  3b � � �  b  c   3b c  8(b  c)  8bc  13 �0 Ta viết lại bất đẳng thức   2 thành: b  c  2bc  8(b  c)    bc  1 �0     2 2 Ta có b  c �2bc, b  c � b  c  � b  c �2  b  c  Nên 2  b  c   2bc  8(b  c)    bc  1 �2(b  c)2  8(b  c)   2bc  2bc  3(bc    b  c    3(bc  1) �0 Dấu xảy a  b  c  4) a3b b 3c c 3a abc (a  b  c )   � 2  ab  bc  ca  abc 157 Ta có: a3b a 4b c Suy   ab abc  a 2b3c a 3b � �  ab a 4b c abc  a 2b3c  a bc  b ac  c ab  2 2 abc  a 2b 3c  bca  b 2c 3a  cab  c a 3b a 2b c  a  b  c   abc  a 2b3c  bca  b 2c 3a  cab  c a 3b 2 Ta chứng minh: a 2b c  a  b  c  abc (a  b  c) � abc  a b c  bca  b c a  cab  c a b  abc 2 2 2   abc  abc(a  b  c) �abc  a 2b 3c  bca  b 2c 3a  cab  c 2a 3b Đây đẳng thức.Dấu xảy a  b  c 5) a2 a4  a  2b a  2a 2b a2 Suy �� a  2b a  b2  c  Hay 2  b2  c2  �a  �a 2b Ta chứng minh: �1  b2  c  �a  �a b a �a  �a 2b a a4 a  2a 2b 2 �1 � a  b  c �a  b3  c Ta cần chứng minh: a  b  c �a  b3  c với a  b  c  Ta chứng minh:  a  b  c  � a  b3  c   a  b  c  �  a  b  c  �ab  a  b   bc  b  c Để ý rằng:  a  b    a  b    a  b   a  b  �2ab  a  b  � a  b �ab  a  b  Cộng ba bất đẳng thức chiều ta suy điều phải chứng minh: 158 6) Ta có: 1 1� 1 � ab  � � � a  3b  2c (a  c)  (b  c)  2b �a  b b  c 2b � a  3b  2c Tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại thu được: �ab � �a  b b ab bc ca �ab ab bc bc ca   � �   a   b a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b �a  c b  c ba ca c � ab bc ca   �  a  b  c a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b 7) Ta có ab bc ca a bc   � 2 2 2 2 a  2b  c b  2c  a c  2a  b � b � a2 ab b �  a  b b2 � � �  � � � a  2b  c � a  b2  b2  c � a  b2 b2  c2 � � � � 4� Suy b � a2 b2 � c � b2 c2 � a � a2 c2 VT � �      � � � � �a  b b  c � �b  c c  a � �a  b c  a � a bc � � 1   �1 2 2ab  2bc  2ca  8) c2 suy  2ab2  2ab c  c Ta có:  a  b  c Ta chứng minh: VT � 2 a  b  c  2a 2b c  2a 2bc  2ab 2c  a  b  c a  b  c  2a b c  2a bc  2ab c 2 + � ab�+ bcca 2 2 abc (a b c ) a� b c 3 abc 2 �1 � ab  bc  ca �a 2b 2c  a 2bc  ab 2c abc Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: abc điều phải chứng minh 159 9) Ta xét: 3a  b a (3  2m)  b  mc m  2a  c 2a  c Chọn m  để xuất hiện: 3a  b abc 1  2a  c 2a  c Khi ta có: Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: a b c b c a c  a b   �1 2a  c 2b  a 2c  b Suy  a  b  c  b  c  a  c  a  b VT � �( a  b  c )(2a  c)  a  b  c   a  b  c  Đpcm 10) Ta viết lại bất đẳng thức thành: 1 a b c ab  bc  ca 1 1 �  bc ca a  b a  b2  c  a  b  c bca a cb abc �   � bc ca ab  a  b2  c  4 a  b  c  a  b  c  Ta có VT � � b  c  a   b  c   a  b  c  11) Ta có: ab ab a  b2 2ab  �2 2 2 a b a b a b Ta quy toán chứng minh:  a  b a  b2  b  c  b2  c  a  b  c  c  a  c2  a2 2ab 2bc 2ca  2 �1 Hay a  b b  c c  a2 �4 Thật ta có: 4 a  b  c VT �   Dấu xảy  a  b  c   a  b  c   2ab  2bc  2ca a  b, c  hoán vị 160 b c � a �   12) Ta có: VT � a  b  c  � � �4a  3bc 4b  3ca 4c  3ab � b c � a �  2�   � Ta chứng minh: �4a  3bc 4b  3ca 4c  3ab � a b c   � 4a  3bc 4b  3ca 4c  3ab � a b c      � 4a  3bc 4b  3ca 4c  3ab � bc ca ab   � Ta có: 4a  3bc 4b  3ca 4c  3ab  ab  bc  ca   ab  bc  ca  VT � 2   2 2 2 2 2  a b  b c  c a  4abc   a b  b c  c a  2abc  a  b  c   161 ...  �0 Bất đẳng thức  t �2  Dấu xảy t 2 22� a b MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI Dự đốn dấu để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng thức Cô si 61 Đối với toán bất đẳng thức đối... �  c ��3  a  b  c  Bất đẳng thức cuối �a � �b � �c � hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1  a �2, ;  b �2;  c �2 a b c Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a  b  c  74...  bất đẳng thức chiều suy đpcm Ví dụ 3) Cho x, y, z  x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y z   2  y  z  x2 Lời giải: Ta có: x xy  x   y2 1 y2 x xy �x  1 y Theo bất đẳng thức