Chuyên đề phương trình - bất phương trình bậc cao và phân thức hữu tỉ - Giang Sơn

Tài liệu nhỏ được viết theo trình tự kiến thức tăng dần, không đề cập giải phương trình bậc hai, đi sâu giải phương trình bậc ba (dạng đặc biệt với nghiệm hữu tỷ và phân tích hằng đẳng[r]

_

_

x 

- -

C

CHHUUYYÊÊNN ĐĐỀỀ

P

PHHƯƯƠƠNNGGTTRRÌÌNNHHVVÀÀBBẤẤTTPPHHƯƯƠƠNNGGTTRRÌÌNNHH L

LÝÝTTHHUUYYẾẾTTPPHHƯƯƠƠNNGGTTRRÌÌNNHH––BBẤẤTTPPHHƯƯƠƠNNGGTTRRÌÌNNHH Đ

ĐẠẠIISSỐỐBBẬẬCCCCAAOO,,PPHHÂÂNNTTHHỨỨCCHHỮỮUUTTỶỶ((PPHHẦẦNN11))

1 5

E F

 QQUUÂÂNNĐĐOOÀÀNNBBỘỘBBIINNHH C

CHHỦỦ ĐĐẠẠOO:: NNHHẬẬPP MMƠƠNN DDẠẠNNGG TTOỐÁNN PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH VVÀÀ B

BẤẤTT PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH BBẬẬCC CCAAOO,, PPHHÂÂNN TTHHỨỨCC HHỮỮUU TTỶỶ



 DDẠẠNNGG TTOOÁÁNN TTRRÙÙNNGG PPHHƯƯƠƠNNGG VVÀÀ MMỞỞ RRỘỘNNGG..



 ĐĐAA TTHHỨỨCC BBẬẬCC BBAA NNGGHHIIỆỆMM HHỮỮUU TTỶỶ..



 ĐĐAA TTHHỨỨCC BBẬẬCC BBAA QQUUYY VVỀỀ HHẰẰNNGG ĐĐẲẲNNGG TTHHỨỨCC..



 ĐĐẶẶTT ẨẨNN PPHHỤỤ CCƠƠ BBẢẢNN..



 ĐĐẶẶTT HHAAII ẨẨNN PPHHỤỤ QQUUYY VVỀỀ ĐĐỒỒNNGG BBẬẬCC..



 BBÀÀII TTOOÁÁNN NNHHIIỀỀUU CCÁÁCCHH GGIIẢẢII..

C

CRREEAATTEEDDBBYYGGIIAANNGGSSƠƠNN((FFAACCEEBBOOOOKK));;XXYYZZ11443311998888@@GGMMAAIILL..CCOOMM((GGMMAAIILL)) T

_ 2 C

CHHUUYYÊÊNN ĐĐỀỀ PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH VVÀÀ BBẤẤTT PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH L

LÝÝTTHHUUYYẾẾTTPPHHƯƯƠƠNNGGTTRRÌÌNNHH––BBẤẤTTPPHHƯƯƠƠNNGGTTRRÌÌNNHHĐĐẠẠIISSỐỐBBẬẬCCCCAAOO,,PPHHÂÂNNTTHHỨỨCCHHỮỮUUTTỶỶ((PPHHẦẦNN11)) - Trong chương trình Tốn học phổ thơng nước ta, cụ thể chương trình Đại số, phương trình bất phương trình nội dung quan trọng, phổ biến nhiều dạng toán xuyên suốt cấp học, phận thường thấy kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức phong phú, đa dạng Mặc dù đề tài quen thuộc, thống khơng mà giảm phần thú vị, nhiều toán tăng dần đến mức khó chí khó, với biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT Chương trình Đại số lớp THCS giới thiệu, sâu khai thác tốn phương trình bậc hai, chương trình Đại số 10 THPT đưa tiếp cận tam thức bậc hai với định lý dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai ứng dụng Trong phương trình bất phương trình đại số nói chung, bắt gặp nhiều toán cps dạng đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ, toán có mức độ khó dễ khác nhau, địi hỏi tư linh hoạt vẻ đẹp cũng riêng ! Từ lâu rồi, vấn đề quan trọng, xuất hầu khắp công đoạn cuối định trong nhiều tốn phương trình, hệ phương trình chứa căn, phương trình vi phân, dãy số, Vì tinh thần, vẫn đông đảo bạn học sinh, thầy cô giáo chun gia Tốn phổ thơng quan tâm sâu sắc Sự đa dạng hình thức lớp toán đặt yêu cầu cấp thiết làm để đơn giản hóa, thực tế phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực hình thành, vào hệ thống Về để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình ưu tiên hạ giảm bậc toán gốc, cố gắng đưa dạng bậc hai, bậc hoặc dạng đặc thù (đã khái quát trước đó) Trong chuyên đề này, chuyên đề lớp phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tác giả chủ yếu đề cập tới toán từ mức độ đơn giản tới phức tạp nhất, dành cho bạn học sinh bước đầu làm quen, nhiên đòi hỏi tư logic, tỉ mỉ xác Tài liệu nhỏ được viết theo trình tự kiến thức tăng dần, khơng đề cập giải phương trình bậc hai, sâu giải phương trình bậc ba (dạng đặc biệt với nghiệm hữu tỷ phân tích đẳng thức), dạng toán trùng phương (bậc 4) mở rộng với bậc chẵn, phép đặt ẩn phụ phép đặt hai ẩn phụ quy đồng bậc, phạm vi kiến thức phù hợp với bạn học sinh THCS (lớp 8, lớp 9) ôn thi vào lớp 10 THPT, bạn học sinh THPT thi học sinh giỏi Toán cấp luyện thi vào hệ đại học, cao đẳng, cao tài liệu tham khảo dành cho thầy cô giáo bạn yêu Toán khác

I

I..KKIIẾẾNNTTHHỨỨCC––KKỸỸNNĂĂNNGGCCHHUUẨẨNNBBỊỊ 1 Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức

2 Nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

3 Nắm vững phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai

I

III..MMỘỘTTSSỐỐBBÀÀIITTOOÁÁNNĐĐIIỂỂNNHHÌÌNNHHVVÀÀKKIINNHHNNGGHHIIỆỆMMTTHHAAOOTTÁÁCC B

Bààii ttoốánn 11. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x43x2 2 0 x

Lời giải

Đặt x2 t t0; phương trình cho tương đương với

  

2 1 0 1

3 2 0 2 2 0 1 2 0

2 0 2

t t

t t t t t t t

t t

  

 

             

  

 

 Với t 1 x2  1 x  1 x1hoặc x 1

 Với t2x2 2 x  2x 2hoặc x  2 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S   2; 1;1; 2 

Nhận xét

Bài toán dạng toán phương trình trùng phương quen thuộc, sử dụng đặt ẩn phụ quy phương trình bậc 2 với ẩn số phụ, tính nghiệm sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để đưa phương trình dạng tích hai phương trình bậc nhất, giải kết luận nghiệm trở nên dễ dàng

B

Bààii ttoốánn 22. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x45x2 6 0 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt  

0

x t t ta 2    2

5 6 0 2 3 6 0 2 3 0

3

t

t t t t t t t

t

 

             

 

o Với  

2 2 2 2; 2

t x   x   x 

o Với  

3 3 3 3; 3

t x   x    x

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm S  3; 2; 2; 3 B

Bààii ttoốánn 33. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x45x2 2 0 x

Lời giải

Điều kiệnx Đặt x2 t t0 ta thu    1

2 5 2 0 2 2 1 0 ; 2

2

t  t   t t    t  

 

 Với t2x2 2 x  2 x  2; 2

 1 1 1 1 1

;

2 2 2 2 2

t x   x   x   

 

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm kể

B

Bààii ttooáánn 44. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   5 4 0

x  x   x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x2 t t0ta thu

  

2 1 4 0 2 2

1 2

5 4 0

1 4 1 2 1

2 1

0 0

1

x

t t x

t t

t x x

x

t t

x

  



  

  

      

          

   

   

    

    

_ 4 Vậy bất phương trình cho có nghiệm S    2; 1 1; 2

B

Bààii ttooáánn 55. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x48x2 9 0 x

Lời giải

Đặt x2 t t0ta thu

  

  

2

2

1 9 0 3

8 9 0

9 9 3 3 0

3

0 0

t t x

t t

t x x x

x

t t

  

 

     

         

  

 

   

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 3 x 3

B

Bààii ttooáánn 66. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2 1 0 2

x x

x x

 

 

 

Lời giải

Điều kiện x2

Bất phương trình cho tương đương với  

2 2 1

1 1 0

0 1

2 2

2

x

x x

x

x x

x

 

    

    



  

  

Vậy bất phương trình có nghiệm

B

Bààii ttooáánn 77. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4

2 7 4

0 1

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương đương với

    

4 2 2

2x 7x  4 02x x 8x  4 0 2x 1 x 4 0 x 4  x 2; 2 Vậy bất phương trình cho có hai nghiệm

B

Bààii ttooáánn 88. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

15 16 0 5 4

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện

5 4 0 1; 4

x  x  x x

Phương trình cho tương đương với x415x2160x21x2160x2 16  x  4; 4 Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x 4

B

Bààii ttoốánn 99. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4

6 5 0 1

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x4x2 1 0 Phương trình cho trở thành

    

2

4 2 2

2

1 1

6 5 0 5 5 0 1 5 0 1;1; 5; 5

5 5

x x

x x x x x x x x

x x

 

 

                 

  

 

B

Bààii ttooáánn 1100. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

5

3 2

0 2 3

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x52x 3 0

Phương trình cho tương đương với

    

4 2 2

3x x  2 03x 2x 3x  2 0 3x 2 x 1 0x    1 x 1;1 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x 1;x1

B

Bààii ttooáánn 1111. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

7

4 7 2

0

2 3 1

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện 2x73x2 1 0 Phương trình cho tương đương với

  

4 2 2 1 1 1

4 7 2 0 4 8 2 0 2 4 1 0 ;

4 2 2

x  x    x x  x    x  x   x    x  

 

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm 1 1; 2 2

S   

 

B

Bààii ttooáánn 1122. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4 6 7

0 3 7

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Ta có x43x2 7 0, x nên bất phương trình cho tương đương với

  

4 2 2 1

6 7 0 1 7 0 1

1

x

x x x x x

x

 

          

  

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 1 x 1

B

Bààii ttooáánn 1133. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

6 5 6

0

3 9

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x Nhận xét

3x x  9 0, x  Bất phương trình cho tương đương với

  

4 2 2 1

5 6 0 6 1 0 1

1

x

x x x x x

x

 

          

  

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 1 x 1

B

Bààii ttoốánn 1144. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2 3 2

0 3 1

x x

x x

 

 

 

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

  

4 2 2 1 1 2 1

3 2 0 1 2 0 1 2

2 2 1 2

x x x

x x x x x

x x

    

    

            

     

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  2; 1 1; 2

_ 6 B

Bààii ttoốánn 1155. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4

4 8 3

0 1

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x Nhận xét

   2  2

4 1 1 2 1

1 4 4 4 4 4 1 4 4 1 2 2 1 2 1 2 0,

4 4 4

x   x x  x   x  x   x  x    x   x    x

 

  

Bất phương trình cho trở thành   

3 1

1 3 2 2

4 8 3 0 2 3 2 1 0

2 2 1 3

2 2

x

x x x x x

x



   

 

          



 

 

Kết luận nghiệm 3; 1 1; 3

2 2 2 2

S     

   

B

Bààii ttooáánn 1166. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

2 9 7

0

2 9

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x Nhận xét

2x   x 9 0, x  Bất phương trình cho tương đương với

  

4 2 2

7

1

7 2

2 9 7 0 1 2 7 0 1

2 7

1

2

x

x x x x x

x



   

 

          



 

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm 7; 1 1; 7

2 2

S    

   

B

Bààii ttooáánn 1177. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4 10 9

0 10

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Nhận xét

10 0,

x x    x  nên bất phương trình cho tương đương với

  

2

4 2 2

2

1

1 1 3

10 9 0 1 9 0 1 9 1

3 1

9

3 3

x

x x

x x x x x x

x x

x

 

    

 

              

    

 

   



B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự. G

Giiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc 1

6 5 0

x  x  

2  2 1 4 25

x   x  3  2

1 3 11

x   x x  4  2

2x 1 4x 13 5 2 2

3 1 3 13

x  x  x 

6 2 5 4 0 4 2 x x x x      7 2

2 5 2

0 3 5 6

x x x x      8 4 5 4 0 6 x x x x     9 3 4 0 3 4 1

x x x x      10

4 9 5

0 2 3 1

x x x x      11 5 6 0 2 3 x x x x      12 8 9 0 3 4 x x x x      13 2

4 9 5

0 9 x x x x      14 4 2 3 0 4 x x x x      15 4 2 7 0 4 5 x x x x      16 2 4 5 0 2 10 x x x x      17 4 20 0 12 15 x x x x      18 4

4 3 7

0 6 x x x x      19 7 8 0 5 x x x x      20 4 5 6 0 2 1 x x x x x

_ 8 B

Bààii ttooáánn 1188. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x612x311 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

      

3

6 3 3 3

3

1 1

11 11 0 11 11 0 11 1 0

11 11

x x

x x x x x x x x

x x



  

              



 



Vậy tập nghiệm phương trình cho   1; 11

S  B

Bààii ttooáánn 1199. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x6x3 3 0 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x3 t, phương trình cho trở thành

  

3

3 3

1

1 1

2 3 0 1 2 3 0 3 3 3

2 2 2

x

t x

t t t t

t x x

 

  



 



         

 

      

 

  

Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttooáánn 2200. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   8x 217x 270 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x3 tta thu   

3

3

1 1

8 1

8 217 27 0 8 1 27 0 8 2

27

3 27

x

t x

t t t t

t

x x

 



 

  

         

 



  

 



Vậy phương trình cho có tập nghiệm 1;3 2

S    

B

Bààii ttooáánn 2211. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4 3 2

0 1

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét 1  2

1 2 1 3 0,

4

x x    x     x

 

  

Bất phương trình cho tương đương với    3

3 2 0 1 2 0 1 2 1 2

x  x    x  x    x   x

Kết luận tập hợp nghiệm 1; 2

S   

B

Bààii ttooáánn 2222. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4

2 5 2

0 8 9

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét x48x 9 x4 2x2 1 2x24x4  x2122x22 0, x 

Bất phương trình cho trở thành    3

1 1

2 5 2 0 2 2 1 0 2 2

2 2

x  x    x  x    x   x Kết luận nghiệm

3 1

; 2 2

S   

 

B

Bààii ttooáánn 2233. Giải bất phương trình  

4 7 6

0 2 3

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét  2

2 3 1 2 0,

x  x   x     x  Bất phương trình cho trở thành

  

3 3

6 3

3

6 6

7 6 0 1 6 0

1 1

x x

x x x x

x x

   

        



 



Vậy bất phương trình cho có nghiệm

6 1

x  x B

Bààii ttooáánn 2244. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x8x4 2 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

  

4

8 4 4

4

1 1

2 2 1 2 0 1

1 2

x x

x x x x x x

x x

   

          

 

  



Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttooáánn 2255. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x8x4 3 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x4 t t0, ta thu     

4 1 2 3 0

2 3

1 1 1;1

0 0

t t

t t

t x x

t t

  



   

       

 

  

 

Vậy phương trình cho có hai nghiệm

B

Bààii ttooáánn 2266. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x84x4 5 0 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

  

8 4 4 1

5 5 0 5 1 0 1

1

x

x x x x x x

x

 

           

  

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 1 x 1 B

Bààii ttooáánn 2277. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   17 16 0

x  x   x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

  

8 4 4 1 2

16 16 0 1 16 0 1 16

2 1

x

x x x x x x

x

 



            

    

Kết luận tập hợp nghiệm S   2; 1  1; 2

B

Bààii ttooáánn 2288. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

8

2 3 5

0 5 1

x x

x x

 

 

 

Lời giải

Điều kiện x

_ 10

  

8 4 4 1

2 3 5 0 1 2 5 0 1

1

x

x x x x x

x

 

          

  

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S    ; 1 1;

B

Bààii ttooáánn 2299. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

8

7 8

0 1

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét    

2

4

8 4

8 4 4 1 4 4 1 2 2 1 2 1 2

1 0,

4 4

x x

x x x x

x x                x  Bất phương trình trở thành 7x8x4  8 0 x41 7 x480x4    1 1 x1 Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  1;1

B

Bààii ttooáánn 3300. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

8

3 5 8

0 2 2

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét x82x4 2 x412 1 0, x 

Bất phương trình cho tương đương với 3x85x4 8 0x41 3 x480x4    1 1 x1 Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  1;1

B

Bààii ttooáánn 3311. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x104x511520 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

  

5

10 5 5

5

2 32

32 36 1152 0 32 36 0

36 36

x x

x x x x x

x x



  

         

 

  



Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttoốánn 3322. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 10   2x 3x  5 0 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x5 tta thu   

5

5 5

1

1 1

2 3 5 0 1 2 5 0 5 5 5

2 2 2

x

t x

t t t t

t x x

 

  



 



         

 

      

 

  

Vậy phương trình cho có hai nghiệm

B

Bààii ttoốánn 3333. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   10

5

2 5 7

0 4 1

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x54x2 1 0

  

5

10 5

5 5

1 1

2 5 7 0 1 2 7 0 7 7

2 2

x x

x x x x

x x

 

 

 

        



    

 

 

Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình cho có hai nghiệm

B

Bààii ttooáánn 3344. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   10

4 5 6

0 2

x x

x x x

 

 

 

Lời giải

Điều kiện x0 Bất phương trình cho tương đương với

  

10 5 5

5 6 0 1 6 0 6 1 6 1

x  x    x  x     x    x

Vậy bất phương trình cho có nghiệm

6 1

0

x x

  

 

  

B

Bààii ttooáánn 3355. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x126x6 7 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

  

6

12 6 6

6

1 1

7 7 0 1 7 0 1

1 7

x x

x x x x x x

x x

    

            



  



Vậy phương trình cho có hai nghiệm x 1;x1 B

Bààii ttooáánn 3366. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x149x7 100 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

  

7 7

14 7 7

7

10 10

10 10 0 10 1 0

1 1

x x

x x x x x

x x

     

         



 



Vậy phương trình cho có hai nghiệm   10;1

S  B

Bààii ttoốánn 3377. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 5x166x8 11 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

    

16 8 8

5x 5x 11x 11 0  x 1 5x 11 0x    1 x 1;1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S   1;1

B

Bààii ttooáánn 3388. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   12

12 6 7

0 5 9

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét x125x6 9 0, x  Bất phương trình cho tương đương với

  

12 6 6 1

6 7 0 1 7 0 1

1

x

x x x x x

x

 

          

  

_ 12 B

Bààii ttooáánn 3399. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   14

10 3 4

0 6

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét  

2

10 2 1 23

6 0,

4

x

x x       x  Bất phương trình cho tương đương với

  

14 7 7

3 4 0 1 4 0 4 1 4 1

x  x    x  x     x    x

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  4;1

B

Bààii ttooáánn 4400. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   16

4

2 1 0 16

x x

x x

 

 

 

Lời giải

Điều kiện x 2

Bất phương trình cho tương đương với  

8

4

1

1 1 0

0 2

16 16 0

2

x

x x

x

x x

x

 

    

   



   

   

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 1 x 2 x 2

Nhận xét

Các toán từ 17 đến 40 dạng tốn bản, hình thức có dạng đặc trưng "trùng phương" f x ax2nbxnc, bậc đa thức tăng dần, bước đầu có xuất phân thức, định hướng bạn đọc tới lập luận đánh giá mẫu thức Cách giải đơn nhóm nhân tử đưa phương trình – bất phương trình tích – thương đặt ẩn phụ n

x t (kèm theo điều kiện t0, n 2 ,k k) đưa phương trình – bất phương trình bậc hai, nhẩm

nghiệm đưa nhân tử tự nhiên Các bạn lưu ý số kiến thức bất phương trình

2 2 2

0

0 0 ; ;

0

n n

A

A k

A B XYZ B A k A k k A k

A k XYZ

 

  

         

  



 

B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự. G

Giiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc 1

7 8 0

x  x  

2 3  3x x 2x 1 4 3  2

4x  x 1 8 4

6 7

x  x 

5  2 1 5

x  x   6

5x 4x 9 7

6 3 7 10

0 7

x x x x

 



 

8

6

2 7 9

0 7

x x x x

 



 

9

6

5 6

0

3 4 2

x x x x

 



 

10

6

3 7 10 0

x x x x

 





11

8

5 6 0 4

x x x x

 



 

12

8 4

2 5 7

0 5

x x x x

 



 

13

8

3 4 7

0 5

x x x x

 





14 x87x4  8 0 15

8

5 6

0 10

x x x x

 



 

16

10

2 0 1

x x x x

 



 

17

10 10

3 2 5

0 2 7

x x x x

 



 

18

12

4 3 0

4 3

x x x x

 



 

19

10

6 5 0 2

x x x x

 



 

20 10

2x 7x  5 0 21 12

2x 13x 11 0 22 14

8 9 0

x  x  

23 16

7 8 0

x  x  

24

16

10 11 0 1

x x x

 





25

14

9 8 0 2 4 9

x x x x

 



_ 14 B

Bààii ttoốánn 4411. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x36x23x20 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

        

3 2 2

2

5 5 2 2 0 1 5 1 2 1 0 5 2 1 0

1 0 5 33 5 33

1; ;

2 2

5 2 0

x x x x x x x x x x x x x

x

x x x

x x

                 

 

  

    

  



Vậy phương trình ban đầu có ba nghiệm B

Bààii ttooáánn 4422. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x3x2  x 3 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

2 2 3 3 0 1 2 1 3 1 0

1 2

2 3 1 0 1

1

x x x x x x x x x x

x

x x x x

x

            

   

       

 

Vậy phương trình cho có nghiệm x1 B

Bààii ttooáánn 4433. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x3x23x 6 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

2 2 3 3 6 6 0 2 1 3 1 6 1 0

2 3 6 0

2 3 6 1 0

1

x x x x x x x x x x

x x x x x

x

            

    

      

 

Phương trình [*] vơ nghiệm  0 Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x1

Nhận xét

Các toán từ 41 đến 43 phương trình bậc ba với hệ số nguyên, giải cách đưa phương trình tích Điểm nhấn cách làm tìm nghiệm nguyên hữu tỷ phương trình ban đầu Vấn đề đặt làm cách để tìm nghiệm hữu tỷ thao tác đưa dạng tích thực ?

