Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Chủ đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Để giải phương trình bậc lớn Ta thường biến đổi phương trình dạng đặc biệt là: Phương pháp đưa dạng tích: Tức biến đổi phương trình: � �f x F x � f x g x � � �g x Đưa phương trình tích ta thường dùng cách sau: Cách 1: Sử dụng đẳng thức đưa dạng: a b 0, a3 b3 0, Cách 2: Nhẩm nghiệm chia đa thức: Nếu x a nghiệm phương trình f x ta ln có phân tích: f x x a g x Để dự đoán nghiệm ta dựa vào ý sau: Chú ý: Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định Ta thường áp dụng cho phương trình bậc bốn Đặc biệt phương trình bậc 4: Ta sử dụng cách xử lý sau: Phương trình dạng: x ax bx c Phương pháp: Ta thêm bớt vào vế lượng: 2mx m phương trình trở thành: ( x m) (2m a) x bx c m Ta mong muốn vế phải có dạng: ( Ax B ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2m a � �� �m b 4(2m a)(c m2 ) � Phương trình dạng: x ax bx cx d Ta tạo vế phải biểu thức bình phương dạng: �2 a � �x x m � � � Bằng cách khai triển biểu thức: � a �2 �2 a � x x m x ax m � �x amx m Ta thấy cần � � � � � � � a �2 2m �x amx m thêm vào hai vế lượng: � � � phương trình trở thành: � a2 �2 a � � 2m b �x (am c ) x m d �x x m � � � � � � � a2 m b � � �m? Bây ta cần: � � � a2 � VP (am c) � 2m b � m d � � � � Ta phân tích để làm rõ cách giải tốn thơng qua ví dụ sau: Ví dụ 1) Giải phương trình: a) x 10 x x 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) x 22 x x 77 c) x x3 x x d) x x3 x x Lời giải: a) x 10 x x 20 � x 10 x x 20 Ta thêm vào vế phương trình lượng: 2mx m Khi phương trình 2 2 x 2mx m (10 2m) x x m 20 trở thành: Ta có VP 4(m 20)(10 2m) � m Ta viết lại phương trình thành: 2 �9 � � 9� � 1� x x � � x x � �x � �x � �2 � � 2� � 2� � ( x x 5)( x x 4) � x 1 � 17 � 21 x 2 b) x 22 x x 77 � x 22 x x 77 Ta thêm vào vế phương trình lượng: 2mx m Khi phương trình 2 2 x 2mx m (22 2m) x x m 77 trở thành: Ta có VP 4(22 2m)(m 77) � m 9 Ta viết lại phương trình thành: x 18 x 81 x x � x x 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � x 1 �2 � ( x x 7)( x x 11) � � x �2 � c) Phương trình có 4 x x x x � x x 8 x x dạng: Ta tạo vế trái dạng: ( x 3x m) x x (9 2m) x 6mx m Tức thêm vào hai vế lượng là: (9 2m) x 6mx m phương trình trở thành: ( x 3x m) (2m 1) x (6m 2) x m Ta cần 'VP (3m 1) (2m 1)( m 1) � m Phương trình trở thành: ( x 3x ) ( x 1) � x 2 � x 2 � � ( x x 1)( x x 1) � � x 1 � � x 1 � d) Phương trình x x3 x x cho 3 2 viết lại sau: Ta tạo phương trình: ( x x m) (2m 6) x (2m 6) x m 2m � � m 1 Ta cần: � 'VP (m 3)2 (2m 6)( m 3) � Phương trình trở thành: ( x x 1) (2 x 2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � 3 21 x � 2 � � ( x x 3)( x x 1) � � 3 21 x � � Ví dụ 2) a) Giải phương trình: x x 12 x (1) b) Giải phương trình: x 13 x 18 x c) Giải phương trình: x 10 x3 11x x (4) Lời giải: a) Ta có phương trình � x x 3 (1.1) � x2 2x � x x x x 3 � �2 � x 1; x Vậy x 2x � 2 phương trình có hai nghiệm x 1; x 2 b) Phương trình � x x x 18 x � x 3x 3 � x 3x x 3x 1 2 � 3 � 29 x � � x 3x � �2 �� Vậy phương trình cho có � 3� x 3x � x � � 2 nghiệm x 3 � 29 3� ;x 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word