Thông tin tài liệu
Chủ đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Kiến thức cần nhớ Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng: ax + by = c a ' x + b ' y = c ' + Cặp số ( x0 ; y0 ) gọi nghiệm hệ phương trình nghiệm chung hai phương trình + Hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm vô số nghiệm tùy theo vị trí tương đối hai đường thẳng biểu diễn nghiệm hai phương trình + Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp phương pháp cộng đại số để khử bớt ẩn, từ giải hệ Một số ví dụ Ví dụ Xác định hệ số a, b hàm số y = ax + b để: 1) Đồ thị qua hai điểm A ( 1;3) , B ( 2; ) 2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ −4 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Lời giải: 1) Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình đường thẳng ta được: 3 = a + b b = − a a = ⇔ ⇔ Vậy a = 1, b = = 2a + b 4 = 2a + − a b = − a = a = Tương tự phần (1) ta có hệ: −4 = a.0 + b ⇔ b = −4 ⇔ 2) = 2a + b a = − b + b = − Vậy a = 2, b = −4 101 Ví dụ Giải hệ phương trình sau: 1 x + y = a) − = −1 x y x x +1 − b) x + x + 1 y =3 2x −1 + x − y = y −1 c) 3y 2 x − − = = −1 y −1 x− y Lời giải: 1 a) Đặt u = ; v = Theo đề ta có hệ phương trình: x y v = − u u + v = 5u = u = ⇔ ⇔ ⇔ 3u − 2v = −1 3u − ( − u ) = −1 v = − u v = Từ suy ra: x = b) Đặt u = 1 = 1; y = = u v x y ;v = Theo ta có hệ phương trình: x +1 y −1 u − v = u = + v u = + v u = ⇔ ⇔ ⇔ u + 3v = −1 3 + v + 3v = −1 4v = −4 v = −1 x x = −2 x + = x = 2x + ⇔ ⇔ Từ suy ra: y = −1 y = − y y = y − 1 c) Điều kiện x ≥ , x − y > Đặt 102 a = x − ta có hệ phương trình b = x − y 2x −1 = a + b = a = x = ⇒ ⇔ ⇔ =1 2a − b = b = y = x− y Vậy hệ có nghiệm x = 1; y = x − 2y = Ví dụ Cho hệ phương trình: mx − y = ( 1) ( 2) a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn x= y Giải: a) Với m = ta có hệ phương trình: x = y + x − y = x = y + x = ⇔ ⇔ ⇔ 2 ( y + ) − y = 2 x − y = 3 y = −6 y = −2 b) Từ phương trình (1) ta có x = y + Thay x = y + vào phương trình (2) ta được: m ( y + ) − y = ⇔ ( 2m − 1) y = − 5m (3) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm Điều tương đương với: 2m − ≠ ⇔ m ≠ x = 5+ 2y = − 5m Từ ta được: y = ; 2m − ( − 5m ) Ta có: x y = Do 2m − ( 2m − 1) x, y < ⇔ − 5m < ⇔ m > (thỏa mãn điều kiện) 103 c)Ta có: x = y ⇔ − 5m = 2m − m − Từ (4) suy 2m − > ⇔ m > (4) 1 Với điều kiện m > ta có: 2 m = ( l) − m = ⇔ ( ) ⇔ − 5m = ⇔ Vậy m = − 5m = −3 m = x + my = m + Ví dụ Cho hệ phương trình: mx + y = 3m − ( 1) ( 2) a) Khơng giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất? b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Tìm số nguyên m cho hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) mà x, y số nguyên d) Chứng minh hệ có nghiệm ( x, y ) điểm M ( x, y ) chạy đường thẳng cố định