Phương trình bậc ba (hệ số nguyên) dạng tổng quát:  

0 0

ax bx cxd  a

 Nếu phương trình có nghiệm nguyên x 0 x d , tức 0 x ước số hạng tự d 0  Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ x0 p

q

 với p q, 1, tức p va q nguyên tố nhau, p ước số dạng tự d, q ước hệ số bậc cao a: p d q a ,

Dựa sở hai hệ trên, bạn nhẩm nghiệm phạm vi cho phép Bất nhẩm nghiệm từ số tăng giảm dần hai phía trục số hữu tỷ

B

Bààii ttooáánn 4444. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x34x 5 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

5 5 0 1 1 5 1 0

5 0

5 1 0

1

x x x x x x x x x x

x x x x x

x

            

    

      

 

Phương trình [*] vơ nghiệm  0 Kết luận nghiệm S  1 B

Bààii ttooáánn 4455. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3x37x2 100 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

3 3 10 10 10 10 0 3 1 10 1 10 1 0

3 10 10 0 3 10 10 1 0

1

x x x x x x x x x x

x x

x x x

x

            

    

      

 

Phương trình (*) vơ nghiệm  0 Kết luận nghiệm S  1 B

Bààii ttooáánn 4466. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 4x35x 9 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

4 4 4 4 9 9 0 4 1 4 1 9 1 0

2 1 8

4 4 9 1 0 1

1

x x x x x x x x x x

x

x x x x

x

            

   

       

 

Vậy phương trình cho có nghiệm S  1 B

Bààii ttooáánn 4477. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x34x25x11 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

2 2 6 6 11 11 0 2 1 6 1 11 1 0

2 6 11 0

2 6 11 1 0

1

x x x x x x x x x x

x x

x x x

x

            

    

      

 

Phương trình [*] vơ nghiệm  0 Kết luận nghiệm S  1 B

Bààii ttoốánn 4488. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x33x23x 7 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 3

3

3 3 1 8 1 8 1 2 1

x  x  x   x   x  x

Vậy phương trình cho có nghiệm x1 B

_ 16

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

6 6 0 1 1 6 1 0

6 0

6 1 0

1

x x x x x x x x x x

x x x x x

x

            

    

      

  

Phương trình (*) vơ nghiệm  0 Vậy kết luận nghiệm S   1 B

Bààii ttoốánn 5500. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   3 6 4 0

x  x  x  x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

  

 

3 2

2

2

2 2 4 4 0 1 2 1 4 1 0

1

1 2 4 0 1

1 3

x x x x x x x x x x

x

x x x x

x

            

  

        

  



Vậy phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttooáánn 5511. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x34x27x 5 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

  

 

3 2

2

2 2

2 2 2 2 5 5 0 2 1 2 1 5 1 0

1

1 2 2 5 0 1

1 4

x x x x x x x x x x

x

x x x x

x x

            

  

        

   



Vậy phương trình cho có nghiệm S   1 B

Bààii ttoốánn 5522. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   3x x 8x100 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

     

  

 

2 2

2

2

3 3 2 2 10 10 0 3 1 2 1 10 1 0

1

1 3 2 10 0 1

2 1 9

x x x x x x x x x x

x

x x x x

x x

            

  

        

   



Vậy phương trình cho có nghiệm S   1 B

Bààii ttooáánn 5533. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 4x33x2   x 2 0 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

     

     

 

3 2

2

2

4 4 2 2 0 4 1 1 2 1 0

2

1 4 2 0 1 8 2 4 0 1

7 1 3

x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x

x x

            

  

             

   



Nhận xét

Quan sát toán từ 41 đến 53, bạn thấy phương trình bậc ba với hệ

số nguyên, nghiệm phương trình 1 Mấu chốt đốn biết nghiệm phương trình áp dụng kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử

Lưu ý phương trình đa thức bậc cao có nghiệm 1 (Kết dựa định lý Bezu)  Nếu tổng hệ số đa thức phương trình có nghiệm

 Nếu tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ phương trình có nghiệm 1

Về kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử, bạn thực theo phương án sau (xin lấy ví dụ cụ thể toán 53)

Trước hết đốn biết phương trình có nghiệm x 1nên kết phân tích chứa nhân tử x1,

   

3

4x 3x  x 20 x1 f x 0

 Thực phép chia đa thức: Ta có      

4 3 2 : 1 4 2

f x  x  x  x x  x  x

Thao tác hoàn tồn bản, đơn giản (phạm vi chương trình Đại số lớp THCS)  Sử dụng nhóm nhân tử

        

3 2

2

4 3 2 4 4 2 2

4 1 1 2 1 1 4 2

x x x x x x x x

x x x x x x x x

        

         

Thao tác tự nhiên, để xuất nhân tử x1chắc chắn hạng tử

4x , để xuất

3x bắt buộc phải bớt

x , tiếp tục để thu nhân tử x1bắt buộc phải bớt x tất yếu thêm hạng tử 2x, kết hợp với số hạng tự thu nhân tử đẹp Sự kiện đốn biết nghiệm x 1đảm bảo tính chính xác phương án

 Sử dụng lược đồ Horne phân tích nhân tử

Trước hết xin giới thiệu lược đồ Hocrne, phương pháp hữu hiệu tìm đa thức thương đa thức dư phép chia đa thức (kể trường hợp không xảy trường hợp trường hợp chia hết)

Xét đa thức bậc n:   1 2

n n n

n n

P x a x a x  a x   a  xa Giả sử thực phép chia cho x, đa thức thương thu   1 2

n n n

n

Q x b x  b x  b x   b Các hệ số b b b0, ,1 2, ,bn1và số dư r xác định

thông qua lược đồ

0

a a 1 a 2 an1 a n



0

b a b1 b0a1 b2 b1 a2 bn1 bn2an1 rbn1an Lưu ý:

 Các hệ số a a0, , ,1 a liệt kê theo thứ tự giảm dần bậc x n  Nếu phép chia hết số dư r0

Thực hành với đa thức 4x33x2 x 2của

4 3 1 2

1

 4 1 2 0

Suy  

4 2

f x  x  x hay ta có phân tích   

1 4 2

x x  x

Để đảm bảo tính tự nhiên nhân ngược trả lại       

4 2 4 2 0 1 4 2 0

x x  x  x  x   x x  x 

_ 18 B

Bààii ttooáánn 5544. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x39x2 26x240 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

      

       

2 2

2

7 12 2 7 12 0 2 7 12 0

2 3 4 12 0 2 3 4 0 2;3; 4

x x x x x x x x

x x x x x x x x

          

 

             

Vậy phương trình cho có ba nghiệm B

Bààii ttoốánn 5555. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x3x2  x 2 0 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

   

     

 

3 2 2

2

2

2 2 2 0 1 2 1 0

2

2 1 0 2 4 4 4 0 2

2 1 3

x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x

x

            

 

            

  



Vậy phương trình cho có nghiệm x2

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   

  

 

3 2

2

2

2 2 2 0 2 2 2 0

2

2 1 0

1 0

x x x x x x x x x x

x x x x

x x

            

 

      

   



Phương trình (*) vơ nghiệm  0 Vậy phương trình cho có nghiệm x2

Nhận xét

Hai toán trên, 54 55 khơng có nghiệm 1 nữa, điều bắt buộc phải đoán biết cách nhẩm sử dụng máy tính Riêng tốn 55, bạn nhận thấy phương trình có nghiệm x2, áp dụng phân tích nhân tử tìm nhân tử cịn lại x2 x 1, viết trực tiếp dạng

  

2 1 0

x x  x 

Tuy nhiên để lời giải trở nên "tự nhiên, túy" nên nhóm nhân tử hai cách

   

      

2

2

1 2 1 0

2 1 0

2 2 2 0

x x x x x

x x x x x x x x



     

     



      

Tại vế sau lời giải, cách trình bày có khác biệt

Lời giải 1:

     

 

2

2 2

2 1 0 2 4 4 4 0 2

2 1 3

x

x x x x x x x

x

 

           

  



Thực

2

2 1 3

1 0

2 4

x   x x   

 

, phương trình vô nghiệm Việc nhân với để tránh dùng phân số Ngồi bạn nhân với đưa x2x12  1 (Vô nghiệm)

Lời giải

Lời giải sử dụng biến đổi đẳng thức thơng thường, khơng sử dụng kiến thức phương trình bậc hai

(chương trình Đại số học kỳ II lớp THCS), bạn học sinh đầu lớp lớp làm được, lời giải sử

dụng biệt thức  0, rõ ràng phù hợp với bạn qua học kỳ II lớp trở lên

B

Bààii ttoốánn 5566. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x33x23x100 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   

     

 

3 2 2

2

2 2

2 5 4 2 10 0 2 5 2 2 5 0

2

2 2 5 0 2 4 2 10 2

1 3 9

x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x

x x

            

 

           

   



Vậy phương trình cho có nghiệm x2 B

Bààii ttoốánn 5577. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x32x2 x 180 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

  

 

3 2

2

2

2 4 8 9 18 0 2 4 2 9 2 0

2

2 4 9 0 2

2 5

x x x x x x x x x x

x

x x x x

x

            

 

       

  



Kết luận nghiệm S  2 B

Bààii ttoốánn 5588. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x3x214x240 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   

        

3 2 2

2

5 6 4 20 24 0 5 6 4 5 6 0

4 5 6 0 4 2 3 0 4; 2;3

x x x x x x x x x x

x x x x x x x

            

            

Vậy phương trình cho có ba nghiệm B

Bààii ttooáánn 5599. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x312x247x600 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

     

        

3 2

2

5 7 35 12 60 0 5 7 5 12 5 0

5 7 12 0 5 3 4 0 3; 4;5

x x x x x x x x x x

x x x x x x x

            

           

Vậy phương trình cho có ba nghiệm x3;x4;x5 B

Bààii ttooáánn 6600. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x34x25x 2 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

      2

3 2 2 2

2 2 4 2 0 2 1 2 2 1 0 2 1 0

1

x

x x x x x x x x x x x x

x

 

                  

 

_ 20 B

Bààii ttooáánn 6611. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x37x216x120 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

4 4 3 12 12 0 4 4 3 4 4 0

3

3 2 0

4

x x x x x x x x x x

x x x

x

            

 

     

 

Vậy phương trình cho có nghiệm hai nghiệm x3;x4 B

Bààii ttooáánn 6622. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 4x38x25x 1 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   2  2   2

3 2

1

4 4 4 4 1 0 2 1 2 1 0 1 2 1 0 1

2

x

x x x x x x x x x x

x   

               

  

Vậy phương trình cho có hai nghiệm 1; 1 2

x x

B

Bààii ttooáánn 6633. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x38x221x180 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

6 9 2 12 18 0 6 9 2 6 9 0

2

2 3 0

3

x x x x x x x x x x

x x x

x

            

 

     

 

Kết luận tập nghiệm S2;3 B

Bààii ttooáánn 6644. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   3 3 1 0

x  x  x  x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với x130x1 Phương trình có nghiệm

B

Bààii ttooáánn 6655. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x33x23x 7 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

  

 

3 2

2

2

4 4 7 7 0 1 4 1 7 1 0

1

1 4 7 0 1

2 3

x x x x x x x x x x

x

x x x x

x

            

 

       

  



Vậy phương trình cho có nghiệm x1

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với  3

3 3 1 8 1 8 1 2 1

x  x  x   x  x   x

Nhận xét

Các toán từ 60 đến 64 bước đầu xuất nghiệm bội (hai nghiệm trùng nhau), kết sử dụng máy tính cho hai nghiệm, nhiên khơng hiển thị xác nghiệm nghiệm bội Trong trường hợp có thể dùng phép phân tích phân tích nhân tử thơng thường (chia đa thức, nhóm nhân tử, lược đồ Horne ) Tuy nhiên để giảm bớt cơng đoạn tính tốn bạn dự đốn xác nghiệm bội, từ việc nhóm nhân tử diễn dễ dàng Để cụ thể hóa, xin lấy hai ví dụ điển hình tốn 62 63

 Bài toán 62 Giải phương trình 4x38x25x 1 0 x

Kết nghiệm x1 1;x2 0, 5 Lưu ý phương trình bậc ba nên khơng thể có x1 2 x10

(phương trình bậc hai) Các phép phân tích xảy      

    

2

2

1 2 1 0 1 1 2 1 0 2

x x

x x

   



   



Để ý trường hợp [1], hệ số bậc cao sau khai triển 1.1 1 4 (Loại); trường hợp [2] dễ thấy thỏa mãn Trong hai trường hợp, số hạng tự 1

 Bài toán 63 Giải phương trình x38x221x180 x

Kết nghiệm x1 2;x2 3 Loại trừ trường hợp x2x30 (phương trình bậc hai) Các phép phân tích xảy gồm      

     

2

2

2 3 0 3

3 2 0 4

x x

x x

   



   



Dễ thấy phương án [3], số hạng tự 4.3 12  18, tất yếu phương án [4] phù hợp, từ dẫn đến lời giải xác

B

Bààii ttoốánn 6666. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x34x23x0 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

     1 3

4 3 0 1 3 0

0

x

x x x x x x

x

 



        

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  ; 0   1;3 B

Bààii ttooáánn 6677. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   6 11 6 0

x  x  x  x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

     

      

3 2

2

2 4 8 3 6 0 2 4 2 3 2 0

3

2 4 3 0 1 2 3 0

1 2

x x x x x x x x x x

x

x x x x x x

x

            

 

           

 



Kết luận tập nghiệm S1; 2  3;

B

Bààii ttoốánn 6688. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2 2x 3 6 0 x  x

    

Lời giải

Điều kiện x0

_ 22

        

 

3 2

2

2 3 6 3 3 6 6

0 0

1 3 6

1 3 1 6 1

0 0

x x x x x x x x

x x

x x x

x x x x x

x x

       

  

  

    

    

Ta có 3 6 12 6 12 1  32 3 0,

2 2

x  x  x  x  x  x    x

  nên  

1

0 0 1

x

x x



     

Kết luận tập nghiệm S0;1

B

Bààii ttooáánn 6699. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x 1 32 0 x  x

   

Lời giải

Điều kiện x0 Bất phương trình cho tương đương với

        

3 2 2

2x x  3 02x 2x 3x  3 02x x1 3 x 1 0 x1 2x 3x3 0  Ta có

2

2 3 15

2 3 3 2 0,

4 8

x  x  x     x

   nên    x 1 0x1

Kết luận bất phương trình cho có nghiệm x1 B

Bààii ttooáánn 7700. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x37x2 15x9 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

6 9 6 9 0 6 9 6 9 0

3 0 3

1 3 0

1 0 1

x x x x x x x x x x

x x

x x

x x

            

  

 

     

  

 

Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S   ;1 1 B

Bààii ttooáánn 7711. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   7 11 5 0

x  x  x  x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

2 5 10 5 0 2 1 5 2 1 0

1 0 1

5 1 0

5 0 5

x x x x x x x x x x

x x

x x

x x

            

  

 

     

  

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S 1 5; B

Bààii ttooáánn 7722. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x39x212x 4 0 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

2 8 8 4 4 0 2 4 4 4 4 0

1 2 1 0

2 1 2 0 2

2 0

2

x x x x x x x x x x

x x

x x

x

x

            



  

 

     

  

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm ;1  2 2

S  

 

B

Bààii ttooáánn 7733. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 4x312x29x 2 0 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

4 4 8 8 2 0 4 4 1 2 4 4 1 0

2 2 0

2 2 1 0 1

2 1 0

2

x x x x x x x x x x

x x

x x

x x

            

   

 

     



  





Vậy bất phương trình cho có nghiệm 1 2;  2

S   

 

B

Bààii ttooáánn 7744. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 9x315x27x 1 0 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

9 6 9 6 1 0 9 6 1 9 6 1 0

1 1 0

1 3 1 0 1 1

3 1 0

3

x x x x x x x x x x

x x

x x x

x x

            

   

 

       



  





Vậy bất phương trình cho có nghiệm x1 B

Bààii ttooáánn 7755. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x36x29x 4 0 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

2 4 8 4 0 2 1 4 2 1 0

4 0 4

4 1 0 4

1 0 1

x x x x x x x x x x

x x

x x x

x x

            

  

 

       

  

 

Vậy bất phương trình có nghiệm x4

B

Bààii ttooáánn 7766. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2 x 1 3 0 x  x

    

Lời giải

Điều kiện x0 Bất phương trình cho tương đương với

  

 

3 2 1 2 3

3 2 2 3 3

0 0 x x x 0

x x x x x x x x

x x x

  

       

     

Nhận xét x22x 3 1x2 2 0, x  Do   x 1 0 0 x 1

x 

      Kết luận S 0;1

B

Bààii ttooáánn 7777. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2 3 6 0   4

x x x

x

    

 

Lời giải

_ 24

      

      

2 3 2 2

2

2 3 4 6 6 11 6 4 3 2 4 3

0 0 0

4 4 4

2 4 3 1 2 3 1 2

0 0

3 4

4 4

x x x x x x x x x x x

x x x

x x x x x x x

x

x x

           

    

  

        

     

 

  

Kết luận nghiệm 1x  2 3 x4

B

Bààii ttooáánn 7788. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 14  

4 9 0

2

x x x

x

    

 

Lời giải

Điều kiện x2 Bất phương trình cho tương đương với

     

 

2 3 2

4 9 2 14 2 4 1 3 4

0 0 0

2 2 2

x x x x x x x x x

x x x

         

     

  

Ta có

2

2 3 7

3 4 0,

2 4

x  x x     x

   nên  

1

0 1 2

2

x

x x



     

 Kết luận nghiệm S1; 2

B

Bààii ttooáánn 7799. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3 4 4 0   4

x x x

x

    

 

Lời giải

Điều kiện x4 Bất phương trình cho tương đương với

  

      

2 3 2 3 2 2

2

2

3 4 4 4 7 16 12 4 4 3 12 12

0 0 0

4 4 4

2 2 0

4 4 3 4 4 3 2

0 0 3 4

4 4 0

3 4

x x x x x x x x x x x

x x x

x x

x x x x x x x

x x

x x

x x

           

    

  

    

        

       

 

  

  

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  ;3  2  4; B

Bààii ttooáánn 8800. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 20  

2 7 0

3

x x x

x

    

 

Lời giải

Điều kiện x3

Bất phương trình cho tương đương với

  

      

2 3 2 3 2 2

2

2

2 7 3 20 2 5 4 1 2 4 2 2 1

0 0 0

3 3 3

1 0 1

2 2 1 2 1 2 1 1 1

0 0 2 1 1 3

3 3 0 3 2

3 2

x x x x x x x x x x x

x x x

x x

x x x x x x x

x x

x x x

x

           

    

  

  

 

      

 

         

 

    

 



Vậy bất phương trình cho có nghiệm 1;3 2

S    

B

Bààii ttooáánn 8811. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 4 5 9 0   2

x x

x

   

 

Lời giải

Điều kiện x2

  

      

2 3 2 3 2 2

2

2

4 5 2 9 4 8 5 1 4 4 4 4 1

0 0 0

2 2 2

2 1 0 1

4 4 1 4 4 1 1 2 1 2

0 0 1 2

1

2 2 0

2 1

2

x x x x x x x x x x

x x x

x

x x x x x x x x x

x

x

x x

x x

x

          

    

  

 

 

           

       

  

   

  

 



Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 2 x1

B

Bààii ttoốánn 8822. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

4 3 8 0 19

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện x Nhận xét

2

2 1 75

19 0,

2 4

x  x x     x

   Bất phương trình cho tương đương với

          

3 2

2

4 3 8 0 5 5 8 8 0

1 5 1 8 1 0 1 5 8 0

x x x x x x x x

x x x x x x x x

          

            

Ta có

2

2 5 7

5 8 0,

2 4

x  x x     x

  

nên   x 1 0 x1 Kết luận nghiệm x1

B

Bààii ttooáánn 8833. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

4 5 10 0 5

x x x

x x

  

 

 

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

          

3 2

5 5 10 10 0 1 5 1 10 1 0 1 5 10 0 1

x  x x  x x  x x  x x  x   x x  x 

Nhận xét

2

2 5 15

5 10 0,

2 4

x  x x     x

  nên  1 x 1 0 x1 Kết luận nghiệm x1

B

Bààii ttooáánn 8844. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4

2 18

0 1

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện x Nhận xét

2

4 1 1 1 1 1 1

1 0,

4 4 2 2 2 2

x   x x x  x  x  x   x     x

    

Bất phương trình cho tương đương với

     

      

3 2

2

2 18 0 2 4 8 9 18 0 2 4 2 9 2 0

2 4 9 0 2 2 5 0 2 0 2

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x

                 

 

              

 

Vậy bất phương trình có nghiệm x2

B

Bààii ttoốánn 8855. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

39 0 4 2 1

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

_ 26

     

      

3 2

2

3 4 12 13 39 0 3 4 3 13 3 0

3 4 13 0 3 2 9 0 3

x x x x x x x x x x

x x x x x x

            

 

           

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x3

B

Bààii ttooáánn 8866. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

7

7 11 5 0 2 6

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện x72x6

Phương trình cho tương đương với

      2 

3 2 2 1

2 5 10 5 0 2 1 5 2 1 0 1 5 0

5

x

x x x x x x x x x x x x

x

 

                  

 

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm S  1;5

B

Bààii ttoốánn 8877. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

6

2 11 20 12 0 29 3 1992

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện 29x63x19920 Phương trình cho tương đương với

      2

3 2 2

2

2 8 8 3 12 12 0 2 4 4 3 4 4 0 2 3 2 0 3

2

x

x x x x x x x x x x x x

x   

                 

  

So sánh điều kiện thấy thỏa mãn, kết luận phương trình cho có nghiệm 2;3 2

S    

B

Bààii ttooáánn 8888. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

5

3 4 8

0 2 9 1945

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện 2x59x219450 Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

2

3 3 4 4 8 8 0 3 1 4 1 8 1 0

2 2 4

3 4 8 1 0 1

1

x x x x x x x x x x

x x

x x x x

x

            

    

       

 

Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x1

B

Bààii ttooáánn 8899. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

3 5 9 0 5 6

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện x2;x3

Bất phương trình cho tương đương với

  

     

2 2

2

4 9 1 2 3

4 4 9 9 1

0 0 0

1

2 3 6 2 3 2 3

x x x x

x x x x x x

x

x x x x x x x

     

     

      



       

B

Bààii ttooáánn 9900. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   2 0 7 12 x x x x x        Lời giải

Điều kiện x27x120x3;x4 Bất phương trình cho tương đương với

  

     

2 2

2

1 2 4

2 2 1

0 0 0

1 3

3 4 12 3 4 3 4

x x x x

x x x x x x

x

x x x x x x x

    

     

      

 

       

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S1;3  4;

B

Bààii ttooáánn 9911. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

3

2 4 0 10

x x x

x x x         Lời giải

Điều kiện x2 Bất phương trình cho tương đương với

     

     

  

  

2 2

3 2

2

2

1 2 1 4 1

2 2 4 4

0 0

2 2 4 5 10 2 2 2 5 2

1 2 4 1

0 0 1 2

2

2 2 5

x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x

                                     

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S1; 2

B

Bààii ttooáánn 9922. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

5 8 4 0 8 15

x x x

x x x         Lời giải

Điều kiện x3;x5

Bất phương trình cho tương đương với

  

     

2

3 2

2

2 2

5

1 2

4 4 4 4

0 0 1 5

0 1 3

3 5 15 3 5

3 5 1 3

x x

x x x

x x x x x

x x

x

x x x x x

x x x

                                        

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S1;3  5;

B

Bààii ttooáánn 9933. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

3

7 15 9 0 11 38 40

x x x

x

x x x

  

 

   

Lời giải

Điều kiện x2;x4;x5

Bất phương trình cho tương đương với

   

   

  

       

2

3 2

3 2 2

2

6 9 6 9

6 9 6 9

0 0

6 8 5 30 40 6 8 5 6 8

3 3 0

1 3

0 1 4 5

0

2 4 5

2 4 5 1 2

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x

x x

x x

x x x

x x x x

                                                   

_ 28 B

Bààii ttooáánn 9944. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

3

2 14 24 9 0 7 14 8

x x x

x x x x

  

 

   

Lời giải

Điều kiện x1;x2;x4 Bất phương trình cho tương đương với

   

   

  

       

2

3 2

3 2 2

2

2 6 9 6 9

2 12 18 6 9

0 0

3 2 4 12 8 3 2 4 3 2

1 3

3 0 2

4

2 1 3

0 2 1 1 2

0 1 2

4 1 2

4 1 2 4

2 1

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x

x

x x x

x x

x

x x x

x x x x

x

    

    

  

         

 

 

  

 



    

       

  

     



   

  

 

 

Kết luận nghiệm

B

Bààii ttooáánn 9955. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

4 8 13

0 13 42

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện x6; 7 Bất phương trình cho tương đương với

   

  

  

  

  

2

4 5 13 4 5 13 1 5 13

0 0

6 7 6 7

0 0

6 7

6 7

x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x

       

  

   

 

   

 

  

Kết luận nghiệm S   ; 06; 7

B

Bààii ttoốánn 9966. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

2 3 5 10 0 9

x x x

x x x

  

 

 

Lời giải

Điều kiện x0;9 Bất phương trình cho tương đương

   

 

  

 

 

2 2

2 5 10 2 5 10 1 2 5 10

0 0

9 9

9 1

0

0 1

9

x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x

       

  

 

  

   

 

 

B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự. G

Giiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc 1

5x 9x 8x 4 0 2

6 8

x  x x

3

4 2 7 0

x  x  x 

4

4x x 10x16 5

3 2 24

x  x  x

6

3

2 4

0 5

x x x x      7 4 6 0 2 5

x x x x

  





8 21

5 15 0

2

x x

x

   



9 2 7 28 76 0 3

x x

x

   



10 9

3 5 0

x x x     11 2 12 0 2 9 x x x x      12 2

3 8 12 0 8

x x x x x      13 3 14 0 9 x x x x     14 2 2 16 0

x x x x x      15 2 3 22 0 3 4

x x x x x      16 2 4 0 10 9 x x x x      17 4 5 0 11 6 1963

x x x x      18 4 6 0 4 10 2013

x x x x x       19

3 7 11 0 28 5 1911

x x x x x       20 3

7 16 12 0 27

x x x x      21

11 19 9 0 1

x x x

x x       22 3

3 20 39 18 0

x x x

x x      23

8 28 22 5 0 12 15

x x x

x x

  



_ 30 B

Bààii ttooáánn 9977. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3x33x23x 1 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 3

3 3

3 1

2 3 3 1 0 1 2 1 2

1 2

x x  x  x   x   x x   xx 



Kết luận phương trình cho có nghiệm

3 1 1 2

x 



B

Bààii ttooáánn 9988. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x33x23x28 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

     

 

3 2

2

2

4 4 8 28 0 4 4 8 4 0

4

4 8 0 4 2 2 16 0 4

1 15

x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x

x x

            

 

            

   



Vậy phương trình cho có nghiệm

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 3

3

3 3 1 27 1 3 1 3 4

x  x  x   x  x   x

Kết luận nghiệm S  4 B

Bààii ttooáánn 9999. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x33x23x 3 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 3

3 3

3 3 1 2 1 2 1 2 2 1

x  x  x    x    x    x  

Kết luận nghiệm 2 1

x   B

Bààii ttooáánn 110000. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 8x312x26x7 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 

3

3 6 1

8 12 6 1 6 2 1 6 2 1 6

2

x  x  x   x   x  x 

Kết luận phương trình cho có nghiệm

6 1 2

x 

B

Bààii ttooáánn 110011. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x39x2 27x380 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 3

3 3

9 27 27 11 3 11 3 11 11 3

x  x  x   x  x  x 

Vậy phương trình cho có nghiệm 11 3

Nhận xét

Có thể dễ nhận thấy phương trình từ 97 đến 101 phương trình bậc ba đầy đủ, nhiên số phương trình sử dụng máy tính cho kết tỏ "lẻ, vơ hạn tuần hồn, số vơ tỷ ", điều gây bất lợi cho q trình phân tích nhân tử Mặc dù biến đổi vơ đơn giản – túy, sử dụng hằng đẳng thức lập phương tổng (hiệu), đưa toán dạng A3 B3 Những tốn thực ý này có hình thức đặc biệt đưa đẳng thức Một số tốn khác cần phải sử dụng cơng thức Cacdaro, tác giả xin trình bày Lý thuyết phần vượt q khn khổ tài liệu phần

B

Bààii ttoốánn 110022. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 6 1   3

x x x x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 3

3 3

3 1

18 3 3 1 0 17 1 0 17 1

17 1

x  x  x   x  x   x xx



Kết luận nghiệm

1 17 1

S   



 

B

Bààii ttoốánn 110033. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   5x 6x 12x 8 0 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

 3

3 3

3 2

4 6 12 8 0 4 2 0 2 4

1 4

x x  x  x   x  x   x   xx 



Kết luận tập hợp nghiệm

3 2 1 4

S   

 

B

Bààii ttooáánn 110044. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   21x 6x12x 1 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

 3  3

3 3 3

3 1

13 8 12 8 1 0 13 2 1 0 13 1 2 13 1 2

13 2

x  x  x  x   x  x   x   x  x   xx



Kết luận nghiệm

1 13 2

S   



 

B

Bààii ttooáánn 110055. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2 3 3   3x x  x x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 3

3 3 3

3 3

2 3 9 9 6 9 27 27 0 5 3 0 5 3

5 1

x  x  x  x  x  x   x  x  x   x x



Kết luận phương trình có nghiệm

3 5 1

x



B

_ 32

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

 3

3 3 1

8 3 3 1 0 8 1 0 1 2

3

x x  x  x   x  x  x   xx 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm 1 3

x 

Lời giải

Điều kiện x Biến đổi 3 23 1 3 1 0 3 1 3 1 0 1 3

x x  x   x  x  x 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm 1 3

x 

B

Bààii ttooáánn 110077. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x33x23x10 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với  3

3 3 1 9 1 9 9 1

x  x  x   x  x 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm 9 1

x  B

Bààii ttooáánn 110088. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 17x36x212x8 x

Lời giải

Điều kiện x

Biến đổi 3  3

3 2

16 6 12 8 0 16 2 16 2

1 16

x x  x  x   x  x x  xx



Vậy bất phương trình cho có nghiệm

3 2 1 16

x



B

Bààii ttooáánn 110099. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   22x 9x 27x270 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

 3

3 3

3 3

21 9 27 27 0 21 3 21 3

1 21

x x  x  x   x  x x   x x



Vậy bất phương trình ban đầu có nghiệm

3 3 1 21

x



B

Bààii ttooáánn 111100. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

7 6 12 8 0

3 4

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện x Nhận xét 3 4 16 2 8 1  12 5 7 0,

2 2

x  x  x  x   x  x    x

  

Biến đổi: 3  3

3 2

7 6 12 8 0 6 2 0 2 6

6 1

x  x  x   x  x  x  x x 



Vậy bất phương trình cho có nghiệm

2 6 1

x 

B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự.

Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực 1

3 3 19

x  x  x

2

2x 6x 6x7 3

12 6 19

x  x  x

4

4x 12x 12x17 5

9 27 47

x  x  x

6

3

3 9 9 11 0 2 5 1975

x x x x x       7

8 12 8 15 0 30 3 1980

x x x x x       8 2

8 12 6 9 0 6 17

x x x x x       9

9 27 33 0 6

x x x

x x       10 3

5 15 15 16 0 10

x x x

x x       11 3

7 21 21 31 0 4 5

x x x

x x       12 3 8 0 8 12 6 7

x x x x x

     13 3

4 3 3 1

0 6 11 6

x x x x x x

       14 3

5 12 6 1 0 3

x x x x x x

       15 2

7 3 3 1

0

11 11

x x x x x       16 3

5 9 9 27 0

2 7 8 3

x x x x x x

       17 3

4 9 9 27 0 4 4

x x x x x x

      18 3

6 3 3 1

0

3 2 6

x x x x x x

        19 3

4 4 9

0 9 12 6 1

x x x x x x

        20 3

17 12 6 1 0 5 8 4

x x x x x x

       21 2 27 6 6 2

0

5 4

x x x x x       22

6 18 18 11 0 2

x x x

x x x

       23 3 3 4 0 10 12 6 1

x x x x x

 



_ 34 B

Bààii ttooáánn 111111. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x33x53 8 x

Lời giải

Phương trình cho tương đương với

  

 

3 3

3 2

2

9 27 27 15 75 125 8 2 24 102 160 0 5

12 51 80 0 5 7 16 0

7 16 0

x x x x x x x x x

x

x x x x x x

x x

            

 

           

   



Phương trình (*) vơ nghiệm  0 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 5

Lời giải

Đặt x 4 t; phương trình cho trở thành

   

  

 

3 3 2 3 2 3 3

2

2

1 1 8 3 3 1 3 3 1 8 2 6 8 0 3 4 0

1

1 4 0

4 0

t t t t t t t t t t t t

t t t t

t t

                    

 

      

   



Phương trình (*) vơ nghiệm  0 Với t  1 x  4 1 x5 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 5

B

Bààii ttooáánn 111122. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x13x5364 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

  

 

3 3

3 2

2

3 3 1 15 75 125 64 2 18 78 190 0 5

9 39 95 0 5 4 19 0 5

2 15

x x x x x x x x x

x

x x x x x x x

x

            

 

            

  



Vậy phương trình cho có nghiệm x5

Lời giải

Điều kiện x Đặt x 3 t, phương trình cho tương đương với

   

  

 

3 3 2 3 2 3

3

2

2 2 64 6 12 8 6 12 8 64 2 24 64 0

2

12 32 0 2 2 16 0 2 5

1 15

t t t t t t t t t t

t

t t t t t t x

t

                

 

             

  



Vậy phương trình cho có nghiệm x5 B

Bààii ttooáánn 111133. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x34x54 16 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x 4 t; phương trình cho trở thành

       

       

    

2

4 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

1 1 16 1 2 1 2 16

1 4 1 4 1 4 1 4 16

1 5

2 1 8 16 6 7 0 1 7 0 1

1 3

t t t t t t

t t t t t t t t

t x

t t t t t t t

t x

          

          

 

 

                

  

 

B

Bààii ttooáánn 111144. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x14x74 162 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x 4 t, phương trình cho trở thành

       

   

 

2

4 2

4 2 2

4 2 2

3 3 162 9 6 9 6 162

18 81 12 9 36 18 81 12 9 36 162

18 81 36 81 54 0 0 4

t t t t t t

t t t t t t t t t t

t t t t t t x

          

            

           

Vậy phương trình cho có nghiệm x4 B

Bààii ttooáánn 111155. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x24x44 16 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x 3 t, bất phương trình cho trở thành

       

       

    

2

4 2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

1 1 16 1 2 1 2 16

1 4 1 4 1 4 1 4 16

2 1 8 16 6 7 0 1 7 0

1 1 1 2 4

t t t t t t

t t t t t t t t

t t t t t t

t t x

          

          

           

        

Vậy bất phương trình ban đầu có nghiệm S2; 4 B

Bààii ttooáánn 111166. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x23x33 1 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt 5 2

x t, bất phương trình cho trở thành

   

  

3

3 3 2 3 2

3

1 1

1 2 1 2 1 8 8 12 6 1 8 12 6 1 8

2 2

1

16 12 8 0 4 3 2 0 2 1 2 2 0 3

2

t t t t t t t t t t

t t t t t t t t x

   

                 

   

   

                

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x3

Nhận xét

Qua quan sát, bạn thấy phương trình – bất phương trình (từ 111 đến 116) hoàn toàn giải

được phương pháp biến đổi tương đương, khai triển đẳng thức trực tiếp mà không thông qua phép đặt ẩn phụ Đối với phương trình bậc cao, sử dụng ẩn phụ cách làm phổ biến hiệu Các tốn có dạng tổng qt xan x b n c, phép đặt ẩn phụ trung bình

2

a b

x  tsẽ làm cho tính tốn trở nên tương tự, phép khai triển diễn bình thường, bậc khai triển khơng giảm, đổi lại chúng ta triệt tiêu số hạng tử giống nhau, từ dẫn đến kết nhanh chóng, dễ dàng

B

Bààii ttoốánn 111177. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x33x3 27 x

Lời giải

Điều kiện x

_ 36 B

Bààii ttoốánn 111188. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  3  3  

1 2 0

x  x  x  x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

  

 

3 3

3 2

2

3 3 1 6 12 8 0 3 9 15 9 0

1

3 5 3 0 1 2 3 0 1

1 2

x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x

x

             

  

             

  



Vậy phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttooáánn 111199. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x132 2 x132x3 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 

  

3 3

3 2

3 3 1 8 12 6 1 2 15 27 15 3 0

5 9 5 1 0 1 5 4 1 0 1

x x x x x x x x x x

x x x x x x x

            

           

Phương trình có tập nghiệm S  1 B

Bààii ttooáánn 112200. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x332x13 3x23 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x 3 a; 2x 1 ba b 3x2 Phương trình cho trở thành

 3    

3 3 3

3 3 0

1

3 0 2 1 0

2 3 2 0

2 3

x x

a b a b a b a b ab a b ab a b x x x

x

     

 

 

                

 

   



   

Vậy phương trình cho có tập nghiệm 3; 2 1; 3 2

S   

 

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

   

3 3

3

9 27 27 8 12 6 1 27 54 36 8

18 57 3 18 0 6 19 6 0

2 1

2 1 3 3 2 0 3; ;

3 2

x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

          

         

 

         

 

Vậy phương trình cho có ba nghiệm kể B

Bààii ttooáánn 112211. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x33x43 1 3 x3 x

Lời giải

Điều kiện x

     

   

3

3 3 3

3 0

3 1

2 3 4 3 0 ; ; 4

2 3

u v u v u v u v uv u v uv u v

x x x x

           

 

         

 

Vậy phương trình cho có ba nghiệm B

Bààii ttooáánn 112222. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3x235x23 8x43 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt 3x 2 u;5x  2 v 8x 4 uv Bất phương trình cho trở thành

     

   

3

3 3 3

3 0

2 3 3 2 5 2 2 1 0

2 1

5 2

u v u v u v u v uv u v uv u v

x

x x x

x

           

  

      

   

Kết luận bất phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttooáánn 112233. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x235 2 x327x13 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x2u; 2x  5 v u v 3x3 Bất phương trình cho tương đương với

 3        

3 3 3

2

3 0 2 2 5 1 0 5

1

2

x

u v u v u v u v uv u v uv u v x x x

x    

                 

   

Kết luận bất phương trình cho có nghiệm  ; 2 1;5 2

S        

B

Bààii ttoốánn 112244. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x13x235x1x2  2x33 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

 

   

3 2

3

3 3 1 6 12 8 5 3 2 8 36 54 27

2

6 22 24 8 0 3 11 12 4 0 1 2 3 2 0 3

2 1

x x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x x x

x

             

   

               



    

Vậy bất phương trình cho có nghiệm  2; 1 2; 3

S      

 

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x 1 a x; 2 b 2x 3 a b , bất phương trình cho trở thành

   

     

3

3 3 3

5 5 3

2

3 3 5 0 2 1 2 3 2 0 3

2 1

a b ab a b a b ab a b ab a b x

ab a b x x x

x

          

   

         



    

_ 38 B

Bààii ttoốánn 112255. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x233x33x2 3 x125 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x2a;3x b a b 5 Phương trình cho trở thành

   

      

3

3 3 3

3 3 3

1 0 4 0 2 3 0 2;3

a b ab a b a b ab a b ab a b

ab a b ab x x x

          

            

Vậy phương trình cho có hai nghiệm

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   

 

3 2

2

6 12 8 9 27 27 3 6 125

12 12 72 0 6 0 2;3

x x x x x x x x

x x x x x

           

          

Vậy phương trình cho có hai nghiệm

Nhận xét

Quan sát toán từ 117 đến 125, bạn thấy tốn giải hai phương pháp:

biến đổi tương đương đặt ẩn phụ (hai ẩn phụ) Với hình thức đặc thù lớp toán này, phép đặt ẩn phụ làm cho toán trở nên gọn gàng hơn, từ đơn giản định hướng vấn đề, bạn lưu ý đẳng thức khai triển (bậc ba) quen thuộc sau

   

   

3 3 3 2 2 3 3

3 3 3 2 2 3 3

3 3 3

3 3 3

a b a b a b ab a b ab a b a b a b a b ab a b ab a b

        

        

Ngoài phép đặt ẩn phụ số hạng tử nhân tử cịn lại khơng thiết biểu thị theo biến phụ vẫn cho lời giải đẹp mắt Mời bạn quan sát ví dụ

B

Bààii ttoốánn 112266. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x132x133 2 x23x1 6 x5  3x23 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x 1 a; 2x  1 b 3x 2 a b Phương trình cho tương đương với

     

          

3 3

3 1 2 1 6 5 3

1 2 1 0 1

1 2 1 6 5 1 2 1 3 2 1;

2 6 5 3 2

a b x x x a b ab a b

x x

x x x x x x x

x x

        

  

  

             

    



Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttooáánn 112277. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x3x133x x 1x4x2x13 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

         

    

3 4

2

4

2 1 3 1 2 1 3 1 2 1

1

1 1 1

1 1 0 1 0

0

2 2 2

x x x x x x x x x

x

x x x x x x x x

x

        

      

               



    

 

 

B

Bààii ttooáánn 112288. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x3x233x23x12 8x133 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

     

          

          

2

3

3

3 2

2

2 3 3 1 3 8 1

8 1 3 2 2 2 3 3 3 2 8 1

1

3 3 1 2 6 1 2 0 1 2 0 0

2

x x x x x

x x x x x x x x x

x

x x x x x x x x x x x

x

       

          

   

             

    

Bất phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttooáánn 112299. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  4  2  4  

1 6 2 1

x  x  x x  x x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

     

           

   

2

4

4

2

4

4 2

2

1 6 1

1 6 1 4 1 1 6

4 1 1 0 1 0

x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x

      

 

             

 

 

        

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  1; 0 B

Bààii ttooáánn 113300. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

 4  2     4  

4

3 1 6 3 1 4 3 1 3 13 4 1

x  x  x x  x x x  x x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

          

  

4 2

2

4 1 4 3 1 3 1 4 3 1 3 13 4 1 1

4 3 1 10 3 14 0 0

3

x x x x x x x x x

x x x x x x

 

         

 

         

Vậy bất phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttooáánn 113311. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

 4  4  2     4  

1 2 6 3 2 9 1 2 2 3

x  x  x  x  x x x  x x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x 1 a x; 2 b a b 2x3, bất phương trình cho tương đương với

   

     

4

4 2 4 2 4 2 2

2 2

6 9 6 9 4 6

9 4 4 0 1 2 8 15 20 0 2 1

a b a b xab a b a b a b xab a b ab a b a b

ab x a b x x x x x

             

              

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S   2; 1 B

Bààii ttooáánn 113322. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 8x3x134x x 1 2 x1  x13 x

_ 40 Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

      

         

         

3

3

3

3

2

8 1 4 1 2 1 2 1

8 1 4 1 2 1 8 1 3.2 1 1

4 1 2 1 6 1 1 0 1 0 1; 0

x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

        

           

            

Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttooáánn 113333. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3x13x34x3x1x212x13 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

        

  

3

2

2 1 3 3 1 4 3 1 1 2 1 1

3 1 4 3 4 0 ; 0

3

x x x x x x x

x x x x x

       

 

        

 

Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttoốánn 113344. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x43x146x23x124x3x1  2x14 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

       

             

   

4

4

4

4 2

4 2

2

3 1 6 3 1 4 3 1 3 1

3 1 6 3 1 4 3 1 3 1 6 3 1 4 3 1 3 1

1

4 3 1 3 1 1 0 0

3

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x

        

 

               

 

 

         

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm 1; 0 3

S  

 

B

Bààii ttooáánn 113355. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x14x246x23x227x23x21 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

           

       

           

     

2

4 2

2

4 2 2

2

4 2 2 2

2

2

1 2 6 3 2 7 3 2 2 1

1 2 6 3 2 7 3 2

1 2 6 3 2 4 3 2 1 2

3 2 4 1 4 2 7 0 3 2 0 2 1

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x

             

         

 

            

 

 

                

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S   2; 1

Nhận xét

Phép đặt ẩn phụ làm cho toán trở nên sáng sủa hơn, chất khơng có thay đổi, bạn hoàn toàn sử dụng phép biến đổi đẳng thức thông thường Chú ý

   

   

4 4 4 2 2 2 2

4 4 4 2 2 2 2

6 4

6 4

a b a b a b ab a b a b a b a b ab a b

     

B

Bààii ttooáánn 113366. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x213x13 x2 x 23 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

              

  

3 3

2

3 3

2 2

2

1 1 1 1

1 1 1 1 3 1 1 1 1

3 1 1 2 0 1

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x

      

 

               

 

         

Vậy phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttoốánn 113377. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   3 3     3  

1 1 1 2 1

x x  x  x x x x  x  x  x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

        

      

       

   

3 3

2 2 2

3

2 2

3

2 2

2

1 1 1 1

1 1 1

1 3 1 1 2 1

1

1 1 6 2 0

0

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x

x

            

        

         

 

       

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 1 x0 B

Bààii ttooáánn 113388. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  3   2  6  

1 1 1 1

x  x  x x x  x x  x x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

      

         

  

3

3

3 2

3

3 2 2

2

1 1 1 1

1 1 1 1 3 1 1

1

2 1 1 0

0

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x

x

 

          

 

               

  

      

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x  1 x0 B

Bààii ttooáánn 113399. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

 3  3  6     

3x2  x  x 2  x2 7x 3x2 x  x 2 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

      

              

   

3

3 2 2 2

3

3 2 2

2

3 2 2 3 2 2 7 3 2 2

3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 2 7 3 2 2

2

3 2 2 3 5 12 0

3

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

 

             

                  

         

Vậy bất phương trình cho có nghiệm 2 3

_ 42 B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự. G

Giiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc 1  3

4 64

x x 

2 x23x43 8 3 x43x6328 4  3  3

5 7 133

x  x x 

5 x13x632x53 6 x33x1356

7  3    3

1 3 1 2 1

x  x  x x  x

8  3  3 2    3

1 2 1 3 1 3 2 3 2

x  x  x x x  x

9 x13x336x1 4 x7x38x23 10  3     3

1 1 2 10 2 1

x  x x x x  x  x 11  3  3 2   3

1 2 3 2 2 3

x  x x x  x  x 12  3    3

1 4 1 1

x  x  x  x x  x  x  13      3  3

3 2 3 1 3 2 3

x x x  x x  x  x 14  3  3     3

1 1 1 2

x   x  x  x   x x 15  3  3     3

5x3  2x1 4 6x 7x2 x5  3x2 16  3   3   2  3

4 4 2 8 2 3

x  x   x  x x  x x  x x 17  3  3    2  6

3 1 3 9 1 1 1

x  x  x  x  x x  x 18 x44 x64 16

19 x24 4x4 2 20 x24x84 272 21  4

1x x 97

22 x2, 541, 5x4 1 23 2x342x14 2

24  4 2 2     4

1 6 1 4 4 1 2 2 1 2 1

x  x  x x  x x  x x  x  x 25  4  4  2 3 

1 1 6 1 4 1 16

x  x  x   x x   x

26  4  4   2 2     4

2 2 3 6 2 2 3 4 5 16 13 3 3 10 3 5

x  x  x x  x  x x  x  x 27  4    2 2  4

3 1 3 1 41 22 5 6 3 1 4 1

x  x x x x  x  x x  x 28  4    2  2   4

1 4 2 2 1 7 1 2012 2 1

x  x  x x x  x  x x x  x

29  4  4   2 2   

3 2 3 6 3 2 3 8 13 35 5 6 18 81

B

Bààii ttooáánn 114400. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2 x 122 2 x12 27 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 2  2  2    2  

1 2 2 1 27 1 2 4 4 1 27 1 8 1 33

x  x  x   x  x  x  x   x  x  x  x 

Đặt  

1 0

x   x t t ta thu    11

8 33 11 3 0

3

t

t t t t

t

  

       

 

Loại trường hợp t 11 0 Với    1

3 2 2 1 0

2

x

t x x x x

x

 

         

  

Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  2;1

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   

  

     

4 2 2

4 3

2

2 1 2 1 2 4 4 1 27

2 11 10 24 0 1 3 14 24 0

1 2 12 0 2;1

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x

        

           

        

Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttooáánn 114411. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2x62x32 65 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

       

         

2

2 2 2

2

6 6 56 6 8 6 7 6 56

6 8 6 7 0 2 4 1 7 0 7; 4; 2;1

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

          

                

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

 

        

      

2 2

2 2 2

12 36 6 9 65 12 37 6 56 0

6 7 6 6 7 8 6 7 0 6 7 6 8 0

2 4 1 7 0 7; 4; 2;1

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x

           

               

          

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm

Nhận xét

Hai toán mở đầu cho lớp toán phương trình – bất phương trình bậc cao giải phương pháp sử

dụng ẩn phụ (bước đầu với ẩn phụ), quy phương trình bậc hai cao với biến Lời giải mỗi toán sử dụng phép nhẩm nghiệm hệ số bất định phân tích đa thức nhân tử Về kỹ thuật hệ số bất định tác giả xin trình bày phần Thơng thường, yếu tố cấu thành ẩn phụ không ẩn, thường chứa phân thức, đẳng thức hay phép khai triển đa thức, bạn ý biến đổi liên hệ để có lời giải chính xác, gọn gàng

B

Bààii ttoốánn 114422. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x52x210x12 26 x

Lời giải

_ 44 Phương trình cho tương đương với x210x25x210x12 26x210x12x210x 1 2 Đặt

10 1

x  x tthu    2

2 1 2 0

1

t

t t t t

t

  

       

 

 Với t  2 x210x 3 0x  5 22;x  5 22

 Với t 1 x2 10x0  x  10; 0

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm S   5 10; 5  10; 10; 0  B

Bààii ttooáánn 114433. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2x122 2 x12 86 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 2  2  2    2  

2 2 2

1 2 2 1 86 2 4 4 1 86 8 84

x x  x   x x  x  x   x x  x x  Đặt x2 x t ta 8 84  6 14 0 6

14

t

t t t t

t

 

       

    t6x2   x 6 0 x 2; 3 

 t 14x2 x 140 (Vơ nghiệm  0) Kết luận tập hợp nghiệm S  3; 2

B

Bààii ttooáánn 114444. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x26x12x32 11 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với 2x26x12x26x 9 112x2 6x12x26x 1 3 Đặt x26x 1 t, ta có 2t2  t 3 t1 2 t30x26x2x212x50

Suy phương trình có bốn nghiệm 6; 0; 6 26; 6 26

2 2

S       

 

 

B

Bààii ttooáánn 114455. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x23x227 3 x12 137 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 2    2    

3x 2x 7 9x 6x1 137 3x 2x 21 3x 2x 130 1 Đặt 3x2 2xtta có  1 t221t1300t5t260  t  26;5



26 3 2 26 0

t   x  x  (Vơ nghiệm  0)

 5

5 3 2 5 0 ;1

3

t  x  x    x  

 

Kết luận phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttooáánn 114466. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3x1 2 x32x22 31 x

Lời giải

Bất phương trình cho tương đương với 3x24x32x24x 3 30

Đặt x24x 3 tta thu 3t2 t 30t3 3 t100x24x3x212x190   Nhận xét  2

3x 12x193 x2 70, x nên   x x 40  4 x0 Kết luận tập hợp nghiệm S  4; 0

B

Bààii ttooáánn 114477. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2x1025 5 x2 125 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 2      0 5 5

10 5 10 0 10 10 5 0

5 5 10

x

x x x x x x x x

x

   

          

  



Vậy bất phương trình cho có nghiệm S0;5 5   5 5;10  B

Bààii ttooáánn 114488. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh      

1 3 2 2

x x x  x   x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x2 2x3x22x 2 0 Đặt x22xtthu t3t 2 0t23t20t1t20   t 1 t 2



1 2 1 0 1 2; 1 2

t  x  x  x  x 



2 2 2 0 1 3; 1 3

t x  x  x  x 

Kết luận phương trình cho có bốn nghiệm S 1 3;1 2;1 2;1 3 B

Bààii ttoốánn 114499. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x34x x 3 1 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với  2  

4x 12x9 x x3  1 0 Đặt 4 12 9 , 0  3 9

4

t

x  x t t x x   , thu

    

2 2

4 9 4 0 1 4 5 0 1 4 3 2 0

1

x

t t t t t x x

x

 

