Luyện thị lớp 10: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO, PT PHÂN THỨC

Chủ đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Để giải phương trình bậc lớn Ta thường biến đổi phương trình dạng đặc biệt là: Phương pháp đưa dạng tích: Tức biến đổi phương trình: Đưa phương trình tích ta thường dùng cách sau: Cách 1: Sử dụng đẳng thức đưa dạng: Cách 2: Nhẩm nghiệm chia đa thức: Nếu ta ln có phân tích: nghiệm phương trình Để dự đoán nghiệm ta dựa vào ý sau: Chú ý: Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định Ta thường áp dụng cho phương trình bậc bốn Đặc biệt phương trình bậc 4: Ta sử dụng cách xử lý sau: • Phương trình dạng: Phương pháp: Ta thêm bớt vào vế lượng: phương trình trở thành: Ta mong muốn vế phải có dạng: • Phương trình dạng: Ta tạo vế phải biểu thức bình phương dạng: Bằng cách khai triển biểu thức: Ta thấy cần thêm vào hai vế lượng: phương trình trở thành: 129 Bây ta cần: Ta phân tích để làm rõ cách giải tốn thơng qua ví dụ sau: Ví dụ 1) Giải phương trình: a) b) c) d) Lời giải: a) Ta thêm vào vế phương trình lượng: Khi phương trình trở thành: Ta có Ta viết lại phương trình thành: b) Ta thêm vào vế phương trình lượng: Khi phương trình trở thành: Ta có Ta viết lại phương trình thành: c) Phương trình có dạng: Ta tạo vế trái dạng: 130 Tức thêm vào hai vế lượng là: phương trình trở thành: Ta cần Phương trình trở thành: d) Phương trình cho viết lại sau: Ta tạo phương trình: Ta cần: Phương trình trở thành: Ví dụ 2) a) Giải phương trình: b) Giải phương trình: c) Giải phương trình: (1) (4) Lời giải: a) Ta có phương trình (1.1) Vậy phương trình có hai nghiệm b) Phương trình 131 Vậy phương trình cho có nghiệm c) Ta có phương trình Phương pháp đặt ẩn phụ: Là phương pháp hữu hiệu toán đại số, giải phương trình bậc cao vậy, người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển phương trình bậc cao phương trình bậc thấp Một số dạng sau ta thường dùng đặt ẩn phụ Dạng 1: Phương trình trùng phương: Với dạng ta đặt (1) ta chuyển phương trình: (2) Chú ý: Số nghiệm phương trình (1) phụ thuộc vào số nghiệm không âm (2) Dạng 2: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy): Với dạng ta chia hai vế phương trình cho được: Đặt với ta có: thay vào ta phương trình: Dạng 3: Phương trình: a+b=c+d 132 ta Phương trình Đặt , ta có: Dạng 4: Phương trình hai vế phương trình cho Đặt Với dạng ta chia Phương trình tương đương: Ta có phương trình: Dạng 5: Phương trình Đặt ta đưa phương trình trùng phương Ví dụ 1: Giải phương trình: 1) 2) 3) 4) Lời giải: 1) Ta thấy không nghiệm phương trình nên chia hai vế pương trình cho Đặt Ta có: Với 2) Đặt ta được: Vậy phương trình có nghiệm Chú ý: Với ta giải cách khác sau: Trước hết ta có BĐT: với ta được: 133 Áp dụng BĐT với: Đẳng thức xảy 3) Ta có phương trình: Đặt * Ta được: phương trình vơ nghiệm * Vậy phương trình có hai nghiệm 4) Phương trình Vì khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho Đặt ta được: , ta có: * * Vậy phương trình cho có bốn nghiệm: Ví dụ 2) a) Giải phương trình: b) Giải phương trình: c) Giải phương trình: d) Giải phương trình: Lời giải: a) Vì khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế cho Đặt 134 ta được: * * phương trình vơ nghiệm b) Đây phương trình bậc ta thấy hệ số đối xứng ta áp dụng cách giải mà ta giải phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng Ta thấy khơng nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho Đặt Ta có: nên phương trình trở thành: * * Vậy phương trình có bốn nghiệm c) Phương trình Đặt , ta có phương trình: Vậy phương trình có hai nghiệm: d) Ta có: nên phương trình tương đương Đặt 135 Ta hệ: ta được: Vậy nghiệm phương trình Dạng 6: a) Phương trình: với Phương pháp giải: Nhận xét nghiệm phương trình Với tử số mẫu số cho thu được: Đặt , ta chia Thay vào phương trình để quy phương trình bậc theo b) Phương trình: với Phương pháp : Dựa vào đẳng thức Ta