TÀI LIỆU-Phương trình bậc cao

Công thức * gọi là công thức Cardano.* Nếu  0, khi đó 3 có hai nghiệm, một nghiệm kép 3 q y2 qy2 qy Chú ý : Trong một số trường hợp để giải phương trình bậc ba ta đi tìm một nghiệm rồ

Chương II: Phương trình bậc cao Bài 1 Phương trình bậc ba

I Tóm tắt lý thuyết

1 Phương trình có dạng: ax3 bx2 cx d 0 (1), trong đó a, b, c, d là

các số thực cho trước a 0

2 Cách giải: Bây giờ ta đi xét cách giải phương trình (1).

Vì a 0 nên ta có thể chia hai vế của phương trình (1) cho a Do vậy ta chỉcần đi giải phương trình dạng : x3ax2 bx c 0 (2)

Từ đây ta có các kết quả sau:

* Nếu   0 (3) có nghiệm duy nhất Để tìm nghiệm này ta làm như sau :

Đặt y u v, khi đó (3) trở thành: u3 v3 (3uvp)(uv) q 0

Ta chọn u,v sao cho: 3uv p 0 uv p

3

    , lúc đó u3 v3   ta có hệ:q

Công thức (*) gọi là công thức Cardano.

* Nếu  0, khi đó (3) có hai nghiệm, một nghiệm kép ( 3 q

y2

qy2

qy

Chú ý : Trong một số trường hợp để giải phương trình bậc ba ta đi tìm một

nghiệm rồi thực hiện phép chia đa thức và chuyển phương trình đã cho về

phương trình tích của một nhị thức bậc nhất và mộ t tam thức bậc hai

(2) trở thành: 8 cos t3 6 cos t 1 4 cos t3 3cos t 1

trình có ba nghiệm phân biệt.

* Nếu f (x) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng , tức là:0



.

* Nếu f (x) có nghiệm kép khác  , tức là:

0b2a

2a

 

* Nếu f (x) có nghiệm kép x  , tức là:

0b2a

* Nếu f (x) vô nghiệm thì phương trình có đúng một nghiệm x 

Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt:

Yêu cầu bài toán (2) có hai nghiệm phân biệt.

TH 1: f (x) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm

Giải: Giả sử phương trình có ba nghiệm Ta chứng minh (1).

* Nếu ba nghiệm của phương trình trùng nhau thì p  q 0 (1) đúng

* Nếu ba nghiệm phương trình chỉ có hai nghiệm trùng nhau hoắc banghiệm đó là phân biệt Khi đó ta có: Δ27q24p3  ,0

Bài 2 Phương trình bậc cao

Phương trình bậc cao ở đây ta xét là phương trình có bậc cao hơn 3 Phươngpháp chung để giải phương trình bậc cao là ta tìm cách chuyển về phương

trình có bậc thấp hơn, thường chúng ta chuyển về phươ ng trình bậc hai Để

làm điều này ta thường sử dụng các phương pháp sau:

1 Phương pháp đưa về dạng tích: Tức là ta biến đổi phương trình :

Cách 2: Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x là một nghiệm củaa

phương trình f (x)0 thì ta luôn có sự phân tích: f (x)(xa)g(x) Để dựđoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:

    Vậy phương trình có hai nghiệm: x  3; x 1.

Nhận xét: Mẫu chốt của cách giải trên là chúng ta nhận ra hằng đẳng thức

và biến đổi về phương trình (1.1) Trong nhiều phương trình việc làm xuấthiện hằng đẳng thức không còn dễ dàng như vậy nữa, để làm điều này đòihỏi chúng ta phải có những nhạy cảm nhất định và phải thêm bớt nhữnghạng tử thích hợp

Ta chọn m sao cho biểu thức trong dấu   phân tích được hằng đẳng thức,

để có điều này ta phải có:

trình này có một nghiệm m 2, do đó ta có thể phân tích như trên

Với phương trình bậc bốn tổng quát x4 ax3 bx2 cx d 0 (I) ta cũng

có thể biến đổi theo cách trên như sau:

