tài liệu phương trình và bất phương trình

[...]... sử là nghiệm của phương trình z 2 + z + 1 = 0 , ta đặt x+y+z =A x+y +z x+y 2 2 =B +z =C 1) Hãy biểu diễn x, y và z qua A, B, C 2) Chứng minh hệ thức sau đây |A|2 + |B|2 + |C|2 = 3(|x|2 | + |y|2 + |z|2 ) Hà Duy Hưng 1.3 Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.30 Phương trình và bất phương trình 1 Cho các số thực a, b, c R thoả mãn a(4a + 3b + 2c) > 0 Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx... phương trình sau đây 2+x+ 2x 2 = x 2+x 2x 41 [Moscow MO 2001, for 11 Class] Giải bất phương trình x10 + x6 + x5 + x3 + x2 + x + 1 > 0 42 [Moscow MO 2001, for 9 Class] Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình sau đây (x + 1)63 + (x + 1)62 (x 1) + (x + 1)61 (x 1)2 + ã ã ã + (x 1)63 = 0 43 [Moscow MO 2001, for 10 Class] Giả sử rằng giải phương trình f (f (f (f (f (x))))) = 0 44 Giải phương trình. .. n phương trình ax2 + bxi + c = xi+1 với mọi 1 i < n và ax2 + bxn + c = x1 Chứng minh i n rằng hệ này không có nghiệm, một nghiệm, nhiều hơn một nghiệm thực phụ thuộc vào giá trị của số (b 1)2 4ac tương ứng là âm, bằng không hay dương 19 [ IMO 1969 The second Problem ] Xét phương trình n k=1 1 2k1 cos(ak + x) = 0 ở đó ak là các hằng số thực và x là biến thực cần tìm Chứng minh rằng nếu phương trình. .. mãn (u r)(u s) 0 và a 2 ã u + bu + c = 0 2 6 [ IMO 1959 ]2 Xác định tất cả các giá trị của (a) (b) (c) x+ x+ x+ 2x 1 + 2x 1 + 2x 1 + x x x 7 [ IMO 1959 ] Cho các số thực 2x 1 = x để đẳng thức sau đây đúng 2 2x 1 = 1 2x 1 = 2 a, b, c Cho phương trình sau của cos x : a cos2 x + b cos x + c = 0 Hãy dựng một phương trình bậc hai đối với cos 2x từ phương trình nói trên và tìm các giá trị... z thoả mãn hệ phương trình sau đây 1 x + y = 2 (y z)2 1 y + z = 2 (x y)2 1 z + x = 2 (y z)2 33 [Moscow MO 2000, for 10 Class] Giải phương trình 8 x2 |x + 4| + |x| + |x 4| = 34 [Moscow MO 2000, for 10 Class] Hãy xác định tất cả các số thực trong khoảng (0; 1) thoả mãn phương trình sau x nằm sin4 (cos4 3x) + cos4 (cos4 3x) = 1 35 [Moscow MO 2000, for 11 Class] Giải phương trình lượng giác... cosx 36 [Moscow MO 2000, for 9 Class] Giải hệ phương trình sau đây xy = 1 yz = 2 zx = 8 37 [Moscow MO 2000, for 11 Class] Chứng minh rằng phương trình x2000 + 3x2 3x + 1 = 0 vô nghiệm 38 [Moscow MO 2000, for 11 Class] Xác định nghiệm của hệ thống phương trình sau đây 2y x = sin x sin 2y cos x + 5 sin y = 4 39 [Moscow MO 2001, for 8 Class] Giải phương trình x3 + 5x2 + 2x = 8 6 Undergraduate Mathematics... IMO 1961 ] Giải phương trình cosn x sinn x dương 11 [ IMO 1962 ] Tìm tất cả các số thực = 1, ở đó n là một số nguyên x thoả mãn 3x x+1> 1 2 12 [ IMO 1962 ] Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = 1 13 [ IMO 1963 ] Tìm các nghiệm thực của phương trình x2 p + 2 x2 1 = x 14 [ IMO 1963 ] Tìm tất cả các nghiệm sau (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) của hệ phương trình x5 + x2... 1)2 26 [ Irish MO 1999 The sixth Problem ]5 Giải hệ phương trình sau đây y 2 = (x + 8)(x2 + 2) y 2 (8 + 4x)y + (16 + 16x 5x2 ) = 0 27 [ Irish MO 1995 The seventh Problem ] Giả sử rằng a, b, c là các số phức và rằng tất cả ba nghiệm của phương trình x3 +ax2 +bx+c = 0 nằm trên đường tròn đơn vị phức |z| = 1 Chứng minh rằng cả ba nghiệm w của phương trình x3 + |a|x2 + |b|x + |c| = 0 cũng nằm trên đường... thoả mãn hệ phương trình dưới ax2 + bx + c 0 bx2 + cx + b 0 2 cx + ax + a 0 có nghiệm duy nhất 48 Xét hệ phương trình ax2 + bx1 + c = x2 1 2 ax + bx2 + c = x3 2 ãããããããããããã 2 axn1 + bxn1 + c = xn 2 ax + bx + c = x n 1 n ở đó a = 0 Hãy xác định điều kiện cần và đủ cho các số a, b, c sao cho hệ không có nghiệm? Có duy nhất một nghiệm? Có nhiều hơn một nghiệm? 49 Giải phương trình (2 +... x5 = a3 22 [ IMO 1988 The fourth Problem ] Chứng minh rằng tập hợp nghiệm của bất phương trình 1 2 3 70 5 + + + ããã + x1 x2 x3 x 70 4 là hợp của các đoạn rời nhau, có tổng độ dài bằng 1988 23 [ Kurs.MO1975 The first Problem ]3 Hãy biến đổi phương trình ab2 1 1 + =ab 2 (a + c) (a c)2 thành dạng đơn giản hơn với 3 a > c 0 và b > 0 Kurschák Mathematical Competition 1975 Hà Duy Hưng Các bài toán đại