e) Tìm m để hệ có nghiệm cho x y đạt giá trị nhỏ Lời giải: a) Từ phương trình (2) ta có y = 3m − − mx Thay vào phương trình (1) ta 2 được: x + m ( 3m − − mx ) = m + ⇔ ( m − 1) x = 3m − 2m − (3) Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm , tức m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 Ta lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm : 104 m ≠ ⇔ m ≠ ⇔ m ≠ ±1 m b) Từ phương trình (2) ta có y = 3m − − mx Thay vào phương trình (1) ta 2 được: x + m ( 3m − − mx ) = m + ⇔ ( m − 1) x = 3m − 2m − (3) Trường hợp 1: m ≠ ±1 Khi hệ có nghiệm 3m − 2m − ( m − 1) ( 3m + 1) 3m + = = x = m2 − ( m − 1) ( m + 1) m + 3m + m − y = 3m − − m m + = m + Trường hợp 2: m = Khi phương trình (3) thành: 0.x = Vậy hệ có vơ số nghiệm dạng ( x; − x ) , x ∈¡ Trường hợp 3: m = −1 phương trình (3) thành: 0.x = (3) vơ nghiệm, hệ vơ nghiệm c) Hệ cho có nghiệm m ≠ ±1 3m + x = m + = − m + Ta có: Vậy x, y nguyên m +1 y = m −1 = 1− m +1 m +1 nguyên Do m + −2; −1;1; Vậy m = −3; −2;0 (thỏa mãn) m = (loại) Vậy m nhận giá trị −3; −2;0 d) Khi hệ có nghiệm ( x, y ) ta có: x − y = − 2 − 1 − ÷= m +1 m +1 Vậy điểm M ( x; y ) chạy đường thẳng cố định có phương trình y = x−2 105 e) Khi hệ có nghiệm ( x; y ) theo (d) ta có: y = x − Do đó: xy = x ( x − ) = x − x + − = ( x − 1) − ≥ −1 Dấu xảy khi: x =1⇔ 3− 2 =1⇔ = ⇔ m +1 = ⇔ m = m +1 m +1 Vậy với m = x y đạt giá trị nhỏ Chú ý: Ta tìm quan hệ x − y = theo cách khác: Khi hệ phương x + my = m + trình mx + y = 3m − ( 1) ( 2) có nghiệm ( m ≠ ±1) lấy phương trình (2) trừ phương trình (1) hệ ta thu được: ( m − 1) x − ( m − 1) y = ( m − 1) ⇒ x − y = x − my = − 4m Ví dụ Cho hệ phương trình: Chứng minh với mx + y = 3m + m hệ phương trình ln có nghiệm Gọi ( x0 ; y0 ) cặp nghiệm 2 phương trình: Chứng minh: x0 + y0 − ( x0 + y0 ) + 10 = (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015) Lời giải: Từ phương trình (2) hệ phương trình ta có y = 3m + − mx thay vào 2 phương trình ( 1) hệ ta có: ( m + 1) x = 3m − 3m + Do m + ≠ với m nên phương trình ln có nghiệm x0 Suy hệ ln có nghiệm với m Gọi ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ: Từ hệ phương trình ta có: x0 − = m ( y0 − ) Nhân hai vế phương trình thứ với ( − x0 ) , y0 − = m ( − x0 ) 106 phương trình thứ hai với ( y0 − ) trừ hai phương trình cho ta được: ( − x0 ) ( x0 − ) − ( y0 − ) ( y0 − 1) = ⇔ x0 + y0 − ( x0 + y0 ) + 10 = Ngồi ta giải theo cách khác sau: ( d ) : x − my + 4m − = 0, ( d ') : mx + y − 3m − = Ta dễ dàng chứng minh đường thẳng ( d ) qua điểm cố định: A ( 2; ) đường thẳng ( d ') qua điểm cố định : B ( 3;1) Mặt khác ta dễ chứng minh đường thẳng (d ) đường thẳng (d ') vng góc với nên hai đường thẳng cắt Gọi M ( x0 ; y0 ) giao điểm hai đường thẳng 5 5 tam giác M AB vng M Gọi I trung