Đây là phương trình bậc ba nên bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm Khi đó

ta sẽ đưa phương trình (1.I) về phương trình tích của hai tam thức bậc hai, từ

đây ta giải hai tam thức này ta được nghiệm phương trình (I)

2) Về mặt lí thuyết thì ta có thể giải được mọi phương trình bậc bốn theocách trên Tuy nhiên trên thực tế thì nhiều lúc việc giải không được dễ dàngvậy, vì mẫu chốt quan trọng nhất của cách giải trên là tìm  Mặc dù (2.I)

đã có cách giải nhưng không phải giá trị  lúc nào cũng “đẹp”, nên sẽ khókhăn cho các phép biến đổi của chúng ta

Chú ý : Đưa về phương trình tích ngoài cách tạo ra hằng đẳng thức ở trên, ta

ta thấy hệ này vô nghiệm, do đó ta

chọn n1; b 1, thay vào ta giải được m 4 và a 3

Vậy: 2x4 10x3 11x2   x 1 (x2 3x 1)(2x 2 4x 1)

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.

x x (3m4)x 5x2m   m 3 0 (5)

Giải: Khi gặp bài toán này có lẽ các bạn sẽ suy nghĩ không biết nên xử lí

theo hướng nào? Vì phương trình này không có nghiệm đặc biệt, nếu sử

dụng phương trình phân tích bình phương thì việc giải phương trình (2.I) erằng sẽ không đi đến kết quả ! Vậy phương pháp hệ số bất định thì sao? Chú

ý đến hệ số tự do của phương trình ta thấy: 2m2   m 3 (m 1)(2m  ,3)

điều này dẫn tới ta nghĩ đến phân tích VT của phương t rình về dạng:

(x ax m 1)(x bx2m (mục đíc là làm giảm số ẩn cần tìm3)xuống còn 2 ẩn) Đồng nhất hệ số ta có hệ phương trình :

tử Cụ thể : Nếu tam thức bậc hai (tương tự cho đa thức)

        Đây là phương trình mà ta vừa

biến đổi ở trên

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình x4 x2 2mxm2 0 có bốn nghiệmphân biệt.

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt (a) và (b) đều có hai

nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung

(a) và (b) có hai nghiệm phân biệt 1 4m 0 1 m 1



       Giả sử (a) và (b) có nghiệm chung làx0

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là x0 có được khi m 1

nghiệm lớn nhất của phương trình là x1 có được khi m 2

2 Phương pháp đặt ẩn phụ:

Đặt ẩn phụ là phương pháp khá hữu hiệu đối với các bài toán đại số , trong

giải phương trình bậc cao cũng vậy , người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển

phương trình bậc cao về phương trình có bậc thấp hơn Một số dạng sau đây

xx

thay vào ta được phương trình: a(t2 2k)bt  c 0

Dạng 3: Phương trình :(xa)(xb)(xc)(xd)e, trong đó

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2.

Chú ý: Với bài 2 ta có thể giải bằng cách khác như sau: Trước hết ta có

Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể

áp dụng cách giải mà ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số

đối xứng

Ta thấy x0 không là nghiệm của phương trình Chia hai vế của phươngtrình cho x , ta được:3 3 2

n 2k n,k

k 0

cos nx a cos  x



cos 7x64 cos x 112 cos x 56 cos x7 cos x, điều này gợi

ý cho chúng ta đặt xcos t2 Tuy nhiên để đặt được như vậy thì phải

chứng minh được phương trình chỉ có nghiệm trong [0;1] ?

Thật vậy: Từ phương trình (1)4x  4 x 1

Ta xét x0 Đặt x   y y 0, ta có phương trình :

(64y 112y 56y7)  4 4y (2)

Nếu 0  y 1 VP(2) 8 72 VT(2)(2) vô nghiệm

Với y 1 (64y3 112y2 56y7)2  4 4y(2)vô nghiệm

Vậy ta chứng minh được (1) nếu có nghiệm x thì x[0;1]

1) Chứng minh rằng phương trì nh (1) có đúng 5 nghiệm.