               

 

Kết luận nghiệm x 2 x1 B

Bààii ttooáánn 115500. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x2x22x1x111 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với 2x2x22x2 x 120 Đặt 2x2xtta thu 12 0  3 4 0 3

4

t

t t t t

t

 

        

  

o Với 3 2 3 0 1; 3

2

t  x   x x  x

_ 46 B

Bààii ttoốánn 115511. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x3x2x2 x 4 1 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x2  x 6x2 x 4 1

Đặt x2xtta có  6 4 1 0  52 0 5 2 5 0 1 21; 1 21

2 2

t t    t   t  x   x x  x 

Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttooáánn 115522. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x22x1x12  1 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

    2    

2 1 2 1 1 0 2 1 0 2 0 2; 0

x  x x  x    x  x    x x    x

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm kể B

Bààii ttooáánn 115533. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x24x2x224 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 2   

14

2 4

2

2 4 4 0 4 2 8 1 0

14

0 2

2

x

x x x x x x x x

x 

  

 

         



  

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttooáánn 115544. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x14x x 21 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 4  4  2

1 2 1 2 1 1 2

x x  x   x  x 

Đặt x12 t t0thu 2 0  1 2 0 1 1 1 2 0

x

t t t t t x

x

 

             

 

Vậy bất phương trình có nghiệm S  ; 0  2; B

Bààii ttooáánn 115555. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x8x1 2 4x19 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với 64x216x1 8 x22x9

Đặt 8x2 2xt ta thu  

2

2

9

8 2 0

9 1 1

8 1 9 8 9 0 1 8

8 4 2

8 2 1 0

x x

t t t t t x

x x



  



              

   



Vậy bất phương trình cho có nghiệm 1 1; 4 2

S  

 

B

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

 4  4  2

3 6 9 20 3 3 20

x x  x   x  x 

Đặt x32 t t0 ta thu t2 t 200t4t50 t 4 x3 2 1 x5 Vậy bất phương trình cho có nghiệm S1;5

B

Bààii ttooáánn 115577. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x3x43x22 4 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

 3    2  

4 4 0 4 4 1 0 4 0 0 4

x  x x  x  x  x  x  x    x x   x

 

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S0; 4 B

Bààii ttooáánn 115588. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x x 1x2 x 112 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

   2

2

2 2

2

2

1 1 1 1

1 12 12

2 2 2 2

1 1 1 49 1 7

12

2 4 2 4 2 2

3 0 1 13 1 13

3 0

2 2

4 0

x x x x x x x x

x x x x x x

x x

x x x

x x

   

             

   

   

              

   

      



        

   



Vậy bất phương trình cho có nghiệm 1 13; 1 13

2 2

S     

 

B

Bààii ttooáánn 115599. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x21x24x3192 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

       

1 1 1 3 192 2 1 2 3 192

x x x x   x  x x  x 

Đặt x22x 1 t t0ta thu

  2

4 192 4 192 0 12 16 2 1 16 2 15 0 5 3

t t  t  t     t x  x  x  x    x

Vậy bất phương trình ban đầu có nghiệm S  5;3 B

Bààii ttoốánn 116600. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x1x1x3x59 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

        

1 5 1 3 9 4 5 4 3 9

x x x x   x  x x  x 

   

_ 48 Đặt

4 1

x  x t; phương trình (1) trở thành

        

2 8

4 4 9 25 5 5 0 4 4 4 4 0 2 8

2

x

t t t t t x x x x x

x

    

                  

   

Vậy phương trình cho có tập nghiệm S   2 8; 2  8; 2  B

Bààii ttooáánn 116611. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x1x2x4x5112 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

        

1 4 2 5 112 3 4 3 10 112

x x x x   x  x x  x 

   

    (1)

Đặt x23x 4 tthì (1) trở thành

         

 

2

2

2

3 18 0 2

6 112 8 14 0 3 4 3 18 0

3 4 0 3

x x

t t t t x x x x

x x

   

             

  



Phương trình (3) vơ nghiệm  0;  2  6 3 0 6 3

x x x

x

 

     

 

Kết luận tập nghiệm phương trình S  6;3 B

Bààii ttooáánn 116622. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x1x2x4x540 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

        

1 5 2 4 40 6 5 6 8 40

x x x x   x  x x  x 

   

   

Đặt x26x 5 tta thu

 

 

2

2

6 0

6 0

3 40 3 40 0 8 5 6 0

3 4 0 6 13 0

x x x

t t t t t x

x x x

  



  

 

               

  

  

 

 

Kết luận tập hợp nghiệm S  6; 0

Nhận xét

Các toán từ 159 đến 162 giải phương pháp đặt ẩn phụ, có kết hợp khéo léo nhân tử với Dễ thấy lời giải toán 160, cách đặt ẩn trung bình

4 1

x  x tgiúp đưa phương trình dạng đẳng thức đẹp, khơng qua bước tính nghiệm phương trình bậc hai toán 161, 162 Tùy theo kinh nghiệm gu trình bày thân, bạn tự lựa chọn cho phương cách phù hợp Lưu ý số tốn có dạng tổng quát: xax b x c x d m hệ số a b c d, , , thỏa mãn điều kiện a b  c d a  c b d a; d  b cnếu đảo vị trí Tất yếu m0 Cách giải:

Chẳng hạn a b  c d k, ta nhận thấy nhóm

         

xa x b x c xd mx  a b x ab x  cd x cd m

   

       

thì xuất hạng tử chung

B

Bààii ttoốánn 116633. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x4x3 x x160 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

       

4 1 3 60 3 4 3 60

x x x x   x  x x  x 

   

   

Đặt x23x 2 tthu

     

  

2

2

2 2 60 4 60 64 0 8 8 0

5 3 10 3 6 0

2

t t t t t t

x

x x x x

x

            

 

       

  

Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttooáánn 116644. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x22x3x28x12 36 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

          

    2  

1 3 2 6 36 1 6 3 2 36

0

5 6 5 6 36 0 5 36 36 0 5 0

5

x x x x x x x x

x

x x x x x x x x

x

               

 

                

  

Vậy tập nghiệm phương trình: S   5; 0 B

Bààii ttooáánn 116655. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh      2x 7x3 2x  x 3  9 0 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

          

      

  

2

2 2

2

2 1 3 1 2 3 9 0 2 1 1 3 2 3 9 0

2 3 1 2 3 9 9 0 2 3 1 10 2 3 1 9 0 3 73

0 4

2 3 2 3 8 0

3 3 73

2 4

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x

x x x x

x

               

              

 

 

 

     

 

 

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttooáánn 116666. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x23xx27x10216 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

        

      

     

2

2 2

2

3 2 5 216 2 3 5 216

2 2 15 216 2 15 2 216 0

4

2 9 2 24 0 4 6 0

6

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x

x x x x x x

x

           

          

 

           

  

_ 50

Nhận xét

Các toán 164 đến 166 lớp phương trình – bất phương trình sử dụng ẩn phụ

tốn phía trước, nét khác biệt điểm nhấn toán đề chủ ý chia cắt nhân tử ẩn phụ, đảo vị trí nhân đa thức, giấu chất thực toán Để giải dạng toán bạn cần có kỹ năng phân tích nhân tử nhân chia đa thức thục, có nhìn khách quan ẩn phụ để đặt biến cách nhanh chóng, đưa phương trình bậc hai, nhẩm nghiệm từ đưa dạng tích – thương cần thiết Đối với phương trình bậc cao nói chung, bạn tìm nghiệm tương ứng giải riêng biệt (chia trường hợp giá trị), tuy nhiên bất phương trình khơng nên chia trường hợp phức tạp, cách làm phổ biến trả lại ẩn x ban đầu giải bất phương trình tích với biến x đơn giản Lưu ý thực phép đặt ẩn phụ t biến đổi tương đương ẩn x đơn 164 đến 166, cấu không thay đổi

B

Bààii ttooáánn 116677. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x3x23x12 4 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

 3  3

3 2

2x x2 x 2x 1 42 x 2x x 2x 3 0 Đặt x22xt thu

  

   

3 2

2 2 1

2 3 0 1 2 2 3 0 1 2 1 0 1 2;1 2

1 3

t

t t t t t t x x x

t t

 

                  

   



Vậy phương trình cho có hai nghiệm x 1 2;x 1 2

B

Bààii ttooáánn 116688. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x1 3 x333x22 66 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với 2x24x333x24x3630 Đặt x24x 3 tthu

      2

3 2

2t 3t630 t3 2t 6t21 0 t3 t  t3 120  t 3 x 4x0  4 x0

 

Vậy bất phương trình cho có tập hợp nghiệm S   4; 0 B

Bààii ttooáánn 116699. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x12 30x2 3 x33 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

  3 3  3  

2 3 4 4 1 30 6 4 6 5 0

x x  x  x   x  x  x  x   Đặt

6

x   x tthu

     

   

3 2

2

2

4 5 0 1 5 0 1 2 2 10 0

1 29 1 29

1 1 9 0 1 7 0

2 2

t t t t t t t t

t t t t x x x

            

   

 

              

 

Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm 1 29; 1 29

2 2

S      

 

B

Bààii ttooáánn 117700. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3x1 3 x432x32320 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

 3  3  

3 x 3x4 4x 12x 9 3203 x 3x4 4 x 3x4  7 0 Đặt x23x 4 t ta thu

    

   

3 2

2 2 2

3 4 7 0 1 3 3 7 0 1 6 6 14 0

3 29 2

1 3 5 5 0 1 3 5 0

3 29 2

t t t t t t t t

x

t t t t x x

x

 

             

  

 

  

            

    

  

Vậy bất phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttooáánn 117711. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x34x2x4 1 0 x

Lời giải

Điều kiện x

Biến đổi x34x26x 9 0x3 2 x3210x3

 

Vậy phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttooáánn 117722. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x24x1x319 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

     

     

4

2 2

2 4 4 20 2 2 20 0

2 4 2 5 0 2 4

2 2 2 2 2 0 4

x x x x x

x x x

x x x

          

   

        

   

          

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S0; 4 B

Bààii ttooáánn 117733. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x1 2 x32x2x4 5 0 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

       

   

2 2 2 2

2

1 3 2 8 5 0 1 3 2 3 0

3 1 3

1 3 2 2 0

3 1 1

x x x x x x x x

x

x x x x

x

             

    

       

  



Vậy bất phương trình cho có nghiệm S    3; 1 3 3 1;1 

   

B

Bààii ttooáánn 117744. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x1 3 x23x4x3100 x

_ 52 Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

   

    

3

2 2

2

2 12 10 0 2 2 0

1 2 2 1 0 2 1

x x x x x x x x

x x x x x

             

 

          

 

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  2;1 B

Bààii ttooáánn 117755. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2xx27x1240 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

        

      

     

2

2 2

2

1 3 4 40 1 3 4 40

4 3 4 40 4 3 4 40 0

4 8 4 5 0 1 5 0 5 1

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x

           

          

             

Kết luận tập nghiệm S  5;1 B

Bààii ttooáánn 117766. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  2    

4 1 3 4

x  x x x  x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với   2 

4 4 3 4

x  x x  x  Đặt x24xtta thu

    

    

2

2

2

2

3 4 3 4 0 1 2 0

4 1 4 2 0 2 5; 2 5; 2 2; 2 2

t t t t t t

x x x x x

         

           

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm B

Bààii ttooáánn 117777. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x2x22x1x1180 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với 2x2x 2 2x2 x 11802x2x 3 2x2x21800 Đặt 2x2xtta thu

     

      

3 2

2

2

180 0 6 5 30 0 6 2 10 60 0

3

6 5 35 0 6 2 6 0 2 2 3 0 2

2

t t t t t t t t

t t t t x x x x x

            

 

                   

 

Vậy bất phương trình ban đầu có nghiệm 3; 2 2

S  

 

B

Bààii ttooáánn 117788. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3x22x2x3x2x4 x

Lời giải

Điều kiện x

  2     2 2     2  3x2 x x1 x 3x1 4 3x2 x x1 3x1 4 3x 2x 3x 2x1 4 Đặt

3x 2xt ta thu

       

   

2 2

2

2

1 4 4 0 2 2 0 2 2 2 4 0

1 7 1 7

2 1 3 0 2 3 2 2 0

3 3

t t t t t t t t t t

t t t t x x x

               

 

 

              

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm 1 7 1; 7

3 3

S    

 

B

Bààii ttoốánn 117799. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2 x 1x2 x 27x27x2 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

    

    

2

2

2

1 2 7 2 3 2 7 2 2 0

2 2 0 1 2 0 2;1

x x t t t t t t t t

t x x x x x

             

            

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x 2;x1

B

Bààii ttooáánn 118800. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2 1 2 18 2 18  

2 3 2 2 2 1 x

x  x x  x  x  x 

Lời giải

Điều kiện x22x1;x22x2;x22x3 Đặt x22x 3 t phương trình cho trở thành

    

5 5 6 14

11 5 2 14 1 3 13 10 0 2

1 2

3

t

t t t t t t

t t t t

  

           



   



  

5 2 8 0 4; 2

t x  x    x

 2 3 30 3 30

3 6 7 0 ;

3 3 3

t   x  x  x  x 

Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình ban đầu có bốn nghiệm B

Bààii ttooáánn 118811. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3 2 x23x4x26x5  2x23x102 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt 2

2x 3x10t t,  0 4x 6x 5 2t15 Phương trình cho trở thành

   2 6

3 10 2 15 5 105 450 0

15

t

t t t t t

t

 

        

 

 5

15 2 3 5 0 ;1

2

t  x  x    x  

 



6 2 3 4 0, 0

t  x  x    , trường hợp vơ nghiệm Kết luận Phương trình cho có hai nghiệm 5; 1

2

_ 54 B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự. G

Giiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc 1   

2 4 2 3 2 7

x  x x  x x  x

2   

1 4

x x x  x x  x

3      

3 3 1 1 2

x x x  x  x x

4     2

4 2 1 3

x x x  x  x  5 x32x1x7x x 69 6     2

3 1 3 2 3

x  x x  x  x  x 7     2

2 x 5x x 5x3  x 5x2 4 8     2

3x x 3x  x 3  3x  x 6 54 9  2  2

4 1 2 45

x  x  x  10  2  2

4 2 16

x  x  x  11  2   

5 2 3 48

x  x  x x  12  2   

7 2 9 12

x  x  x x  13  2   

5 2 2 3 10

x  x  x x  14  2  2

2 1 5

x x  x  15 2x32x2x111 16 x1 2 x52 x32 35 17 x1 2 x72x32 58 18  2   

2x1 x  2x5 x2  8 19 2 2  2

2 1 5

x x  x 

20 x34x1x586 21 x24x2x64 22 3x143x1x120 23 4x14x1 2 x181 24 5x14 5x7x1252 25 x x 1x2x39

31 x1x2x3x6160 32 x5x6x7x83024 33 4x1 12 x1 3 x2x14 34 3x1x1 5 x1 15 x770 35 2x3 4 x4 2 x1x3360 36    

2 2 10 72

x x x  

37    3 2 3

x x x  x 

38   

3 4 6 24

x  x x  x 

39    

1 3 5 9

x  x x 

40    3 2 9 20 112

x  x x  x 

41    6 5 10 21 9

x  x x  x 

42   

2 3 8 12 36

x  x x  x  

43   

4 3 6 8 24

x  x x  x 

44   

4 5 10 16 80 0

x  x x  x  

45     2

2 8 12 27 7

x  x x  x  x  x

46    

4 3 6 8 17 0

x  x x x  

47     6 5 6 10 300

x  x x x 

48    4x 1 x 3x2 70 49  3   

3 1 2 4

x  x  x x  50 x1 3 x33x4x69 51 3 3   

5x 2x3 4 2x5 x1 11 0 52 3x26x3x1 3 0

53 3 3   

2x x5 3 x3 x8 670 54 3 3   

7x x4 2 x5 x1  1 0 55 2  2  

3 2 1 24

x x x x 

56 x1 2 x2 2 x3x2 9 57   

2 4 5

x x x  x x  

58  2 2 

3 3 4 25

x x x  x  59 2  2  

4 1 5 36

x x x x 

60 x3 2 x2 2 x7x2225 61  2 2  

2x7 x x5 2x3 256

62   2 2   2

2 3 1 5 6 1

_ 56 B

Bààii ttoốánn 118822. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 4x3 2 x1 2 x19 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với 4x3 2 4x4 4 x29.8 Đặt 4x 3 t ta

       

2 2 2

0 4 3 3

1 1 72 1 72 8 9 0 9 3 3

4 3 3

2

x x

t t t t t t t t t

x x

   

 

               



    





Vậy phương trình cho có hai nghiệm

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với 16x224x9 2 x23x19 Đặt 2x23x 1 tsuy

       

   

2

2

8 1 9 0 1 8 9 0 2 3 16 24 17 0 3

2 3 4 3 8 0 ; 0

2

t t t t x x x x

x x x x

           

 

 

        

   

Kết luận tập nghiệm 3; 0 2

S  

 

B

Bààii ttooáánn 118833. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 6x5 2 3x2x135 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

        

       

 

2 2

4 2

2

6 5 6 4 6 6 35.2.6 6 5 6 5 1 420 6 5 6 5 420 0 6 5 21 6 5 20 0

21 5 21 5

6 5 21 0 6 5 21 ;

6 6

x x x x x

x x x x

x x x x

 

        

 

   

           

   

 

          

Vậy phương trình cho có hai nghiệm

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với 36x260x25 3 x25x235 Đặt 3x2 5x 2 t ta có

       

 

2

2

2

12 1 35 0 3 5 4 7 0 9 15 1 12 20 15 0

9 15 1 0 21 5 21 5

;

6 6

6 5 20

t t t t x x x x

x x

x x

x

            

     

    

  



Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttoốánn 118844. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3x3x4x58x2 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x4t, phương trình cho tương đương với

      

3t t 1 8 t6 3t 11t480 t3 3t 9t16 0   t 3 x 7 Phương trình cho có nghiệm

B

Lời giải

Điều kiện x Đặt x 6 t, phương trình cho tương đương với

    

  

2

2

1 1 24 1 24 24 0

3 3 8 0 3 3

t t t t t t t

t t t t x

         

         

Kết luận phương trình cho có nghiệm S  3 B

Bààii ttooáánn 118866. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 8x3 2 2x1 4 x11815 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với 8x3 2 8x4 8 x21815.8 Đặt 8x 3 tta thu

     

2 2

2

1 1 14520 14520 0 121 120 0

7

121 11 11 11 8 3 11 1

4

t t t t t t t

t t x x

          

              

Vậy bất phương trình cho có nghiệm 7;1 4

S  

 

Nhận xét

Các toán từ 182 đến 186 giải cách sử dụng biến đổi tương đương – nâng lũy thừa kết hợp phương pháp hệ số bất định phân tích đa thức bậc bốn thành nhân tử Hình thức tốn có đặc biệt, chỉ với chút linh hoạt dẫn dắt tới cách đặt ẩn phụ khéo léo (theo hai cách), kết thu lời giải ngắn gọn bất ngờ Với cách giải nhân thêm hệ số (cách giải khó ấn tượng nhất), bạn ý nhân thêm số cho biểu thức có dạng kxa kx b kx c;  ;  , để thao tác đặt ẩn phụ khả thi

B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự. G

Giiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc 1 12x1 2 x1 2 x11

2 20x1 2 2x1 5 x11 3 6x7 2 6x5x112 4 7x1 2 7x2x336 5 4x5 2 4x74x345 6 9x2 2 3x1 9 x1200 7 x5x6x7210 8 7x6 2 x1 7 x5180 9   2  

5x 3 5x 2 5x 4 72 10 3x5 2 x2 3 x4200 11 2x3x2x130

12 5x5x4x64x150 13 2x6x7x83x224 14      

1 2 3 4 5

_ 58 B

Bààii ttooáánn 118877. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   2 1 5 1 2 x x x x x       Lời giải

Điều kiện x0 Đặt 1 x t x 

 ; phương trình cho trở thành

  

2 2

1 5

2 5 2 0 2 2 1 0

2 1 2

t

t t t t t

t t                  Với t2x22x 1 0x12 0x1

 Với 2t 1 2x2 x 20 Phương trình vơ nghiệm  0 Đối chiếu điều kiện, kết luận tập nghiệm S  1

B

Bààii ttooáánn 118888. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

2 1 4

3 2 1 3

x x x x x       Lời giải

Điều kiện x0 Đặt 2x 1

t x



 ; phương trình cho trở thành

           2 2 1 4

4 3 0 1 3 0

3 3

1 2 1 1

2 3 1 2 1 0 ;1

2

3 1 1

t

t t t t

t

x x

x x x x x

x x                                

Kết luận phương trình cho có hai nghiệm

B

Bààii ttooáánn 118899. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

2 1 1

2

1 2 1

x x x

x

x x x

  

  

   

Lời giải

Điều kiện x 1 Đặt 2 1 1 x x t x   

 , bất phương trình cho trở thành

 12 1

1 2 0 0 t t t t t t             t 1 2x2  x 1 x 1 x2 0x0

  

2

2 3 1 1

2 1

0 0 0 1 0 1

1 1

x x x x

t x x

x x

  

 

          

 

Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm S   ; 1   0

B

Bààii ttooáánn 119900. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

2

4 1 4

1

1 4 1

x x x

x x x x

 

  

   

Lời giải

Điều kiện x1

Bất phương trình cho tương đương với

2 2

2

4 1 4 4 1 1

1 2 2

1 4 1 1 4 1

x x x x x x

x x x x x x

                 Đặt 4 1 1 x x t x   

 ta thu

 2

Xét hai trường hợp

 2

1 4 1 1 4 0 0

t  x    x x x   x

  

2

2

7 1 1

4 1

0 0 0 1 0 1

1 1

x x x x

t x x

x x

  

 

         

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  0  1;

B

Bààii ttooáánn 119911. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

   

2

2

2 1 1

2 2 3 4 2

x x

x

x x x



   

  

Lời giải

Điều kiện x0 Bất phương trình cho tương đương với

 

2 2

2 2 2

4 2 4 2 3 4 2

1 3 2 2

3 4 2 3 4 2 3 4 2

x x x x x x x

x x x x x x x x x

   

          

     

Đặt

2 3x 4x 2

t x

 

    

1 1

1

2 0

0

t t

t

t

t t



 

       

 

o 2  2

1 3 4 2 2 1 0 1

t  x  x x  x  x 

o Ta có  

2

2

3 2 2 3 4 2 1

. 0, 0

3

x x x

t x

x x

 

 

    

Vậy bất phương trình cho nghiệm với x0

B

Bààii ttooáánn 119922. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 1 2 3   1

x x

x x

x x



   

 

Lời giải

Điều kiện x0;x1;x 1 Bất phương trình cho tương đương với

 

2

2 2

1 1 1

1 3 2 2

1 1 1

x x x x

x x

x x x x x x



           

  

Đặt 1 x

t x



    

1 1

1

2 0

0

t t

t

t

t t



 

       

 

 1 5 1 5

1 1 0 ;

2 2

t  x   x  x     

 

 



2 0 1

1

0 0

1

x x

t

x x

 

 

    

  

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S   ; 1  0;1 B

Bààii ttooáánn 119933. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2 3 3 5  

3 2

x

x

x x



  

 

Lời giải

Điều kiện x0;x3

Phương trình cho tương đương với

          

2x 2x3 6 3x 5x 3x 9x 27x1809 x1 x2 0 x 1; 2 So sánh điều kiện, kết luận phương trình cho có hai nghiệm

_ 60 Điều kiện x0;x3

Phương trình cho tương đương với

2 3 3 5 3 5

1 1

3 2 3 2

x x x

x x x x

 

      

 

Đặt 3

x t x

 ta có        

2 1 5

2 5 2 0 2 1 2 0 3 3 3 6 0 1; 2 2

t t t t t x x x

t

               

Đối chiếu điều kiện, kết luận tập nghiệm S  1; 2

B

Bààii ttooáánn 119944. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

2

3 3 4 6 4 5

5

2 3 3 1

x x x x

x

x x x

   

  

   

Lời giải

Điều kiện 3 2

x 

Phương trình cho tương đương với

2 2

2

3 3 4 6 4 5 3 1 2 3

1 2 2 2

2 3 3 1 2 3 3 1

x x x x x x x

x x x x x x

      

      

     

Đặt

3 1

2 3

x x t x

  

 ta

 12 2

1 2

2 0 1 3 1 2 3 3 2 0 1;

3

t

t t x x x x x x x

t t



                  

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm 2;1 3

S   

 

B

Bààii ttooáánn 119955. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

3 3 5

2

5 2 3

x x

x x

x x



   

 

Lời giải

Điều kiện x0

Phương trình cho tương đương với

2

2

3 3 5 2 3 5

2 2

5 2 3 5 2 3

x x x x

x

x x x x

 

     

 

Đặt 2 3

5

x

t x



 suy  

2 1

1 3

2 0 1 2 5 3 0 1;

2

t

t t x x x

t t

  

             

 

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm 1;3 2

S     

B

Bààii ttooáánn 119966. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

2

5 4 5 5 8

3

4 3 5

x x x x

x x

x x x

   