điểm AB I ; ÷ 2 2 , AB = 10 suy 2 5 5 IM = AB ⇔ IM = AB ⇔ x0 − ÷ + y0 − ÷ = 10 2 ⇔ x0 + y0 − ( x0 + y0 ) + 10 = (1) x + my = Ví dụ Cho hệ phương trình: mx + y = 2m + (2) Hệ có nghiệm ( x, y ) , tìm giá trị nhỏ biểu thức sau đây: a) P = x + y (1) b) Q = x + y (2) Lời giải: Từ phương trình (2) ta suy ra: y = 2m + − mx Thay vào phương trình (1) ta được: x + m ( 2m + − mx ) = ⇔ ( m − 1) x = 2m + m − (3) 107 Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm nhất, điều xảy khi: m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 2m + m − ( m − 1) ( 2m + 3) 2m + x = = = = 2+ m −1 m +1 ( m − 1) ( m + 1) m + Khi m + y = 2m + − m m + = m + a) Ta có: P = x + ( x − ) = x − 12 x + 12 = ( x − 3) + ≥ P = x = 2m + 3 ⇔ = ⇔ 4m + = 3m + ⇔ m = −3 m +1 Vậy giá trị nhỏ P b) Ta có: Q = x + y = x + ( x − ) đặt t = x − Khi Q = ( t + 1) + ( t − 1) = t + 4t + 6t + 4t + + t − 4t + 6t − 4t + = 2t + 12t + ≥ 4 Q = ⇔ t = ⇔ x =1⇔ 2m + = ⇔ 2m + = m + ⇔ m = −2 m +1 Vậy giá trị nhỏ Q mx + ( m + 1) y = Chứng minh hệ ln có ( m + 1) x − my = 8m + Ví dụ 7): Cho hệ phương trình: ( ) nghiệm ( x; y ) tìm GTLN biểu thức P = x + y + + y 2 Lời giải: Xét hai đường thẳng ( d1 ) : mx + ( m + 1) y − = 0; ( d ) : ( m + 1) x − my − 8m + = + Nếu m = ( d1 ) : y − = ( d ) : x − = suy ( d1 ) ln vng góc với ( d ) 108 ( d1 ) : x + = + Nếu m = −1 ( d ) : y + 11 = suy ( d1 ) vuông góc với ( d ) + Nếu m ≠ { 0;1} đường thẳng ( d1 ) , ( d ) có hệ số góc là: m m +1 , a2 = suy a1.a2 = −1 ( d1 ) ⊥ ( d ) m +1 m Tóm lại với m hai đường thẳng ( d1 ) ln vng góc với ( d ) Nên a1 = − hai đường thẳng ln vng góc với Xét hai đường thẳng ( d1 ) : mx + ( m + 1) y − = 0; ( d ) : ( m + 1) x − my − 8m + = ln vng góc với nên cắt nhau, suy hệ có nghiệm Gọi giao điểm I ( x; y ) , đường thẳng ( d1 ) qua A ( −1;1) cố định, đường thẳng ( d ) qua B ( 3; −5 ) cố định suy I thuộc đường tròn đường kính AB Gọi M ( 1; −2 ) trung điểm AB MI = AB 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + ) = 13 (*) ( ) P = ( x − 1) + ( y + ) + x + y − = + x + y = 2 + x − + ( y + ) + − hay P = 10 − + x − + ( y + ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: x − + ( y + ) ≤ ( + 3) ( x − 1) + ( y + ) = 52 ⇒ x − + ( y + ) ≤ 52 = 13 Vậy P ≤ 10 − + 13 109 ... my = m + Ví dụ Cho hệ phương trình: mx + y = 3m − ( 1) ( 2) a) Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất? b) Giải biện luận hệ phương trình theo... Suy hệ ln có nghiệm với m Gọi ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ: Từ hệ phương trình ta có: x0 − = m ( y0 − ) Nhân hai vế phương trình thứ với ( − x0 ) , y0 − = m ( − x0 ) 106 phương trình thứ hai. .. 2) a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn x= y Giải: a) Với m = ta có hệ phương
Ngày đăng: 01/03/2019, 22:56
Xem thêm:
