ĐỀ TÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

Nhng để giải các phơng trình bậc cao hơn phải đến đầu thế kỷ 19, nhà Toán học Nauy là Abet 1802 – 1829 chứng minh đợc rằng phơng trình tổng quát bậc 5 và lớn hơn bậc 5 là không để giải

Nhng để giải các phơng trình bậc cao hơn phải đến đầu thế kỷ 19, nhà Toán học Nauy là Abet ( 1802 – 1829) chứng minh đợc rằng phơng trình tổng quát bậc

5 và lớn hơn bậc 5 là không để giải đợc bằng các phơng tiện thuần tuý đại số Sau cùng nhà toán học Pháp là Galoa ( 1811 – 1832) đã giải quyết một cách trọn vẹn

về vấn đề phơng trình đại số

Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán ở bậc trung học cơ sở tôi nhận thấy mảng giải phơng trình bậc cao đợc đa ra ở sách giáo khoa lớp 8, 9 là rất khiêm tốn, nội dung sơ lợc, mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho nó là quá ít ỏi Bên cạnh đó là các nội dung bài tập ứng dụng thì rất phong phú, đa dạng

và phức tạp Các phơng trình bậc cao là một nội dung thờng gặp trong các kỳ thi ở Bậc THCS, THPT và đặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và cao đẳng

Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự trở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với phơng trình bậc cao Cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm có đợc của bản thân qua nhiều năm giảng dạy Kết hợp với những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội đợc trong chơng trình Đại học Toán mà đặc biệt là sự h-

ớng dẫn tận tình của các thầy cô giáo Tôi mạnh dạn chọn đề tài “Những phơng

pháp giải phơng trình bậc cao.”

Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này,

tự phân loại đợc một số dạng toán giải phơng trình bậc cao, nêu lên một số phơng pháp giải cho từng dạng bài tập Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc giải phơng trình bậc cao Qua nội dung này tôi hy vọng học sinh phát huy đợc khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua cá bài tập nhỏ Từ đó hình thành cho học sinh khả năng t duy sáng tạo trong học tập

2 - Nhiệm vụ nghiên cứu :

- Kỹ năng giải phơng trình các dạng : phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình bậc hai, phơng trình tích, phơng trình trùng phơng, phơng trình đối xứng

- Kỹ năng giải phơng trình bậc cao quy về bậc nhất, bậc hai ở các dạng cơ bản mà học sinh đã học

3- Đối tợng nghiên cứu :

- Học sinh lớp 8, 9 trờng THCS Bạch Long

- Các phơng pháp giải phơng trình bậc cao đa về bậc nhất, bậc hai trong

ch-ơng trình toán lớp 8, 9

4- Phơng pháp nghiên cứu :

Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết quả Dự giờ, kiểm tra chất lợng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học, thể hiện trên nhiều đối tợng học sinh khác nhau : Học sinh khá, giỏi và học sinh trung bình về môn Toán

5- Phạm vi nghiên cứu :

Giới hạn ở vấn đề giảng dạy phần phơng trình bậc cao trong chơng trình lớp

8, 9 ở THCS ( cụ thể ở trờng THCS Bạch Long)

Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt khi dạy chơng phơng trình ta thấy các dạng phơng trình đa dạng và phong phú, mà ta phải vận dụng nhiều kỹ năng biến

đổi đại số nh sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức mở rộng, dùng các phép biến đổi tơng đơng và các phép biến đổi đại số, phân tích đa thức thành nhân tử

Công cụ giải phơng trình đòi hỏi không cao xa, chỉ với kiến thức toán cấp hai

là đủ Cái quan trọng là yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có sự lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ các khía cạnh, các trờng hợp cụ thể của từng vấn

đề Đặc biệt là yêu cầu đối với những học sinh khá, giỏi phải hết sức sáng tạo, linh hoạt trong khi giải phơng trình, biết đặc biệt hoá và tổng quát hoá những vấn đề cần thiết

Là giáo viên trong quá trình giảng dạy việc cung cấp kiến thức cho học sinh phải thực sự đúng quy trình các bớc biến đổi, phải đảm bảo lôgíc, có hệ thống, không tự tiện cắt bỏ kiến thức để rèn cho các em học sinh thói quen cẩn thận, kỹ năng giải bài tập hợp lôgíc toán học