2) Gọi x (ii 1, 5) là 5 nghiệm của (1) Tính tổng :

Mà nghiệm của h' x chính là nghiệm của  g(x)f (x)f '(x).

g(x) là đa thức bậc n có n -1 nghiệm nên g(x) sẽ có n nghiệm

Chú ý: Sử dụng tính chất trên ta có thể sáng tác ra nh ững bài toán khác.

Chẳng hạn

1) Áp dụng tính chất trên đối với đa thức g(x), ta có:

Đa thức: g(x)g '(x)f (x)2f '(x)f "(x) có n nghiệm phân biệt.2) Áp dụng tính chất trên đối với đa thức F(x) x f ( )n 1

x 02

1)x3 (2m 1)x 2 (m3)x3m  có 3 nghiệm phân biệt.3 0

2) x32mx2 m x2   m 1 0 có hai nghiệm phân biệt

Bài 4: Cho phương trình x3ax2bx c 0 có ba nghiệm phân biệt.Chứng minh rằng phương trình sau cũng có ba nghiệm phân biệt:

x  (a 6)x  (b 4a3)x  a c 2b 0

Bài 5: Chứng minh rằng nếu a,b,c,d thỏa mãn 8a d2 4abcb3 0 thì ta

có thể chuyển phương trình ax4 bx3 cx2 dx e 0 về phương trình

Bài 9: Chứng minh phương trình có 4 nghiệm phân biệt x ;ii 1, 4

f x 2x 6x 10x 5x  và hãy tính tổng3 0

2 4 i 2

Bài 3 Định lí Viét đối với phương trình bậc cao

1 Định lí Viet cho phương trình bậc ba

ad

S là tổng các tích chập k của n số x và được gọi là các đa thức đối xứngi

sơ cấp của các nghiệm

Ví dụ 1: Gọi x , x , x là nghiệm của PT :1 2 3 x35x 1 0 Tính:

Chú ý : 1) Các biểu thức A, B, C, D ở trên gọi là các đa thức đối xứng ba

biến Một tính chất quan trọng của các đa thức đối xứng

ba biến là chúng luôn biểu diễn được qua ba đa thức đối xứng ba biến sơcấp

Cụ thể nếu ta đặt p  x y z; qxyyzzx; rxyz thì ta có một sốbiểu diễn sau:

2) Đến đây chắc các bạn sẽ tự đặt ra câu hỏi là a,b,c phải thỏa mãn điều kiện

gì để phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân ? Câu trả lời dànhcho các bạn

Giải: Vì hệ đã cho gồm ba phương trình là những đa thức đối xứng ba biến

nên ta biểu diễn ba phương trình đó qua ba đa thức đối xứng cơ bản

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau :

Từ đó ta có nghiệm của hệ đã cho là: (x; y; z)(1;1;9) và các hoán vị

Ví dụ 4: Cho phương trình x3 ax2 bxc3 0 có ba nghiệm và bac,

c0 Chứng minh rằng phương trình có đúng một nghiệm lớn hơn c

Giải: Trước hết ta thấy rằng nếu x1 c x1  Do đó yêu cầu bàic 0toán trở thành chứng minh trong ba số x1c; x2c; x3 có đúng một sốc

dương Điều này dẫn đến ta đi xét tích: (x1c)(x2c)(x3 c)

Gọi x , x , x là ba nghiệm của phương trình đã cho.1 2 3

Nếu cả ba nghiệm x , x , x1 2 3  c x x x1 2 3 c3 vô lí (do x x x1 2 3 c3),vậy trong ba số x1c; x2 c; x3  , tồn tại đúng một số dươngc  trong

ba nghiệm của phương trình có đúng một nghiệm lớn hơn c

Ví dụ 5: Giả sử phương trình x3ax2 bx c 0 (1) có ba nghiệm phânbiệt khác 0 Chứng minh rằng phương trình : x3bx2acxc2 0(2)cũng có ba nghiệm phân biệt

Giải: Gọi x , x , x1 2 3  là ba nghiệm của phương trình (1).0

Đặt y1 x x ; y1 2 2 x x ; y2 3 3 x x3 1, ta có:

nghiệm của phương trìn h : x3bx2 acxc2 0.