   

   

Lời giải

Điều kiện 3 4

x 

Phương trình cho tương đương với

2 2

2

5 4 5 5 8 5 4 3

1 2 2

4 3 5 4 3 5

x x x x x x x

x

x x x x x x

      

      

     

Đặt

5 4 3

x x t x

  

 thu

 12 1

1

2 0 1 3 2 0

2

x t

t t x x

x

t t



 

           

 

B

Bààii ttooáánn 119977. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2 12 3 x 1 4 x 

x x

 

     

  

Lời giải

Điều kiện x0

Đặt 2

2

1 1

2

x t t x

x x

      Bất phương trình cho tương đương với

        

2 2

2

2

1 1

1 1

2 3 4 3 2 0 2 1 0 2 1 0 x x x 0

t t t t t t x x

x x x

  

   

                     

   

Dễ nhận thấy

2

2 1 3

1 0,

2 4

x   x x     x

  

nên [*] nghiệm với giá trị x0 Kết luận bất phương trình cho có nghiệm x0

Nhận xét

Các phương trình – bất phương trình tiếp nối lớp toán giải phương pháp đặt ẩn phụ biến thơng thường Một số ví dụ sử dụng phép biến đổi với số biểu thức nhằm giấu chất thực của toán Ngồi bạn giải tốn cách biến đổi tương đương, đưa phương trình bậc bốn, sử dụng hệ số bất định phân tích đa thức thành nhân tử, vấn đề tác giả xin trình bày sau

Xin lưu ý với tốn có chứa ẩn phụ dạng

2 2

2 2

b b

t ax t a x ab

x x

     

Đối với toán giải phương trình – bất phương trình việc thay ẩn phụ hoàn toàn đơn giản, nhiên đối với toán biện luận chứa tham số, thao tác chặn miền biến phụ vô cần thiết, định kết quả cuối

Tuy nhiên với toán giải trên, việc chặn miền chặt biến phụ giúp loại nghiệm ngoại lai và giảm thiểu trường hợp phức tạp bất phương trình Lấy ví dụ điển hình tốn 197, bạn tìm biến theo phương án sau

1 Sử dụng bất đẳng thức AM – GM (Cauchy)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có t2 x2 12 2 2 x2. 12 2 4 t 2

x x

       

2 Sử dụng đẳng thức

Ta có  

2

2

2 2

1

1 2 1

2 x x 4 x 4 4 2

t x t

x x x



 

         

3 Sử dụng phương trình bậc hai

Ta có t2 2 x2 12 m x

    , suy x4mx2 1 0t2mt 1 0 tx2,  Để tồn x [*] cần có nghiệm

tx khơng âm Dễ thấy phương trình có tích hai nghiệm

(dương) nên m0thì [*] có hai nghiệm

tx cùng âm, tức vô nghiệm x

Như 0 2 0 0 2

0 4 0 2 2

m

m m

m

m m

m



  

 

   

  

       

  

Từ suy t2 4 t 2

Tùy theo khả riêng mình, bạn lựa chọn cho cách làm phù hợp

B

Bààii ttooáánn 119988. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 12 3 1 1  

4 2

x x x

x x

 

      

_ 62

Lời giải

Điều kiện x0 Đặt 1 2 12 2 1 12 1

2 4 2 4

x t t x x x t

x x x x

         

Phương trình cho tương tương với 1 3 3 3 2 0  1 2 0 1 2

t

t t t t t t

t

 

            

   Với 1 1 1 2 2 1 0

2

t x x x

x

        Phương trình vơ nghiệm  0

 Với 2 1 2 2 4 1 0 1 1 ; 1 1

2 2 2

t x x x x x

x

            

Đối chiếu điều kiện, suy phương trình cho có tập nghiệm 1 1 ;1 1

2 2

S   

 

B

Bààii ttooáánn 119999. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 4x2 12 4x 2 3 x 

x x

    

Lời giải

Điều kiện x0 Bất phương trình cho tương đương với

2

1 1

2x 2 2x 1 0

x x

   

    

   

   

Đặt 2x 1 t x

  ta thu t22t 1 0t12 0 t  Kết luận tập nghiệm x0

B

Bààii ttooáánn 220000. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x 1 5 4x2 12 1 36 x 

x x

   

     

   

    

Lời giải

Điều kiện x0

Đặt 2 2

2

1 1 1 1

2x t t 4x 2.2 x 4x t 4

x x x x

          Phương trình cho tương đương với

     

 

2 2

2 1

5 5 36 5 5 11 0 1 6 11 0

6 11 0

t

t t t t t t t t

t t

 

              

   



 Phương trình (*) vô nghiệm  0

 Với   

1

1 2 1 0 1 2 1 0 1

2

x

t x x x x

x   

         

   

Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình cho có tập nghiệm 1;1 2

S  

 

B

Bààii ttooáánn 220011. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x 1 4 x2 12 4 3 x 

x x

   

     

   

    

Lời giải

Điều kiện x0

Đặt x 1 t t2 x2 12 2

x x

      Bất phương trình cho tương đương với

     

  

2

2

1 1

4 2 3 6 8 3 0 1 5 0 1 5 0

1 5 5 29 1 5 5 29

1 5 1 0

2 2 2 2

t t t t t t x x

x x

x x x x x x x

   

                   

   

   

Kết luận tập nghiệm ;1 5 5 29 1; 5 5 29;

2 2 2 2

S        

     

B

Bààii ttooáánn 220022. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x3 13 78 x 1 x 

x x

 

     

  

Lời giải

Điều kiện x0

Đặt x 1 t t3 x3 13 3 x 1 x 1 x3 13 3 x 1 x3 13 t3 3t

x x x x x x x

   

                

   

Phương trình cho trở thành t33t78tt t 9t90 t 0;t 9;t 9

 Với t0x2  1 Phương trình vơ nghiệm

 Với 9 9 1 0 9 77; 9 77

2 2

t x  x  x  x 

 Với 9 9 1 0 9 77; 9 77

2 2

t  x  x   x  x 

Phương trình cho có bốn nghiệm

B

Bààii ttoốánn 220033. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x3 13 3 x2 12 5 x 1 18 x 

x x x

   

        

    

Lời giải

Điều kiện x0

Đặt x 1 t x2 12 t2 2;x3 13 t3 3t

x x x

         Phương trình trở thành

    

3 2

3 3 2 5 18 3 2 24 0 2 5 12 0

t  t t   t t  t  t   t t  t 



5 12 0, 0

t  t    nên phương trình vơ nghiệm

 t 2 x 1 2 x 12 0 x 1

x

        

Vậy phương trình cho có nghiệm x1

B

Bààii ttooáánn 220044. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3 x3 13 10 x 1 4 0 x 

x x

   

     

   

    

Lời giải

Điều kiện x0

Đặt x 1 t x3 13 t3 3t

x x

      Bất phương trình cho trở thành

       

     

3 2

2

2

3 3 10 4 0 3 4 0 1 3 3 4 0 1 12 12 16 0

2 1 1

1 1 1

1 2 1 13 0 1 1 0 . 0 0

4

t t t t t t t t t t t

x

x x

t t t x x

x x x

                 

 

 

 

               

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x0

B

Bààii ttooáánn 220055. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 4x2 2x 12 1 6 0 x 

x x

     

_ 64 Điều kiện x0 Đặt 2

2

1 1

2x t t 4x 4

x x

     

Bất phương trình cho trở thành

  

  

2

2

4 6 0 2 0 1 2 0

1 3 1

1 1 2 2

2 1 2 2 0 2 1 2 2 1 0

3 1

1 2

t t t t t t

x

x x x x x x

x x

x

           

  

   

    

              



    

 

 

Kết luận bất phương trình có nghiệm

B

Bààii ttooáánn 220066. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

1 1

8x 4 2x 3 x

x x

 

     

  

Lời giải

Điều kiện x0

Đặt t 2x 1 t3 8x3 13 6 2x 1 8x3 13 t3 6t

x x x x

 

           

  Bất phương trình cho trở thành

  

 

3

2 1

6 4 3 0 1 3 0

3 0

t

t t t t t t

t t

 

          

   



o Phương trình [*] vơ nghiệm  0

o 1 1

1 2 1 2 1 0 ;1

2

t x x x x

x

 

           

 

Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình cho có hai nghiệm 1; 1 2

x  x

B

Bààii ttooáánn 220077. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh     3

3

1 5 2

3

3 1 2 1

x x x

x x

x x x

  

   

   

Lời giải

Điều kiện 3x 1 0;x32x 1 0 Phương trình cho tương đương với

3 3

3

3 3 1 5 2 2 1 3 1

1 2 2

3 1 2 1 3 1 2 1

x x x x x x x x

x

x x x x x x

       

      

     

Đặt

2 1 3 1

x x t x

 



 ta có      

2 3 2

1

2 1 0 1 2 1 3 1 1 0 1; 0;1

t t t x x x x x x

t

                 

Kết luận tập nghiệm S  1; 0;1

B

Bààii ttooáánn 220088. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   3

3

1 2 1

2 1

x x x x

x x

x x x

   

   

  

Lời giải

Điều kiện x0;x3  x 1 0

Phương trình cho tương đương với

3 3

3

1 2 1 1

1 1 2 2

1 1

x x x x x x x

x

x x x x x x

     

       

Đặt

1

x x

t x

 

 ta thu  

3 1

1

2 t 0 1 1 1

t t x x x x

t t



            

Vậy phương trình cho có nghiệm x 1

B

Bààii ttooáánn 220099. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   3

2

5 2 2

2 1 3 1

x x x x x x

x

x x x x

    

  

    

Lời giải

Điều kiện x 1;x33x 1 0 Phương trình cho tương đương với

3 3

2 3

5 2 3 1 2 1

1 1 2 2

2 1 3 1 2 1 3 1

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

        

      

       

Đặt

3 1 2 1

x x t x x

 



  ta thu

 

 

2

3 2

1 1

2 t 0 1 3 1 2 1 1 0 0

t t x x x x x x x

t t



                

So sánh điều kiện, kết luận tập nghiệm S  0

B

Bààii ttooáánn 221100. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh    

2

3 2 4 2 2

1

2 2 3 2

x x x x x

x x

x x x

   

   

   

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

  2

2 2

3 2 4 2 2 2 3 2 2

1 2 2

2 2 3 2 2 2 3 2

x x x x x x x x

x

x x x x x x

      

      

     

Đặt

2 2 3 2

2

x x t x

 



 ta thu

 12 1

1

2 0

0

t t

t

t

t t



 

     

 

 2    

1 2 3 2 2 3 0 3; 0

t  x  x x   x x    x

  

2

2

2 2

4 3 7 2 3 2 1 16 24 16 1

. . 0,

2 8 2 8 2

x

x x x x

t x

x x x

 

   

     

   

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x  3; 0

B

Bààii ttoốánn 221111. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

4 4

1 4

x

x x

x   x   Lời giải

Điều kiện x0 Đặt

2

2

2 4

2

2 4

x x

t t

x    x  

Phương trình cho tương đương với

 2  

2 2

2 1 0 1 0 1 1 2 4 0 1 5;1 5

2

x

t t t t x x x

x

                    

Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình cho có hai nghiệm

Nhận xét

_ 66

Đối với toán chứa bậc ba phân thức bạn lưu ý đẳng thức quen thuộc

   

   

3 3 3 2 2 3 3

3 3 3 2 2 3 3

3 3 3

3 3 3

a b a b a b ab a b ab a b a b a b a b ab a b ab a b

        

        

B

Bààii ttooáánn 221122. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 4 2 1 5 0   4 5 2

x x x

x x

    

  

Lời giải

Điều kiện x Đặt x24x 5 t ta thu

  

         

2

2

2

1 5

5 0 2 5 2 0 2 2 1 0

2

4 3 2 8 9 0 1 3 2 2 1 0 3; 1

t t t t t

t

x x x x x x x x

           

 

               

 

Vậy phương trình cho có hai nghiệm

B

Bààii ttoốánn 221133. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

    

3

2 7

1 3

x x x

x x

   

  

Lời giải

Điều kiện x  3;1 Phương trình cho tương đương với 2 2 3 7 2 3

x x

x x

  

 

Đặt x22x 3 tta thu

       

3

4 1 3 0 2 4 2 6 0 1 5; 1 5; 1 7; 1 7

t t t x x x x x

t

                     

Kết hợp điều kiện suy phương trình cho có bốn nghiệm

B

Bààii ttoốánn 221144. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

    

2 2

2 1

1 3 3

x x

x x

   

   

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

2 2

4 6 3

4 6

x x

x x

   

 

Đặt x24x   6 t t x2220, x  Bất phương trình cho trở thành

 

2

2

2 3 2

3 t t 0 1 2 2 2 0 2

t t t x x

t t

 

              

Kết luận nghiệm S   2 B

Bààii ttooáánn 221155. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

   

2 3 3

1

2 3 4

x x

x x

   

  

Lời giải

Điều kiện

2xx  3 0

Phương trình cho tương đương với

2

3 3

2 1

2 3 4

x x

x x

   

 

Đặt

2 3

x  x tthu 3 3 3 13 3

4 0 4 13 12 0 ; 4

4 4 4

t t t t t

t t

 

              

 

 3 15 19 19

2 0 1 ;1

4 4 2 2

t x  x   x    

 

 

 t  4 x12 0x1

Đối chiếu điều kiện ta thu tập nghiệm 1 19;1;1 19

2 2

S    

 

 

B

Bààii ttoốánn 221166. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3 1 2 1  

2 1 x x x

x  x    

Lời giải

Điều kiện x32x 1 0 Đặt

2 1 , 0

x  x t t phương trình cho trở thành

 2    

1

1 1 1 0 1 2 0 2 0 2; 0; 2

t t t x x x x x

t                

Kết luận phương trình cho có ba nghiệm x  2;x0;x 2

B

Bààii ttoốánn 221177. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

     

2

2

3 3 3 1 1

x x x x

x

    

 



Lời giải

Điều kiện x0

Biến đổi phương trình cho dạng

   

3

2

1 2 1 1 x

x    

Đặt x13 1 t thu

 

 

3

3 1 0

1 1

2

1 2 3 2 0

2 1 1 2

x

t x

t t t

t x

t x

  

 

 



         

  

    

Đối chiếu điều kiện ta hai nghiệm x1;x2

B

Bààii ttooáánn 221188. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

     

2

6

3 3 2 1 4

x x x x

x

    

 



Lời giải

Điều kiện x13 4 0

Phương trình cho tương đương

   

3

6

1 3 1 4

x x

  

 

Đặt x134tthu

 

 

3 3

2

3 3

1 3

1 1 3

6

4 3 7 6 0

6 1 2 1 2

x

t x

t t t

t

t x x

    

  





          

   

    

_ 68 B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự. G

Giiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc 1

2

2

1 3 5

3 1 2

x x

x x



 



2 2 24 2 15 2

2 8 2 3

x  x x  x 

3 2 5 3 4 0 5

x x x

x x x

 

  

 

4  

2

2 5 2 1 5

6

2 1 5

x x x

x x x

        5 2 3 3 3

3

1 4 1

x x x

x x x

 

 

  

6  

2

2 5 4

2 1

4 0

4 2 7

x x x

x x x

         7    2

8 3 2 3

3. 4

2 3 1 3

x x

x x x

       8 2 2 1 2 2 1 x x x x    

9  

3

3 4 2 5 2 2

4

2 5 5 5

x x x x

x

x x x



 

  

  

10

3 2

2

5 1 4 1

6. 7

4 1 1

x x x x

x

x x x

   

  

  

11 2

4 1

4x x 6

x x     12   2 1 19 9 2 1 x x x     13   2 1

2 24 71

6 x x x     14     4 14 3 6 x

x x   

15   1 2 1 2 1 x x x x      16

 2   

1

5 1 3 2

4 x x x     

17   

3 1

2 2 7 8

3 4 x x x

x  x      

18

 

2

2 1

10 10 3

2 1 2

x x

x

  

 

19   

8

1 2 2

2

x x x

x x

    

 

20   

3 12

1 2 1 3

2 3

x x x

x x

    

21   

1

3 4 13 34 0

3 x x x

x x  x      

22

3

1 1

4 2 0

x x x x           23

2 1 1 10 6 x x x x          

24

4 1 1 12 7 x x x x          

25

2 1 1 1 2 x x x x                

26

2

3 9

1 3 39 0

x x x x                  

27

2

2 4

3x 1 9x 1 24 0

x x                  

28

2

1 3

1 3 1 5

x x x x                 

29

2

1 1

3x 3 9x 1 11

x x                  30

3 8 6 3 x x x x   

31 3 1 1 6 x x x x         

32 3

1 1

4 x 13 x 5

x x                 33 3 8 2

4 6 0

8 2 x x x x           34 3 8 2 6 5 27 3 x x x x          

35 3

1 1

8x 7 2x 0

x x          36 2

9 11 3

5

16 2 4

x x x x           37     2 2

1 3 3 5

2 0 1

1

x x x

x x x x

 

   





38 3 8 2 7 2 x x x x         

39 2

9 3

16x 4x 175

x x

   

  

   

   

40

3

1 1 1

4 x 3 x 13 x 2 0

x x x

     

      

     

_ 70 B

Bààii ttooáánn 221199. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2 3 2 5 2  

1 3 1

x x

x

x  x x  x  

Lời giải

Điều kiện x23x 1 0

 Xét x0không thỏa mãn phương trình cho

 Xét x0, phương trình cho trở thành 2 2

3 5

3 5

2 2

1 1

1 3 1

1 3

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

    

   

   

Đặt x 1 1 t x

   thu

  

     

2 2

2 3 5

2 3 6 5 2 4 2 4 6 0 2 3 0 3 1 0

2

1 1

2 2 0 1 1 0 1;1

t t t t t t t t t t

t t

x x x x x

x x

                  



   

              

   

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm x 1;x1

B

Bààii ttooáánn 222200. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2 2 213 6  

3 5 2 3 2

x x

x

x  x  x  x  

Lời giải

Điều kiện 2;1 3

x  

  Phương trình cho tương đương với

      

     

      

2 2

4

2 2

2 2

2 3 2 13 3 5 2 6 3 2 3 5 2

54 117 105 78 24 0 18 39 35 26 8 0

6 3 2 11 3 2 4 3 2 0

1 4

6 11 4 3 2 0 2 1 3 4 3 2 0 ;

2 3

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x

         

           

         

 

               

 

Đối chiếu điều kiện ta thu tập nghiệm 1 4; 2 3

S   

 

Lời giải

Điều kiện 2;1 3

x    

 Xét x0không thỏa mãn phương trình cho

 Xét x0, phương trình cho trở thành 2 13 6

2 2

3x 5 3x 1

x x

 

   

Đặt 3x 5 2 t x

   ta thu

    

       

2

2

2 2

2 13

6 2 12 13 6 6 2 7 4 0 2 1 4 0 6

1 4

6 11 4 3 2 0 2 1 3 4 5 1 3 ;

2 3

t t t t t t t t

t t

x x x x x x x x x

              



 

 

               

   

B

Bààii ttooáánn 222211. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

 2  

2

2 3 9

3 1 2 10

x x

x

x  x  x   

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với 2 2 2 3 9  1 3 2 3 10

x x

x  x x  x 

o Xét x0khơng thỏa mãn phương trình cho

o Xét x0 [1] trở thành 2 2 2 3 9 2 3 9  2

3 3

3 2 3 10 1 2 10

x x x x x x

x x

x x

    

       

Đặt x 3 1 t x

   ta có

  2 3 9      

2 9 41 20 0 5 9 4 0 4 3 9 13 27 0

1 10 t t t t x x x x

t t

                



Phương trình 9x213x270vơ nghiệm Với

4 3 0 1; 3

x  x  x x Do S  1;3 là tập nghiệm

B

Bààii ttooáánn 222222. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

       

3 5 10

2x1 x6  x2 2x3  21x x Lời giải

Điều kiện 6; 3; 2; 1; 0 2

x     

 

Phương trình cho tương đương với

2

2

3 5 10 3 5 10 3 5 10

6 6

2 13 6 2 7 6

2x 13x 6 2x 7x 6 21x x x x x 21 2x 13 2x 7 21

x x

x x

       

   

        (1)

Đặt 2x 6 7 t x

   ; phương trình (1) trở thành

  

  

2

2

3 5 10 6 6

10 108 630 0 5 21 15 0 2 28 2 8 0 6 21

14 3 4 3 0 1; 3; 7 46; 7 46

t t t t x x

t t x x

x x x x x x x x

   

                 

    

              

Các nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu

Vậy phương trình có tập nghiệm S1;3; 7  46; 7  46

B

Bààii ttooáánn 222233. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2 5 2 8 7 0  

1 4 1 3 x

x  x x  x  x  

Lời giải

Điều kiện x24x 1 0;x0

Phương trình cho tương đương với 5 8 7 0

1 1 3

1 4

x x

x x

  

   

Đặt x 4 1 t x

_ 72

      

   

2

2 2 5 8 7

0 3 5 8 40 7 5 7 74 120 0 2 7 60 0

5 3

1 7 16 23 16 23

2 7 32 0 1 7 32 7 0 1; ;

7 7

t t t t t t t t

t t

x x x x x x

x x

               



     

 

   

                

     

So sánh điều kiện, kết luận phương trình cho có ba nghiệm

Nhận xét

Hình thức tốn từ 219 đến 223 có dạng tổng quát

   

2 2

mx nx m n p

p i ii

ax bx c ax dx c  ax bx c ax dx c  x

trong đóa b c d m n p, , , , , , là số thực

Cách giải đặt ẩn phụ túy, tốn có hình thức [i] bạn ý xét trường hợp x0trước thực chia tử số mẫu số phân thức cho x

2

2

mx nx m n m n

p p p

c c

ax bx c ax dx c ax bx c ax dx c

ax b ax d

x x

x x

       

   

   

   

Các bạn nhận thấy điểm mấu chốt lớp toán dạng phức tạp hóa ẩn x thơng thường biến phụ t phức tạp hơn, cụ thể dạng t ax c

x

  như trên, sau thay thể trả lại làm x mẫu thức, sử dụng biến đổi đại số làm ẩn giấu chất thực vốn có

Một số mở rộng (chỉ đơn ghép thêm hệ số) sau

     

2

2

2

3

1

2

2

mx nx

p iii ax bx c kax dx kc

m n p

iv ax bx c kax dx kc x

k ax mx k c k ax ex k c

p v ax bx c k ax dx k c

 

   

 

   

 

 

 

   

Ngoài phức tạp hóa x biểu thức chứa x: x1; 2x1;3x2;x x2; 22 x Thành thử để nhìn chất tốn cần có kinh nghiệm cảm quan định

B

Bààii ttoốánn 222244. Giải phương trình

 2  2  

3 5 16

13 2 1 4 2 1 4

x x

x x

  

   



Lời giải

Điều kiện x0

Biến đổi phương trình 2 3 2 5 16 3 5 16

5 5

4 4 5 4 4 5 13 4 4 4 4 13

x x

x x x x x x

x x

    

        Đặt

5 4x t

x

  ta

   

     

2

2

3 5 16

13 3 12 5 20 16 16 16 104 360 0 4 4 13

5 10 5

9 2 5 0 4 9 8 5 0 4 9 5 8 5 10 0 1;

4

t t t t t

t t

t t x x x x x x x

x x

           

 

     

                     

     

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm 1;5 4

B

Bààii ttooáánn 222255. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2 4 27 5  

6 1 1 2 x

x  x  x   x 

Lời giải

Điều kiện x26x 1 0;x0

Biến đổi 2 4 27 5 4 7 5

1 1

6 1 1 2 6 2

x x

x x x x x

x x

    

      Đặt

1 6

x t

x

   ta

      

  

2

2

4 7 5

2 4 24 7 5 6 5 8 48 0 5 12 4 0 6 2

5 1 21 26 21 26

5 42 2 0 5 42 5 1 0 1; ;

5 5

t t t t t t t t

t t

x x x x x x

x x

              



   

 

   

                

     

Kết hợp điều kiện, phương trình cho có tập nghiệm 1;21 26 21 26;

5 5

S     

 

 

B

Bààii ttooáánn 222266. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 25 5 26 6 17  

4 6 5 7 2

x x

x

x x x x

 

  

    

Lời giải

Điều kiện x

Dễ thấy x1không thỏa mãn phương trình cho Đặt x 1 y, biến đổi

 2    2   2

5 6 17 5 6 17 5 6 17

3 3

2 2 3 3 3 2 2

1 4 1 6 1 5 1 7 2 3

y y y y

y y y y

y y y y y y

y y

       

   

           

Đặt y 3 3 t

y

   thu hệ

    

       

2

2 5 6 17

2 11 6 17 17 17 5 12 0 1 17 12 0

1 2

3 51

4 17 39 0 1 3 17 39 51 0 1;3 2; 4

t t t t t t t

t t

y y y y y y y x

y y

             



   

                 

   

Vậy phương trình cho có tập nghiệm S2; 4

B

Bààii ttooáánn 222277. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

2

5 2 9 2 14

2 3 2 3

x x x x

x

x x x

   

  

   