Việc giải phơng trình bậc cao quy về bậc một nằm trong chơng trình bậc nhất một ẩn phần cuối chơng, đây là một vấn đề khó với các em học sinh trung bình và học sinh đại trà, số tiết dạy cho phần này lại ít

* Đối với giáo viên : Phải hệ thống đợc các khái niệm và các định nghĩa cơ

bản của các dạng phơng trình, các tính chất và các cách giải phơng trình từ đơn giản

đến phức tạp Nghiên cứu, tìm tòi, khai thác để tìm đợc những ứng dụng đa dạng, phong phú của phơng trình Mặt khác phải lựa chọn các phơng pháp thích hợp đối với từng đối tợng học sinh, đồng thời nâng cao nghiệp vụ của giáo viên

* Đối với học sinh : Nắm chắc một cách có hệ thống các khái niệm, định

nghĩa, các phép biến đổi tơng đơng, các tính chất và các hệ quả Từ đó phát triển

khả năng t duy, lôgíc cho ngời học Giúp cho học sinh có một khả năng độc lập, suy diễn và vận dụng, rèn trí thông minh cho học sinh Đồng thời cho học sinh thấy đợc

sự thuận tiện hơn rất nhiều trong giải phơng trình

II- Những kiến thức cơ bản trong giải phơng trình :

1- Các định nghĩa :

1.1 Định nghĩa phơng trình :

Giả sử A(x) = B(x) là hai biểu thức chứa một biến x Khi nói A(x) = B(x) là một phơng trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tơng ứng của hai biểu thức này bằng nhau

Biến x đợc gọi là ẩn

Giá trị tìm đợc của ẩn gọi là nghiệm

Việc tìm nghiệm gọi là giải phơng trình

Mỗi biểu thức gọi là một vế của phơng

Trong đó n nguyên dơng; x là ẩn; a1, a2, a3, , an là các số thực xác định ( an ≠ 0).

2- Các định lý biến đổi tơng đơng của phơng trình :

1 2

−

=

− +

−

x x

Nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình thì đợc một

ph-ơng trình mới tph-ơng đph-ơng với phph-ơng trình đã cho

ở phổ thông không học phép giải tổng quát cho phơng trình bậc ba, bậc bốn còn phơng trình bậc 5 không có phép giải tổng quát Tuy nhiên trong một số trờng hợp đặc biệt có thể đa phơng trình cần giải về những phơng trình bậc 1, bậc 2 Ta phải dựa vào đặc thù của phơng trình cần giải để có phơng pháp thích hợp.

Giải và giảng dạy các bài toán về giải phơng trình bậc cao quy về bậc nhất một ẩn hoặc bậc hai nằm trong quá trình giải phơng trình bậc nhất, bậc 2 Nói chung bao gồm nhiều dạng và phong phú đợc các nhà toán học và s phạm quan tâm

và đề cập tới trong nhiều tài liệu, tập san toán học v.v Căn cứ vào mục đích ý nghĩa kết quả điều tra và thực tế giảng dạy chơng phơng trình Trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi đã nghiên cứu, áp dụng lý luận trong quá trình dạy học, các phơng pháp đặc trng bộ môn, áp dụng các kiến thức đã học để đa các phơng trình bậc cao về bậc nhất, bậc hai bằng nhiều cách

Các dạng cơ bản của phơng trình bậc cao thờng gặp là các phơng trình trùng phơng, phơng trình đối xứng, phơng trình thuận nghịch

B- Các bài toán và phơng pháp giải :

Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm là x = 4.

1.2 Nhẩm nghiệm rồi dùng lợc đồ Hoócne để đa về phơng trình tích.

bn – 2 = x0bn – 1 + an – 1

Việc nhẩm nghiệm các phơng trình dựa trên các cơ sở sau :

1.2.1 Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là một nghiệm của đa thức,

đa thức chứa thừa số x –1

1.2.2 Nếu đa thức có tổng các hệ số của một số hạng bậc chẵn bằng tổng các

hệ số của số hạng bậc lẻ thì -1 là một nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số ( x + 1)