c) Ta có phương trình 2 1� �1 3� � 1� � � �x x � x x � x �� �x x � x 3x 1 4� 4 16 �2 4� � 2� � � 2� x � � 2x 4x 1 � �2 �� � � 13 x 3x � x � � 2 Phương pháp đặt ẩn phụ: Là phương pháp hữu hiệu tốn đại số, giải phương trình bậc cao vậy, người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển phương trình bậc cao phương trình bậc thấp Một số dạng sau ta thường dùng đặt ẩn phụ Dạng 1: Phương trình trùng phương: ax bx c a �0 (1) Với dạng ta đặt t x , t �0 ta chuyển phương trình: at bt c (2) Chú ý: Số nghiệm phương trình (1) phụ thuộc vào số nghiệm khơng âm (2) Dạng 2: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy): ax �bx cx �kbx k a k Với dạng ta chia hai vế �2 k � � k � x x � a ta được: �x ��b �x � c phương trình cho � x � � x� http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word k k2 � k � Đặt t x với t �2 k ta có: x �x � 2k t 2k x x � x� thay vào ta phương trình: a t 2k �bt c Dạng 3: Phương trình: x a x b x c x d e, a+b=c+d x a b x ab � x c d x cd � Phương trình � � � �� � � e Đặt t x a b x , ta có: t ab t cd e Dạng 4: Phương trình x a x b x c x d ex , ab cd Với dạng ta chia hai vế phương trình cho x x �0 Phương trình tương đương: � ab �� cd � � x a b x ab � x c d x cd � x a b �� x c d � e � �� � � ex � � � x �� x � Đặt t x ab cd x Ta có phương trình: t a b t c d e x x Dạng 5: Phương trình x a x b c Đặt x t 4 ab ta đưa phương trình trùng phương Ví dụ 1: Giải phương trình: 1) x x x x 2) x 1 x 3 3) x x 1 x x 3 24 4) 4 x x 3 x x x Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 1) Ta thấy x khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế pương trình cho x ta được: � � 1� � �x � �x � Đặt � x � � x� 1 � 1� t x , t �2 � x �x � t Ta có: x x � x� t2 � � t 5t � 2t 5t � Với � t � t 2� x � x2 2x x 2) Đặt x t ta được: t 1 t 1 � t 6t � t � x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 2 Chú ý: Với ta giải cách khác sau: Trước hết ta có BĐT: a b4 �a b � �� � với a b �0 �4 � này với: a x 1, b Áp dụng BĐT xảy x 2 x VT VP Đẳng thức 2 3) Ta có phương trình: � x 3x x 3x 24 Đặt t x x Ta được: t t 24 � t 2t 24 � t 6, t * t 6 � x x � phương trình vơ nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word * t � x 3x � x 1; x 4 Vậy phương trình có hai nghiệm x 1; x 4 2 4) Phương trình � x x 12 x x 12 x Vì x khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x ta được: 12 � 12 � � 12 � �x � �x 1� Đặt t x , ta có: x � x � � x � t 1 � t2 � t t 1 � t 3t � � * t 1� x x4 � 12 � x x 12 � � x 3 x � * t � x x 12 � x � 13 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm: x 3; x 4; x � 13 Ví dụ 2) a) Giải phương trình: x x 1 x 1 x 1 2 b) Giải phương trình: x 3x5 x 21x3 x 3x c) Giải phương trình: x 1 x x 3 x x 360 d) Giải phương trình: x x x 24 x 30 Lời giải: a) Vì x 1 khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế cho x3 ta được: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x2 x x 1 Đặt 2 x 1 x x 1 t x2 x � 3t � 3t 5t � t 2, t x 1 t * t � x 3x � x � 13 * t � x x phương trình vơ nghiệm b) Đây phương trình bậc ta thấy hệ số đối xứng ta áp dụng cách giải mà ta giải phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng Ta thấy x không nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho x ta được: x3 1 � � 1� � �x � �x � 21 Đặt t x , t �2 Ta có: x x � x � � x� x2 1 t 2; x t t 3 nên phương trình trở thành: x x t t 3 t 6t 21 � t 3t 9t 27 � t 3 * t 3� x t 3 � t 3 � t 3 � � 3� � x 3x � x x * t 3 � x 3x � x nghiệm x 3 � Vậy phương trình có bốn 3 � 3� ;x 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � ax � b) Phương trình: x � � b với a �0, x � a �x a � Phương pháp : Dựa vào đẳng thức a b a b 2ab Ta viết lại phương trình thành: 2 � x2 � x2 x2 x2 � ax � x a b � a b Đặt t � � � � xa xa xa � xa� �x a � quy phương trình bậc Ví dụ 1) Giải phương trình: a) x 25 x x 5 11 (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2013) 12 x 3x (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên b) x 4x x 2x Đại học Vinh 2010) x2 3x x (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên c) x 2 ĐHSP Hà Nội 2008) x3 3x2 x 20 d) x 1 x Giải: a) Điều kiện x �5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta viết lại phương trình thành 2 � x � 10 x x2 � x � 10 x x 11 � 11 Đặt t � � � � x5 � x5� x5 �x � x t 1 � phương trình có dạng t 10t 11 � � t 11 � Nếu t ta có: t 11 � x2 � 21 Nếu � x2 x � x x5 x2 11 � x 11x 55 phương trình vơ nghiệm x5 b) Để ý x nghiệm x �0 nên ta chia tử 12 số mẫu số vế trái cho x thu được: Đặt t x x4 x x2 x 1 phương trình trở thành: x t 1 � 12 � 12t 3t t 2t � t 7t � � t 6 t2 t � Với t ta có: x có: x � t t vô nghiệm Với t ta x � x2 x � x � x c) 2 �x � �x � �x � x � x 1 � � x 3� x 1� � � �x � �x � �x � Giải phương trình ta thu nghiệm x � 6; x 3 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word d) Sử dụng HĐT a b3 a b 3ab a b ta viết lại phương trình thành: x3 3x x � x2 � x � 3x � x � x x 20 � � � � x 1� � x 1 � x 1 � x 1 x 1 x hay 3 � x � �x � x �x � x2 � � � x2 x � � � � � � x x x x x � � � � � � Suy phương trình cho vơ nghiệm BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải phương trình sau: 1) x x x x 3 2) x 3) 4) x x 1 x 1 x 3 82 x 1 x x x 10 2 5) x x x x x 6) x x 1 x x x 7) x x 1 x 3x 1 x 2 8) x x x x 9) x 21x 34 x 105x 50 1 1 10) x x 1 x x x x x 4 x8 x 8 11) x 1 x 1 x x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) x 1 x6 x2 x5 x x x 12 x 35 x x x 10 x 24 x x x x x 3x x x 0 x 1 x2 x3 x4 4x 3x 1 x x x 10 x x 3x 1 x2 x 1 x x x 1 x x 1 x x3 16 x 18 x x 12 3x x x 2 2x 13 x 6 3x x 3x x x x 1 x 2 21) x2 �x � �x � 20 � 20 � � � x2 �x � �x � LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Đặt x x t Phương trình cho thành t2 � t t 1 � � t 3 � Với t x x � x x � x x 1 Với t 3 x x 3 � x x � x 1 � 21 Vậy tập nghiệm phương trình � 1 21 1 21 � S � 1;0; ; � 2 � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2) Biến đổi phương trình thành 36 x 84 x 49 36 x 84 x 48 12 Đặt t 36 x 84 x 48 phương trình thành t 3 � t t 1 12 � � t 4 � Với t x 2 Với t 4 36 x 84 x 48 4 � 36 x 84 x 52 , phương trình vô nghiệm 36 x 84 x 48 � 36 x 84 x 45 � x � 3� ; � Vậy tập nghiệm phương trình S � �6 3) Đặt y x phương trình cho thành x0 �y � 24 y 48 y 216 82 � � �� x 2 �y 1 � Vậy tập nghiệm phương trình cho S 2; 0 x 1 x x x x phương trình trở 