Lời giải

Điều kiện x   2; 1

o Xét x0không thỏa mãn phương trình ban đầu

o Xét x0; 2; 1  , phương trình cho trở thành

2 2

5 9

14

2 2 3

3

x x

x x

x x

x x

   

 

  

Đặt x 2 t x

  ta có

   

  

2

2

5 9 14

3 8 15 9 14 3

3 3

8 9 45 0 3 8 15 0

t t

t t t t t t

t t

t t t t

 

        



_ 74

     

2 16

3 8 15 0

1 2 8 15 16 0 1; 2

x x

x x

x x x x x

   

       

   

       

Kết hợp điều kiện suy tập hợp nghiệm S  1; 2

B

Bààii ttooáánn 222288. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

 

 

    

2

2

2 1 27

4 7 137

0 1 7 15 1 6

x

x x

x

x x

x

 

 

   

 

  

Lời giải

Điều kiện x1;x7

 Xét x0không thỏa mãn phương trình cho

 Xét x0;1; 7, biến đổi

2

2

7 7

4 1

4 7 4 4 28 137 137

0 4. 0

7 7

2 7 8 7 15 15

2 8

x x

x x x x x x

x x x x

x x

x x

   

   

      

   

   

Đặt x 7 8 t

x

   thu 12 4 36 137 0 212 2690 5400 0 2 5 53 540 0

10 15

t t

t t t t

t t

 

          



     

 

2

2

2 7 2 0

2 11 14 53 371 116 0

53 371 116 0 371 113049 371 113049 7

; ; 2;

106 106 2

x x

x x x x

x x

x

  

 

      

  



    

 

   

 

 

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm

B

Bààii ttoốánn 222299. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh      

2

9 1 7 1

1 1

x x x

x

x x x

  

 

   

Lời giải

Điều kiện x1

Phương trình cho tương đương với

         

9 x  x 1 x1 7 x1 x  x 1 9 x 1 7 x 1 x  8 x2 Kết luận nghiệm S  2

B

Bààii ttoốánn 223300. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2 4 8 27 14 1  

10 18 4 6

x x

x

x x x x

 

  

    

Lời giải

Điều kiện x210x180

 Nhận xét x2 khơng nghiệm phương trình ban đầu

 Với x2, đặt x 2 y phương trình cho trở thành

 2    2   2

4 7 4 7 4 7

1 1 1

2 2

6 2 2

2 10 2 18 2 4 2 6 6

y y y y

y y y

y y y y y y

y y

       

  

          

Đặt y 2 6 t

y

   ta có 4 7 1 11 24 6 5 24 0  3 8 0

6 t t t t t t t

  

   

2

1 2 0

2 2

3 14 0

14 2 0 1; 2; 7 47; 7 47 3; 4;9 47;9 47

y y

y y

y y y y

y x

   

   

         

  



    

       

Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình cho có tập nghiệm S3; 4;9 47;9 47

B

Bààii ttooáánn 223311. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

3 3 1

3

x x

x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện   1 0

x x  x  Phương trình cho tương đương với

2 1

3 3 1

1

x x x

x

 



 

[1]

Đặt x 1 t x2 12 t2 2

x x

      Khi        1 t  5 3 t1 t 3t 2 0 t1 t2 0

  

1 1 1 5 1 5

1 2 0 1 2 1 0 ; ;1 2;1 2

2 2

x x x x x x x

x x

   

 

   

                  

     

Kết hợp điều kiện suy phương trình cho có bốn nghiệm

B

Bààii ttooáánn 223322. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

   

6

2

1 1 3 10 3

x x x

x

x x x

  

 

   

Lời giải

Điều kiện x3x210x30

Phương trình cho tương đương với

3

3

1 1

1 1 2

1 1

1 1

3 10 3 10

x x

x x

x x

x x

x x

x x

   

  

      

   

  

   

       

   

Đặt x 1 t x

  ta thu

    2

3 1

2 3 10 10 0 2 2 5 0 2 2 1 0 1

t t t t t t t t t x x x

x

                      

Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm x1

B

Bààii ttoốánn 223333. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

 2    

2

1 1 8

4x 6x34 x1 3 2x1 x

Lời giải

Điều kiện 1; 1; 4 6 3 0 2

x x x  x 

Đặt 2x 1 y, phương trình cho tương đương với

 2   2

1 1 8 8 1 1 8

1 1

3 1 2 1 3 3

1 3 1 3 1 1 2

4 1

2

y y

y y y y y

y y y y y

y y

       

   

          



 

 

_ 76 Đặt y 1 2 t

y

   ta thu 1 1 8        3 2 1 8 1 8 2 3 0 2 1 4 3 0

1 3 t t t t t t t

t  t            

   

2 4 1 3 3

2 5 4 5 2 1 2 4 5 4 0 ; 2 ;

2 4 2

y y y y y y y x

y y

       

                 

   

   

Đối chiếu điều kiện, phương trình cho có hai nghiệm

B

Bààii ttooáánn 223344. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

2

3 5 1 5 5

4 5 4 6 5

x x x x

x

x x x x

   

  

    

Lời giải

Điều kiện x 1;5

 Xét x0 không thỏa mãn phương trình cho

 Xét x0, biến đổi

5 5

3 5

1

5 4 5

4 6

x x

x x

x x

x x

   

 

   

Đặt x 5 6 t x

   thu

       

    

2

2

3 1 1

5 14 4 1 2 2 8 0 2 4 0

2 4

5 5

8 2 0 8 5 2 5 0 4 11; 4 11

t t

t t t t t t t t

t t

x x x x x x x

x x

 

              



   

                 

   

Vậy phương trình cho có hai nghiệm

B

Bààii ttooáánn 223355. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

2

3 3 6 3 53 4 3 5 3 12

x x x x

x

x x x x

   

  

    

Lời giải

Điều kiện x24x3x25x30

 Xét x0 khơng thỏa mãn phương trình cho

 Xét x0, biến đổi

3 3

3 6

53

3 3 12

4 5

x x

x x

x x

x x

   

 

   

Đặt x 4 3 t x

   thu

 2   

2

7 10 53

12 16 63 10 53 9 9 12

252 29 165 756 0 3;

29

t t

t t t t t t

t t

t t t t

 

        



       

Với 3 7 37 7 37

3 7 0 7 3 0 ;

2 2

t x x x x x

x

 

           

Với 252 29 136 87 0 68 2101; 68 2101

29 29 29

t   x  x   x  x  

Vậy phương trình ban đầu có bốn nghiệm

B

Bààii ttooáánn 223366. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

3 6 29

2 2 6

x x

x

x x x



  

   

Lời giải

 Xét x0 khơng thỏa mãn phương trình cho

 Xét x0, biến đổi

2 3

1 29

2 2 6

1

x x

x x

x x

 



 

 

 

  

Đặt x 2 t x

  thu

      

  

2

2

1 3 29

6 3 1 29 1 11 35 6 0 3 11 2 0 1 6

3 2 11 2 22 0 1; 2

t

t t t t t t t t

t t

x x x x x x

              



        

So sánh điều kiện ta có hai nghiệm

B

Bààii ttooáánn 223377. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2 12 2 11 2  

2 4 5 1 x

x  x  x  x  x 

Lời giải

Điều kiện: x22x 4 x12 3 0, x và

2

2 1 19

5 0,

2 4

x   x x     x

  nên ta có x1

Đặt x 1 t t, 0thì phương trình cho tương đương với

 

2

12 11 12 11

2 2

7 7

4 7 3 7

4 3

t t

t t t t

t t

t t

     

   

   

Đặt t 3 7 u t

   thì (*) trở thành

   

  

     

2

2

2

12 11

2 12 11 1 2 1 2 21 11 0 1

7 14

11 2 1 0 3 11 2 6 1 0

1 2

7 63

8 7 2 7 14 0 1 7 2 0

7 8

4 8

u u u u u u

u u

u u t t

t t

t x

t t t t t t t

t x

          



   

             

   

       

                

 

   

 

 

Đối chiếu, kết luận phương trình cho có hai nghiệm x2;x8

B

Bààii ttoốánn 223388. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2 5 1 3   3 1

x

x x

x  x x   

Lời giải

Điều kiện x x 23x10 Phương trình cho tương đương với 5 1 3 1

3

x x x

x

  

 

Đặt x 1 3 t x

   ta thu

  

     

2

2 5

3 3 6 5 0 1 5 0

1 1

2 2 0 1 1 0 1;1

t t t t t

t

x x x x x

x x

          

   

              

   

_ 78 B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự. G

Giiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc

1 2 4 2 5 1 0

8 7 10 7

x x

x  x  x  x  

2 2 3 2 2 8

4 1 1 3

x  x x  x  x

3 2 2 213 6

2 5 3 2 3

x x

x  x  x  x 

4 2 6 2 8 10

1 1

x  x x  x  x

5 2 20 13 2 21

3 4 3 4

x x

x  x  x  x

6

2

2

3 5

12

5 3 5

x x

x x x x



 

   

7 213 2 2 6

2x  x 32x 5x3 x

8 2 7 2 6 62

7 1 8 1 45

x x

x  x  x  x 

9 2 2 1 2 7

3 2 3 5 2

x x

x  x   x  x

10 2 3 2 7 4 0

5 5 1 1

x  x  x  x x 

11 2 4 2 5 7

10 11 12 11 264

x x

x  x x  x  

12 2 3 2 4 7 0

10 5 18 5 48

x  x x  x  x 

13

2

10 15 4

6 15 12 15

x x x

x x x x

 



   

14

2

2

6 6

5 0

5 6 8 6

x x x x

x x x x

   

  

   

15   

2

2

1 3

2 3 2

0

3 3 5 3 63

x x x x

x x x x

 

 

  

   

16

2

2

3 1 25

1 9 1 14

x x

x x x



 

  

17 2 3 215 45 11 2 13 22 4 15 47 2

x x

x x x x

 

 

   

18 24 4 52 5 8 2 3

x x

x x x x

 

 

  

19 22 6 25 15 34

3 6 4 9 45

x x

x x x x

 

 

   

20

 2   

5 3 61

1 7 112

2 5 x x x

x

 

 

 

21

     

3 5 43

1 2 12 2 3 4 140

x x

B

Bààii ttooáánn 223399. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x25x1x2 x 121x2 x

Lời giải

Điều kiện x

 Xét x0khơng thỏa mãn phương trình cho

 Xét x0; phương trình cho trở thành

2

5 1 1 1 1

. 21 5 1 21

x x x x

x x

x x x x

       

        

   

Đặt x 1 3 t x

   ta thu  2 2 21 4 21 25 5 5

t

t t t t

t

 

         

  

Với t 5 x 1 3 5 x 12 0 x 1

x

         

Với 5 1 3 5 8 1 0 4 15 4 15

x

t x x x

x x

   

            

   

Vậy phương trình cho có tập nghiệm S    4 15;1; 4  15

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với x2 1 5xx2 1 x21x2 x2126x x 2116x2 0 (1) Đặt x2 1 tthì (1) trở thành

    2 

2 2 2

1

6 16 0 2 8 16 0 2 8 0 1 8 1 0 4 15

4 15

x

t tx x t tx tx x t x t x x x x x

x

  

                    



   

Vậy phương trình cho có tập nghiệm S    4 15;1; 4  15

Nhận xét

Vẫn nằm lớp toán đặt ẩn phụ, có tinh tế chút ! Mấu chốt điểm nhấn phương trình – bất phương trình loại phát phần chung thừa số, từ suy cách đặt ẩn phụ Đối với lời giải 1, chia đồng hai vế cho x2 0, xuất nhân tử chung, phép đặt ẩn trung bình cho lời giải ngắn gọn, nhẹ nhàng Đối với lời giải 2, thực chất đưa toán dạng đồng bậc, với hai ẩn x

1

x  t, sử dụng biệt thức phương trình bậc hai để phân tích nhân tử Về phương pháp sử dụng tính chất này, tác giả trình bày sâu phần

B

Bààii ttooáánn 224400. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh      2 4 3 4 14

x  x x  x  x x

Lời giải

Điều kiện x

 Xét x0không thỏa mãn phương trình cho

 Xét x0; biến đổi

2

2 4 3 4 4 4

. 14 2 3 14

x x x x

x x

x x x x

       

        

   

Đặt x 4 2 t x

   ta có

 5 14  2 7 0 4 4 4 5 0  2 2 1 4 0  4; 1;1

t t t t x x x x x x

x x

   

                      

   

Kết luận phương trình cho có ba nghiệm B

Bààii ttooáánn 224411. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh       

1 2 3 2 3 20

_ 80

Lời giải

Điều kiện x

 Xét x0không thỏa mãn phương trình cho

 Xét x0; phương trình cho trở thành

        

 

2 2

2

2 3 2 1 3 20 2 6 2 3 20

2 6 2 3 6 3

. 20 2 1 2 20 1

x x x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x x

          

   

   

       

         

   

Đặt x 3 t x

          3 6

1 2t 1 t 2 20 2t 5t 18 0 t 2 2t 9 0 x 2 2x 9 0

x x

   

                   

   

    9 129 9 129

1 3 2 9 6 0 ; ; 1;3

4 4

x x x x x     

         

 

 

Vậy phương trình ban đấu có bốn nghiệm trên, 9 129; 9 129; 1;3

4 4

S      

 

 

B

Bààii ttooáánn 224422. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh       

8 4 2 1 4

x x x x  x x

Lời giải

Điều kiện x

 Xét x0khơng thỏa mãn phương trình cho

 Xét x0; phương trình cho trở thành

        

 

2 2

2

8 1 4 2 4 9 8 6 8 4

9 8 6 8 8 8

. 4 9 6 4

x x x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x x

          

   

   

       

          

   

Đặt x 8 9 t x

   thì   t t 3 4 t 1t 4 0 x 8 10 x 8 5 0

x x

   

               

   

    

10 8 5 8 0 5 17;5 17

x x x x x

         

Kết luận phương trình cho có hai nghiệm, S5 17;5 17 B

Bààii ttoốánn 224433. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2x3x22x2416x2 x

Lời giải

Điều kiện x

 Xét x0khơng thỏa mãn phương trình cho

 Xét x0; phương trình cho trở thành

          

2

2 3 4 6 16 2 6 3 4 16

8 12 7 12 12 12

. 16 8 7 16

x x x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x x

             

       

         

   

Đặt x 12 t x

  ta có t 8t 7 16 t2 t 72 0 t 8t 9 0 x 12 8 x 12 9 0

x x

   

                  

   

    

8 12 9 12 0 2; 6; 9 33; 9 33

x x x x x

           

B

Bààii ttoốánn 224444. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 1 4 1 6 x 2x 12 25 x 

x x

   

     

   

    

Lời giải

Điều kiện x0

Phương trình cho tương đương với

 4 6  2 12 2

10 24 14 24 24 24

. 25 . 25 10 14 25

x x x x x x x x

x x

x x x x x x

           

          

   

Đặt x 24 2 t x

   ta t 12t 12 25 t2 169 x 24 13 x 24 13 0

x x

   

            

   

   13 73 13 73 13 73 13 73

13 24 13 24 0 ; ; ;

2 2 2 2

x x x x x        

         

 

 

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm, 13 73 13; 73; 13 73; 13 73

2 2 2 2

S         

 

 

B

Bààii ttooáánn 224455. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x27x3 2 x225x75 224x2 x

Lời giải

Điều kiện x

 Xét x0khơng thỏa mãn phương trình cho

 Xét x0; phương trình ban đầu tương đương với

          

  

2

2

2 2

2

2 1 3 2 5 15 224 2 1 15 3 2 5 224

2 29 15 2 15

2 29 15 2 15 224 . 224

15 15 15 15

2 29 2 1 224 2 28 2 195 0

15 15

2 13 2 1

x x x x x x x x x x

x x x x

x x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

               

   

         

       

                

       

 

     

    

   

2

2

5 0 2 13 15 2 15 15 0

15 25 345 25 345

1 2 15 2 15 15 0 1; ; ;

2 4 4

x x x x

x x x x x x x x

 

      

 

 

   

           

Vậy phương trình có tập nghiệm 25 345; 15;1; 25 345

4 2 4

S     

 

 

B

Bààii ttooáánn 224466. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x22x8x23x1870x2 x

Lời giải

Điều kiện x

 Xét x0khơng thỏa mãn phương trình cho

 Xét x0; phương trình ban đầu tương đương với

          

2

2 4 3 6 70 2 6 4 3 70

4 12 12 12 12

. 70 4 1 70

x x x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x x

             

       

         

   

Đặt x 12 t x

  ta có      

4 1 70 5 66 0 6 11 0

_ 82

    

12 12

6 11 0 6 12 11 12 0 3 21;3 21;1; 12

x x x x x x x

x x

   

                  

   

Kết luận phương trình cho có bốn nghiệm B

Bààii ttoốánn 224455. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2 x 1x22x230x12 x

Lời giải

Điều kiện x

 Xét x1không nghiệm phương trình

 Xét x1, đặt x 1 y ta thu phương trình y22y 1 y 1 1y22y 1 2y 2 230y2

  

2

2 2 3 1 4 1 1 1

3 1 4 1 30 y y .y y 30 3 4 30

y y y y y y y

y y y y

   

   

               

   

Đặt y 1 3 t

y

   ta có

    

 2     

1 1

1 30 5 6 0 2 9 0

1 9 1 0 9 77; 9 77;1 8 77; 8 77; 2

t t t t y y

y y

y y y y x

   

             

   

                

Vậy phương trình cho có ba nghiệm x   8 77; 8  77; 2 B

Bààii ttoốánn 224466. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x23x4x2 x 28x12 x

Lời giải

Điều kiện x

 Xét x 1không thỏa mãn phương trình ban đầu

 Xét x 1, đặt x 1 y ta có phương trình tương đương

     

      

2 2 2

2

2

2

2 1 3 3 4 2 1 1 2 8 2 2 8

2 2 2 2 2

. 8 1 1 8 9

2 2

3 3 0 2 3 2 3 0 1; 3 0; 4

y y y y y y y y y y y y

y y y y

y y y

y y y y y

y y y y y y y x

y y

                

     

   

             

     

   

                   

   

Vậy phương trình cho có hai nghiệm x0;x 4

B

Bààii ttooáánn 224477. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x22x1 4 x22x15 2 x12 x

Lời giải

Điều kiện x

 Xét 2x 1 0 khơng thỏa mãn phương trình ban đầu

 Xét 1 2

x , đặt 2x 1 y ta có phương trình tương đương

     

  

2 2

2 2

1 2 1 2 1 1 1 10

1 1

1 3 1 10 3 10

y y y y y

y y y y y y

y y

           

   

   

           

Đặt y 1 t

y

  ta      1 1  2 

3 10 2 5 0 2 5 0 1 5 1 0

t t t t y y y y y

y y

   

                  

   

1; 5 21; 5 21 1; 4 21; 4 21

2 2

y x      

         

 

 

Kết luận phương trình cho có ba nghiệm

B

Bààii ttooáánn 224488. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2 1

4 4 24 1

x x x

x

 

      

  

Lời giải

Điều kiện x0 Phương trình cho tương đương với x2x24x424x12 Dễ thấy x1không thỏa mãn phương trình trên, đặt x 1 t t, 0 ta đưa

   

  

2 2

2 2

1 2 1 4 4 4 24

1 6

2 1 6 1 24 2 1 24

t t t t t

t t t t t t t

t t

      

   

             

   

Đặt t 2 1 u t

   thu

    

   

   

2 2

4 24 4 6 0

1 1

2 8 0 1 8 1 0

1; 4 15; 4 15 2; 3 15; 3 15

u u u u

t t t t t

t t

t x

     

   

            

   

           

Vậy phương trình cho có ba nghiệm kể B

Bààii ttooáánn 224499. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh     2   4 5 2 9 12 10 2

x  x x  x  x x

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét x 2 nghiệm phương trình Do đặt x2t t, 0x t 2 Ta thu

  

  

2 2

2 2

4 4 4 8 2 8 8 9 18 12 10

1 2

1 2 2 10 2 1 10

t t t t t t t

t t t t t t

t t

          

   

           

   

Đặt t 1 u t

  thu

    

  2  

1 2

2 1 10 2 2 5 0 2 2 5 0

1 5

1 2 2 1 0 ; 2;1 ; 4; 1

2 2

u u u u t t

t t

t t t t x

   

             

   

   

              

   

Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm 5; 4; 1 2

S    

_ 84 B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự.

Giải phương trình sau tập hợp số thực 1   

1 8 1 18

x  x x  x   x

2

2

99 8 2

6 2

x x x

x x x

 



 

3   1  

4 1 4 60

x x x x

x

 

      

 

4   

2x 3x1 2x 5x1 57x 5  2 

1 5 1 28

x x  x  x 6     

4 3 2 6 70

x x x x  x 7 x 3 4 1 2 x 8 154

x x

   

    

   

   

8     

1 2 3 6 168

x x x x  x 9 x 5 1 6 x 10x 12 6006x

x

 

      

 

10     9 x 6x5 x4 x20  68x 11   2 3

7 6 1 1 168

x x

x x

   

       

   

12 x 3x 2 4 1 x 6 30x x

 

      

 

13  

12 3080 9 1

14 48

x x

x x x

 

   

 

 

14    

10 9

1 2 5 252

x x

x x

 

      

 

15  5 1 6 1 10 120 12

x

x x x



   

      



   

16    5 4 15 36 144

x  x x  x  x

17   18

3 2 9 168

x x x x

x

 

     

 

18     2

20 9 10 56 1

x  x x  x  x 19   

2

2604 5 30

7 6

x

x x

x x

  

 

20   

2

7 1

1 3 1 270 1

x x

x x

   

       

   

21  6 2 9 2 1

840 5 6

x x

x x x

 



 

22  

2

30 1

2 2 1

x

x x x x



  

 

B

Bààii ttoốánn 225500. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2225x x 226x2 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

          

          

      

   

4 3 2

3

3 2

2

2

5 10 10 4 0 4 4 6 6 4 4 0

1 4 1 6 1 4 1 0 1 4 6 4 0

1 2 2 4 2 4 0 1 2 2 2 2 2 0

1 2 0

1 2 2 2 0 1; 2

1 1

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x

x x x x x

x

             

              

 

                

  



        

  



Vậy phương trình cho có hai nghiệm

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x45x310x210x 4 0

 Xét x0khơng thỏa mãn phương trình cho

 Xét x0; phương trình cho tương đương với x2 42 5 x 2 10 0

x x

 

     

  (1)

Đặt x 2 t x2 42 t2 4

x x

      Phương trình (1) trở thành

  

         

2

2

2

2 2

4 5 10 0 2 3 0 2 3 0

3 2 2 2 0 1 2 1 1 0 1; 2

t t t t x x

x x

x x x x x x x x

   

               

   

 

             

 

Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 1; 2

Lời giải

Điều kiện x Đặt  

2 0

x  t t thu

     

   

 

2 2

2

2

5 6 0 2 3 0 2 2 3 2 0

1; 2

1 2 2 2 0 1; 2

1 1

t xt x t x t x x x x x

x x

x x x x x x

x

            

 



         

  



Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 1; 2

Lời giải

Điều kiện x Nhận xét x0không thỏa mãn phương trình cho Xét trường hợp x0, phương trình trở thành

2

2

2 2

5. 6 0

x x

x x

   

  

 

 

Đặt

2

x

t x



 ta

  

         

2

2

2

2

2 2

5 6 0 2 3 0 2 3 0

2 2 3 2 0 2 1 1 2 0 1; 2

x x

t t t t

x x

x x x x x x x x

     

            

   

 

             

 

Vậy kết luận tập hợp nghiệm S 1; 2

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

2

2

1 5. 6 0

2 2

x x

x x

 

    

_ 86 Đặt 2

2

x t

x   ta   

2 2 1

6 5 1 0 2 1 3 1 0

3 1

t

t t t t

t

 

        

 

o

2t 1 x 2x20, 0, trường hợp vô nghiệm

o     

3t 1 x 3x 2 0 x1 x2 0 x 1; 2 Kết luận phương trình có hai nghiệm x1;x2

Nhận xét

Bài toán 250 phương trình bậc cao bản, sau khai triển thu phương trình đa thức bậc bốn

Phương trình bậc bốn có nhiều cách giải, đặc biệt hình thức tốn có đặc biệt Có thể nhận thấy năm lời giải hoàn toàn túy quen thuộc với nhiều bạn học sinh, bạn ý lời giải 3, 4, có chất, trọng tâm chuyên mục Tác giả xin nhận xét cụ thể lời giải

 Lời giải thực khai triển bình phương đưa phương trình bậc bốn, dựa hai nghiệm đặc biệt phương trình x1;x2 Do tổng hệ số đa thức nên phương trình xuất nghiệm x1, tiếp tục sử dụng lược đồ Horne chia đa thức thu đa thức thương bậc ba, phương trình tích hệ quả lại có thêm nghiệm x2, phương trình bậc hai cuối vô nghiệm dễ lập luận Để lời giải được tự nhiên bạn nhóm nhân tử phía nhân trả lại dạng

          