1.2.3 Mọi nghiệm nguyên của đa thức đều là ớc số của hệ số tự do a0

1.2.4 Mọi nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên :

xn + an-1 xn-1 + + a1x + a0 = 0 đều là số nguyên

Kiểm tra thấy x = 4 là 1 nghiệm

áp dụng lợc đồ Hoocne ta đa phơng trình (3) về dạng

(x – 4) ( x2 – x + 4) = 0

<=> x – 4 = 0 (*)

x2 – x + 4 = 0 (**)(*) <=> x – 4 = 0 <=> x = 4(**) <=> x2 – x + 4 = 0

∆ = 1 – 4.4 = 1 – 16 = - 15 < 0 => (**) vô nghiệmVậy nghiệm của pt (3) là x = 4

* Bài toán 4: Giải pt: 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 0 ( 4)

Việc áp dụng nhận xét các mục 1.2.1; 1.2.2 ; 1.2.3 không thể giải quyết đợc vấn đề ( vì ở phơng trình này không có nghiệm nguyên) Ta nghĩ đến cơ hội cuối cùng nếu phơng trình có nghiệm hữu tỉ và áp dụng nhận xét ở mục 1.2.4

(4) <=> 8x3 – 20x2 + 32x – 12 = 0

(**) <=> y2 – 4y + 12 = 0 vô nghiệm vì

<=> ( y – 2)2 + 8 > 0 ∀ yVậy phơng trình ( 4) có một nghiệm và x = 1/2

1.2.5 Việc nhẩm nghiệm nh ở trên sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu số hạng tạ

do a0 lớn và có nhiều ớc số Trong trờng hợp này ta sẽ áp dụng nhận xét sau để đi loại trừ bớt các ớc không là nghiệm của phơng trình một cách nhanh chóng

- Nếu x0 là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1) ≠ 0; f(-1) ≠ 0 thì

đều là các giá trị nguyên

*Bài toán 5 : Giải phơng trình : 4x3 – 13x2 + 9x – 18 = 0 (0)

3

) 1 (

Z f

44 1

3

) 1 (`

=> Phơng trình (5) có khả năng có nhiệm là x1 = 3

áp dụng lợc đồ Hoócne ta đa (5) về dạng sau :

(x-3) ( 4x2 – x + 6 ) = 0

<=> x – 3 = 0 (*)

4x2 – x + 6 = 0 (**)(*) <=> x = 3

(**) <=> 4x2 – x = 6 = 0

∆ = (-1)2 – 4.4.6 < 0 => (**) vô nghiệm

Nên phơng trình (5) có một nghiệm là : x = 3

* Chú ý :

- Việc nhẩm nghiệm phơng trình có thể nhẩm miệng rồi dùng thuật toán chia

đa thức cho đa thức để hạ bậc và đa phơng trình về dạng tích

- Có thể dùng lợc đồ Hoócne để xác định ớc số nào của a0 là nghiệm, ớc số nào không là nghiệm và đa ngay ra dạng phân tích

Víi a + b = c + d hoÆc a + c = b + d hoÆc a + d = b + c.

* Bµi to¸n 8 : Gi¶i ph¬ng tr×nh

x = - 1; x = -3

Dạng 4: Phơng trình đối xứng bậc chẵn có dạng:

a0x2n + a1x2n-1 + + an – 1xn + anxn –1 + + a1x + a0 = 0

Cách giải: Vì 0 không là nghiệm của phơng trình nên chia cả hai vế của

ph-ơng trình cho x2 rồi đa về phơng trình bậc n bằng cách đặt y = x + 1/x

* Bài toán 10: Giải phơng trình

2x4 + 3x3 – 3x2 + 3x + 2 = 0 ( 1)

Giải: x = 0 không là nghiệm của ( 1)

Với x ≠ 0 chia 2 vế của (1) cho x2 ta đợc phơng trình tơng đơng

0 2 3 3 3

2 2 + − + + 2 =

x x x x

0 5 ) 1 ( 3 ) 1 ( 2

0 5 ) 1 ( 3 ) 1 2 ( 2

2 2 2

=

− + + +

⇔

=

− + + + +

⇔

x

x x

x

x

x x

7 3

; 1 4

7 3

2 1

x x

2

5

1 =− +

x x

2

1 4

3 5

1

−

= +

2 =− − = −

x

3 2

1 = − +

x

Dễ dàng thấy rằng x = 0 không là nghiệm của (3)