viết lại phương trình thành: Đặt quy phương trình bậc Ví dụ 1) Giải phương trình: a) b) c) (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2013) (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh 2010) (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHSP Hà Nội 2008) d) Giải: 136 a) Điều kiện Ta viết lại phương trình thành Đặt phương trình có dạng Nếu ta có: Nếu phương trình vơ nghiệm b) Để ý được: nghiệm nên ta chia tử số mẫu số vế trái cho Đặt thu phương trình trở thành: Với ta có: vơ nghiệm Với ta có: c) Giải phương trình ta thu nghiệm d) Sử dụng HĐT ta viết lại phương trình thành: hay Suy phương trình cho vơ nghiệm 137 BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 138 LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Đặt Với Phương trình cho thành Với Vậy tập nghiệm phương trình 2) Biến đổi phương trình thành Đặt phương trình thành Với thì , phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình 3) Đặt phương trình cho thành Vậy tập nghiệm phương trình cho 4) Đặt phương trình trở thành: Vậy tập nghiệm phương trình 139 Với 5) Do khơng phải nghiệm phương trình, chia hai vế cho Đặt ta phương trình trở thành 6) Biến đổi phương trình thành Do không nghiệm nên chia hai vế phương trình cho Đặt phương trình trở thành Với nghiệm) Với thì (vơ Vậy tập nghiệm phương trình 7) Do ta được: khơng nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho Đặt , phương trình trở thành: Suy tập nghiệm phương trình 8) Phương trình khơng nhận Đặt Vậy nghiệm, chia hai vế cho phương trình trở thành 140 ta Với Với thì Vậy tập nghiệm phương trình 9) (8) Lời giải: Ta thấy nên phương trình (8) phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỉ lệ Đặt Phương trình (9) trở thành suy Với Phương trình có hai nghiệm Với Phương trình có hai nghiệm Vậy PT (8) có tập nghiệm 10) Điều kiện Ta biến đổi phương trình thành 141 Đặt , phương trình trở thành Do Tìm tập nghiệm phương trình 11) Biến đổi phương trình thành Đặt dẫn đến phương trình bTìm tập nghiệm phương trình 12) Điều kiện Biến đổi phương trình thành 142 Đặt phương trình (*) có dạng Mặt khác với phương trình cho có nghiệm Do phương trình (*) vơ nghiệm Vậy 13) Lời giải: Điều kiện Biến đổi phương trình thành Đặt phương trình (*) trở thành Từ ta có Vậy tập nghiệm phương trình cho 14) Do khơng nghiệm phương trình nên chia tử mẫu phân thức vế trái phương trình cho , đặt ta 143 Phương trình có nghiệm Với Phương trình vơ nghiệm Với Phương trình có hai nghiệm Vậy phương trình cho có tập nghiệm 15) Đặt , phương trình (1) thành Với Với Vậy tập nghiệm phương trình (1) 16) Lời giải: Đặt đưa phương trình (2) dạng tổng quát Bạn đọc giải phương pháp nêu Ta giải cách khác sau Viết phương trình cho dạng Đặt , phương trình thành 144 Vậy tập nghiệm PT(2) 17) PTtương đương với Đặt , PT thành Vậy tập nghiệm phương trình 18) Điều kiện Khử mẫu thức ta phương trình tương đương: đặt , suy , PT thành , suy hay (thỏa mãn đk) Với suy 19) (5) PT(5) trở thành ĐK: Khử mẫu thức ta PT tương đương ta có (thỏa mãn đk) Vậy tập nghiệm PT(4) Lời giải: Đặt Với (thỏa mãn ĐK) 145 Với Với phương trình vơ nghiệm PT(5) Vậy tập nghiệm 20) PT Giải phương trình trùng phương ta tập nghiệm PT 21) Lời giải: Điều kiện Đặt , PT có dạng: Dẫn đến kiện) Vậy tập nghiệm PT(2) 146 (thỏa mãn điều ... phương trình trở thành: Ta cần Phương trình trở thành: d) Phương trình cho viết lại sau: Ta tạo phương trình: Ta cần: Phương trình trở thành: Ví dụ 2) a) Giải phương trình: b) Giải phương trình: ... nghiệm phương trình 2) Biến đổi phương trình thành Đặt phương trình thành Với thì , phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình 3) Đặt phương trình cho thành Vậy tập nghiệm phương trình. .. chia Phương trình tương đương: Ta có phương trình: Dạng 5: Phương trình Đặt ta đưa phương trình trùng phương Ví dụ 1: Giải phương trình: 1) 2) 3) 4) Lời giải: 1) Ta thấy không nghiệm phương trình