2 2 2

2 2 3 2 2 2 2 2 0 3 2 2 2 0

x x  x  x x  x  x  x   x  x x  x  i

Lưu ý sử dụng hệ số bất định để phân tích hệ (i) mà không thông qua nghiệm đa thức  Lời giải sử dụng khai triển bình phương, thu phương trình bậc bốn, nhiên lại có dạng đặc

biệt, khơng khó nhận thấy dạng "Phương trình hệ số đối xứng tỉ lệ", cách giải đơn giản đặt ẩn phụ sau xét chia hai vế tương ứng cho x2 Về dạng phương trình – bất phương trình hệ số đối xứng sẽ trình bày Lý thuyết phương trình bậc cao (Phần 2)

 Các lời giải 3, 4, nhằm mục đích tìm tỉ lệ hai biểu thức   2

f x x  và g x x Lí lại theo hướng ? Để dễ hình dung bạn quan sát lời giải 3, phép đặt ẩn phụ

2

t x  đưa phương trình dạng đồng bậc hai 2

5 6 0

t  xt x 

Đối với phương trình bậc hai ax2bx c 0 a0, người ta thay x biến phụ, trong lớp tốn  

 

f x t

g x

 với f x x22; g x xvà hốn vị ngược lại Khi dạng đồng bậc hai xuất quy đồng mẫu thức:

     .   0

a f x  bf x g x c g x   a g x  2bf x g x   . c f x  2 0 Với dạng đồng bậc (đẳng cấp) tương tự này, ln tìm tỉ lệ  

 

f x t

g x

 tức nghiệm của phương trình bậc hai theo cơng thức nghiệm Độ khó tốn tỉ lệ thuận với phức tạp biểu thức f x ,g x , phần sau tài liệu, bạn làm việc với dạng đồng bậc ba  

Lời giải thực chia hai vế cho f2 x g2 x để làm xuất tỉ lệ  

 

f x t

g x

 , giải phương trình bậc hai ẩn t cho kết ngắn gọn, lưu ý lời giải "ưu việt" lời giải chút, x22 ln ln dương với x, lời giải cần xét x0trước chia đặt ẩn phụ, điểm đáng lưu ý bạn học sinh, đặc biệt với lớp tốn bất phương trình

B

Bààii ttooáánn 225511. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x2225x22x 2x2 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

 

     

    

 

4

2 2

2

2

2

2 4 4 5 10 2 0 2 5 10 10 8 0

2 4 2 2 4 2 2 4 0

2 2 0 1

2 2 2 4 0

2 4 0 2

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x x x x

x x

           

         

   

       

   

Hai phương trình [1] [2] vơ nghiệm nên phương trình cho vơ nghiệm

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với    

2

2 2

2

2 2 5 2 2 0 2 5. 2 0

2 2

x x

x x x x

x x

 

          

   

Đặt 2 2

x t

x   ta      

 

 

2

2 2

2

1 1

2 5 2 0 2 2 1 0 2 2 2 4 0

1 3 7

x

t t t t x x x x

x x

   



             

    



Dễ thấy tuyển phương trình vơ nghiệm Do phương trình ban đầu vơ nghiệm

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với 2x2225x22x2x2 0

Đặt x2 2 t ta 2t25tx2x2 0t2x2tx0x22x2 2 x2 x 40 (Vơ nghiệm) Vậy phương trình cho vô nghiệm

Nhận xét

Qua lời giải dễ thấy phương trình tốn 251 vơ nghiệm, lý lời giải khai triển

phân tích nhân tử theo cách nhẩm nghiệm không xảy Thực tế việc nhìn nhân tử dương đa thức khó, khơng muốn nói mị mẫm, trường hợp bạn sử dụng hệ số bất định – nội dung lời giải (xin trình bày Lý thuyết phương trình đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ Phần 2)

Lời giải đặt ẩn phụ tìm tỉ lệ, xin khơng nhắc lại Lời giải sử dụng ẩn phụ khơng hồn tồn, cụ thể lại quy về đồng bậc Sau đặt x2 2 t ta thu phương trình t25xt6x2 0  

 Phương án Giả sử (*) phương trình bậc hai ẩn t, tham số x

Ta có  25x2 4.6x2 x2   x , suy nghiệm 1 ; 1

2 2

b b

t t

a a

     

 

Do x, không rõ dấu nên khả nghiệm

 

1

5 5

3 ; 2 0

2 2

x x x x

t    x t    x x 1 5 2 ; 2 5 3  0

2 2

x x x x

t    x t    x x

Mặc dù hai trường hợp x0;x0nhưng hoán đổi ta hai nghiệm (*) t2 ;x t3x Điều dễ nhận lời giải lập luận cần trở nên rõ ràng

Một số bạn thường viết   x2suy hai nghiệm t2 ;x t3x, để tự nhiên nên viết

  

2 2

5 6 0 2 3 6 0 2 3 0

t  xt x  t  xt xt x   t x t x 

_ 88

 Phương án Giả sử (*) phương trình bậc hai ẩn x, tham số t Tương tự phương án 1, ln có hai nghiệm ;

2 3

t t

x x , đưa dạng

  

2 2

5 6 0 2 3 6 0 2 3 0

t  xt x  t  xt xt x   t x t x 

Trên chia sẻ nhỏ cách sử dụng ẩn phụ khơng hồn tồn, mục đích bổ sung cho dạng đồng bậc

B

Bààii ttooáánn 225522. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  2  2    

1 2 1 3 1

x  x  x  x  x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x2  x 1 a x;  1 babx31 Phương trình cho tương đương với

     

2 2 3 13 3 13

2 3 2 0 3 1 2 0 ; ; 0; 2

2 2

a  b  ab a b a b   x  x x  x    x    

 

 

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm

B

Bààii ttooáánn 225533. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  4  2  4  

3 6 2 2

x  x  x  x x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt  2  2    2

3 ; 2 0; 0 6

x a x b a b ab x  x

Phương trình cho tương đương với 2 0   2  0 0 2

a b a ab b a b a b

a b

  

        

 

 Với 0 0 3 0 3

2 0 2

x x

a b a b

x x

   

 

      

  

 

(Vô nghiệm)

 Với 2

2 6 9 2 8 8 14 1 0 7 2; 7 2

a bx  x  x  x x  x  x  x 

Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm S7 2; 2   B

Bààii ttooáánn 225544. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  2  2     2 x  x 1 7 x1 13 x 1 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x2  x 1 a x;  1 b ta thu phương trình

  

       

2 2

2

2 13 7 0 2 14 7 0 2 7 0

1

2 3 1 6 8 0 1 2 1 2 4 0 1; ; 2; 4

2

a ab b a ab ab b a b a b

x x x x x x x x x

           

 

                

 

Phương trình cho có tập hợp nghiệm 1; 1; 2; 4 2

S   

 

B

Bààii ttooáánn 225555. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2 2

2

2 2 4

2 2 5.

3 3 9

x x x

x

x x x

  

   

  

   

  

    

Lời giải

Đặt 2 ; 2

3 3

x x

a b

x x

 

 

  thì phương trình cho trở thành

      

2 2

2a 2b 5ab2a 4ab ab 2b 02a a2b b a2b 0 a2b 2a b 0

o 2 2   2 3 33 3 33

2 2. 2 6 6 3 6 0 ;

3 3 2 2

x x

a b x x x x x x x x

x x

     

               

 

o 2 2   2 3 33 3 33

2 2. 2 6 6 3 6 0 ;

3 3 2 2

x x

a b x x x x x x x x

x x

   

               

 

Kết hợp điều kiện, phương trình cho có bốn nghiệm

B

Bààii ttooáánn 225566. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2 2

2

1 1 1

3 8. 5 0

3 9 3

x x x

x

x x x

  

   

   

   

  

    

Lời giải

Điều kiện x  3;3 Đặt 1 ; 1

3 3

x x

a b

x x

 

 

  phương trình cho trở thành

  

2

3 8 5 0 3 5 0

3 5

a b a ab b a b a b

a b

 

        

 

 1 1 2

4 3 4 3 0

3 3

x x

a b x x x x x

x x

 

          

 

 1 1      

3 5 3. 5. 3 4 3 5 4 3 16 3 0 8 61;8 61

3 3

x x

a b x x x x x x x

x x

 

                

 

Đối chiếu điều kiện, phương trình cho có ba nghiệm

B

Bààii ttoốánn 225577. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

 

 

 

2

2

5 2

4 2

0

1 1

1

x x

x x

x

x x

x

   

    

   

 

Lời giải

Điều kiện x  1;1 Đặt ; 2 2 2

1 1 1

x x

x x

u v uv

x x x

 

   

  

Phương trình cho trở thành 4 5 0  4  0

4

u v u uv v u v u v

v u

 

        

 

 2 2 1

3 2

1 1 2

x x

u v x x x x x

x x



         

 

 4 2 2 7 73 7 73

4 4 4 3 2 3 7 2 0 ;

1 1 2 2

x x

u v x x x x x x x

x x

 

     

               

   

Vậy phương trình cho có ba nghiệm B

Bààii ttooáánn 225588. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x444x2 x 202 5x54 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x42 u x; 52 v u0;v0 ta thu u2 4uv 5v2 u v u 5v 0 u 5v 0

u v

 



       

 

_ 90

 Do u0;v0 nên 5 0 0 4 5

x u v u v

x

 

      

  

(Loại)

 2 1

8 16 10 25

2

u v x  x x  x  x 

Vậy phương trình cho có nghiệm

B

Bààii ttooáánn 225599. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh    

     

2

2 2

2

2 2

3 3 3 1

2

5 4 3 3

x x x x x x

x

x x x x x x

     

 

     



Lời giải

Điều kiện    2

5x 4x x  x 3  x  x 3 0 Đặt

3

x   x y ta thu

  

2

2 2 2

2

3 1

2 6 2 5 4 3 2 0 3 0

3 0

5 4 2

x y x xy y

x xy y x xy y x xy y x y x y

x y x xy y

 

 

                

 

  

o  

3 3; 3

xyx   x x x 

o

3xy0x 4x 3 0x  2 7;x  2 7 Thử lại nghiệm, kết luận phương trình cho có bốn nghiệm

B

Bààii ttoốánn 226600. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh       

        

2

2

19 4 19 5 6 5 3

2

19 5 19 5 4 5

x x x x

x

x x x x

     

 

      

Lời giải

Điều kiện x1925 19 xx54x52 0 Đặt x19u x;  5 v ta có

2

2 2 2

2

4 6 3

2 8 12 3 15 12 23 24 0

24 0

5 4 2

u v u uv v

u uv v u uv v u uv v

u v u uv v

 

 

            

 

  

 uvx19x 5 0x24 (Vô nghiệm)

 24 0 19 24 5 0 139 25

u v x  x  x

Vậy phương trình cho có nghiệm 139 25

x

B

Bààii ttoốánn 226611. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2 x 124x12 5 5x3 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

2

2

1 1

1 4 5.

1 1

x x

x x x x

 

 

   

   

 

Đặt 2 1 1

x

t

x x

 

  ta   

2 1

4 5 1 0 1 4 1 0

4 1

t

t t t t

t

 

        

 

 2

1 1 1 2

t  x x   x x   (Vô nghiệm)

 2

4t 1 4x 4 x   x 1 x 3x 5 0 (Vô nghiệm  0) Kết luận phương trình cho vơ nghiệm

B

Bààii ttooáánn 226622. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x23x12x1 4 x215x10 x

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

 2        2     2

3 1 1 4 3 1 3 1 0 3 1 4 3 1 1 3 1 0

x  x  x  x  x  x   x  x  x  x x  x  (1) Đặt x23x 1 a x;  1 bthì phương trình (1) trở thành

      

     

2 2

2 2

4 3 0 3 3 0 3 0 3 0

2 2 0 2 2 0 0; 2; 2; 2

a ab b a ab ab b a a b b a b a b a b

x x x x x x x x x x

                

             

Phương trình cho có tập hợp nghiệm S   2; 0; 2; 2 B

Bààii ttooáánn 226633. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x47x2x22x18 1 x4 x

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét x 1khơng thỏa mãn phương trình

Xét x 1, phương trình cho tương đương với    

4

2

4

7 1 8 1 7 8

1 1

x x

x x x x

x x

   

         

 

   

Đặt  

2

0 1

x

t t

x

 

 

 



  ta có

  

2 1 8 0 1

7 8 0 1

1 1

1

1 2

0 0

t t x x

t t x

t x

x x

x

t t

  

  

     

        

     



   

 

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm 1 2

S     

B

Bààii ttooáánn 226644. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh    

2

2 2

5 6 4 1

x

x x x

x



   

 

Lời giải

Điều kiện x1

Phương trình cho tương đương với

 2     2      

2 1 5 6 4 2 1 5 2 6 1

x   x x  x  x   x  x   x 

Đặt x2 2 u x;  1 v ta có 5 6  5 6 0  2  3  0 2 3

u v u v u v u uv v u v u v

u v

 

           

   u2vx2 2 2x 2 x x 20x0;x2

 3 2 3 3 3 1 0 3 5; 3 5

2 2

u vx   x  x  x  x  x 

Đối chiếu điều kiện kết luận phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt

B

Bààii ttoốánn 226655. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh      

2

2 1 2 2

3 2 4 2

x x x

x

x x x

  

 

   

Lời giải

_ 92

  2       2      

2 x1 x2 x2  x2 3x 2x4 2 x  x 2  x2 3 x  x 2  x2  Đặt x2  x 2 a x;  2 bta thu

    

2 2

2 3 2 3 0 2 0

2

a b a b a b a ab b a b a b

a b

 

           

 

 2

2 2 0 0

abx   x x x  x

 2 1 17 1 17

2 2 2 4 2 2 2 0 ;

4 4

ab x  x   x x   x x   x  

So sánh điều kiện, kết luận phương trình cho có ba nghiệm, 0; 1 17; 1 17

4 4

x x  x 

B

Bààii ttooáánn 226666. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2 x 125x4x214x2 x 12 0 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x2  x 1 a x; 2   x 1 b abx4x21 Phương trình cho trở thành

      

2 2

5 4 0 4 0 2 3 5 3 0 0

a  ab b   a b a b   x  x  x   x

Vậy phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttoốánn 226677. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x244x22x14 5x35x22 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt  2  2  2

2 ; 2 1 5 2

x u x  x  v uv x  x

Phương trình cho tương đương với 5 4 0   4  0

4

u v u uv v u v u v

u v

 

        

 

o  2  2     

2 2 1 1 3 3 0 3 21; 3 21

u v x  x  x  x  x x  x     x  

o  2  2    3 5 57 5 57

2 4 2 1 2 3 2 5 4 0 ; 0; ;

2 4 4

u v x  x  x x x x  x    x      

 

 

Vậy phương trình cho có nghiệm

B

Bààii ttooáánn 226688. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3x21 3 x27x1310 2 x2 0 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với 3x21 3 x2 1 7x210x22 0 Đặt 3x2  1 u x;  2 v ta

       

        

2 2

2

2 2

7 10 0 2 5 0 3 2 3 3 5 9 0

3 2 3 36 60 108 0 1 2 6 5 83 0

u u v v u v u v x x x x

x x x x x x x

            

   

             

   

Dễ thấy [*] vơ nghiệm nên bất phương trình ban đầu vô nghiệm B

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với        2 3 3 4 5 1 3 5 1 0

x   x   x  x 

 

Đặt

3 ;5 1

x  a x b ta thu

       

      

2 2 3

2

4 3 0 4 3 0 3 0 5 2 15 0

2 2 1 15 0 15; 0; 2; 15; 1 2; 1 2

a a b b a ab b a b a b x x x x

x x x x x x

               

            

Vậy phương trình ban đầu có sáu nghiệm B

Bààii ttoốánn 227700. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  3   2   3x 2x 5x 5x4 3 x  x 2 0 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với  3  3    2 3x 2 3x 5 x  x 2 3 x  x 2 0

 

Đặt

3x a x;   x 2 bthu

  2   

2 5 3 0 2 5 3 0 2 3 0

2 3

a b

a a b b a ab b a b a b

a b

 

            

 

   2 

1 0 1 1 0 1; 1

abx x   x  x x  x  x

 2 3 2 6 3 3 6 2 3 3 0 0; 3 33; 3 33

4 4

a b x   x  x x x  x  x x  x 

Vậy phương trình ban đầu có năm nghiệm 1; 1; 0; 3 33; 3 33

4 4

x  x x x  x 

B

Bààii ttooáánn 227711. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

   

2 2

2

24 4

3 9

7 6 0

5 25 5

x

x x

x

x x x



 

 

 

     

 

 

    



Lời giải

Điều kiện x  5;5 Phương trình cho tương đương với

   

 

 

 

2

2 2

2

2

24 4 6 10 25 3

3 9 3 3 3

7 0 7. . 6. 0

5 25 5 5 5 5 5

x x x x

x x x x x

x x x x x x x

    

 

    

   

       

   

    

       

Đặt 3 ; 3

5 5

x x

a b

x x

 

 

  thu   

2

7 6 0 6 0

6

a b a ab b a b a b

a b

 

        

   ab4x0x0

 7 2 106 7 106

6 5 14 75 0 ;

5 5

a b x  x  x   x 

Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình có tập nghiệm 0; 7 2 106; 7 106

5 5

S      

 

 

B

Bààii ttooáánn 227722. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

 

 

 

2

5 2

2 1

4 16 17

1 1

x x x

x x x

x x

 

    



 

Lời giải

_ 94 Phương trình cho tương đương với

   

 

 

 

 

2

2

2

5 2 5 2

2 1

1 4 16 16 4 2 0

1 1

1 1

x x x x

x x

x x x

x x

x x

 



         

 

 

Đặt ; 2 1

x

u x v

x    thu   

2

5 4 0 4 0

4

u v u uv v u v u v

u v

 

        

   u v xx23x2 x24x 2 0x 2 2;x 2 2

 4 4 3 2 4 13 8 0 13 41 13; 41

8 8

u vx x  x  x  x    x    

 

 

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm, 2 2; 2 2;13 41 13; 41

8 8

S      

 

 

B

Bààii ttoốánn 227733. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

 

 

 

2

4 1 6 1

5 10 6 0 2

2

x x x

x x x

x x

 

      



 

Lời giải

Điều kiện x 2

Phương trình cho tương đương với

 

 

   

 

2

2

2

4 1 6 1 1

1 5 10 5 0 6 5 1 0

2 2 2

2

x x x x x x

x x x

x x x

x

    

            

    



Đặt ; 1 2

x

u x v

x    ta có   

2

6 5 0 5 0

5

u v u uv v u v u v

u v

 

        

 

  2

3 2 1 1

u v xx  x  x   (Vô nghiệm)

 2

5 5 15 10 5 14 10 0, 0

u vx x  x  x  x    (Vơ nghiệm) Kết luận phương trình cho vơ nghiệm

B

Bààii ttoốánn 227744. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

 

 

   

2

2

3 4 3

2 5

2 2 3 0 2

2

x x

x

x x x

x x

 



     



 

Lời giải

Điều kiện x 2 Phương trình cho tương đương với

 

  

     

2

2

3 1 3

2 5 3 3

1 2 2 3 1 0 3 . 1 2 1 0

2 2 2

2

x x

x x x

x x x x

x x x

x

 

    

             

    



Đặt 3 ; 1 2

x

a x b

x 

  

 ta   

2

3 2 0 2 0

a  ab b   a b a  b 

 2

3 3 2 2 1 0 1 2; 1 2

abx x  x  x  x  x   x  

   5 17 5 17

2 3 2 3 2 2 5 1 0 ;

2 2

a bx  x  x  x  x  x  x  

Đối chiếu điều kiện, kết luận tập nghiệm 5 17; 5 17; 1 2; 1 2

2 2

S         

 

 

B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự. G

Giiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc 1  2  

2 3 2 2 0

x   x x   x  2  22  2

1x 3x 4 1x x 3  

3 1 4 1

x  x   x x 

4  2  2   2 x  x 1 7 x1 13 x 1 5  2  2  

3 x  x 1 2 x1 5 x 1 6  4  2  4

3 6 2 2

x  x  x  x 7  2  

1 3 5 3

x  x x x  x 8  2  

1 3 1

x  x  x x 

9    2

10 2 5 9 2 5 0

x  x x  x  x  x  10  

3 1 6 1

x  x   x x 

11   2

2 2

1

6 7

x x

x x x

 

   

12   12 9 7 3

x  x   x  x

13 2 

2 4 4 3 2

x  x   x x x

14  4  2  4

2 x3 5 2x 7x3 2 2x1 0

15    

2

2

6 5

4 3 7 12 22

x x

x x x

 

 

 

16  2    18 2x1 x 9 4 x 4x 27x9 17  2  2  

4 x  2x1 3 x  2x1 7 x 1 18  2  2  

4 9 3 4 7 4 8 63

x  x  x  x  x  x 19

      

2

2

1 6 7

2 1

2 1

x x

x x x  x   

20  4  4  2 3 15 2 6 1 8 2 19 3

x  x  x  x  x 21  2    2

2 x 2x2 5 x 4 2 x 2x2 0 22    22

3x 10x x  x 1  7 1 x x 23  

 

2

2 20 1

2 2 0

5 5

x x

x x



   

 

24  2  2  

1 6 1 7 1

x  x  x  x  25

 

2

2

2 2 5

2 2

1

x x x

x x

x



 

  

 

 

_ 96 26  2   2

1x 3x 7x18 4 x3 0 27

2 2

2

2 2 5 4

20

1 1 2 1

x x x

x x x

                          28    

2 2

4 7 1

0 3 2

1 2

x x

x x

x     x 

29

2

1 1 1

4 7. 3 0

1 2 2

x x x

x x x

                     30  

 

2 2 5 2 4 2 0 1 1 1 x x x x x x x             

31    

   

2 2

2

3 2 3 1

3

4 3 9 3 5

x x x x

x x x

   



   

32  

2

2 5 1 1

4 0

2 2

x x x

x x x             33 2 6 1 7

1 2 2

x x x

x x x

                 

34  

 

2 2

2

6 3 7 20 17

1

1 1

x x x

x x x        

35  

2 3 2 1 2 1

2 0

3 3

x x x

x

x x

   

    

   

36    

2

2

7 2

6 4 24

2 1 1

x x x

x x

x x x



   

  

37

2 2

2

2 4 2

20 48 5

1 1 1

x x x

x x x

                        

38      

   

2

2 2

2

2

3 5 3 6 3 2

5

3 4 3

x x x x

x x x

    



  

39    

 

2

4 2

2

4 4 1 4 1 3

2

3 4 1

x x x x x x

x x x

     



  

40  

2 2 4 1 1 1 3 0

2 5 6 3

x

x x

x x x x

                     

41        

   

4 2 2

4 2

1 3 1 3 3 5

4

1 3 3

x x x x x x

x x x

     



  

42  2

6 14 6 1 4 3 1

x  x  x  x  x x  x

43       

      

2

2

2011 4 2011 2012 2013 2012 2013 2011 2012 5 2011 2012 2011 2012

x x x x

x x x x

     



     

B

Bààii ttooáánn 227755. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh    

2

3 2 1 1

3 0

1 1

x x x

x x

x x

   

     

    

Lời giải

Điều kiện x 1 Đặt 1 1

x

y x

 

 , phương trình cho tương đương với

  

3 3 2 2

2 3 0 3 3 0 3 3 0

x  x y y   x x y x y y   xy x  xy y 



0 1

xy  x xx (vô nghiệm)



2

2 3 3 0 0

3 3 0 0

0 1

2 4

x x

x xy y x y y

y x

 

 

 

         

 

   

(Loại) Kết luận phương trình cho vơ nghiệm

B

Bààii ttooáánn 227766. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh    

2

3 3 2 2

2 5 0

1 1

x x x

x x

x x

   

     

    

Lời giải

Điều kiện x 1 Đặt 2

1

x

y x

 

 ta thu phương trình   

3 2

2x 3x y5y 0 xy 2x 5xy5y 0



2 2; 2

xyx x  x x x 



2

2 5 15 0 0

2 5 5 0 2 0

0 2

4 8

x x

x xy y x y y

y x

 

 

 

          

  

   

(Loại) Vậy phương trình cho có hai nghiệm

B

Bààii ttooáánn 227777. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

3 4

3 7

1 1

x x

x x

x x

 

    

    

Lời giải

Điều kiện x 1 Đặt

1

x y

x  , bất phương trình cho trở thành

  

 

3 2

2

2

2

3 4 7 0 3 7 7 0

7 35

3 0 7 35

6 12 3 0

6 12

x x y y x y x xy y x y

x y x y y

x y y

       

 

    

          

  

 

   

   

 

o

2 0

0

1

1 1

x

x x

x y x

x

x x

 

      

 

  

o

2

2 0

7 35

3 0 0

0 6 12

x

x y y x

y

 

 

     

 



  

Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình cho có nghiệm S   ; 1   0

B

Bààii ttoốánn 227788. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh    

2 2

3 5 1

4 9 1

1 1

x x x x

x x

x x

   

     

_ 98

Lời giải

Điều kiện x 1 Đặt

2 1

, 0 1

x x

y y x

 

 

 , bất phương trình cho trở thành   

3 2

4x 5x y9y  xy 4x 9xy9y 0 [1]