Chia cả 2 vế của ( 3) cho x2 ≠ 0, ta có phơng trình tơng đơng

2x 2 + 3x – 16 + 3 1+ 2 12 = 0

x x

0 20 ) 1 ( 3 ) 1 (

⇔

x

x x

x

x+1

2

5 4

13 3

1 =− + =

4

1 = − +

x x

3 2

x x

3 4

3 5

1 = + =

x

2

1 4

3 5

2 = − =

x

3 2

cần sử dụng trong quá trình giải bài tổng quát, bài tơng tự, đặc biệt dùng để bồi ỡng học sinh giỏi nhằm phát triển t duy.

d-* Dạng 6: Phơng trình có dạng:

(x + a) (x + b) ( x+ c) ( x + d) = mx2

Cách giải: Đặt ẩn phụ y = x + ad/2 hoặc y = (x + a) (x + d)

*Bài toán 12: Giải phơng trình

<=> x1 = - 8; x2 = -15/2Với y = -3/2 ta có : 2x2 + 35x + 120 = 0

4

265 35

*Bài toán 13: Giải phơng trình

* Dạng 7: Phơng trình có dạng d( x + a) (x + b) ( x + c) = mx

Trong đó: d = a+2b+c

; m = (d – a)(d – b)(d – c)

* Cách giải: Đặt ẩn phụ y = x + d, một nghiệm của phơng trình là y = 0

* Nhận xét: Một số thiếu sót thờng mắc khi biến đổi phơng trình:

- Khi chia 2 vế cho một đa thức của phơng trình

f1(x)g(x) = f2(x)g(x) (1) thành f1(x) = f2(x)

- Khử luỹ thừa bậc chẵn ở 2 vế của phơng trình f2n(x) = g2n(x) (2)

thành f(x) = g(x) Hai phép biến đổi này có thể làm mất nghiệm

- Đối với phơng trình đầu nên chuyển vế để đa về phơng trình tích hoặc giải phơng trình f1(x) = f2(x)

- Đối với phơng trình (2) giải 2 phơng trình f(x) = g(x) và f(x) = -g(x)

7 + = −

−

x x

*Bài toán 14 : Giải phơng trình : x3 + 9x2 + 18x + 28 = 0 (*)

3 – Phơng pháp đa về hai luỹ thừa cùng bậc

* Cách giải: Ta thêm bớt hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức thích hợp rồi

từ đó đa hai vế của phơng trình về luỹ thừa cùng bậc Sau đó vận dụng các hằng

đẳng thức đã học để giải phơng trình

<=>

= +

⇔

) 6 2 ( 2

6 2 2

2

2

x x

x x

*Bµi to¸n 16: Gi¶i ph¬ng tr×nh

0 )4 (

2

2 2

x x

0 4

2

x x

(2)(3)

* Cách giải: Dùng tính chất đơn điệu của hàm số trên từng khoảng

* Bài toán 18: Giải phơng trình:

1 9

85+ − 6 =

Dễ thấy x = 8 ; x = 9 đều là nghiệm của (1)

Xét các giá trị còn lại của x

= + +

= +

d b b

c b a b a

b b b a a

a a a

2 1

1 2 2 1

2 1 2 1

2 1

Tiếp theo tiến hành nhẩm tìm các hệ số a1; b1; a2 ; b2 Bắt đầu từ b1b2 = d và chỉ thử với các giá trị nguyên

*Bài toán 20: Giải phơng trình:

x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 (1)Giả sử phơng trình trên phân tích đợc thành dạng:

(x2 + a1x + b1) ( x2 + a2x + b2) = 0

Ta cã: ;2 ;7 ;5 1

14 37 10

4

2 1 2 1

2

1 2

2 1 2 1

2 1

−=

+ +

−=

+

a a b b bb

b a ba

b b aa

a a

Dạy cho học sinh các phơng pháp tìm lời giải cho các bài tập có ý nghĩa vô cùng quan trọng Đòi hỏi ngời giáo viên phải say mê với nghề nghiệp, kiên trì, tận tuỵ với học sinh, tạo cho học sinh có thói quen t duy và khả năng lập luận

Phơng pháp giảng môn Toán của bậc THCS về môn đại số trong phần chơng trình Bản thân tôi đã đúc rút đợc trong quá trình giảng dạy ở một chừng mực nào

đó vấn đề dạy và học Phơng pháp tìm lời giải cho các bài tập thực sự có tác dụng giúp học sinh làm quen với phơng pháp t duy, phơng pháp làm bài Tìm cách giải trong đó xác định rõ các bớc cần tiến hành theo một trình tự lôgíc để hoàn thành bài giải