4) Đặt y thành: y � � y x 3 y 1 10 � y y � � �� y x 3 � � Vậy tập nghiệm phương trình S 3; 5) Do x nghiệm phương trình, chia � � � � hai vế cho x ta �x 1� �x � Đặt y x x � x � � x � phương trình trở thành � x 0 � y x 1 � � x y 1 y � � �� �� y 3 � x 2 � � x 3 � � x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 6) Biến đổi phương trình thành x x 4 x 1 x 8 x � x2 6x 8 x 9x 8 4x Do x không nghiệm nên chia hai vế phương trình cho x ta được: � � � � �x � �x � Đặt y x phương trình trở x � x � � x � y5 � thành y y � y 15 y 50 � � Với y y 10 � x � x 5x (vô nghiệm) Với y 10 x x � x 17 10 � x 10 x � � x x 17 � Vậy tập nghiệm phương trình S 17;5 17 7) Do x không nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho x ta 2 � � � � �x � �x � Đặt y x , phương trình trở x � x � � x � y 1 � 2 thành: y y 3 � y � � Suy y 1 � � 1 � � x x � � x � � � Vậy tập nghiệm phương trình � 1� � x 1 � x � � x � �1 � � � S � ; � � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 8) Phương trình khơng nhận x nghiệm, chia hai vế � � 1� � �x � �x � Đặt t x x � x � � x� phương trình trở thành 3t 4t cho x 3t 4t � t t Với t x Với t x4 1 1 x � x2 x � x x 2 1 1 37 x � 3x x � x3 x 37 Vậy tập nghiệm phương trình 37 37 � � S � ; ; ; � 2 � � 9) x 21x 34 x 105 x 50 (8) Lời giải: 105 50 5 k 25 nên phương trình (8) 21 phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỉ lệ Ta thấy k 8 � � �x � t x2 25 � � � 21�x � 34 Đặt t x suy � x � � x� x 25 10 Phương trình (9) trở thành x2 2t 21t 54 � t t Với t http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x � x x � x x Phương trình có hai x nghiệm x1 14; x2 14 Với x x � x x 10 Phương trình có hai nghiệm x x3 161 161 Vậy PT (8) có tập nghiệm ; x4 4 � 161 161 � S � 14;3 14; ; � 4 � � 10) Điều kiện x � 1; 2; 3; 4;0 Ta biến đổi phương trình thành x 2 x 2 � �1 � 1 �1 0� 0 � � � � x 4x x x x �x x � �x x � x � 1 Đặt u x x , phương x x x x 2( x x 4) trình trở thành 1 0 u u u 4 � 25 145 u � 5u 25u 24 10 � 0� � 2u u 3 u � 25 145 u � 10 � �2 25 145 x 4x � 10 Do � Tìm tập nghiệm phương �2 25 145 x 4x � 10 � trình http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � 15 145 15 145 15 145 15 145 � � � S � 2 ; 2 ; 2 ; 2 � 10 10 10 10 � � � 11) Biến đổi phương trình thành 5 10 10 10 40 � x 1 x x x x 1 x Đặt u x u �1, u �4; u �0 dẫn đến phương trình u 16 � � 4u 65u 16 � bTìm tập nghiệm phương � u � � �1 trình S � ; 4; ; � �2 12) Điều kiện x � 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0 Biến đổi phương trình thành � x 1 x6 x2 x5 x x x x x 1 x 3 x x x �1 � x6� 1 � � � � � �x x � �x x � x2�1 � x5� 1 � � � � � �x x � x �x x � � 1 1 1 1 x x x x x 1 x x x ��1 � �1 ��1 � �1 �� � � � � � � � �x x � �x x � �x x x � �x x � 1 � � � 2x 7 � � �x x x 10 x x x x 12 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � x � �� 1 � 0(*) �x x x x 10 x x x x 12 Đặt u x x phương trình (*) có dạng 1 1 �� 1 � �1 0�� � � � u u 10 u u 12 �u u � �u 10 u 12 � � u 18u 90 Mặt khác u 18u 90 u với u Do phương trình (*) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x 13) Lời giải: Điều kiện x � 4; 3; 2; 1 Biến đổi phương trình thành 4 ��2 � �1 0�� � � � x 1 x x x �x x � �x