Vì là ba nghiệm phân biệt nên y , y , y cũng là ba nghiệm phân biệt1 2 3Vậy phương trình x3bx2 acxc2 0 có ba nghiệm phân biệt

Chú ý : Khi gặp bài toán cho phương trình : x3 ax2 bx c 0(1) có banghiệm và yêu cầu chứng minh phương trình x3 mx2 nx  (2)p 0cũng có ba nghiệm ta thường làm như sau:

Gọi x , x , x là ba nghiệm của (1), ta chứng minh1 2 3 f (x , x , x );1 2 3

Giả thiết bài toán cho phương trình có ba nghiệm và yêu cầu chúng ta chứng

minh BĐT giữa các hệ số nên ta nghĩ đến chuyển

các BĐT đó thành các BĐT của ba nghiệm Gọi x , x , x là ba nghiệm1 2 3của phương trình Vì a, b 0 x , x , x1 2 3 0

Chú ý : Khi gặp các BĐT về hệ số của phương trình bậc ba (cũng như bậc

cao) ta có thể sử dụng định lí Viet để chuyển BĐT cần chứng minh về BĐTcác nghiệm của phương trình Hơn nữa ta thấy còn đường để sáng tác ranhững bài toán dạng này là xuất phát từ một BĐT đối xứng ba biến, sử dụng

định lí Viet ta chuyển BĐT đó về BĐT giữa các hệ số của phương trình bậc

ba Chẳng hạn từ bài toán:

Cho x, y, z0thỏa mãn xyyzzxxyz4 Chứng minh

x  y z xyyzzx

Ta chuyển thành bài toán như sau

Cho phương trình : x3ax2 bx  b 4 0 có ba nghiệm không âm.Chứng minh a Ví dụ sau đây cũng là một sản phẩm của các h làm trên.b

Ví dụ 7: Cho phương trình x3ax2bx c 0 có ba nghiệm Chứngminh:12ab27c6a310 (a22b)3 (HSG QG – 2001 ).

Hay (a;b;c) là hoán vị của bộ (2t; 2t; t), t 0

Ví dụ 8 Cho phương trình ax3 x2 bx 1 0 với a0; a b, có banghiệm dương Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

5a 3ab 2P

a (b a)



 (HSG QG 1999).



2 2

a a

na

 Chứng minh rằng các nghiệm của

phương trình nằm trong đoạn a ; a1 1 2

Giải: Gọi x , x , , x là n nghiệm của phương trình đã cho Khi đó yêu cầu1 2 nbài toán cần chứng minh: a1 xi a1    2 a1 1 xi 1 a11

Giải: Ta thấy phương trình chỉ có ba hệ số của x , xn n 1 , xn 2 là những

giá trị cụ thể còn những hệ số khác chúng ta chưa xác định được Do đó đ ểgiải phương trình này ta phải dựa vào mối quan hệ giữa các hệ số của

n n 1 n 2

x , x  , x  , điều này gợi ý cho chúng ta sử dụng định lí Viet Thật vậy:

Gọi x , x , , x1 2 n là n nghiệm của phương trình đã cho

    Vậy phương trình có n nghiệm trùng nhau: x1.

