Luyện thị lớp 10: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO, PT PHÂN THỨC

Phương pháp đưa về dạng tích: Tức là biến đổi phương trình: Đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau: Cách 1: Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng: Cách 2: Nhẩm nghiệm

Chủ đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Để giải một phương trình bậc lớn hơn 3 Ta thường biến đổi phương trình đó về một trong các dạng đặc biệt đó là:

1 Phương pháp đưa về dạng tích: Tức là biến đổi phương trình:

Đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:

Cách 1: Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng:

Cách 2: Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu là một nghiệm của phương trình

thì ta luôn có sự phân tích: Để dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:

Chú ý:

Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định Ta thường áp dụng cho phương trình bậc bốn.

Đặc biệt đối với phương trình bậc 4: Ta có thể sử dụng một trong các cách xử lý sau:

 Phương trình dạng:

Phương pháp: Ta thêm bớt vào 2 vế một lượng: khi đó phương trình trở thành:

Ta mong muốn vế phải có dạng:

 Phương trình dạng:

Ta sẽ tạo ra ở vế phải một biểu thức bình phương dạng:

Bằng cách khai triển biểu thức:

Ta thấy cần thêm vào hai vế một lượng:

khi đó phương trình trở thành:

Bây giờ ta cần:

Ta sẽ phân tích để làm rõ cách giải các bài toán trên thông qua các ví dụ sau:

Ví dụ 1)

Giải các phương trình:

b)

Lời giải:

a)

Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng:

Khi đó phương trình trở thành:

b)

Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng:

Ta viết lại phương trình thành:

c) Phương trình có dạng:

Ta tạo ra vế trái dạng:

Tức là thêm vào hai vế một lượng là: phương trình trở thành:

Ta cần Phương trình trở thành:

d) Phương trình đã cho được viết lại như sau:

Ta tạo ra phương trình:

Ta cần:

Phương trình trở thành:

Ví dụ 2)

b) Giải phương trình:

Lời giải:

Vậy phương trình có hai nghiệm

b) Phương trình

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

c) Ta có phương trình

2 Phương pháp đặt ẩn phụ:

Là phương pháp khá hữu hiệu đối với các bài toán đại số, trong giải phương trình bậc cao cũng vậy, người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển phương trình bậc cao về phương trình bậc thấp hơn Một số dạng sau đây ta thường dùng đặt ẩn phụ

Dạng 1: Phương trình trùng phương: (1)

Với dạng này ta đặt ta chuyển về phương trình: (2)

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) phụ thuộc vào số nghiệm không âm của (2)

Dạng 2: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy):

Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho ta

thay vào ta được phương trình:

Phương trình

hai vế phương trình cho Phương trình tương đương:

Dạng 5: Phương trình Đặt ta đưa về phương trình trùng phương

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

1) 2)

3) 4)

Lời giải:

1) Ta thấy không là nghiệm phương trình nên chia hai vế pương trình cho ta được:

Với

2) Đặt ta được:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Chú ý: Với bài 2 ta có thể giải bằng cách khác như sau: Trước hết ta có BĐT:

Áp dụng BĐT này với: Đẳng thức xảy ra khi

4) Phương trình

Vì không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho ta được:

Đặt , ta có:

*

*

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm:

Ví dụ 2)

a) Giải phương trình:

b) Giải phương trình:

c) Giải phương trình:

Lời giải:

a) Vì không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho ta được:

Đặt

*

b) Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể áp dụng cách giải mà

ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng

Ta thấy không là nghiệm của phương trình Chia 2 vế của phương trình cho ta được:

nên phương trình trở thành:

*

c) Phương trình

Đặt , ta có phương trình:

Vậy phương trình có hai nghiệm:

Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình

Dạng 6:

Phương pháp giải: Nhận xét không phải là nghiệm của phương trình Với , ta chia cả

tử số và mẫu số cho thì thu được:

để quy về phương trình bậc 2 theo

Phương pháp : Dựa vào hằng đẳng thức Ta viết lại phương trình thành:

Đặt quy về phương trình bậc

2

Ví dụ 1) Giải các phương trình:

a) (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2013)

b) (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh 2010)

c) (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHSP Hà Nội 2008)

d)

Giải:

a) Điều kiện

thì phương trình có dạng

phương trình vô nghiệm

b) Để ý rằng nếu là nghiệm thì nên ta chia cả tử số và mẫu số vế trái cho thì thu

Giải 2 phương trình ta thu được các nghiệm là

hay

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:

14)

21)

LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1) Đặt Phương trình đã cho thành Với thì hoặc

Vậy tập nghiệm của phương trình là

2) Biến đổi phương trình thành Đặt thì phương trình trên thành

Vậy tập nghiệm của phương trình là

3) Đặt thì phương trình đã cho thành

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

Vậy tập nghiệm của phương trình là

5) Do không phải là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho ta được

Đặt thì phương trình trở thành

6) Biến đổi phương trình thành

Do không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho ta được:

Đặt thì phương trình trở thành

nghiệm) Với thì Vậy tập nghiệm của phương trình là

7) Do không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình cho ta

8) Phương trình không nhận là nghiệm, chia hai vế cho được

Đặt thì phương trình trở thành

hoặc

Lời giải:

Ta thấy và nên phương trình (8) là phương trình bậc bốn có hệ số

Phương trình có hai nghiệm

Vậy PT (8) có tập nghiệm

10) Điều kiện Ta biến đổi phương trình thành

Đặt , phương trình trở thành

Do đó Tìm được tập nghiệm của phương trình là

bTìm được tập nghiệm của phương trình là

12)

Đặt thì phương trình (*) có dạng

Mặt khác với mọi Do đó phương trình (*) vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

13)

Lời giải:

Điều kiện Biến đổi phương trình thành

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

14)

Do không là nghiệm của phương trình nên chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức ở vế trái của phương trình cho , rồi đặt ta được

Phương trình trên có 2 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

15) Đặt , phương trình (1) thành

hoặc

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là

16) Lời giải:

Bạn đọc giải tiếp theo phương pháp đã nêu Ta có thể giải bằng cách khác như sau

Đặt , phương trình thành

Vậy tập nghiệm của PT(2) là

18) Điều kiện Khử mẫu thức ta được phương trình tương đương:

, suy ra (thỏa mãn đk) Với ta có hay suy ra (thỏa mãn đk) Vậy tập nghiệm của PT(4) là

Lời giải: Đặt PT(5) trở thành

ĐK: Khử mẫu thức ta được PT tương đương

hoặc (thỏa mãn ĐK)

Với thì phương trình vô nghiệm

PT(5) là

20) PT

Giải phương trình trùng phương trên ta được tập nghiệm của PT là

21) Lời giải:

Điều kiện

Dẫn đến

hoặc (thỏa mãn điều

kiện) Vậy tập nghiệm của PT(2) là