Một số cách giải phơng trình bậc cao đa về phơng trình bậc nhất và bậc hai trong chơng trình lớp 8, 9 hiện nay mà bản thân tôi đã đúc rút trong quá trình giảng dạy Trong một chừng mực nào đó vấn đề dạy và học các phơng pháp tìm lời giải các bài tập thực sự có tác dụng cho các dạng bài tập giúp học sinh làm quen với ph-

ơng pháp suy nghĩ, tìm tòi Giáo viên cần có yêu cầu cụ thể đối với từng đối tợng học sinh, tăng cờng công tác kiểm tra bài cũ, có biện pháp khích lệ những cách giải hay, hạn chế tối đa cho học sinh tâm lý chán môn học, ỉ nại và chờ giáo viên chữa bài tập

Bản thân tôi lần đầu tiên nghiên cứu đề tài này, tôi cũng đã trao đổi tham khảo, bàn bạc, xin ý kiến của các thầy cô đi trớc và các thầy cô giáo dạy trong bộ môn Toán của nhà trờng Song đây là một vấn đề mới mà một bài toán có vô vàn cách giải khác nhau Bản thân tôi kính mong các thầy cô đi trớc tạo điều kiện giúp

đỡ tôi, đóng góp cho tôi nhiều ý kiến hay và bổ ích để tôi tiếp tục giảng dạy cho các

em học sinh đạt kết quả cao nhất trong suốt quá trình dạy học của tôi

Xin chân thành cảm ơn!

Tài liệu tham khảo

1 – Sách giáo khoa đại số 8 – Nhà xuất bản giáo dục

2 – Sách giáo khoa đại số 9 – Nhà xuất bản giáo dục

3 – Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán 8 – Võ Đại Mau, Võ Đại Hoài Đức

4 – Một số phơng pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp – Nhóm tác giả ( Phan Đức Chính, Phạm Văn Điều, Đỗ Văn Hà, Nguyễn Đình Trí)

5 – Toán phát triển đại số 8 – Vũ Hữu Bình

6 – Toán phát triển đại số 9 – Vũ Hữu Bình

7 – Cách tìm lời giải cho các bài toán THCS – Lê Hải Châu, Nguyễn Xuân Quỳ

8 – Giáo trình thực hành và giải toán – Đặng Đình Lăng, Nguyễn Hữu Túc

9 - Ôn tập và kiểm tra đại số 8 – Vũ Hữu Bình, Tôn Thân

10 - Ôn tập và kiểm tra đại số 9 – Vũ Hữu Bình, Tôn Thân

Phụ lục

Phần I : Đặt vấn đề

1 Lý do chọn đề tài

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

3 Đối tợng nghiên cứu

B – Các bài toán và phơng pháp giải

* Tài liệu tham khảo

II - KiÓm tra bµi cò ( 10’)

Gi¸o viªn nªu yªu cÇu kiÓm tra

HS1: Ch÷a bµi 24 (c) trang 6 SBT

T×m c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho biÓu thøc A

vµ B cho sau ®©y cã gi¸ trÞ b»ng nhau

A = ( x – 1) ( x2 + x + 1) – 2x

B = x ( x – 1)( x + 1)

HS2: Ch÷a bµi 25 9c) trang 7 SBT

Hai HS lªn b¶ng kiÓm traHS1:

Rót gän : A = (x – 1) (x2 + x + 1) – 2x

A = x3 – 1 – 2x

B = x( x – 1) (x +1)

B = x3 – xGi¶i ph¬ng tr×nh : A = B

x3 – 1 – 2x = x3 – x

<=> x3 – 1 – 2x - x3 + x = 1

<=> - x = 1

<=> x = - 1Víi x = -1 th× A = B

Giải phơng trình:

2003 2002

1 2002

1 2001

1 ).

tại sao lại có 2003 – x = 0?

Giáo viên khẳng định giải thích nh vậy

2003

1 2002

1 1 2001

<=>

2003

2003 2002

2002 1

2003 2001

2003 −x = −x+ −x

2003

2003 2002

2003 2001

2003−x − −x− −x =

2003

1 2002

1 2001

1 ).

S = {2003}

HS2 giải thích : Vì một tích bằng 0 khi trong tích ấy có ít nhất một thừa số bằng 0 có:

0 2003

1 2002

1 2001