x � x0 � � � � � x�2 � � � x x x x 0(*) � � �x x x x Đặt u x x phương trình (*) trở thành 11 � u Từ ta có u4 u6 2 x 10 x 11 � x 5 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Vậy tập nghiệm phương trình cho � 5 5 � S � 0; ; � 2 � � 14) Do x khơng nghiệm phương trình nên chia tử mẫu phân thức vế trái phương trình cho x , đặt y x ta x 1 y y 10 Phương trình có nghiệm y 16, y Với y x � x x Phương trình vơ x nghiệm Với y 16 x 16 � x 16 x Phương trình có x hai nghiệm x1 ; x2 2 �1 � Vậy phương trình cho có tập nghiệm S � ; � �2 15) Đặt t x x , phương trình (1) thành t x t x x � t 16 x x � t 25 x � t 5 x t 5x Với t 5 x x x 5 x � x x � x 3 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Với t x x x x � x x � x 2� �3 � � � ; Vậy tập nghiệm phương trình (1) � � � � 16) Lời giải: Đặt u x đưa phương trình (2) dạng tổng quát u 7u 3 u 2u 3 6u Bạn đọc giải phương pháp nêu Ta giải cách khác sau Viết phương trình cho dạng x x 5 x x 1 Đặt t x , phương trình thành t 5 x t 6 x x 1 � t x t x 1 � x 3� � � t 6x x2 6x x2 6x � � �� � �2 � �2 � � 1 � 21 t x 1 x x 1 x x5 � x � � � � Vậy tập nghiệm PT(2) � 1 21 �1 21 S � ;3 7; ;3 � � � 17) 2 PTtương đương với x x x 16 x Đặt t x t x x , PT thành http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word t xt 20 x � t x t x � x 2� � � t 4x x2 4x x2 4x � � �� � �2 � �2 � � � 33 t 5x x 5x x 5x � x � � � � Vậy tập nghiệm phương trình 33 33 � � 6; ; 6; � � 2 � � 18) Điều kiện x �2 Khử mẫu thức ta phương trình tương đương: x x3 16 x 36 x 12 � 3x x x 16 x 12 đặt t x t x 12 x 36 , suy x 3t 36 x 108 , PT thành 3t xt 20t � t 3t x 20 � t 3t 6 x 20 Với t x , suy x � (thỏa mãn đk) Với 3t 6 x 20 ta có 3x 18 6 x 20 hay x x suy x 3 � (thỏa mãn đk) Vậy tập � 3 �3 ; 6; ; � nghiệm PT(4) S � � � 2x 13 x (5) 19) 3x x 3x x Lời giải: Đặt t x PT(5) trở thành 2x 13 x ĐK: t �5 x, t � x t 5x t x Khử mẫu thức ta PT tương đương http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2t 13tx 11x � t x 2t 11x � t x t 11 x (thỏa mãn ĐK) Với t x x x � 3x x phương trình vơ nghiệm Với t 11 11 x x x � x 11x � x x 2 �1 � Vậy tập nghiệm PT(5) � ; � �2 2 2 PT � x x 1 x 1 x 20) � x4 x2 x4 x2 � x4 x2 x4 x2 � x x 1 � x x Giải phương trình trùng phương ta tập nghiệm � � PT � � � 21) 1 ; 1 � � � � Lời giải: Điều kiện x ��1 Đặt x2 x2 y; z , PT có dạng: x 1 x 1 20 y z 20 yz � y z � y z http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Dẫn đến x2 x2 � x x 1 x x 1 x 1 x 1 � x x x 3x � x x � x x 73 73 (thỏa mãn điều kiện) �9 73 73 � ; Vậy tập nghiệm PT(2) � � � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... 10 Do � Tìm tập nghiệm phương �2 25 1 45 x 4x � 10 � trình http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � 15 1 45 15 1 45 15 1 45 15 1 45 � � � S � 2 ; 2 ... x 21x 34 x 1 05 x 50 (8) Lời giải: 1 05 50 5 k 25 nên phương trình (8) 21 phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỉ lệ Ta thấy k 8 � � �x � t x2 25 � � � 21�x �... � x � � 2 Phương pháp đặt ẩn phụ: Là phương pháp hữu hiệu tốn đại số, giải phương trình bậc cao vậy, người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển phương trình bậc cao phương trình bậc thấp Một số