Ta có

2

2 9 63

4 9 9 4 0, 0

8 16

x  xy y  x y  y   y

  nên  

2

1 1

1 0 1

1 1

x x

x y x x

x x

 

        

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 1

B

Bààii ttoốánn 227799. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh    

3

3 3 1 1

4 0

2 2

x x x

x x x

x x

   

     

    

Lời giải

Điều kiện x 2 Đặt  1 2

x x

y x

 

 , bất phương trình cho trở thành

     2

3 2

3 4 0 4 4 0 2 0

2 0

x y x x y y x y x xy y x y x y

x y

 

             

 



  1 0 2 0

2 2

x x x

x y x x

x x



        

 

 2 0 2  1 0 3 4 0 4; 0

2 3

x x

x y x x x x

x

  

           

  

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  2; 0

B

Bààii ttooáánn 228800. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh    

2

2

3 2 1 1 2

3 6 1

1 1 1

x x x

x x x

x x x

     

        

       

Lời giải

Điều kiện x 1 Đặt 1 1

x

y x

 

 , bất phương trình cho tương đương với

  

   

 

3 2 2

2

2

2

2

2 3 6 0 3 6 0

3 3 0

0

3 3 0

x x y xy y x y x xy y

x y x y

x y x x y y

x y

x x y y

        



  

 

        

 

    



 0 0

1

x x y

x

 

   

 

(Loại)



2

1 1

0 1

1 1

x x

x y x x

x x

 

       

 

Kết luận bất phương trình cho có nghiệm x 1

B

Bààii ttooáánn 228811. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh    

2

2

3 3 1 1 1

4 8

2 1 2 1 2 1

x x x x

x x x

x x x

      

       

       

Lời giải

Điều kiện 1 2

x Đặt 1 2 1

x

y x

 

 , biến đổi   

3 2 2

3 4 8 0 4 8 0

x  x y xy  y   xy x  xy y 

 1 2 2 1 0, 0

2 1

x

x y x x x

x 

        

 2  2 0 0

4 8 0 2 4 0

0 1

x x

x xy y x y y

y x                  (Loại) Vậy phương trình cho vơ nghiệm

B

Bààii ttoốánn 228822. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

     

3

2 1 1

4 3

1 2 1 2

x x

x x

x

x x x x

                      Lời giải

Điều kiện x   2; 1 Đặt ; 1

1 2 x x u v x x   

  , quy   

2

3 2

4 3 2 0

0

u v u v u v u v u v

u v             

 2 1  

2 2 2 0 1 3;1 3

1 2

x x

u v x x x

x x                   1 3 2

2 2 1 2

0 0

1 2 3 1

1 2 x x x u v x x x                        

Kết luận bất phương trình cho có nghiệm 2; 1 3 1; 3 1 1 3 1 3

2 2

S           

   

B

Bààii ttooáánn 228833. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh       3 2 1 1 3 2 2 2 x x x x x x                Lời giải

Điều kiện x 2 Đặt 1 ; 2 2

x

u x v

x 

  

 , bất phương trình cho trở thành

      

2

3 2 3 3

2 3 3 3 0 0

2 4

u  u v v  uv u  uv v   uv u v  v  

      Nhận thấy 2 3 3 0 2 4

u v v

 

  

 

 

uv0không xảy Do

     

 

2

2 3 3

1 3 3

0 2 0 0 0 2

2 2 4 2

x

x x x

u v x x

x x x

 

  

              

  

Kết luận bất phương trình ban đầu có nghiệm x 2 B

Bààii ttoốánn 228844. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

         

2

3 2

2

3

3 1 1

1 1

2 1 6 1

2 2 2

x x x

x x x x

x x x

x x x

                             Lời giải

Điều kiện x 2 Đặt 1 ; 1 2 x x

a x b x

 

  

 ta thu

  

3 2 2

2

2 3 6 0 3 6 0

3 6 0

a b a a b ab b a b a ab b

a ab b

 

          

  

_ 100 o

2

2

1 1

1 1 3 2

2 2

x x

a b x x x x x x

x

 

            



o

2

2 3 15 0 1 0

3 6 0 0

0

2 4 1

a x x

a ab b a b b

b x

    



 

         

  

   

(Loại)

Vậy phương trình cho có nghiệm 1 2

x 

B

Bààii ttoốánn 228855. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh         

3

3 3 3

3

5 3 1 9 1

1 1

x x

x x x x

x x

 

 

      

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x1 Đặt 3 ; 1

1

x

u x v

x 

  

 bất phương trình cho trở thành

      2  

3 2 2

3 5 9 0 4 9 0 2 5 0 1

u  u v uv  v   u v u  uv v   u v  u v  v 

 

Dễ thấy u2v25v2 0 uv0 khơng xảy Do  

2

3 3 2 3 17 3 17

1 1 0 1

1 1 2 2

x x x

x x x

x x

    

         

 

Kết luận bất phương trình cho có nghiệm 3 17;1 3 17;

2 2

S     

   

   

Nhận xét

Các toán từ 273 đến 283 giải phép đặt ẩn phụ khơng hồn tồn hai ẩn phụ đưa

phương trình đẳng cấp, nằm lớp phương trình – bất phương trình đồng bậc (đẳng cấp) bậc ba Các bạn ý sau đặt ẩn phụ u, v đưa dạng au3bu v cuv2  2dv3 0

 Xét trường hợp v0 có thỏa mãn phương trình ban đầu hay khơng

 Xét trường hợp v0, thực chia hai vế phương trình cho 0

v  thu

3

3

0 0

u u u

a b c d at bt ct d

v v v

     

        

     

      với phép đặt u

t v 

Các lời giải phía nhân trả lại hai ẩn u, v a, b để thao tác trình bày trở nên ngắn gọn

(tất nhiên hàm chứa q trình đặt ẩn t giải nghiệm) Tùy theo nghiệm phương trình ẩn t bạn

lựa chọn cách xử lý phù hợp

Lấy ví dụ điển hình tốn 269, sau đặt ẩn phụ u, v đưa dạng u33u v2 5uv29v3 0 Xét v0x1 (Loại)

Xét v0, đặt u tv u t v

   (hai cách đặt chất, điều tùy theo gu trình bày) ta

 

3 3 3

3

3

3

3 5 9 0

3 5 9 0

3 5 9 0 3 5 9 0

t v t v tv v

v t t t

u u u

t t t

v v v

    

    



 

     



        

      

     



Tóm lại ln có   

3 5 9 0 1 4 9 0

t  t  t   t t  t  Tiếp tục xét trường hợp v0, thực tương tự Nếu thực thao tác chia ngầm đưa nhân tử, ta thu lời giải toán 269, giảm bớt tính tốn

      2  

3 2 2

3 5 9 0 4 9 0 2 5 0 1

u  u v uv  v   u v u  uv v   u v  u v  v 

B

Bààii ttooáánn 228866. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x32x2x2 x 1 3 x2 x 13 0 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x2  x 1 y bất phương trình cho trở thành

    

 

2

3 2

2

3 3

2 3 0 3 3 0 0

2 4

1 1

x x y y x y x xy y x y x y y

x y x x x x

  

              

 

 

 

         

Do [*] hiển nhiên với xnên bất phương trình ban đầu có nghiệm S B

Bààii ttooáánn 228877. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2133x212x2x21x225x230 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x2 1 a x;  2 b a, 0thì bất phương trình cho trở thành

      2  

3 2 2

3 5 0 4 5 0 2 0

a  a b ab  b   a b a  ab b   a b  a b b  

 

Dễ thấy a0ab0khơng xảy ra, hay a2b2b2 0 Do   1 2 1 0 1 5 1 5

2 2

x x x x  x 

            Kết luận tập nghiệm 1 5 1; 5

2 2

S     

 

B

Bààii ttooáánn 228888. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x3x2133x x 3x2122x15x32x13 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt 2

1 ; 2

x x  a x xb ta thu bất phương trình tương đương

      

2

3 2 5 15

2 3 5 0 2 5 5 0 2 0

4 8

a  a b b   a b a  ab b   a b  a b  b  

 

 

 

Dễ thấy

 

3 1 0 0

0 2 1 0

x x

a

b x x

   



 



 

  

 

(Loại) nên

2

2 5 15

2 0

4 8

a b b

 

  

 

 

Do   0 1 0  1 2 1 0 1 1

x

a b x x x x x

x

 

              

  

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S    ; 1  1 B

Bààii ttooáánn 228899. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x33x x 2 x 124x2 x 13 0 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x2  x 1 y y; 0, x  phương trình cho trở thành

    

2

3 2 1 15

3 4 0 4 0 0

2 4

x  xy  y   xy x xy y   xy x y  y 

 

 

 



2

2 1 15

0

2 4

x y y

 

  

 

  (Vô nghiệm y0)

 xyx12 0x1

_ 102 B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự. G

Giiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc 1 3 3 3 4 0

2 6 12 8

x x

x

x x x x

  

   

2  3  2    2  3

1 4 1 1 1 1 6 1

x   x  x  x  x  x 3 2   2  3

3 1 2 1 6 1

x  x x  x  x x  x  x  x 4  3  2 2   3

1 3 1 4 1 8 1

x  x x x x  x

5  

2

2

3 7 1 1 1

3 11 0

3 2 3 2 3 2

x x x x

x x

x x x

      

       

      

6  3   2  3 3 x1 4 x1 x 1 7 x 1 0 7  3     3

2 x1 3 x 1 x  x 1 5 x  x 1 0

8  3        3

1 4 1 1 5 1 1 10 1 0

x  x  x  x  x  x  x  x  9   3 2    2  3

1 1 3 3 1 3 5 3 0

x  x  x  x x  x  x x  x 

10    

3

3

1 1

3 4 2 7 2

3 3 x x x x x x                    

11       

2

3

3

3 1

3 3

4 3 1 8 1

2 2 2

x x

x x

x x

x x x

                       

12  3   2   3 4 x 1 5 x 1 2x  x 1 9 2x  x 1

13      

2 3 3 2 2

2 4 3 2 9 1

1 1

x x

x x x

x x                

14  

2

2

3 3 1 1 1

7 11 1

2 2 2

x x x

x x

x x x

     

       

      

15       

2

3

3

3 2

3 3

2 3 5 2

1 1 1

x x

x x

x x

x x x

                       

16  3  2    2  3

2 3 2 3 1 4 2 3 1 8 3 1 0

x  x x  x  x x  x  x  x 

17    

3

3

3 4 4 4 0

5 5 x x x x x x                   

18       

2

3 3 5

5

3 1 5 7 5 0

1 1

x x

x x x

x x                 

19    

2

3

3 6 1 7 0

3 3 x x x x x x                   

20  

  4 1 1 0 2 2

x x x

x x x            

21     

 

3

4

3

8 1 2 2

1 9 0

2 2

x x x

B

Bààii ttooáánn 229900. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 8  8 15  

1 1

x x x

x x

x x

   

  

 

    

Lời giải

Điều kiện x 1 Đặt

2 2

8 8 8 8 8 8 8

8 8

1 1 1 1 1

x x x x x x x x x

x t t t

x x x x x

      

           

     Phương trình trở thành

    

  

2

2

8 8

8 15 3 5 0 3 5 0

1 1

5 13 5 13

3 5 5 3 0 ;

2 2

x x

t t t t

x x

x x x x x x

     

           

 

   

 

        

Đối chiếu điều kiện ta thu hai nghiệm

B

Bààii ttooáánn 229911. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4 1 2 1

2 . 8

1 1

x x

x x

x x

 

 

  

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x1 Đặt

2 2 1

1

x

t x

 

 Để ý

2

4 1 2 2 1 2

1 1

x x x

x

x x

  

 

  , suy

2

4 1 2 2 1 2 1 2 2 4 1

2 2 2 2

1 1 1 1 1

x x x x x x

x t x t

x x x x x

     

         

    

Phương trình cho trở thành

    

  

2

2

2 1 2 1

2 8 2 4 0 2 4 0

1 1

2 10 2 10

2 2 3 2 4 3 0 ;

2 2

x x

t t t t

x x

x x x x x x

     

           

 

   

   

        

Đối chiếu điều kiện ta có hai nghiệm kể

B

Bààii ttoốánn 229922. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  2 4 5 .2 1 5  

2 2

x

x x x

x x



 

     

 

  

Lời giải

Điều kiện x2

Phương trình cho trở thành    

2 2

4 3 2 4 5 6 2

2 . 6 . 6 1

2 2 2 2

x x x x x x x

x

x x x x

    

   

   

Đặt 2

2

x x t x

 

 thì

 

2 2 2

4 5 6 4 5 6 3 6 4 5 6

2 3 2 3

2 2 2 2 2

x x

x x x x x x x

t t

x x x x x



      

       

     Khi

    

  

2

2 2

2 2

2 3 5 1 2 5 0 1 5 0

2 2

3 29 3 29

2 2 2 6 10 0 3 5 0 ;

2 2

x x x x

t t t t

x x

x x x x x x

     

           

 

   

    

 

            

 

 

Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm 3 29; 3 29

2 2

S      

 

 

_ 104 B

Bààii ttoốánn 229933. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

3 2 28 3

9 4

3 3 x x x x x x               Lời giải

Điều kiện x3 Để ý

2

28 3 9 3

9

3 3

x x x

x

x x

  

 

  , đặt

2 3 2 3 x t x    thì

 

2 3 3 2

28 3 9 3 3 28 3

9 3 1 9 3 1

3 3 3 3 3

x

x x x x x

x t x t

x x x x x



    

         

    

Phương trình cho trở thành

    

  

2

2

3 2 9 6

3 1 4 1 3 4 0 1 4 0

3 3

2 58 2 58

3 5 9 4 6 0 ;

9 9

x x

t t t t

x x

x x x x x x

                                    

Đối chiếu điều kiện ta thu hai nghiệm

B

Bààii ttooáánn 229944. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

3 4 11

2 5

2 1 2 1

x x x

x x x

x x                      Lời giải

Điều kiện 1 2

x Phương trình cho tương đương

2

3 4 2 11

. 5

2 1 2 1

x x x

x x

  



 

Để ý

2

4 2 11 3 2 1

4. 1

2 1 2 1 2 1

x x x x

x x x

   

  

   nên đặt

2

3 4 2 11

4 1

2 1 2 1

x x x

t t

x x

  

   

  Ta thu

            2 2 2

3 4 12

4 1 5 1 4 5 0 1 5 0

2 1 2 1

5 3

2 4 4 10 7 0 1 3 2 0

2 4

x x

t t t t

x x

x x x x x x

                                               

Phương trình (*) vơ nghiệm nên phương trình ban đầu vơ nghiệm

B

Bààii ttooáánn 229955. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2 9 4

1 3 5

3 3 x x x x x x                     Lời giải

Điều kiện x 3 Phương trình cho tương đương với

2

1 3 5 9

. 5

3 3

x x x x

x x

   



 

Để ý

2

3 5 9 1 2 6

3. 2

3 3 3

x x x x x

x x x

    

  

   , đặt

2

1 3 5 9

3 2

3 3

x x x x

t t

x x

   

   

 

Khi ta thu

    

  

2

2

1 1

3 2 5 1 3 5 0 1 3. 5 0

3 3

2 3 8 18 0 2; 2

x x x x

t t t t

x x

x x x x x

       

           

 

   

        

B

Bààii ttoốánn 229966. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3 5 2 9 10 5  

1 1

x x x

x x                      Lời giải

Điều kiện x 1 Phương trình cho tương đương với

2

4 2 2 11 1

. 5

1 1

x x x x

x x        Ta có 2

2 11 1 4 2 3 3

2. 3

1 1 1

x x x x x

x x x

    

  

   nên đặt

2

4 2 2 11 1

2 3

1 1

x x x x

t t

x x

   

   

  Suy

    

    

2

2

4 2 4 2

2 3 5 1 2 5 0 2 2. 5 0

1 1

2 4 2 13 1 0 1 5; 1 5;

x x x x

t t t t

x x

x x x x x

       

           

 

   

           

Đối chiếu điều kiện ta thu hai nghiệm kể

B

Bààii ttooáánn 229977. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

3 3 2 12

1 5

2 3 2 3

x x x

x x x                Lời giải

Điều kiện 2x 3 0 Phương trình cho tương đương

2

3 3 4 15

. 5

2 3 2 3

x x x

x x

  



 

Chú ý

2

3 4 15 3 4 6

3. 2

2 3 2 3 2 3

x x x x

x x x

   

  

   nên đặt

2

3 3 4 15

3 2

2 3 2 3

x x x

t t

x x

  

   

 

Ta thu phương trình

    

  

2

2

3 3

3 2 5 1 3 5 0 1 3. 5 0

2 3 2 3

2 3 10 24 0 0; 2

x x

t t t t

x x

x x x x x x

     

           

 

   

       

Đối chiếu điều kiện ta có hai nghiệm x0;x2

B

Bààii ttooáánn 229988. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 1 1 3 5 2 1 7  

2 2

x

x x x

x x                       Lời giải

Điều kiện x 2 Phương trình cho tương đương với

2

3 1 3 13 11

. 7

2 2

x x x x

x x

   



 

Để ý

2

3 13 11 3 1 4 8

3. 4

2 2 2

x x x x x

x x x

    

  

   Do đặt

2

3 1 3 13 11

4 3

2 2

x x x x

t t

x x

   

   

 

Phương trình cho trở thành

    

  

2

2

3 1 3 1

4 3 7 1 4 7 0 1 4. 7 0

2 2

19 73 19 73

2 1 4 19 18 0 1 2; 1 2; ;

8 8

x x x x

t t t t

x x

x x x x x x x x

                                            

So sánh với điều kiện ta bốn nghiệm

B

Bààii ttoốánn 229999. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

10 5 8

3 . 22

_ 106

Lời giải

Điều kiện x 3 Phương trình cho tương đương

2

1 5 8

. 22

3 3

x x x

x x

  



 

Dễ nhận thấy

2

5 8 1 3

5. 1

3 3 3

x x x x

x x x

   

  

   ; đặt

2

1 5 8

5 1

3 3

x x x

t t

x x

  

   

  Ta thu

    

  

2

2

1 1

5 1 22 2 5 11 0 2 5. 11 0

3 3

2 1 5 11 38 0 1 2; 1 2

x x

t t t t

x x

x x x x x x

     

           

 

   

          

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x 1 2;x 1 2

B

Bààii ttoốánn 330000. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 1 1 3 10 6 3 22  

2 x x x x

x               Lời giải

Điều kiện x 2 Phương trình cho tương đương với

 

2 1 3 10 9

. 2

2 2

x x x

x x

  



 

Chú ý

   

2

2

2

3 10 9 1 2 8 8

2 2

2 2

x x x x x

x x x              

  Đặt  

2

2

1 3 10 9

2

2 2

x x x

t t

x x

  

   

 

Ta thu  2 3  1 3 0 2 1

3 0

t

t t t t t

t t               

 Phương trình t2  t 3 0 vơ nghiệm   11 0

 t 1 x 1 x20x1 (Vô nghiệm) Vậy phương trình cho vơ nghiệm

B

Bààii ttooáánn 330011. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   1  2   7 22 19 1 7 1

1

x x x x

x              Lời giải

Điều kiện x 1 Phương trình cho tương đương với

2

7 22 19 2

. 7

2 1 1

x x x

x x x

  



  

Để ý

2

2

2

7 22 19 2 3 6 3

4 3

2 1 1 2 1

x x x x x

x x x x x

      

    

       nên đặt

2

2

2 7 22 19

4 3

1 2 1

x x x

t t

x x x

  

   

  

Ta thu

    

 

2

2 1

4 3 7 1 4 4 7 0 2 1 0 1

2 1 6

t

t t t t t x x x

t                     (Vơ nghiệm) Kết luận phương trình cho vơ nghiệm

B

Bààii ttoốánn 330022. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x3 13 x218x124 2  x3 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

       

       

3

2

2

3 6 9 3 4 4 1 4 2 3 3 3 2 1 4 2

x x x x x x

x x x x

Đặt x 3 u; 2x 1 v ta thu

 2   2

2

3 4 0 4 0

4 0

u v u u v v u v u uv v

u uv v

 

         

  



Xét hai trường hợp xảy



2

2 1 15 1 0 3 0

4 0 0 0

0 2 1 0

2 4 2

u x

u uv v u v v u v v

v x

  

 

 

             

  

   

(Vô nghiệm)

 uvx 3 2x 1 x2

Kết luận phương trình cho có nghiệm x2 B

Bààii ttooáánn 330033. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2 x 1x42x37x226x365x33 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   2  2  3

1 1 4 3 5 3

x  x  x  x  x  x

 

 

Đặt x2  x 1 u x;  3 v ta thu

 2 3   2

2

4 5 4 5 0 5 5 0

5 5 0

u v u u v v u uv v u v u uv v

u uv v

 

            

  



Xét hai trường hợp xảy



2

2 5 5 5 0 1 0

5 5 0 0 0

0

2 4 2 3 0

u x x

u uv v u v v u v v

v x

    



 

             

  

   

(Vô nghiệm)

 2

1 3 2 2; 2

u v x     x x x  x x 

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x 2;x  2 B

Bààii ttooáánn 330044. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3x3x48x212x215x213 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

       

       

3

4 2

2 2

2

3 3 2 1 2 6 9 5 1

3 3 1 2 3 5 1

x x x x x x

x x x x

 

       

 

 

      

 

 

Đặt 3xu x; 2 1 vta thu

 2   2

2

3 2 5 2 2 5 0

2 2 5 0

u v u v u v u v u uv v

u uv v

 

        

  



Xét hai trường hợp



2

2 1 9 1 0 1

2 2 5 0 2 0 0

0

2 2 2 3 0

u x

u uv v u v v u v v

v x

   



 

              

  

   

 2

1 3 2 0 1; 2

_ 108 B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự. G

Giiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc 1  

2

2

7 5 3

4 3 11 5

x x

x x x

      . 2 2

4 5 5

1 3 2 10

x x

x x x

 



   .

3    

3 20 50 3 5

x x  x  x .

4  

  2 3 2 2 1

2 2 2

x

x x x

      . 5 2

2 3 9

3 2 4

x x

x x x

      . 6 2

4 5 5

1 3 2 14

x x

x x x

      . 7 2

7 7 7

1 3 4 17

x x

x x x

      . 8 2

1 3 6 3

1

1 3 4 2

x x

x x x

       . 9 2

7 14 12 41 35

1 4 4

x x x

x x x

       . 10 2 24 3 18 297 1215

3 64 16

x x x

x x        . 11

15 10 56

8 9 x x x     . 12 2

12 76 119 4 12 6 9 x x x x x        . 13 2 39 13 7 50

2 9 6

x x x x x

   



  .

14  

2

2 1 2

3

1 3 3 1

x

x x x



 

   .

15  

2

2

5 1

6

1 3 8 24 75

x x

x x x x

 



    .

16     2

1 7 30 46 6 3

x  x  x  x  x . 17     2

2 2 20 12 11 5 2 1

x  x  x  x  x . 18

2

7 14 4 20 28

4 4 4

x x x

x x x

  



   .

19

2

40 3 18 5

3 8 x x x     . 20 2

12 36 11 10 127

4 6 9

x x x

x x x

  



I

IIIII..MMỘỘTTSSỐỐTTÀÀIILLIIỆỆUUTTHHAAMMKKHHẢẢOO

1 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán

Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 2 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán

Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 3 Nâng cao phát triển toán 8, tập – tập

Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 4 Nâng cao phát triển toán 9, tập – tập

Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 5 Toán nâng cao Đại số 10

Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 6 Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số 10

Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 7 Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10

Đồn Quỳnh – Dỗn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 8 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT

Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến một số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 9 Tuyển tập tốn hay khó Đại số

Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập – tập

Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10

Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình bất phương trình

Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Tốn bồi dưỡng học sinh phổ thơng trung học – 1; Đại số

Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực

Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số

Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học)

Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995 17 Những dạng tốn điển hình kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng; Tập

Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002 18 Ôn luyện thi mơn Tốn THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số lượng giác

Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 19 Phương pháp giải toán trọng tâm

Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 20 Các giảng luyện thi mơn Tốn; Tập

Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993 21 Hệ phương trình phương trình chứa thức

_ 110 22 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học THPT Chuyên tỉnh thành

23 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà địa phương toàn quốc

24 Đề thi học sinh giỏi mơn tốn khối đến khối 12 cấp

25 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng mơn Tốn (chính thức – dự bị) qua thời kỳ

26 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học khối 10, khối 11 tỉnh miền Trung Nam (1995 – 2013)

27 Các tạp chí tốn học: Tạp chí Tốn học tuổi trẻ; Tạp chí Tốn tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant

28 Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net;

Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro;

T

THHÂÂNN TTHHỂỂ TTẠẠII NNGGỤỤCC TTRRUUNNGG T

TIINNHH TTHHẦẦNN TTẠẠII NNGGỤỤCC NNGGOOẠẠII D

DỤỤCC TTHHÀÀNNHH ĐĐẠẠII SSỰỰ NNGGHHIIỆỆPP T

TIINNHH TTHHẦẦNN CCÁÁNNHH YYẾẾUU ĐĐẠẠII