Nhận xét: Bài toán trên là một trường hợp đặc biệt của bài toán trong ví dụ

10 Với cách làm tương tự hoặc từ sự đánh giá giũa các tổng các tích chập k

k

S ta có thể sáng tác ra những bài toán tương tự

Ví dụ 12: Cho đa thức f (x) có bậc 2007 và có 2007 nghiệm dương Chứngminh rằng phương trình sau cũng có 2007 nghiệm dương

(1 2007x)f (x) (x 2007x 1)f '(x) x f "(x) (1).0

Giải: Gọi x , x , , x1 2 2007 là 2007 nghiệm của f(x).0

Trước hêt ta chứng minh bổ đề sau

Bổ đề: Phương trình f (x)f '(x)0 cũng có 2007 nghiệm dương

Chứng minh:Xét hàm số g(x)f (x).ex  g(x) có 2007 nghiệm

dương (chính là nghiệm của f(x))

(Nếu đa thức f(x) có nghiệm bội thì đó cũng chính là nghiệm của f’(x), do

đó ta chỉ cần đi xét các nghiệm không lòa nghiệm bội nên ta chỉ xét f(x) có

2007 nghiệm dương phân biệt)

Theo định lí Roll g '(x) có 2006 nghiệm y , y , , y1 2 2007 thỏa mãn :

(2) là phương trình bậc 2007 lại có 2006 nghiệm nên (2) sẽ có 2007 nghiệm ,

gọi nghiệm đó là y2007 Ta chứng minh được y2007  Thật vậy:0

Đặt f (x)x2007a x1 2006a x2 2005  a2006xa2007

Vì f(x) có các nghiệm dương nên ai   0 i 1, 2007

Trở lại bài toán:

Đặt h(x)f (x)f '(x)h(x) có 2007 nghiệm dương phân biệt và

h '(x)f '(x)f "(x) F(x) x2007h( )1

x

  cũng có 2007 nghiệm dương

Áp dụng bổ đề trên cho F(x), ta suy ra phương trình F(x)F '(x)0 có

2007 nghiệm dương Hay phương trình :

Bài tập:

Bài 10: Tìm m để phương trình : x33x2 (5m 1)x 3m có ba0nghiệm lập thành cấp số cộng

Bài 11: Cho phương trình x3 px2 qx  có ba nghiệm thực khôngp 0nhỏ hơn 1 và p, q0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F q 3

Bài 18: Chứng minh phương trình: 9x336x2 45x 17 0 có ba nghiệm

là độ dài ba cạnh của một tam giác tù

Bài 19: Cho phương trình : xn an 1xn 1 a x1 a0 0



nghiệm, biết ai   1 i 0,1, 2, , n 1 Chứng minh n 3

Hướng dẫn giải và đáp số chương IIBài 1: 1) x 1; x 1

Phương trình trở thành: cos 6t2 sin t2

ĐS: x cos2 ; x cos2 3 ; x cos2 5 ;

Bài 4: Đặt f (x)x3 ax2 bx , ta chứng minh được phương trìnhc

f (x)2f '(x)f "(x)0 có ba nghiệm phân biệt (áp dụng ví dụ 21),từ đó ta

Nếu 0m 8 (*) vô nghiệm  phương trình vô nghiệm

Nếu m 0 Phương trình có hai nghiệm x0; x 2

Nếu m 8 Phương trình vô nghiệm

Nếu m 0 (*) có hai nghiệm trái dấu  phương trình đã cho có hai

Bài 11: Gọi 1x1 x2 x3 là ba nghiệm của phương trình đã cho Khi đótheo Viet, ta có: 1 2 3 1 2 3

Bài 12: Gọi x , x , x là ba nghiệm của (1) Theo Viet, ta có:1 2 3

Bài 13: Theo định lí Viet:

p (t anA tan B tan C) tan AtanB tan C

q tan A tan B tan B tan C tan C tan A

q3 tan A tan B tan C  9

Bài 14: Giả sử phương trình có ba nghiệm x , x , x lập thành cấp số nhân:1 2 3

2 2

Vậy điều kiện của a,b,c cần tìm là: 3 3

( 1; 2; 2), ( 1; 2; 2)    và các hoán vị của ba cặp nghiệm đó

Bài 18: Gọi f(x) là đa thức vế trái của phương trình

Trước hết ta chứng minh phương trình có ba nghiệm phân biệt dương Thật

       là độ dài ba cạnh của một tam

giác, ta gọi tam giác đó là ABC